STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi ska betrakta portföljer av formen P t = c t + a t S t. Här är c t kassan och a t antalet aktier vid tiden t. Vi ska anta att alternativavkastningen (räntan) är noll. Pengar i kassan förräntar sig alltså inte. Låt oss börja med ett enkelt exempel. Antag att en aktie idag (t=) kostar 1 SEK. Låt t 1 > beteckna den första tidpunkt då aktien kostar antingen 11 eller 9 SEK och låt t 2 > t 1 beteckna den första tidpunkt då aktien gått upp eller ned ytterligare 1 SEK. Detta ger följande binomialträd: t : t 1 t 2 12 11 S t : 1 1 9 8 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = är värda 1 SEK. Portfölj Behåll pengarna i kassan; P t = 1 för t =, t 1, t 2. Portfölj 1 Köp aktier för hela kassan vid t =. Gör inget mer; P t = S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får alltså samma utveckling som aktien. Portfölj 2 Köp aktier för halva kassan vid t =. Gör inget mer; P t = 5 + 1 2 S t för t =, t 1, t 2. Denna portfölj får följande utveckling: 11 15 P t : 1 1 95 9 Ovanstående portföljer har det gemensamt att vi inte förändrar dem under resans gång (d.v.s. vid t = t 1 ). Genom att förändra portföljen vid t = t 1 kan vi styra den mot ett på förhand givet mål (som beror på startkapitalet). Portfölj 3 115 15 P t : 1 95 95 95 1
Portföljen ges av följande handelsstrategi: t =. Köp 1 2 aktie; P = 5+ 1 2 S. t = t 1. Om S t1 = 11, köp ytterligare 1 2 aktie; P t 1 = 5 + S t1. (Vi får alltså låna 5 SEK.) Om S t1 = 9, sälj alla aktier P t1 = 95. Aktieantalet ges alltså av följande binomialträd: och kassan av 1 1 a t : 2 5 c t : 5 95 Hur konstrueras portföljen? Börja längst till höger d.v.s. vid t = t 2. Högst upp t.ex. t 1 t 2? Vi ska vara rätt positionerade vid t 1 för att nå målet vid t 2. Antag att P t1 = c + as t1. Då ska c + a12 = 115 och c + a1 = 95 d.v.s. a = 1 och c = 5. Portföljvärdet vid t 1 är 5 + 1 11 = 15. P.s.s. beräknas det andra portföljvärdet vid t 1. När det är gjort kan vi fortsätta bakåt till t =. Konstruktionen av en handelsstrategi reduceras alltså till följande: Antag att vi har aktieutvecklingen: s u s s d 115 där s d < s < s u och att portföljen har utseendet: 95 f f u f d Här är f u och f d givna och f = c + as, där c och a ska bestämmas ur systemet: c + as u = f u, c + as d = f d. Övning 1 Visa att systemet har lösningen a = f u f d s u s d, c = s uf d s d f u s u s d Övning 2 Visa att f = qf u + (1 q)f d där q = s s d s u s d. 2
Observera att man inte behöver lösa ekvationssystemen utan det är ofta enklare att använda ovanstående formler till att först beräkna q (som i exemplet är 1/2) sen portföljvärdena (i exemplet är f medelvärdet av f u och f d ). Därefter beräknas aktieantalen, a, och sist kassan. Ett sätt att beräkna kassan som är enklare än att använda ovanstående formel är: c = f as. Övning 3 Betrakta samma aktieutveckling som i portföljerna -3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har portföljvärdet f(s t2 ) vid tiden t 2. Här är f(8) = 115, f(1) = f(12) = 95. I detta exempel förekommer negativa aktieinnehav (blankning) vilket innebär att man lånar aktier och säljer dem (för att förhoppningsvis senare kunna köpa tillbaka dem till ett lägre pris). Övning 4 Samma som Övning 3 men med f(8) = f(1) = och f(12) = 4. I detta fall krävs det hög belåning och risken är hög. Följande exempel illustrerar hur ovanstående handelsstrategier kan fungera i praktiken. Exempel FRAMFAB Framtidsfabriken, senare omdöpt till Framfab, sattes på Stockholmsbörsen den 23 juni 1999. Aktien visade sig vara vildsint: Efter att första dagen ha stängt på 19.5 toppade den efter 18 handelsdagar och stängde på 323 = 16.56 19.5. Den 23 november 2 handlades den för första gången under första dagens stängningskurs. Slutkursen blev 19. =.97 19.5. Vi ska använda handelsstrategien i Portfölj 3 på denna aktie under ovannämnda period. Vi ska anta att aktien handlas endast till de dagliga stängningskurserna och kan därför inte förvänta oss att kunna handla exakt på nivåerna i binomialträdet utan ombalanseringstidpunkterna definieras som de första tidpunkter nivåerna i binomialträdet uppnåtts eller passerats. Vid tidpunken t 2 börjar man om genom att lägga halva portföljvärdet i kassan och halva i aktien. Vi har bortsett från transaktionskostnader såsom spread och courtage men även bortsett från räntan. Utvecklingen av aktien och portfölj 3 framgår av Figur 1. Aktieutvecklingen är heldragen och portföljutvecklingen streckad. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Aktiens värde vid sluttidpunkten var.97 av ingångsvärdet medan portföljens värde var 2.2, +12%. Aktiens volatilitet (d.v.s. standardavvikelsen av dagsavkastningarna) var 12% per år medan portföljen hade volatiliteten 69% per år. Antag att vi den 23 november 2 slutade att tro på en positiv utveckling för aktien och i fortsättningen gick över till blankningsstrategin i Övning 3. Denna portföljs och aktiens utveckling under perioden 2 11 23-21 6 2 visas i Figur 2. Skalan är logaritmisk. Aktien gick under perioden ned från 19 till 1.1 =.53 19. Portföljen gick upp med en faktor 1.42, +42%. Både aktien och portföljen hade hög volatilitet, 1.97 respektive 1.88 per år. Ett skäl till den höga 3
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5.5 5 1 15 2 25 3 35 4 Figur 1: Utveckling av Framfab samt Portfölj 3 under perioden 996-11. Logaritmisk skala. 2 1 1 2 3 4 5 5 1 15 Figur 2: Utveckling av Framfab samt portföljen i Övning 3 under perioden 11-16. Logaritmisk skala. 4
portföljvolatiliteten är att vi endast handlar till slutkurserna och att portföljen vissa dagar därför rör sig väsentligt mer än 5% mellan ombalanseringarna. Detta gäller speciellt mellan dagarna 11, 111, 112 samt 122 och 123. Om vi hade använt handelsstrategin i Övning 4 hade portföljen tämligen snart blivit värdelös oavsett var vi startade. Man kan naturligvis betrakta fler än 3 tidpunkter. Aktien handlas på de nivåer som ges av ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n b 1,1 b 2,2 b 1, S t : b, b 2,1 b 2, b n,n b n,. Här är b, = S och b k+1,j < b k,j < b k+1,j+1 för j =, 1,..., k, k =, 1,..., n 1. Den handelsstrategi som ger portföljvärdet f(s tn ) vid sluttidpunkten t n ska vi kalla handelsstrategien med målfunktionen f. I nästa övning ska du jämföra de handelsstrategier som har värdet av en köp- respektive säljoption som målfunktion. Övning 5 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, 4, där b, = S = 1 och b k+1,j+1 = b k,j + 1, b k+1,j = b k,j 1, j =,..., k, k =,..., 3. Beräkna utvecklingen av portföljvärdet, antalet aktier samt kassan för den handelsstrategi som har målfunktionen f i följande två fall. a) Europeisk köpoption med lösenpris 12: f(s) = max(, s 12). Vad är optionens pris, d.v.s. portföljens värde vid t =? b) Europeisk säljoption med lösenpris 8: f(s) = max(, 8 s). c) Antag att du innehar en aktie och köper säljoptionen i b) och ställer ut köpoptionen i a). Vilken utveckling får denna portfölj? Speciellt hur stor är nettokostnaden för optionstransaktionerna? Övning 6 En aktie handlas på nivåerna i binomialträdet b k,j j =,..., k, k =, 1, 2, 3, n, där b, = S och b k+1,j+1 = b k,j + h, b k+1,j = b k,j h, j =,..., k, k =,..., n. Låt f k (S tk ) vara portföljvärdetvärdet vid t = t k för handelsstrategien med målfunktionen f. Här är S > nh och f är en en given funktion. Visa att k ( ) f n k (s) = 2 k k f(s + (k 2j)h). j Modellantaganden j= 5
När vi har konstruerat handelsstrategierna ovan har vi underförstått att den tillgång vi handlar med (ovan kallad aktien) uppfyller två villkor (delbarhet och likviditet) som även vissa tillgångar som inte är aktier uppfyller men som vissa aktier inte uppfyller. Tillgången ska kunna handlas i delar. Exakt hur små bestäms av handelsstrategien. Antagande om delbarhet Tillgången ska kunna handlas i tillräckligt små delar. I det inledande exemplet har vi antagit att om aktien minskar i värde från 1 kr vid t = till 8 kr vid t = t 2, så går den däremellan att handla på 9 kronorsnivån. Detta kräver att aktien är likvid: Det finns alltid tillräckligt många köpare och säljare så att spreaden (skillnaden mellan sälj- och köpkurs) är liten. Detta är inte alltid fallet. I värsta fall finns det överhuvudtaget inga köpare den dag man vill sälja. (Sådana aktier kan man finna på Aktietorget.) Antagande om likviditet Tillgången går att handla på samtliga nivåer i binomialträdet. Priset på en likvid aktie som kanske kostar 2 kr rör sig i regel upp eller ned med 5 öre åt gången och spreaden är oftast av den storleksordningen. I sådana fall verkar detta antagande rimligt om avståndet mellan nivåerna är några multiplar av aktiepriset gånger.5 2 =.25%. Men det finns mer än ett exempel från verkligheten då en likvid aktie fallit 3% på några minuter. Så det gäller att vara alert. De kraftiga svängningarna i portföljvärdet i Figur 2 beror på att likviditetsvillkoret inte alltid var uppfyllt (åtminstone om man enbart handlar till slutkurser) utan att aktien hamnade långt utanför binomialträdet. Ränta Om pengarna i kassan förräntar sig kontinuerligt med räntan r > så P t = c t + a t St där P t = e rt P t betecknar nuvärdet av P t och motsvarande för c t och S t. Man kan alltså på samma sätt som ovan styra nuvärdet av portföljen genom att ombalansera portföljen vid de tidpunkter nuvärdet av aktiepriset når de olika nivåerna i binomialträdet. Exotiska optioner Samtliga portföljer vi behandlat har det gemensamt att slutvärdet f(s tn ) beror endast på aktiens värde vid sluttidpunkten t n. Det finns emellertid finansiella derivat kallade exotiska optioner vars värde beror av aktiens pris vid flera tidpunkter. Vi ska illustrera med ett exempel hur ovanstående metod behöver modifieras i detta fall. Betrakta samma aktieutveckling som i det inledande exemplet. Vi ska konstruera en portfölj vars värde vid t 2 är max(s, S t1, S t2 ). Om S t2 = 1 så måste vi veta vilket av de två värdena 11 och 9 aktien haft vid t 1. Därför skriver vi binomialträdet med aktieutvecklingen på följande sätt. 6
S t : 1 Portföljvärdet får utvecklingen P t : 17.5 11 9 115 1 12 1 1 8 12 11 1 1 Kolumnen längst till höger är alltså aktiens största värde. De övriga värdena har vi fått genom att arbeta oss bakåt i trädet på samma sätt som tidigare. Övning 7 Normera denna portfölj så att startvärdet blir 1. Beräkna även utvecklingen av antalet aktier och kassan. Övning 8 Betrakta samma aktieutveckling som i ovanstående exempel. Beräkna den handelsstrategi som ger portföljvärdet (S + S t1 + S t2 )/3. Jämför portföljutvecklingen med den i Övning 7. Cox, Ross och Rubinsteins modell Hittills har vi endast ombalanserat portföljen då skillnaderna, S tk S tk 1, når givna nivåer. En anledning till detta är att beräkningarna blir mycket enkla. I fortsättningen ska vi istället balansera om portföljen då kvoterna S tk /S tk 1, når givna nivåer. Betrakta alltså ett binomialträd av formen t : t 1 t 2 t n S u 2 S u S t : S S ud S d S d 2 S u n S d n, där d och u är positiva tal sådana att d < 1 < u. Räntan är som tidigare. 7
Övning 9 a) Beräkna q uttryckt i d och u. Svar: 1 d u d. b) Beräkna q uttryckt i u i fallet då d = 1/u. Förenkla så långt som möjligt. 1 Svar: 1+u. c) Vad blir q om d+u = 2 (D.v.s. om d = 1 b, u = 1+b för något < b < 1)? Svar: 1 2. Övning 1 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d = 1/u. Betrakta handelstrategin med målfunktionen max(, S t3 1). Beräkna utvecklingen av portföljens värde samt av antalet aktier i portföljen. Låt f k (S tk ) beteckna värdet vid tiden t k av den portfölj som vid tiden t n har värdet f(s tn ). Här är f(s) en given funktion (t.ex. f(s) = max(, s K)). På samma sätt som tidigare får vi f k 1 (s) = qf k (su) + (1 q)f k (sd) för k = n, n 1,..., 1. Här är q = 1 d u d och f n = f. Löser vi dessa ekvationer får vi f n 1 (s) = qf(su) + (1 q)f(sd) f n 2 (s) = qf n 1 (su) + (1 q)f n 1 (sd) = q(qf(su 2 ) + (1 q)f(sud)) + (1 q)(qf(sdu) + (1 q)f(sd 2 )) = Övning 11 Övertyga dig om att för k =, 1,..., n. q 2 f(su 2 ) + 2q(1 q)f(sud) + (1 q) 2 f(sd 2 ). f n k (s) = k j=... Ovanstående resultat kan även skrivas ( ) k q j (1 q) k j f(su j d k j ). j f n k (s) = Ef(su X k d k X k ), där X k är en stokastisk variabel som är binomiafördelad (k, q). Antalet aktier vid tiden t k 1 och aktiepriset S tk 1 = s är f k (su) f k (sd). s(u d) Det är visserligen självklart att slutresultatet f(s tn ) är relaterat till portföljvärdet vid t = men följande exempel kan ändå vara instruktivt: Normera aktiepriset så att S = 1 och välj f(s) = e s. Denna portfölj borde väl ge en hygglig avkastning om aktien går upp? I detta fall gäller f (1) > q n f(u n ) = 8
exp(u n n ln 1 q ). Om man normerar portföljen så att portföljvärdet är 1 vid t = så kommer portföljvärdet vid t = t n och aktiepriset S tn = u n k d k att bli e un k d k f (1) < exp ( u n (1 ( d u )k ) + n ln 1 q ) då n om k >. Å andra sidan går det att visa att portföljvärdet vid t = t n är av storleksordningen q n då S tn = u n men risken är alltså hög om n är stort. Övning 12 Betrakta fallet då n = 3, S = 1, u = 1.2, d =.8. Beräkna portföljutvecklingen för den handelsstrategi som har målfunktionen exp(s). Normera den så att f (1) = 1. Ett asymptotiskt resultat Skriv u = e δ och låt i fortsättningen d = 1/u = e δ. I detta fall gäller f n k (s) = Ef(se Y k ) där Y k = 2δ(X k k 2 ). Vi ska använda denna representation och centrala gränsvärdessatsen till att approximera portföljvärdet och aktieantalet då δ är litet och k stort. Övning 13 Visa att q = 1 1 + e δ = 1 2 (1 δ 2 + O(δ3 )), EY k = 2δk(q 1 2 ) = δ2 k 2 (1 + O(δ2 )), Var(Y k ) = δ 2 k4q(1 q) = δ 2 k(1 + O(δ 2 )). Här ser vi att δ 2 k bör vara av storleksordningen 1 för att variansen och medelvärdet inte ska urarta. Antag därför att δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Det följer då av den centrala gränsvärdessatsen att Y k konvergerar i fördelning mot Y där Y är normalfördelad med medelvärde v 2 och varians v. Därför gäller även Ef(se Y k ) Ef(se Y ) om f är reguljär. För att se vad som händer med aktieantalet gör vi så här: Sätt s 1 = se δ, s 2 = se δ och F (x) = f(xe Y k ). Vi har f(se δ e Y k ) f(se δ e Y k ) se δ se δ = F (s 2) F (s 1 ) = F (s 3 ) = f (s 3 e Y k )e Y k s 2 s 1 för något s 3 mellan s 1 och s 2. Både s 1 och s 2 går mot s då δ och därför gäller detta även s 3. Väntevärdet av ovanstående uttryck konvergerar därför mot E[f (se Y )e Y ] = d ds Ef(seY ) 9
om f är tillräckligt reguljär. Sammanfattningsvis: Sats 1 Antag att f är reguljär. Då gäller Ef(se Y k ) Ef(se v 2 + vz ) Ef(se δ e Y k ) Ef(se δ e Y k ) se δ se δ d ds Ef(se v 2 + vz ) då δ och k på så sätt att δ 2 k v, < v <. Här är Z normalfördelad med väntevärde och varians 1. Tillräcklig regularitet för att den första konvergensen ska gälla är att f(s) är kontinuerlig för s > och inte växer för snabbt i definitionsintervallets ändpunkter: Det finns postitva tal C och m så att f(s) C(s m + s m ) för alla s >. För att den andra konvergensen ska gälla räcker det att f är deriverbar överallt utom möjligen i ändligt många punkter samt att f(s 1 ) f(s 2 ) C s 1 s 2 för något tal C och alla s 1 > och s 2 >. Observera att funktionerna f(s) = max(, s K) och f(s) = max(, K s) uppfyller dessa villkor. Beräkning av handelsstrategier Värdet av aktien vid starttidpunkten, S, är irrelevant. Vad som är relevant är på vilka nivåer S t /S befinner sig. Börja därför med ett binomialträd av formen b k,j = S β k,j, j =,...k, k =,..., n på vars nivåer aktien ska handlas och en målfunktion av formen f(s/s ). Här är β, = 1, β k+1,j < β k,j < β k+1,j+1 Därefter beräknas binomialträdet med vikterna q k,j, q k 1,j = b k 1,j b k,j b k,j+1 b k,j = β k 1,j β k,j β k,j+1 β k,j. Vi har ovan alltid valt β k,j så att q k,j = q oberoende av k och j. Sedan beräknas binomialträdet med portföljvärdena f k,j, f k 1,j = q k 1,j f k,j+1 + (1 q k 1,j )f k,j, k = n, n 1,..., 1, där f n,j = f(β n,j ). Om startkapitalet är givet normaliseras portföljvärdet så att f, är 1. Detta kan uppnås genom att dividera med f,. Om f beror på några parametrar och dessa kan bestämmas så att f, = 1, så kan man alternativt göra detta. Vi förutsätter nu att detta är gjort: f, = 1. Därefter beräknas α k 1,j = f k,j+1 f k,j β k,j+1 β k,j. Sambandet mellan α och aktieantalen är: a k,j = α k,j /S. Slutligen beräknas kassan, c k,j = f k,j α k,j β k,j = f k,j a k,j b k,j. Låt j k, k =,..., n, beteckna de tal som uppfyller S tk /S = β k,jk 1
Portföljvärdet, P t, vid tiden t ges av P t = P ( ck,jk + α k,jk S t S ) för tk t t k+1, k =,..., n 1. Detta förutsätter emellertid att vi handlar aktien exakt på nivåerna i binomialträdet vilket knappast sker i verkligheten. Antag istället att vi handlar vid tidpunkterna τ 1, τ 2,..., där förhoppningsvis S τk /S ligger nära β k,jk. (I exemplet FRAMFAB är τ k den första tidpunkt t k som aktien befinner sig på eller har passerat denna nivå i binomialträdet.) Låt Q t beteckna värdet av den portfölj som ombalanseras vid dessa tidpunkter. Då gäller Q t = P t för t t 1. Sen skiljer sig portföljerna åt och vad Q t är värd efter τ 1 beror på hur ombalanserigen gjorts och denna kan göras på olika sätt. Här är ett exempel på hur man kan göra. Portföljens värde vid t τ 1 är Q t = P (c, + α, S t S ). Efter ombalanseringen vid t = τ 1 kan man försöka med P (c 1,j1 + α 1,j1 S t S ) men detta värde avviker något från Q τ1 genom att multiplicera med då t = τ 1. Korrigera denna avvikelse Genom att fortsätta så får man Q τ1 P (c 1,j1 + α 1,j1 S τ1 S ). Q t = K k (c k,jk + α k,jk S t S ) för t k t t k+1, k =,..., n 1, där K k = Q τk /(c k,jk + α k,jk S τk S ). Portföljförsäkring Ett sätt att minska risken i ett aktieinnehav är att välja en handelsstrategi med en målfunktion som alltid är positiv. Vi ska här sätta portföljvärdet vid t = till 1 och betrakta funktioner av formen f(s/s ), där { g oms b f(s) = g + l(s b) om s > b eller mer kompakt skrivet f(s) = g + l(s b) +. Här b en brytpunkt, medan g, < g < 1, är ett golv för portföljvärdet. Parametern l > är alltså linjens lutning till höger om brytpunkten. Dessa parametrar ska väljas så att portföljvärdet vid t = är 1. Om man minskar risken genom att höja g får man betala med ett mindre l och därmed ett lägre portföljvärde för aktievärden över brytpunkten. 11
Vi väljer att handla aktien på nivåerna i binomialträdet i Cox, Ross och Rubinsteins modell med d = 1/u. β k,j = u j d k j = u 2j k, k =, 1,..., n, j =,..., k. Portföljvärdet vid t = är enligt Övning 11 n j= ( n j ) q j (1 q) n j f(u j d n j ). Villkoret att detta är 1 ska vi uttrycka med hjälp av binomialfördelningens fördelningsfunktion: [x] Bp n (x) = ( ) n p j (1 p) n j. j j= Övning 14 a) Visa att qu = 1 q och (1 q)d = q. b) Visa att ( ) n p j (1 p) n j = B n j 1 p(n x). c) Visa att n j= där y = 1 ln b 2 (n ln u ). j x ( ) n q j (1 q) n j (u j d n j b) j + = Bq n (y) bb1 q(y), n Det följer att villkoret att portföljvärdet vid t = är 1 tar formen: 1 g = l ( B n q (y) bb n 1 q(y) ). Vilken portfölj som går bäst av den oförsäkrade och den försäkrade beror på vilken väg aktien tar. En väsentlig skillnad är att den försäkrade har lägre risk. I Figur 3 visas utvecklingen av Ericsson (heldragen) och den försäkrade portföljen under tidsperioden 98721-1111. Handelsstrategien ges av parametrarna u = 1.1, n = 8, b = 1 och g =.95. Dessa ger l =.48. Skalan är logaritmisk. Varje enhet på den lodräta axeln svarar mot en dubbling/halvering. Volatiliteterna var.65 och.21 per år för aktien respektive portföljen. Tidsperioden är med avsikt vald så att de två portföljerna korsar varandra. Om aktien sätter sig tillräckligt mycket (i detta fall med 32%) under en period t,..., t n, så har portföljen hela kapitalet i kassan och det kommer att förbli där tills vi börjar om vid t = t n. I det här exemplet inträffade det några gånger. T.ex. kring dag 5. En variant som kan vara lämplig att använda då man endast förväntar sig måttliga uppgångar i aktien är att lägga in ett tak i målfunktionen vid en brytpunkt c > b: 12
2 1.5 1.5.5 1 1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 3: Utveckling av Ericsson och den försäkrade portföljen. Logaritmisk skala. g f(s) = g + l(s b) g + l(c b) om s b om b < s c om s > c d.v.s. f(s) = g + l(s b) + l(s c) +. Fördelen är att man för givet g kan öka lutningen l. Alternativt, för samma lutning kan man höja golvet g. Det följer av Övning 14 c att parametrarna i detta fall ska uppfylla identiteten 1 g = l ( B n q (y) bbn 1 q (y) Bn q (z) + cbn 1 q (z)), där y är som i övning 14 och z = 1 ln c 2 (n ln u ). 13
3: Svar till övningarna 95 95 P t : 1 95 15 115 a t :.5 1 4: 95 c t : 15 195 4 2 P t : 1 2 a t : 1 2 c t : 9 7: Portföljvärdena och kassan är avrundade till närmsta heltal. P t : 1 14 17 93 112 12 93 93
a t :.7.47 55 c t : 3 93 8: Portföljvärdena är avrundade till närmsta heltal. 11 17 13 P t : 1 97 93 9 a t :.66.33.33 1: c t : 33 7 63 72.8 44. 25. 2 P t : 13.6 9.1 4.1 15
1.79 a t :.57.55.3 12: 5.63 4.4 3.53 3.16 f : 2.91 2.66 2.29 2.16 1.92 1.67 1.93 1.51 1.21 1.9 fnorm : 1.91.79.74.66.57 16