Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313 Må 8 D 1.5-1.7 Inversa matriser To 11 D 2.1-2.3 Determinanter Lektion MA136, 146, 156, MC313 Må 15 D 3.1-3.2 Euklidiska vektorrum Lektion MA378, N330, N335, Na326 Må 22 D 3.3-3.4 Ortogonalitet On 24 A 3.5 Vektorprodukt To 25 D 4.1-4.2 Reella vektorrum Lektion MA346, 356, MC313, Ub336 Må 29 D 4.3-4.4 Linjärt oberoende, baser On 1/10 D 4.5 Dimension Lektion MA346, 146,156, MC313 Må 6 D 4.6-4.8 Basbyte, rang Laboration Ma 141, Ma 151 Må 8 D 4.9-4.10 Matris-transformationer To 9 D 5.1-5.2 Egenvärden, egenvektorer Lektion MA136, 146,156, 166 Må 13 D 6.1-6.2 Inre produktrum Laboration Ma 141, Ma 151 On 15 D 6.3 Gram-Schmidt-ortogonalisering Laboration Ma 141, Ma 151 To 16 D 6.4 Minsta kvadratmetoden Lektion MA136, 146,156, 166 Må 20 D 7.1-7.2 Ortogonal diagonalisering On 22 D 7.3 Kvadratiska former To 23 E Tillämpning Lektion MA136, 146,156, 166 Må 27 E Repetition Lektion MA136, 146,156, 166 To 30 Hörsal E och G Tentamen 09.00 15.00 Lö 13 Dec Östra paviljongerna Sal 6 Omtentamen 09.00 15.00
Föreläsare: Klas Markström Litteratur: Anton, Rorres, Elementary Linear Algebra 11e utgåvan Gruppindelning: Grupp 1: Klas Markström: Lärare och fristående kurs Grupp 2: Emelie Wibron: Interaktion och design med efternamn fram till och med J Grupp 3: Matilda Berglund: Interaktion och design med efternamn från och med K Grupp 4: Peter Fransson: Teknisk datavetenskap och kandidatprogrammet i datavetenskap
1 Linjära ekvationssystem och matriser 1.1 Introduktion Linjära ekvationer med tre obekanta x, y och z kan tolkas som ekvationer för plan i rummet. Att söka lösningar till ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta kan därför tolkas som att vi söker gemensamma punkter till planen. konsistent - consistent - motsäagelsefritt (här: lösbart ekvationssystem) inkonsistent - inconsistent - icke motsägelsefritt (här: icke lösbart ekvationssystem) utökad matris - augmented matrix - (för ett ekvationssystem) De tre elementära radoperationerna används i nästan varje uppgift i hela kursen. Lämpliga uppgifter: 1, 3ab, 5, 9, 11ab, 13ab 1.2 Gausselimination. Här löses ekvationssystem enligt Gauss-metoden. Det innebär att man reducerar det linjära systemets utökade matris till reducerad trappstegsform (reduced rowechelon form). parameter homogent ekvationssystem trivial lösning icke-trivial lösning. Lämpliga uppgifter: 15, 17, 19, 21, 31, 35, 38, 40 1.3 Matriser och matrisoperationer. rad - row kolonn - column skalär - scalar vanligt reellt (eller komplext) tal den transponerade matrisen A = AT - the transpose of A = AT : matrismultiplikation AB, A och B matriser multiplikation med skalär, λa,d är λ är ett tal och A en matris. Lämpliga uppgifter: 57ab, 59a i, 69, 75
1.4 Regler för matrisräkning Det är viktigt att komma ihåg att vissa räknelagar som gäller för reella tal inte gäller för matriser 1. För matriser A och B så är i allmänhet AB BA 2. För matriser så kan man ha AB = 0 trots att ingen av A och B är nollmatrisen. nollmatrisen - the zero matrix enhetsmatrisen (identitetsmatrisen) - the identity matrix invers inverterbar matris Viktiga satser att lära sig: 1.4.4 (med bevis), 1.4.5 (utan bevis), 1.4.6 (med bevis), 1.4.7 (utan bevis), 1.4.9 (utan bevis). Lämpliga uppgifter: 90, 91, 95, 96, 103, 118 1.5 Elementära matriser och en metod för att hitta matrisinversen Här skall du kunna begreppet elementär matris och satserna 1.5.2 och 1.5.3 med bevis av a b. Sats 1.5.3 är en av bokens huvudsatser. Dessutom skall du lära dig att avgöra om en matris är inverterbar och ta fram inversen. Viktiga satser att lära sig: 1.5.2, 1.5,3. Lämpliga uppgifter: 128, 132, 136, 138, 141, 149, 152 1.6 Ekvationssystem och inverterbarhet Sats 1.6.1 diskuterades i kapitel 1.1. Här formuleras och bevisas resultatet. Beviset ingår bland de saker ni skall kunna innan avklarad kurs. Därefter behandlas ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta. Studera satserna 1.6.1 och 1.6.2 och exempel och sammanfattningen i Sats 1.6.4. Lämpliga uppgifter: 165, 166, 167, 170i-ii, 174, 177 1.7 Diagonalmatriser och symmetriska matriser diagonalmatris triangulär matris symmetrisk matris Lämpliga uppgifter: 187, 193, 199, 203
2 Determinanter 2.1 Utveckling i underdeterminanter Underdeterminanten M ij the minor of entry a ij Kofaktorn C ij = ( 1) i+j M ij the cofactor of entry a ij Du ska kunna tillämpa sats 2.1.1 och 2.1.2 vid determinantberäkning. Lämpliga uppgifter: 3, 9, 10, 15ab, 20, 21, 23, 27 2.2 Beräkning av determinanter genom radreduktion För att kunna beräkna determinanter för du lära dig följande 1. det(a) = 0 om A har en rad, eller en kolonn, som enbart består av nollor. 2. Räknereglerna för determinanter i sats 2.2.2-2.2.5 Lämpliga uppgifter: 37, 41, 47, 49, 2.3 Cramers regel adjungerad matris Här bör du kunna lydelsen av sats 2.3.3 och 2.3.4. Läs också igenom exempel 4. Sats 2.3.5 ingår med bevis. Läs exempel 6. Ekvationssystem kan lösas med Cramers regel, du bör kunna använda Cramers regel, Sats 2.3.7. Här studerar vi inte beviset! Vi observerar att det(a), determinanten för ekvationssystemets koefficientmatris, finns i nämnaren till alla x n : Här ser vi alltså att det(a) 0 ekvationssystemet Ax = b har entydig lösning (jfr Sats 2.3.6). En god sammanfattning finns i Sats 2.3.8. Lämpliga uppgifter: 71, 74, 76, 84, 99
3 Euklidiska vektorrum Detta kapitel innehåller vektorer, koordinater, vektorräkning, längd- och normbegrepp, skalär- och vektorprodukt, räta linjer och plan, m.m. Här utvidgas också begreppen från R 2 och R 3 till den n-dimensionella Euklidiska rymden. Kapitlet innehåller en hel del stoff att ge tentamensproblem på! 3.1 Introduktion till vektorer Läs igenom hela detta avsnitt! Vektorer har du tidigare träffat på i fysikstudierna och som koordinater i planet. Studera alla 14 figurerna i 3.1 och rita själv! Lär dig formlerna i satserna 3.1.1 och 3.1.2 medan du räknar övningsuppgifterna. Lämpliga uppgifter: 1, 2, 5, 7, 9, 15, 19, 30 3.2 Norm, skalärprodukt och avstånd Normen för en vektor i R n skalärprodukt (euklidisk inre produkt) dot product vinkeln mellan två vektorer Sats 3.2.1 är viktig för vektorer och skalärer. Normen för en vektor och avståndsformeln i R n är viktiga. Definitionen av skalärprodukt (Euklidisk inre produkt) är mycket viktig. Räknereglerna för skalärprodukt står i Sats 3.2.2 och 3.2.3. Studera exempel 6. Lär dig Sats 3.2.4, den berömda Cauchy-Schwarz olikhet, i R n med bevis för n = 2 och 3. Lämpliga uppgifter: 35, 37, 39, 41, 43, 45, 48, 51, 52, 58, 63 3.3 Ortogonalitet Ortogonala (vinkelräta) vektorer punk-normalform Du skall kunna härleda punkt-normalformen för en linje och ett plan, Sats 3.3.1. Här lär man sig alltså att skriva ekvationer för räta linjer i R 2 och plan i R 3 på punktnormalform samt att räkna ut det minsta (vinkelräta) avståndet mellan en punkt och en linje R2 och en punkt och ett plan i R3. Projektionssatsen 3.3.2 och Pythagoras sats i R n, Sats 3.3.2 är viktiga. Lämpliga uppgifter: 65ab, 67, 71, 73, 75, 77, 81, 83, 89, 97 3.4 Linjära system Linjens ekvation ppå parameterform, Sats 3.4.1, skall man både kunna, och kunna härleda! Räta linjen definieras på s. 147 och linjesegment på s. 150. Lämpliga uppgifter: 111, 113, 119, 127, 135
3.5 Vektorprodukt vektorprodukt (kryssprodukt) cross product u v för u och v i R n beräknas enklast med determinantformlen från sidan 156. Enhetsvektorerna e 1 = i = (1, 0, 0), e 2 = j = (0, 1, 0), e 3 = k = (0, 0, 1), Studera figur 3.5.3 noga, den visar vad vektorn u v får för riktning. Arean av parallellogrammen i figur 3.5.4 är u v. Satserna 3.5.4 och 3.5.5 skall du kunna lydelsen av. Lämpliga uppgifter: 139, 141, 145, 151, 153, 154, 156, 158
4 Allmänna vektorrum 4.1 Reella vektorrum Vektorrum (rum space) Sats 4.1.1 ingår med bevis. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 7, 9, 11 4.2 Underrum underrum subspace linjärkombination linjärt hölje av vektorer linear span Lär dig definitionerna och läs exemplen. Sats 4.2.3(a) ingår med bevis. På sid. 180 finns definitionen av linjärkombination. Läs exemplen! Vektorrum som spänns upp av {v 1, v 2..., v r }, W = span{v 1, v 2..., v r } kallas på svenska det linjära höljet av {v 1, v 2..., v r }. En geometrisk illustration finns i exempel 12. Lämpliga uppgifter: 24, 26, 30, 32ab, 34, 37, 38abc, 4.3 Linjärt oberoende linjärt oberoende linjärt beroende Läs definitionen och exempel 1 5. Den geometriska tolkningen finns på sid. 191. Satserna 4.3.1, 4.3.2 och 4.3.3 ingår. Lämpliga uppgifter: 45, 47, 49, 51, 59 4.4 Koordinater och baser bas till ett vektorrum koordinater med avseende på en bas Nu kan vi ge en exakt definition av begreppet dimension. Läs igenom inledningen, där man visar upp olika koordinatsystem i plan och rymd, rätvinkliga och sneda. Lär dig sats 4.4.1 (med bevis). Lämpliga uppgifter: 66ab, 68, 72ab, 74, 78, 80
4.5 Dimension dimension Läs Sats 4.5.1 och den därpå följande definitionen av dimension. Sats 4.5.2 används för att bevisa 4.5.1. Lämpliga uppgifter: 84, 86, 90, 93, 99 4.6 Basbyte överföringsmatris (basbytesmatris) transition matrix Basbytesproblemet i R 2 löses på s. 209-210. Lär dig metoden! Matrisen I BB = P B B kallas överföringsmatrisen från den nya basen till den gamla, dvs från B till B. Läs exemplen och satserna 4.6.1 och 4.6.2. Lämpliga uppgifter: 104, 106, 108ab, 109, 110, 111 4.7 Radrum, kolonnrum och nollrum radrum row space kolonnrum- column space nollrum null space Lär dig satserna 4.7.1-4.7.5. och 5.5.4. Sats 4.7.1 med bevis. Lämpliga uppgifter: 131abe, 133, 135, 136, 137ad, 138ab 4.8 Rang och nollrummets dimension nollrummets dimension nullity värderummets dimension, rang rank ortogonalt komplement Dimensionssatsen för matriser, sats 4.8.2 med bevis liksom sats 4.8.8. 4.8.10 utgör en bra sammanfattning. Lämpliga uppgifter: 147, 148abe, 149 abe, 151, 153, 155, 159 Sats
4.9 matrisavbildningar från R n till R m En funktion y = f(x) är en regel som till varje element x i en mängd X tilldelar exakt ett värde y i en annan mängd W X kallas fs definitionsmängd the domain of f W kalls målmängden eller kodomänen till f the codomaín of f Värdemängden f(x) är alla y i W så att det finns något x med y = f(x) the range f(x) of f En transformation är en funktion där både defintionsmängden och målmängden är vektorrum. Läs om hur man ställer upp en matris till en avbildning, s. 235-246. (Tips: Läs exemplen!) Lämpliga uppgifter: 165, 167, 169, 173, 179, 181, 183 4.10 Egenskaper hos matrisavbildningar 1-1 avbildning (bijektion) one-to-one transformation Sammansättning av linjära avbildningar motsvaras av matrismultiplikation. Sats 4.10.1 säger att en matris A har invers är ekvivalent med att T A (x) = Ax är en 1-1-avbildning. Satsen är viktig! Satserna 4.10.2 och 4.10.3 ingår.. En bra sammanfattning av vad du har lärt dig så här långt i kursen finns i Sats 4.10.4. Lämpliga uppgifter: 200, 202. 204. 207, 210, 211
5 Egenvärden och egenvektorer 5.1 Egenvärden och egenvektorer karakteristisk ekvation, egenvärde eigenvalue egenvektor eigenvector Satserna 5.1.1, 5.1.2 och 5.1.3 ingår. Observera sats 5.1.4 och inte minst sats 5.1.5. Ekvivalenssatsen får några rader till i formuleringen i sats 5.1.6. Lämpliga uppgifter: 3abd, 4abd, 5abd, 6, 8, 15 5.2 Diagonalisering Du skall kunna redogöra för Egenvektorsproblemet och Diagonaliseringsproblemet. Satserna 5.2.1, 5.2.2 och 5.2.3 ingår med bevis. Beviset av sats 5.2.1. ger en metod för att diagonalisera matriser. Lämpliga uppgifter: 30, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48, 49, 52
6 Inre produktrum 6.1 Inre produkt inre produkt norm eller längd av en vektor norm of a vector Studera exempel 1 och 2. Lämpliga uppgifter: 1, 5, 9, 28 6.2 Vinklar och ortogonalitet vinkel mellan två vektorer i ett inre produktrum Lär dig Cauchy-Schwarz olikhet, Sats 6.2.1 och innehållet i de grå rutorna. Dessa samband leder fram till ett vinkelbegrepp mellan vektorer, t.ex. ortogonalitet, som fungerar i ett inre produktrum. Se grå rutan s 343 och definition 1 och exempel 4 s. 344. Sats 6.2.1 ingår med bevis och satserna 6.2.4 och 6.2.5 utan bevis. Lämpliga uppgifter: 33bd, 35b, 41, 43, 45, 47 6.3 Ortogonala baser, Gram-Schmidts metod ortogonal bas ortonormal bas Läs exempel 1 och 2. Sats 6.3.2 (b) ingår med bevis. Läs igenom exempel 3 och Sats 6.3.3. I beviset av Sats 6.3.5 ges en metod för att konstruera en ortogonal (ortonormal) bas. Metoden finns beskriven på sid. 354. du skall kunna genomföra Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. Läs också exempel 7 och exempel 8 innan du gör övningarna. Lämpliga uppgifter: 65ab, 67, 69, 71ab, 73a, 77a, 79a, 84, 86, 96 6.4 Minsta kvadrat-metoden Läs om minsta-kvadrat-problemet. Sats 6.4.1 med bevis och sats 6.4.2 ingår. Läs exempel 1 och 2. Lämpliga uppgifter: 98. 100, 102, 104b, 113
7 Diagonalisering och kvadratiska former 7.1 Ortogonala matriser ortogonal matris ortogonal operator Läs igenom exemplen och satserna. Sats 7.1.1 ingår med bevis. Lydelsen av satserna 7.1.2 och 7.1.3 ingår. Lämpliga uppgifter: 1 3bcd, 7bcd, 11, 13 7.2 Ortogonal diagonalisering Läs om frågeställningarna på s 396 och svaret i Sats 7.2.1. Satserna 7.2.1 och 7.2.2 ingår med de bevis som finns i boken. Metoden för att hitta en ortogonal diagonalisering av en matris finns på s. 398. Lämpliga uppgifter: 22abcd, 24, 26, 28. 30 7.3 Kvadratiska former Läs om kvadratiska former och problemställningarna på s.403-404. Svar finns i principalaxelsatsen 7.3.1. Läs exemplen. Målet är att kunna avgöra om ett kägelsnitt är en ellips, parabel eller hyperbel och motsvarande för ytor i tre dimensioner. Lämpliga uppgifter: 41, 43, 45, 47, 51, 53, 54