Tentamen me lösningsiskussion TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmeel: TeFyMa, Beta, Physics Hanbook, Reglerteknik (Gla och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori samt miniräknare. Ansvarig lärare: Erik Frisk Totalt 40 poäng. Preliminära betygsgränser: Betyg 3: 18 poäng Betyg 4: 25 poäng Betyg 5: 30 poäng
Uppgift 1. Antag en moell som beskrivs av en linjär regression y t = ϕ t θ + ɛ t, t = 1,..., N är y t och ϕ t är käna/uppmätta variabler, ɛ t vitt brus, och θ R 3 moellerar tre olika fel. I felfritt fall så är θ = θ 0. Det kan antas att felen varierar långsamt och kan antas konstanta i begränsae tisintervall. a) Skapa två test som etekterar föränringar i θ. Det ena basera på en parameterskattning och en anra via preiktionsfelen. b) Diskutera egenskaper, förelar, nackelar, me e två olika testen från a-uppgiften. c) Skapa ett test som isolerar fel 2 och 3 från fel 1, vs., föränringar i θ 2 och θ 3 från θ 1 i θ = (θ 1, θ 2, θ 3 ). Lösning. a) Låt å kan teststorheter skapas som Y = T param (y, u) = arg min θ T pem (y, u) = y 1. y N, Φ = ϕ 1. ϕ N N (y t ϕ t θ) 2 θ 0 2 = (Φ T Φ) 1 Φ T Y θ 0 2 t=1 N (y t ϕ t θ 0 ) 2 = Y Φθ 0 2 t=1 b) En förel me preiktionsfelsansatsen är att ingen hänsyn behöver tas till gra av excitation, något som rabbar parameterskattningsansatsen. etta kan ock åtgäras via normalisering. En förel me parameterskattningsansatsen är att en har högre styrka än preiktionsfelsansatsen. c) Låt Φ i beteckna kolumn i i matrisen Φ och θj 0 et nominella väret för parametern θ j. Då kan ett test exempelvis skapas som N θ 1 ˆθ 1 T pem,2 (y, u) = min (y t ϕ t ) 2 = Y Φ 2 θ 1 t=1 θ 0 2 θ 0 3 θ 0 2 θ 0 3 är ˆθ 1 = (Φ T 1 Φ 1 ) 1 Φ T 1 (Y ( ) ( ) θ2 Φ 2 Φ 0 3 θ3 0 ) Uppgift 2. a) För ett tiskontinuerligt linjärt system, me 2 moellerae fel, på formen H(p)x + L(p)z + F 1 (p)f 1 + F 2 (p)f 2 = 0, ange hur man avgör om felen är etekterbara, starkt etekterbara, samt isolerbara från varanra. 1
b) Antag ett linjärt system som beskrivs av en observerbara kanoniska formen ( ) ( ) (α 1) 1 1 ẋ = x + u α 0 α y = ( 1 0 ) x Låt α = 1 och konstruera två linjära resiualgenerator för moellen, en via en konsistensrelation och en via en observatör. För lösningen basera på en konsistensrelation är et tillåtet att anta att erivator av mätsignalen finns tillgängliga. c) Finns et en resiualgenerator me bara 1 tillstån för systemet från b-uppgiften? Blir et någon skillna om α = 1? Lösning. a) Detekterbara om rank ( H(s) F i (s) ) > rank H(s) Starkt etekterbara om N H (s)f i (s) s=0 0 och f 1 isolerbart från f 2 om rank ( H(s) F 1 (s) F 2 (s) ) > rank ( H(s) F 2 (s) ) b) Observatörslösning: ( ) ( ) (α 1) 1 1 ˆx = ˆx + u + K(y ( 1 α 0 α r = y ( 1 0 ) ˆx 0 ) ˆx) Eftersom systemet var skrivet på observerbar kanonisk form så är moellen observerbar och polerna hos resiualgeneratorn kan placeras gotyckligt me hjälp av observatörsförstärkningen K. Konsistensrelation: y = x 1 ẏ = ẋ 1 = (α 1)x 1 + x 2 + u = (α 1)y + x 2 + u ÿ = (α 1)ẏ + ẋ 2 + u = (α 1)ẏ + αx 1 αu + u = (α 1)ẏ + αy αu + u vilket ger r = ÿ (α 1)ẏ αy + αu u c) B-uppgiften ger att moellen beskriver ifferentialekvationen (p + 1)(p α)y = (p α)u Om α < 0, vs. om polerna ligger i vänster halvplan, så kommer R(p) = 1 ( ) ( ) y p + 1 1, β > 0 p + β u att vara en första orningens resiualgenerator. Däremot, om α > 0 och vi har poler i höger halvplan kommer samma resiualgenerator få instabil intern form på resiualen eftersom instabila poler är bortförkortae vi härlening av uttrycket. 2
Uppgift 3. Antag en beslutsstruktur enligt tabellen f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 r 1 X X X r 2 X X X r 3 X X r 4 X X r 5 X X a) Antag att alla resiualer känsliga för fel f 3 reagerat. Skriv ne alla genererae konflikter me logiknotation samt ange vilka som är minimala. Ta också fram alla minimala iagnoser och hur många iagnoser et finns totalt. Ange vilka, om några, antaganen som gjorts i lösningen. (3 poäng) b) Diskutera effekterna av falsklarm respektive missae etektion på resultatet av felisoleringen. c) Beräkna ieal isolerbarhetsprestana för iagnossystemet ovan. Antag att trösklarna är satta så att man inte kan anta att systemet allti etekterar alla felstorlekar. Lösning. a) De genererae konflikterna är OK(C 2 ) OK(C 3 ) OK(C 5 ) OK(C 1 ) OK(C 3 ) OK(C 4 ) OK(C 1 ) OK(C 3 ) OK(C 3 ) OK(C 5 ) (minimal) (minimal) De minimala iagnoserna blir å D 1 = OK(C 1 ) OK(C 2 ) OK(C 3 ) OK(C 4 ) OK(C 5 ) D 2 = OK(C 1 ) OK(C 2 ) OK(C 3 ) OK(C 4 ) OK(C 5 ) Om man antar minimala iagnoshypotesen, vs. att alla supermänger av iagnoser också är iagnoser så får vi D = 2 4 + 2 2 = 20 Det finns 2 4 supermänger till D 1 och et finns 2 2 supermänger till D 2 som inte rean är supermänger till D 1 b) Missa etektion ger ett resultat som inte är så precist som annars, men en rätta iagnosen är fortfarane me i resultatet. Falsklarm äremot introucerar falska iagnoser. Vilken situation som är värst är applikationsspecifikt men ofta är et värre att ha falska resultat och man bör ärför akta sig för falsklarm. c) Isolerbarhetsmatrisen blir f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 X X f 2 X f 3 X f 4 X f 5 X X är ett X på position (i, j) inikerar att fel j ej kan isoleras från fel i. 3
Uppgift 4. I figur (a) nean är täthetsfunktionen för en resiual plotta för els et felfria fallet (helragen) och els å vi har ett fel av storlek f = f 0 (strecka). Tröskel för resiualen ges av et loräta strecket. I figur (b) har styrkefunktionen β(f) plottats och e streckae linjerna inikerar styrkefunktionens väre för felstorleken f = f 0. Threshol p NF 1 p F0 0.9 0.25 0.8 0.2 0.7 0.6 0.15 β(f) 0.5 0.1 0.4 0.3 0.05 0.2 0.1 f 0 0 5 0 5 10 r (a) 0 0 1 2 3 4 5 6 Fault size f (b) Figur 1: Täthets och styrkefunktion. a) Ange efinitionen på styrkefunktionen och beskriv va en kan använas till. Diskutera vilka problem som finns me att ta fram styrkefunktioner i realistiska fall. Ange möjlig väg att hantera essa problem. b) Skissa i (a)-figuren vilken area som motsvaras av styrkefunktionens väre i f = f 0 och ange även falsklarmssannolikheten. c) CUSUM-algoritmen kan skrivas som Lösning. T k = max(0, T k 1 + s k ), T 0 = 0 är T k är signalen som använs för etektion och s k är en så kalla score function. Ange vilken egenskap s k måste ha samt hur s k kan skapas utifrån en resiual r. a) Styrkefunktionen efinieras som β(f) = P (alarm f) = P (T (z) > J f) och kan använas till att utvärera prestana hos ett test. Ett problem i realistiska fall är att et inte går att analytiskt räkna ut sannolikheten och ett möjligt sätt är att förlita sig på mätata och göra en frekvensanalys eller, om man har moeller som är realistiska, göra Monte-Carlo simuleringar. b) Falsklarmssannolikheten är β(0) = 0.1 och arean illustreras i figuren 4
Threshol p NF p F0 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 5 0 5 10 c) För att et ska vara en score-function ska en ha egenskapen E(s t ) < 0 å systemet är felfritt och E(s t ) > 0 å vi har fel. Ett sätt att skapa en score-function från en resiual är är ν är en lämpligt val riftsfaktor. s t = r t ν Uppgift 5. Figur (a) nean visar en systemskiss me ett luftkylt batteri är man mäter uttagen ström, spänning hos batteriet samt temperatur. Ett vanligt sätt att moellera batterier är via en kretsekvivalent. En enkel batterimoell visas i figur (b) är resistanserna R och samt kapacitansen C 0 moellerar batteriets inre impeans. r Current sensor I R + current Fan Battery Voltage sensor Temp. sensor V 0 + - C 0 V Fan Controller - (a) (b) Figur 2: Systemskiss och kretsmoell över batteriet. En enkel moell över batteriets temperatur T samt laningsgra SOC (State of charge) kan skrivas som t V c = 1 (I V c ) C 0 t T = 1 (RI 2 k fan (u)(t T amb )) m c t SOC = 1 I b cap är V c är spänningen över konensatorn C 0 och I strömmen som tas ut ur batteriet. Insignal u är styrsignalen till fläkten som påverkar värmeleningskoefficienten via en käna funktionen k fan (u). Övriga parametrar i moellen är batteriets värmekapacitet m c [kjk 1 ], öppen batterispänning V 0 [V], omgivningstemperatur T amb [K] samt batteriets nominella kapacitet b cap [Ah]. Dessa parametrar kan antas käna. Utspänningen hos batteriet ges av V = V 0 RI V c 5
och mätekvationerna av y 1 = V y 2 = T y 3 = I a) Moellera, och inför i moellen, följane fel (1 poäng) 1. Fel i sensorerna (f 1, f 2, f 3 ) 2. Fel i fläkten (f fan ) 3. Föränringar i batteriets kapacitet (f cap ) b) Konstruera ett antal resiualgeneratorer som, tillsammans, kan etektera alla etekterbara fel. c) Konstruera resiualgenerator som isolerar fel i spänningsmätningen (y 1 ) från fel i strömmätningen (y 3 ). ) Avgör vilka fel som är etekterbara och isolerbara från varanra. Enast enkelfel behöver beaktas. Sammanfatta resultaten me en isolerbarhetsmatris. e) I en realistisk situation är parametrarna R,, C 0, samt V 0 starkt beroene på batteritemperaturen T och laningsgra SOC. Diskutera hur iagnosproblemet och isolerbarhetsegenskaperna påverkas av essa beroenen. (3 poäng) Lösning. Not: Den här lösningen innehåller resonemang som går utanför va som skulle krävas för full poäng på tentamen. a) Ett exempel på hela moellen, me införa felmoeller, är: t V c = 1 (I V c ) C 0 t T = 1 (RI 2 k fan (u + f fan )(T T amb )) m c t SOC = 1 I b cap + f cap f cap = 0 V = V 0 RI V c y 1 = V + f 1 y 2 = T + f 2 y 3 = I + f 3 b) Det är klart att f cap inte är etekterbart eftersom SOC ej påverkar någon annan variabel och vi mäter ej heller SOC irekt. Felen f 2, f 3, och f fan kan etekteras via konsistensrelationen som kan härleas genom att sätta in mätsignalerna i ekvationen för temperaturynamiken Införane av resiualynamik ger ẏ 2 1 m c (Ry 2 3 k fan (u)(y 2 T amb )) = 0 ṙ 1 + βr 1 = ẏ 2 1 m c (Ry 2 3 k fan (u)(y 2 T amb )), β > 0 6
vilket kan skrivas på tillstånsform, me tillstånet w = r 1 y 2, som ẇ = β(w + y 2 ) 1 m c (Ry 2 3 k fan (u)(y 2 T amb )) r 1 = w + y 2 för att etektera f 1, erivera ekvationen för utspänningen och substituera in mätekvationerna för att härlea konsistensrelationen V = R I V c = R I 1 C 0 (I V c ) = R I 1 C 0 (I V 0 RI V ) = vilket ger konsistensrelationen Igen, introucera resiualgeneratorynamik ẏ 1 + Rẏ 3 + 1 C 0 (y 3 V 0 Ry 3 y 1 ) = 0 = Rẏ 3 1 C 0 (y 3 V 0 Ry 3 y 1 ) ṙ 2 + βr 2 = ẏ 1 + Rẏ 3 + 1 C 0 (y 3 V 0 Ry 3 y 1 ), β > 0 och realisera på tillstånsform me tillstån w = r 2 y 1 Ry 3 som ẇ = β(w + y 1 + Ry 3 ) + 1 C 0 (y 3 V 0 Ry 3 y 1 ) r 2 = w + y 1 + Ry 3 c) Vi vill skapa en resiual känslig för fel i spänningsmätningen och okänslig för fel i strömmätningen, vs., vi får inte använa sensorsignal y 3. Ett sätt att göra et på är en observatörslösning är man först löser ut en okäna strömmen I ur ekvationen för utspänningen och substituerar in y 1 I = 1 R (V 0 V c V ) = 1 R (V 0 V c y 1 ) Substituera sean in uttrycket i ekvationerna som beskriver V c och T t V c = 1 ( 1 C 0 R (V 0 V c y 1 ) V c ) t T = 1 ( 1 m c R (V 0 V c y 1 ) 2 k fan (u)(t T amb )) y 2 = T Vi har nu en tillstånsform är vi kan konstruera en observatör, exempelvis via ett Extene Kalman Filter, och skapa en resiual t ˆV c = 1 ( 1 C 0 R (V 0 ˆV c y 1 ) ˆV c ) + K 1 (y 2 R ˆT ) 0 t ˆT = 1 ( 1 m c R (V 0 ˆV c y 1 ) 2 k fan (u)( ˆT T amb )) + K 2 (y 2 ˆT ) r 3 = y 2 ˆT ) Utelämnar et icke etekterbara felet f cap, me e tre resiualerna från b och c-uppgifterna har vi följane ieala felsignaturer 7
f 1 f 2 f 3 f fan r 1 X X X r 2 X X r 3 X X X vilket ger isolerbarhetsmatris (notera orningen på felen) f 1 f 3 f 2 f fan f 1 X f 3 X f 2 X X f fan X X Det går alltså inte att isolera f 2 från f fan eller tvärtom. Detta är naturligt eftersom båe T och u enast påverkar samma ekvation, temperaturynamiken, så försöker vi avkoppla et ena kommer vi automatiskt att avkoppla et anra felet. f) Här har vi beroene av temperatur T och laningsgra SOC i parametrarna R(T, SOC), (T, SOC), C 0 (T, SOC), och V 0 (T, SOC). Om man tar me beroenet på exempelvis SOC i V 0 så innebär et att man får information om SOC i mätningen av V och ärme kommer också föränringar i batterikapaciteten f cap att bli etekterbar. I princip kan samma teknik som använes för att härlea r 1 och r 2 använas, ock kommer et krävas att vi els kan erivera R(T, SOC). För att vi ska få etekterbarhet så krävs et också att erivatan är nollskil. Observatörslösningen i r 3 har inte samma problem och är lättare att generalisera till et mer olinjära fallet. Dock måste vi skatta SOC me observatören eftersom vi inte irekt kan mäta SOC. För bakgrunsinformation, såhär kan V 0 -karaktäristiken se ut för Litium-jon cell: Uppgift 6. Antag att vi har tre sensorer som mäter samma storhet x enligt y 1 = x + ɛ 1 y 2 = x + ɛ 2 y 3 = x + ɛ 3 är ɛ i, i = 1, 2, 3 är oberoene brus me vänteväre 0 och varians σi 2. Antag vi vill etektera fel i sensor 3. Beräkna en linjär resiualgenerator, vs. bestäm ravektorn L i uttrycket r = Ly = ( ) l 1 l 2 l 3 y 1 y 2 y 3, 8
så att r har optimalt fel till brusförhållane. Fel till brusförhållane, FNR, efinieras som kvoten mellan kvaraten på vänteväret för resiualen vi ett fel och variansen hos resiualen i felfritt fall, FNR = (E f (r)) 2 E NF (r 2 ). Ge en tolkning av en optimala lösningen. (5 poäng) Lösning. Not: Den här lösningen innehåller resonemang som går utanför va som skulle krävas för full poäng på tentamen. Först kan man konstatera att för att r ska vara en resiual så måste E(r) = 0 i et felfria fallet vilket innebär att E(r) = (l 1 + l 2 + l 3 )x = 0 och alltså måste Nu kan vi skriva nämnaren i FNR l 1 + l 2 + l 3 = 0 (1) E NF (r 2 ) = E NF ((l 1 y 1 + l 2 y 2 + l 3 y 3 ) 2 ) = l 2 1σ 2 1 + l 2 2σ 2 2 + l 2 3σ 2 3 är vi i sista likheten utnyttjat att ɛ i är oberoene samt (1). Täljaren blir Vi vill alltså lösa optimeringsproblemet E f (r)) 2 = l 2 3f 2 l max 3f 2 2 l 1,l 2,l 3 l1 2σ2 1 + l2 2 σ2 2 + l2 3 σ2 3 s.t. l 1 + l 2 + l 3 = 0 Det här problemet i 3 variabler me bivillkor kan enkelt transformeras till ett envariabelproblem. Notera att l 3 måste vara skil från 0, annars kan vi inte etektera felet överhuvutaget. Vi kan ärför sätta l 3 = 1 eftersom vi allti kan skala en lösning hur vi vill utan att änra FNR. Via (1) blir essutom l 2 = 1 l 1 som kan substitueras in. Optimeringsproblemet blir å ekvivalent me min l 1 l 2 1σ 2 1 + ( 1 l 1 ) 2 σ 2 2 Den optimala lösningen kan nu irekt räknas fram till vilket ger en optimala resiualen 1/σ1 2 1/σ2 2 l 1 = 1/σ1 2 +, l 2 = 1/σ2 2 1/σ1 2 +, l 3 = 1 1/σ2 2 1 r = y 3 1/σ1 2 + (1/σ1y 2 1 + 1/σ2y 2 2 ) 1/σ2 2 Den optimala resiualen är alltså y 3 minus ett viktat meelväre av y 1 och y 2 är vikterna är 1/variansen på motsvarane sensor. Tittar man termen l 1 y 1 + l 2 y 2 specifikt så ser man att E NF (l 1 y 1 + l 2 y 2 ) = x var(l 1 y 1 + l 2 y 2 ) = l 2 1σ 2 1 + ( 1 l 1 ) 2 σ 2 2 9
vs. en termen svarar mot en minimum-variansskattning ˆx mv (y 1, y 2 ) av variabeln x från mätsignalerna y 1 och y 2, vilket innebär att resiualen är r = y 3 ˆx mv (y 1, y 2 ) Vi kan också observera att en optimala lösningen är helt oberoene på variansen på bruset i sensor 3 vilket är fullt naturligt, felet och bruset i sensor 3 kommer in på precis samma sätt och et är inget vi kan göra åt en saken. 10