Kapitel 2 Grundbegrepp 2.1 Introducerande exempel F r att introducera den problematik och de fr gest llningar som r aktuella inom reglertekniken skall vi i det f ljande betrakta ett par enkla exempel p reglerproblem. Exempel 2.1 Farth llare. Betrakta automatisk farth llning i en bil, vars avsikt r att h lla konstant hastighet. P grund av st ndigt varierande f rh llanden, s som upp och nerf rsbackar, varierande vindstyrka, v gunderlag m.m. b r gaspedalens l ge kontinuerligt justeras f r att en konstant hastighet skall kunna uppr tth llas. F r att unders ka hur detta kan stadkommas b r vi unders ka hur bilens hastighet y beror av de olika ovan beskrivna faktorerna samt hur vi med hj lp av gaspedalens l ge kan p verka hastigheten. F r detta beh ver vi en matematisk modell som beskriver sambandet mellan de ing ende storheterna. En s dan modell kan, tminstone approximativt, best mmas med hj lp av enkel mekanik. Situationen kan illustreras enligt çgur 2.1. Enligt Newtons tr ghetslag g ller am = F è2.1è d r a = dy= r accelerationen, m r bilens massa och F r den totala kraften som p verkar bilen i f rdriktningen. Bilen p verkas av f ljande krafter: æ Motorns framdrivande kraft F d. Vi antar f r enkelhets skull att denna kraft r direkt proportionell mot gaspedalens l gesvinkel u, F d ètè =kuètè è2.2è Vi antar s ledes att motorn reagerar gonblickligen p gaspedalens l ge èvilket givetvis r en approximationè. æ Gravitationskraftens komponent F g iv gen plan èjfr çgur 2.1è, F g ètè =,mg sinè'ètèè è2.3è d r 'ètè r v gens lutning è' =0motsvarar plan v gè. 3

æ Luftmotst nd èf luft è. Denna kraft kar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den r direkt proportionell mot skillnaden mellan hastigheten y och vindhastigheten v vind i bilens f rdriktning, F luft ètè =,bëyètè,v vind ètèë è2.4è d r b r en luftmotst ndskoeçcient. æ Friktionsmotst nd fr n d ck, F f ètè. Vi antar att denna kraft, som r riktad mot bilens f rdrikting och d rf r negativ, beror endast av v gunderlaget. Eftersom a = dy= ger ekvation è2.1è med F = F luft + F d + F g + F f, eller m dyètè =,bëyètè, v vind ètèë + kuètè +F g ètè+f f ètè è2.5è m dyètè + byètè =kuètè +dètè è2.6è d r dètè =bv vind ètè +F g ètè+f f ètè. I modellen è2.6è anger y den variabel som skall regleras èhastigheten, som skall h llas konstantè, u anger den variabel som manipuleras f r att p verka systemets beteende ègaspedalens l geè, och dètè anger en yttre st rning som p verkar den reglerade variabeln, och som i detta exempel best r av vindens inverkan, gravitationskraften och friktionsmotst ndet. Vi skall terkomma till problemet hur automatisk farth llning kan stadkommas, men f re det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. Figur 2.1: Schematisk illustration av farth llningsproblemet. Modellen è2.6è k nns igen som en diçerentialekvation, n rmare best mt en linj r diçerentialekvation av f rsta ordningen. De system som r aktuella inom reglertekniken beskrivs vanligen just av diçerentialekvationer. F r att illustrera saken betraktar vi f ljande exempel. 4

Exempel 2.2 Temperaturreglering. Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt çgur 2.2. Temperaturen T i ett rum skall h llas konstant trots variationer i yttertemperaturen T y. V rmef rlusterna genom v ggarna r direkt proportionella mot temperaturskillnaden T, T y, dvs eçektf rlusterna ges av Eçekt ut = kèt, T y è è2.7è Temperaturen kan regleras med hj lp av eçekten P i ett v rmeelement. Vi antar f r enkelhets skull att luftens omblandning r god, s att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. Om P r mindre n v rmef rlusten genom v ggarna kommer T att minska, och om P r st rre n v rmef rlusten genom v ggarna kommer T att ka. Enligt en enkel energibalans f r rummet r 2 3 ndring av 4 upplagrad energi5 =ëeçekt inë, ëeçekt utë è2.8è per tidsenhet Den totala m ngden luft i rummet r çv, d r ç r luftens densitet och V r rummets volym. ndringen av upplagrad energi per tidsenhet r s ledes cçv dt, d r c r luftens speciçka v rmekapacitet. Vi f r allts cçv dt = P, kèt, T yè è2.9è eller cçv dt + kt = P + kt y è2.10è Modellen è2.10è kan j mf ras med modellen è2.6è i farth llningsproblemet. I modellen è2.10è anger T den variabel som skall regleras ètemperaturenè, P anger den variabel som manipuleras f r att p verka systemets beteende èeçekten till v rmeelementetè, och T y r en yttre st rning som p verkar den reglerade variabeln. Vi har sett att s v l bilen i exempel 2.1 som temperaturen i exempel 2.2 kan beskrivas med hj lp av en diçerentialekvation. Detta r typiskt f r s.k. dynamiska system. I de enkla exemplen ovan çck vi diçerentialekvationer av f rsta ordningen. I allm nhet brukar systemen emellertid vara mera komplicerade, och man f r diçerentialekvationer av h gre ordning. Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, s kan reglerproblemen i de b da fallen l sas genom att studera det generella problemet att reglera system som beskrivs av diçerentialekvationer. Vi beh ver allts inte studera farth llningsreglering, temperaturreglering, osv separat, utan det r cker med att helt generellt studera regleringen av system som beskrivs av en viss typs diçerentialekvationer. D remot r givetvis den praktiska implementeringen ès som m tapparatur m.m.è problemspeciçk. Ur det ovan sagda f ljer att reglerteknik r en generisk metodvetenskap som inte r bunden till n gon speciell del av tekniken. P engelska talar man om 'enabling technology', f r att betona att det r fr gan om en metodik som g r det m jligt att realisera nskade beteenden och funktioner hos tekniska system. I detta avseende har reglertekniken likheter med ingenj rsmatematiken och datatekniken. Reglertekniska problem r viktiga inom alla delar av tekniken och reglerteknik r d rf r ett mne som studeras inom çera ingenj rsomr den, s som: 5

Figur 2.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. æ Elektroteknik. Reglering av elmotorer, reglering av sp nningsaggregat, UPS m.m. æ Robotik. Reglering av robotar r relse, automatisk navigation m.m. æ Mekanik. Varvtalsreglering av motorer, aktivfj dring, ABS bromsar m.m. æ Processteknik H ga kvalitetskrav p framst llda produkter, begr nsningen av t.ex. r materialanv ndning, energif rbrukning och utsl pp till ett minimum skulle inte kunna uppn s utan l ngt g ende reglering och automation av processerna. Reglertekniken utg r ett av de viktigaste verktygen f r att uppn kvalitets och produktivitetkraven inom processindustrin. æ Datateknik. Reglering f rverkligas i praktiken med hj lp av datorer. Regler och styrprogrammen r realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation h r till de viktigaste till mpningsomr dena av datateknik. Reglerproblem r, s som vi skall se, ocks av intresse utanf r tekniken, t.ex. inom ekonomin eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i till mpad matematik. 6

2.2 Signaler och system Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, s som yètè, uètè osv, som r funktioner av tiden. S dana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de inneh ller information av olika slag. Signalen yètè i exempel 2.1 ger t.ex. information om bilens hastighet som funktion av tiden. F rutom signaler har vi system, som k nnetecknas av den verkan de har p signaler. Bilen i exempel 2.1 r ett system som beskriver hur signalen yètè beror av signalerna uètè och dètè. 2.2.1 Blockschema Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 2.3 visar ett system S med tv insignaler, uètè och dètè, samt enutsignal yètè. H r r uètè en styrsignal, som vi kan manipulera f r att p verka systemet, medan dètè r en st rning, som vi ej kan manipulera men som p verkar systemet. Signalen yètè r en utsignal fr n systemet, som vi kan m ta. d? u S y Figur 2.3: Ett system S med styrsignalen u, st rningen d och utsignalen y. Exempel 2.3 Bilen i exempel 2.1 r ett system med styrsignalen uètè ègaspedalens l geè och st rningen F g ègravitationskraftenè, samt utsignalen vètè èhastighetenè. Sj lva systemet beskrivs av sambandet mellan insignalerna och utsignalerna, dvs diçerentialekvationen è2.6è. Blockschema r bekv ma f r att sk dligg ra strukturen hos sammansatta system. Konstruktionen av blockschema kan g ras med hj lp av elementen i çgurerna 2.4ç2.6. Figur 2.4 visar tv seriekopplade system, d r utsignalen y1 fr n systemet S1 r insignal till systemet S2. Figur 2.5 visar f rgrening av en signal. Observera att signalerna h r uppfattas som funktioner eller informationsç den, och f rgreningen skapar s ledes tv identiska kopior av signalen u. Kombination av tv signaler genom addition eller subtraktion symboliseras med en cirkel enligt çgur 2.6. Mera komplexa systemkopplingar kommer att behandlas l ngre fram. 2.2.2 Statiska och dynamiska system Det r viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system k nnetecknas av att utsignalen yètè r beroende av endast insignalens v rde uètè vid samma tidpunkt, dvs yètè =fèuètèè è2.11è 7

u y1 S1 S2 y Figur 2.4: Seriekopplade system. u u u Figur 2.5: F rgrening av signal. d r f èuè r funktion. Figur 2.7 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, d det sker stegvisa f r ndring i insignalen. Utsignalen f ljer insignalen gonblickligen, utan n gon tr ghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tr ghet som g r att utsignalen yètè r beroende av tidigare v rden p insignalen u, dvs yètè =Fèuèçè;ç ç tè è2.12è Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hj lp av diçerentialekvationer, av vilka vi sett exempel p i exempel 2.1 och 2.2. Problem 2.1 Beskriv en elektrisk krets best ende av ett motst nd med resistansen R som ett system, d r sp nningen uètè ver motst ndet r insignal och str mmen iètè r utsignal. r systemet statiskt eller dynamiskt? Problem 2.2 Beskriv en elektrisk krets best ende av en spole med induktansen L i serie med ett motst nd med resistansen R som ett system, d r sp nningen uètè ver kretsen r insignal och str mmen iètè r utsignal. r systemet statiskt eller dynamiskt? Exempel 2.4 Enkelt dynamiskt system. Betrakta ett dynamiskt system y = Su è2.13è 8

u1 + + h 6 u1 + u2 u1 + u1, u2 h, 6 u2 u2 èaè èbè Figur 2.6: Summering èaè och subtraktion èbè av signaler. som beskrivs diçerentialekvationen dyètè + ayètè = buètè è2.14è Figur 2.8 visar insignalen uètè och utsignalen yètè hos systemet f r stegvisa f r ndringar i insignalen. Parameterv rdena a =1,b=1har anv nts i çguren. Vi kan i detta skede g ra n gra kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att p grund av systemets tr ghet dr jer det en stund innan utsignalen f tt sitt nya v rde efter insignalens f r ndring. Om insignalen u r konstant, dvs uètè = u0 = konstant, kommer utsignalen y att asymptotiskt n rma sig v rdet y = b a u 0 èty f r detta v rde r dy= = 0 och ingen ytterligare f r ndring hos y f sè. Storheten b kallas systemets statiska f rst rkning. Systemets dynamiska, eller transienta, beteende best ms sin sida av parametern a: ju st rre positivt v rde a a har, desto snabbare varierar yètè. Detta kan ses om man deçnierar avvikelsen èdiçerensenè y diff ètè fr n det nya station rv rdet efter stegf r ndringen u0, dvs y diff ètè = yètè, b a u 0. Eftersom dy diff ètè= = dyètè= och ay diff ètè =ayètè, bu0 ger ins ttning i è2.14è f ljande diçerentialekvation f r y diff ètè: dy diff ètè + ay diff ètè =0 è2.15è Vi ser att f r en given avvikelse y diff ètè g ller att derivatan dy diff ètè= = dyètè= r desto st rre ju st rre v rde parametern a har. Detta inneb r att systemet reagerar desto snabbare ju st rre v rde parametern har. Systemets transienta och statiska responser kan anges mera explicit i systemekvationen genom att skriva denna i formen T dyètè + yètè =Kuètè è2.16è 9

1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 0.6 0.5 0.4 0.3 y 0.2 0.1 0 0.1 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 2.7: Responsen hos ett statiskt system. d r K = b=a r den statiska f rst rkningen och T = 1=a kallas systemets tidkonstant, och r direkt proportionell mot den tid som det tar f r systemet att reagera f r en f r ndring i insignalen. Tr gheten hos dynamiska system beror vanligen p olika typers energiupplagring eller p transportf rdr jningar. I farth llningsexemplet r det bilens upplagrade r relseenergi som ger upphov till tr gheten, och i temperaturregleringexemplet r det den i luften lagrade v rmeenergin. I Problem 2.2 lagras energi i spolens elektromagnetiska f lt. Tr gheten g r att insignalen uètè till ett dynamiskt system p verkar det framtida f rloppet hos systemets utsignal yètè. F r att kunna reglera och styra dynamiska system r det d rf r viktigt att ha en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 2.3 Systemtekniska mnen Signaler och system r viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allm nt inom s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga r dessa begrepp inom signalbehandling. Medan man inom reglertekniken anv nder information i uppm tta signaler f r att kunna p verka ett system s att det beter sig p nskat s tt, r man inom signalbehandlingen intresserad av att manipulera sj lva signalerna, t.ex. f r att çltrera bort brus eller komprimering avdata som en signal inneh ller. Exempel 2.5 Eçektreglering i mobiltelefoni. Den mottagna signalstyrkorna fr n de olika mobiltelefonerna till basstationen h lls konstanta oavsett avst ndet till basstationen, jfr çgur 2.9. Detta sker genom att basstationen s nder information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ndrar eçekten p den uts nda signalen enligt behov. Detta r ett reglerproblem: m tningar fr n systemet èstyrkan hos mottagen signalè anv nds f r att manipulera systemet èden uts nda signalens eçektè. 10

1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 1.2 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 0 0.2 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 2.8: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation è2.14è f r stegformiga f r ndringar i insignalen. Exempel 2.6 Signalçltrering i mobiltelefoni. Signalen mellan basstation och mobiltelefon p verkas p grund av çerv gsutbredning, jfr çgur 2.10. Detta kan beskrivas med hj lp av ett system S som p verkar den uts nda signalen s: y = Ss è2.17è d r y r den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras fr n den mottagna signalen y genom att best mma ett çlter F, s att ^s = Fy ç s è2.18è F r att kunna best mma çltret F b r systemet S vara k nt. Detta r ett signalbehandlingsproblem: signalen fr n systemet çltreras f r att ta fram den ursprungliga signalen, men sj lva systemet manipuleras inte. 2.4 Begreppet terkoppling Vi skall nu titta n got n rmare p de principer som anv nds f r att l sa reglerproblem av den typ som diskuterats ovan. Vi betraktar farth llningsproblemet i exempel 2.1. Bilens hastighet kunde è tminstone approximativtè beskrivas med diçerentialekvatioen è2.6è, som vi h r terger i n got modiçerad form: dyètè + a1yètè = b1uètè +c1dètè è2.19è d r a1 = b=m, b1 = k=m och c1 =1=m. Anta nu att den nskade hastigheten, eller hastighetens b rv rde, r yètè =rèt.ex. r =80kmèhè. Enligt modellen è2.19è r yètè =rom vi v ljer insignalen uètè = 1 b1 ëa 1r,c1dètèë è2.20è 11

Figur 2.9: Mobiltelefonerna justerar den uts nda eçekten p basen av den mottagna signalstyrkan vid basstationen. Figur 2.10: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen r f rvr ngd p grund av çerv gsutbredning. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom çltering av y. ty d r dy= = 0 f r det nskade v rdet yètè = r. Insignalvalet è2.20è ger s ledes det nskade station ra v rdet hos y. Enligt è2.20è och è2.19è ges den transienta responsen, d hastigheten yètè r olikt r, av dyètè + a1yètè = a1r è2.21è Detta r ett system av f rsta ordningen, med en dynamik av den typ som vi hade i exempel 2.4. Om yètè r olikt r i b rjan, tar det d rf r en tid innan hastigheten n rmat sig r. Trots att ovan beskrivna f rfarande verkar att fungera i teorin har den emellertid n gra uppenbara nackdelar: æ Metoden kr ver att st rningen dètè r exakt k nd. M.a.o. skall gravitationskraften F g ètè, luftmotst ndet bv vind ètè samt friktionsmotst ndet F f vara exakt k nda f r att proceduren skall kunna till mpas. Vi kunde f rst s i princip m ta v gplanets lutning ' och bilens massa m, och d rmed best mma F g ètè = mg sinè'ètèè. ven luftmotst ndet kan uppskattas genom att noggrant best mma luftmotst ndskoeçcienten b och vindstyrkan v vind ètè. Detta f rfarande har den uppenbara nackdelen att den fordrar 12

? d r +, e 6 e G c u G p y Figur 2.11: Ett terkopplat system. noggrann k nnedom om alla st rningar èf g ètè;v vind ètè;f f osvè och andra faktorer ès som bè som p verkar den reglerade utsignalen. I praktiken r det emellertid i allm nhet helt orealistiskt att ha fullst ndig kunskap om alla st rningar som p verkar ett system. æ ven om k nnedom om alla faktorer som p verkar yètè funnes, har vi inte p verkat snabbheten hos dynamiken i ekvation è2.21è. Svarets snabbhet best ms av a1 = b=m. Om m r stort kan f r ndringen i hastigheten ske mycket l ngsamt! Begr nsningen med det ovan beskrivna f rfarandet r att man f rs ker best mma styrsignalen uètè som en funktion av endast s dana variabler som p verkar den reglerade signalen yètè, men utnyttjar ej m tningar av sj lva y! Genom att ocks utnyttja m tning av yètè f r vi information om avvikelsen fr n det nskade v rdet, r, yètè. Genom att utnyttja denna m tning kan otillr cklig kunskap om st rningarna och systemet kompenseras. Dessutom r det m jligt att g ra systemets respons snabbare. Principen att best mma styrsignalen uètè som funktion av den reglerade utsignalen kallas terkoppling èeng. feedback; ç. takaisinkytkent è. Situationen illustreras i çgur 2.11, som visar hur utsignalen yètè fr n systemet G p terkopplas f r att best mma styrsignalen. Kretsen i çgur 2.11 kallas terkopplad krets eller sluten krets. Blocket G c kallas regulator. Signalen r r b rv rdet eller ledv rdet f r utsignalen y, och signalen eètè =r,yètè è2.22è r regleravvikelsen eller reglerfelet. Det visar sig att terkopplingsprincipen i all sin enkelhet r en mycket kraftfull metod f r att p verka dynamiska systems beteende. Vi skall illustrera eçekten av terkoppling genom att unders ka vad som h nder om vi anv nder den enkla reglerlagen uètè =u r +K p ër,yètèë = u r + K p eètè è2.23è dvs regulatorn r en konstant, G c = K p. H r r u r en l mpligt vald referensniv, som v ljs f r att undivika negativa v rden uètè d yètè é r. Reglerlagen è2.23è kallas proportionell regulator eller helt enkelt Pregulator, eftersom styrsignalen uètè r direkt proportionell mot regleravvikelsen r, yètè. Substitution av è2.23è i systemekvationen è2.19è ger f r den slutna kretsen diçerentialekvationen dyètè +èa1+b1k p èyètè=b1k p r+b1u r +c1dètè 13 è2.24è

Vi ser att f r en konstant stegst rning dètè = d, konvergerar utsignalen mot det statiska svaret èjfr exempel 2.4è yètè! b 1K p 1 r + èc1d + b1u r è d t!1 è2.25è a1 + b1k p a1 + b1k p F r stora v rdet p regulatorparametern K p g ller enligt è2.25è yètè ç r d t!1. F rutom det statiska svaret har ven den transienta responsen p verkats. Eftersom systemets transienta respons beror av v rdet hos storheten a1 + b1k p, kan den i princip g ras goyckligt snabb genom att g ra K p stor. Vi har s ledes med den enkla proportionella reglerlagen è2.23è kunnat minska st rningarnas inverkan samt gjort systemets transienta respons snabbare utan att m ta st rningarna dètè. Resultatet beror inte heller av n gon kunskap om systemparametern a1. Fullst ndig eliminering av en stegst rnings inverkan kr ver emellertid ett o ndligt stort v rde p K p. Det visar sig att K p i praktiken inte kan g ras hur stort som helst, eftersom t.ex. sm tidsf rdr jningar, som alltid çnns i verkliga system, d g r att den slutna kretsen blir instabil. èi farth llningsexemplet har vi t.ex. f rsummat motorns dynamik.è De begr nsningar som stabilitetskravet inneb r kommer att diskuteras senare. F r att undvika statiska regleravvikelser efter en stegst rning beh ver vi i st llet f r P regulatorn en reglerlag som kontinuerligt justerar uètè s l nge yètè r olikt referensv rdet r. M.a.o. skall uètè kas s l nge yètè éroch minskas s l nge yètè ér, tills ett s dant v rde f r uètè uppn tts f r vilket yètè = r. Detta r precis vad en m nniska skulle g ra f r att reglera yètè till b rv rdet. Matematiskt kan en s dan reglerlag beskrivas med hj lp av en integrator i formen Z t Z t uètè =K i ç=0 ër, yèç èë dç = K i eèç èdç è2.26è ç=0 Reglerlagen è2.26è kallas integrerande regulator eller helt enkelt Iregulator. Principen hos en Iregulator r den, att s l nge r, yètè é 0 kar integralens v rde, varvid uètè blir st rre och f r v rdet hos yètè att v xa. Detta h ller p tills yètè =r, dvs regleravvikelsen har k rts till noll, varefter uètè har ett konstant v rde. En liknande funktion g ller om r, yètè é 0. P detta s tt elimineras inverkan av stegst rningar s att ingen statisk avvikelse f s. Observera att detta har uppn tts utan att k nna till stegst rningens storlek! En svaghet hos Iregulatorn r att eftersom regleravvikelsen r, yètè integreras blir I regulatorns respons mot reglerfel l ngsam. Iregulatorns f rm ga att eliminera statiska regleravvikelser och Pregulatorns snabba respons kan kombineras i PIregulatorn Z t uètè =K p eètè+k i eèç èdç è2.27è ç=0 Observera att PIregulatorn reagerar f rst d ett reglerfel orsakad av en st rning redan f rekommer, dvs eètè =r,yètè6=0. F r att f rekomma en regleravvikelse redan innan den hunnit uppst inf r man d rf r vanligen ytterligare en deriverande term i regulatorn. P detta s tt f s en PIDregulator, som ges av Z t uètè =K p eètè+k i ç=0 eèç èdç + K deètè d è2.28è 14

Avsikten med den deriverande termen r att f styrsignalen uètè att reagera p f r ndringsriktningen hos yètè, f r att p detta s tt kunna motverka en regleravvikelse redan innan den hunnit uppst. P detta s tt kan regulatorns respons g ras snabbare. I praktiken kan den deriverande verkan K d emellertid inte g ras hur stor som helst, eftersom regulatorn d blir alltf r k nslig mot det brus som man alltid har i praktiken. PIDregulatorn r den verl gset vanligaste standardregulatorn f r enkla reglerproblem i industrin och andra tekniska system, och den çnns implementerad i alla processdatorsystem. F r mera komplicerade reglerproblem, d r systemet som skall regleras har ett mera komplicerat dynamiskt beteende, beh vs dock mera invecklade reglerstrategier. En nnu enklare regulatorn r p avregulatorn eller ONOFFregulatorn. I en p avregulator har styrsignalen u endast tv v rden: u max och u min,ochv rdet best ms beroende p om systemets utsignal r st rre eller mindre n ledv rdet, t.ex. uètè = ç umax u min om yètè ér om yètè ér è2.29è P avregulatorer anv nds i enkla system som ofta har en l ngsam dynamisk respons, och f r vilka det r cker med att yètè r i n rheten av ledv rdet r. Typiska till mpningar av p av reglering r olika typer av temperaturregleringsproblem èjfr exempel 2.2è, s som reglering av temperaturen i hus eller bilar, kylsk p, strykj rn, osv. H r sl s uppv rmningen p eller av beroende p temperaturen. Det diskontinuerliga funktionss ttet hos regulatorn f r utsignalen ètemperaturenè att sv nga kring ledv rdet, men detta kan mycket v l accepteras i de çesta temperaturregleringsproblem. 2.5 Digital reglering Regulatorer implementeras idag n stan uteslutande digitalt med hj lp av datorer. Detta inneb r att den ovan beskrivna PIDregulatorn kan f rverkligas endast approximativt. Figur 2.12 visar ett typiskt digitalt reglersystem. Den kontinuerliga utsignalen yètè diskretiseras med hj lp av en AèDomvandlare, som genererar en diskret sekvens, y k = yèkhè; k =0;1;2;::: è2.30è H r r h samplingstiden èeng. sampling time; ç. n ytteenottov liè. Sekvensen y k ;k =0;1;2;::: processeras sedan digitalt f r att generera en diskret styrsignalsekvens u k ;k =0;1;2;::: till systemet. F r system med en kontinuerlig dynamik b r den diskreta styrsignalen omvandlas till en kontinuerlig styrsignal uètè till systemet. Detta utf rs med en DèAomvandlare, som genererar en styckevis konstant styrsignal enligt uhètè =u k ; kh ç tékh+h è2.31è Efter DèAomvandlaren brukar man nnu ha ett çlter H f r att utj mna diskontinuiteterna hos u H ètè. Den digitala regulatorn G d som ber knar styrsignalen u k ur m tsignalen y k kan best mmas p olika s tt. Om samplingstiden r kort r en vanlig metod att helt enkelt diskretisera 15

r k e k u k uhètè g G d DèA + 6, uètè H yètè G p AèD y k Figur 2.12: Digitalt reglersystem. en kontinuerlig reglerlag genom att approximera derivator med çnita diçerenser och integraler med summor. PIDregulatorn è2.28è kan s ledes implementeras digitalt genom att inf ra approximationerna Z kh kx eèç èdç ç h eènhè ç=0 n=1 och deètè ç 1 ëeèkhè, eèkh, hèë h è2.33è vilket ger den digitala PIDregulatorn kx u k = K p eèkhè +K i h eènhè + K d ëeèkhè, eèkh, hèë n=1 h è2.34è Den digitala PIDregulatorn brukar implementeras i en s.k. diçerensform, è2.32è u k = u k,1 + K p ëeèkhè, eèkh, hèë + K K d i heèkhè+ ëeèkhè, 2eèkh, hè+eèkh, 2hèë è2.35è h d r summan i uttrycket è2.34è eliminerats genom att subtrahera u k,1 fr n u k. 2.6 Exempel p terkoppling terkoppling r en mycket kraftfull metod f r att p verka systems beteende ven i s dana fall d systemets dynamik eller st rningarna r endast ofullst ndigt k nda. S som vi sett kan t.ex. regleravvikelsen pga en ok nd stegst rning fullst ndigt elimineras med en integrerande regulator. Det r d rf r naturligt att terkopplingsprincipen utnyttjas ocks i çera sammanhang utanf r tekniken. I n stan alla processer som kan beskrivas med de mycket generella begreppen signaler och system çnner man terkoppling av signaler. Viktiga exempel çnns bl.a. inom ekonomiska och biologiska system. Exempel 2.7 terkoppling i vardagen. æ N r vi g r eller cyklar h ller vi oss uppr tta genom att anv nda den information som v ra sinnen ger oss. Utan denna terkoppling skulle vi mycket snabbt tappa balansen och falla. 16

æ N r vi griper ett f rem l terkopplar vi visuell information av f rem lets l ge i f rh llande till handen. Robotar kan p liknande s tt styras av visuell information fr n en digitalkamera f r att gripa f rem l. æ Vi justerar temperaturen i en dusch genom att k nna p temperaturen och manipulera varm eller kallvattenkranen tills r tt temperatur f s. æ En f rel sare f r terkoppling eller feedback èç. 'palaute'è fr n h rarna via fr gor, kritik, diskussioner o.dyl. Om han beaktar denna feedback har vi ett sluten krets som kan konvergera till ett, f rhoppningsvis b ttre, tillst nd. Utan s dan terkoppling vet f rel saren ej vad h rarna f r ut av f rel sningen. æ En studerande r missn jd med sitt tentresultat och f rbereder sig b ttre till f ljande tillf lle. Den studerande anv nder tentresultatet f r terkoppling s att nskat resultat uppn s. æ En hund jagar en katt. Detta kan tolkas som terkoppling d r kattens position r b rv rdet f r hunden. P liknande s tt s ker en m ls kande missil sig till ett r rligt m l. æ 'Du skall behandla andra s som du sj lv vill bli behandlad'. Inom ekonomin çnns çera fenomen som kan beskrivas i form av dynamiska system. Detta g ller t.ex. nationalekonomin eller aktiemarknaden, vars respons till olika variabler uppvisar en tr ghet. Ideekonomiska systemen çnns ocks çera exempel p terkopplingsmekanismer. Exempel 2.8 terkoppling i nationalekonomin. Den ekonomiska aktiviteten kan styras p olika s tt, t.ex. med hj lp av skatteniv n. Med en god politik kan ekonomisk aktivitet stimuleras under en l gkonjunktur genom skattes nkningar, medan verhettning inom ekonomin kan reduceras genom skatteh jningar under en h gkonjuktur. Ekonomin r emellertid ett dynamiskt system, som reagerar p f r ndringar med en viss tr ghet. Det r d rf r viktigt att g ra f r ndringar av olika slag vid r tta tidpunkter. Politiker som fattar beslut om skatter r emellertid ocks dynamiska system i sin beslutsfattning. D rf r r det vanligt att f r ndringarna g rs n r det redan r f r sent: skattel ttnader introduceras n r konjunkturerna redan sv ngt till h gkonjunktur, och h jda skatter inf rs f rst under l gkonjunkturen. I denna situation g r terkopplingen fr n eknomin till beslutsfattning konjunktursv ngningarna snarare kraftigare n mindre. Inom biologin çnns çera viktiga processer och fenomen, som kan f rst s och analyseras inom ramen f r teorin om dynamiska system och terkoppling. Detta beror p att funktionen hos biologiska system i h g grad baserar sig p olika s tt att reagera p omgivningen, vilka kan betraktas som reglerprocesser. Viktiga terkopplingsprocesser inom biologin çnns i synnerhet inom fysiologin, i cellernas funktion samt inom ekosystemen. En viktig skillnad mellan tekniska och biologiska system r, att medan man i tekniska system konstruerar en regulator f r att f en nskad funktion, s har i biologiska system hela den terkopplade kretsen uppst tt samtidigt, genom olika evolutionsmekanismer. Det d rf r inte alltid sj lvklart vad som r 'regulator' och vad som r 'det reglerade systemet', utan terkopplingsmekanismens funktion r snarare att g ra hela systemet mindre k nsligt f r externa st rningar. Teorin 17

f r dynamiska system och terkoppling kan i dessa fall bidra till att skapa en f rst else f r systemets funktion. F ljande exempel ger en uppfattning om vilken roll dynamiska system och terkoppling spelar inom biologin. Exempel 2.9 Kroppens temperaturreglering. Kroppstemperaturen h lls vid en konstant niv oavsett ansenliga variationer i yttre temperatur eller d energi alstras p.g.a fysisk aktivitet. Detta stadkoms genom terkoppling s att blodets temperatur p verkar kroppens uppv rmnings och avkylningsmekanismer, s som svettning, mekanisk skakning och blodcirkulationen i de yttre blodk rlen. Utan terkoppling èfr n kroppens temperaturè skulle konstant kropppstemperatur inte kunna uppr tth llas. Exempel 2.10 Reglering av blodets glukoshalt. Det faktum att blodets glukoshalt h lls mycket konstant har kunnat f rklaras genom en fysiologisk terkopplingsmekanism. Halten glukos i blodet r s gott som konstant, ca 5 mmolèl, oavsett stora variationer i tillf rd glukos, s som n r man ter s tsaker. Detta m jligg rs genom att en glukoshalt som verstiger 5 mmolèl leder till generering av insulin, som avl gsnar glukos fr n blodet, medan en glukoshalt som understiger 5 mmolèl leder till generering av ett annat hormon, glukagon, som i sin tur stimulerar avs ndringen av glukos fr n muskler och vriga organ till blodet. Detta r ett exempel p terkopplad reglering: den variabel som skall h llas vid ett konstant v rde èglukoshaltenè p verkar variabler èinsulin och glukagonhalternaè som i sin tur reglerar glukoshalten. En detaljerad analys av kroppens glukosreglering har visat att regleringen fungerar som en Iregulator, som kan kompensera mot konstanta belastningsst rningar som p verkar glukoshalten. Defekter i denna terkopplingsmekanism har allvarliga f ljder och leder till olika typer av diabetes. Exempel 2.11 Reglering av proteinsyntes i cellerna. Proteinsyntesen i cellerna styrs av cellk rnornas DNA. Syntesen av ett givet protein ger rum d aktuell gen r aktiv, varvid motsvarande nukleidsyresekvens i k rnans DNA vers tts till proteinets aminosyresekvens. Ett protein framst lls i korrekta m ngder genom terkoppling: aktiviteten hos generna p verkas av de proteinkoncentrationer vars syntes de styr. F r att f rst cellernas funktion b r man reda ut terkopplingsmekanismerna. De dynamiska processerna i en cell r emellertid synnerligen komplicerade, och ett av de viktigaste m len inom cellbiologin f r tillf llet r att kartl gga dessa processer. Denna str van har gett upphov till ett nytt tv rvetenskapligt omr de, den s.k. systembiologin. Exempel 2.12 Reglermekanismer i biosf ren. Biosf ren inneh ller en del intressanta terkopplingsmekanismer som r viktiga f r att f rst globala fenomen s som jordens klimat eller atmosf rens och oceanernas sammans ttningar. Betrakta t.ex. f ljande fakta: æ Atmosf rens sammans ttning har h llits praktiskt taget konstant den tid det funnits liv p land. Syrehalten r t.ex. vid det bekv ma v rdet 21 volè. Om v rdet understeg ca 15 volè skulle en t ndsticka slockna och vi skulle kv vas pga syrebrist, och om det versteg 25 volè skulle skog och annan vegetationen sj lvant ndas. Den konstanta halten r anm rkningsv rd, eftersom syre, som r en mycket reaktiv gas, kontinuerligt reagerar med andra mnen, och utan ett tillskott som exakt kompenserar den reagerade syrem ngden skulle halten ej kunna f rbli konstant under l ngre perioder. 18

æ Man vet att oceanernas salthalt har h llit sig mycket konstant under den tid det funnits liv i havet. Salthalten r vid en niv som r l mplig f r oceanernas djur och v xtliv. Den konstanta salthalten r anm rkningsv rd eftersom çoder st ndigt tillf r nya mineral till oceanerna. Ikombination med avdunstningen skulle detta leda till en gradvis kning av salthalten èj mf r D da Havetè. Det çnns allts n gon mekanism som avskaçar salt fr n oceanerna s att salttillf rseln kompenseras exakt. æ Jordens medeltemperatur har h llit sig mycket konstant de senaste ca 3.5 miljarder ren, med en maximal avvikelse p ca æ5 æ C. Under samma period har solens str lning kat med ca 30è. Man kan r kna ut att denna kning i solens str lning skulle ge upphov till en betydande h jning av jordens medeltemperatur èçera tiotals graderè utan n gon mekanism som motverkar denna h jning. Orsakerna till ovan beskrivna f rh llanden r olika typer av biologisk aktivitet, som inf r terkopplingsmekanismer. nnu f r 30 r sedan var den allm nt accepterade uppfattningen den, att biologiska organismer endast passivt adapterar sig till den omgivande milj n, och att det r just d rf r som milj n i varje enskilt fall r l mplig f r djur och v xtlivet d r. Man har f rst relativt nyligen, under de senaste 20ç30 ren, insett att situationen r mera komplicerad n s, och att den globala milj n ven p verkas av biosf ren genom olika sorters terkopplingar. Denna insikt har m jliggjorts dels tack vare ett nytt globalt perspektiv p jorden som helhet, och dels tack vare en kad f rst else f r dynamiska system. I de ovan n mnda exemplen har man f ljande typers terkopplingar fr n biosf ren: æ Atmosf rens sammans ttning h lls konstant av biosf ren. Syre tillf rs atmosf ren genom de gr na v xternas fotosyntes. En kning av syrehalten kar biologisk aktivitet ès som f rmultningè och br nder, vilka f rbrukar syre. En minskning av syrehalten ter g r de syref rbrukande processerna l ngsammare. Observera att det r fr ga om en terkoppling fr n atmosf rens syrehalt till den biologiska aktiviteten, som i sin tur p verkar sysrehalten. Det r endast tacj vare en s dan terkoppling som syrehalten kan h llas vid en s konstant niv som man vet att den g r. æ Den salt som tillf rs oceanerna med çoder och f rvittring avl gsnas av mikroorganismer som binder mineral èbl.a. i sina skalè och sedimenteras p havets botten. Ju mera salt, desto çera mikroorganismer, vilket h ller salthalten nere. æ De terkopplingar som p verkar jordens medeltemperatur schematiskt f rst s via vegetationens inverkan: d temperaturen blir f r h g kommer v xter som reçekterar infallande str lning att ka iantal, eftersom den lokala temperaturen r n got l gre i n rheten av dessa v xter; d temperaturen ter blir f r l g kommer v xter som absorberar infallande str lning att ka i antal, eftersom den lokala temperaturen r n got h gre vid dessa v xter. Slutresultatet blir globalt att temperaturf r ndringar pga av variationer i infallande str lning motverkas: en kad str lning ger upphov till en vegetation som reçekterar mera str lning, och en minskning av str lningen ger upphov till en vegetation som absorberar mera str lning. Ivart och ett av fallen bidrar s ledes biosf ren med en terkopplingsmekanism som motverkar f r ndringar helt enkelt genom den inverkan som dessa f r ndringar har p biosf rens 19

aktivitet. F r att f rst de globala f rh llandena p jorden b r dessa terkopplingar beaktas. Den teori enligt vilken biologisk aktivitet p verkar atmosf rens och oceanernas sammans ttningar och ven klimatet kallas Gaiateorin èfr n Gaia ç jordens gudinna i grekisk mytologiè. Fenomenet r analogt med de fysiologiska reglerprocesserna, och man har d rf r ocks inf rt begreppet 'planet r fysiologi'. Gaiateorin har intressanta implikationer f r diskussionen av milj problem, inte minst f r den av m nniskan f rorsakade v xthuseçekten. Teorin s ger ena sidan att biosf ren har en f rm ga att kompensera f r inverkan av st rningar, inklusive de som m nniskan stadkommer. andra sidan s ger oss teorin ocks att denna f rm ga r beroende av speciella terkopplingsmekanismer i milj n. Det r d rf r speciellt viktigt att v rna om att naturens terkopplingsmekanismer h lls intakta. Om dessa mekanismer skadas kan f ljderna vara drastiska. Kunskapen om mekanismerna r nnu ganska bristf llig, men klart r att vegetation, s som tropikernas regnskogar eller oceanernas plankton, spelar en viktig roll. 2.7 Negativ och positiv terkoppling I samtliga exempel hittills har eçekten av terkopplingen varit att motverka f r ndringen hos ett system. Man talar i detta fall om negativ terkoppling. Om vi ndrar tecknet hos regulatorn G c i çgur 2.11 kommer terkopplingens eçekt att vara den omv nda: en f r ndring i utsignalen p verkar insignalen i en riktning som ger upphov till en nnu st rre utsignalf r ndring. Detta kallas positiv terkoppling. Medan negativ terkoppling stabiliserar ett system vid ett nskat tillst nd, har positiv terkoppling motsatt verkan: systemet f s att snabbt driva ifr n starttillst ndet. Positiv terkoppling har begr nsad anv ndning inom tekniken, eftersom man d r fr mst r intresserad av att h lla systemen vid det nskade tillst ndet, men den f rekommer allm nt i andra situationer. N gra exempel f r belysa funktionen hos positiv terkoppling. æ Autokatalys i kemiska reaktioner. H r fungerar slutprodukten ven som en katalysator f r tidigare reaktionssteg, och f rsnabbar d rmed reaktionen. Autokatalys f rekommer allm nt i biokemiska reaktioner. æ Inom ekonomin çnns en m ngd positivt terkopplade processer. Ett exempel r introduktionen av nya produkter p marknaden. F rs ljningen av t.ex. en mobiltelefon med nya egenskaper f r fart f rst d tillr ckligt m nga m nniskor redan skaçat sig produkten. Detta r positiv terkoppling fr n produktens utbreddhet till f rs ljningen. En liknande terkoppling inom ekonomin gynnar stora producenter: en h g volym g r det m jligt att framst lla billigare produkter och satsa p produktutveckling, med en ytterligare volym kning till f ljd. æ 'De rika blir allt rikare, de fattiga allt fattigare'. terkoppling! Ett negativt exempel p positiv 2.8 Litteratur Det çnns ett antal utm rkta l rob cker i reglerteknik. Nedan ges n gra svenskspr kiga b cker i omr det. En praktisk och mycket element r introduktion till reglertekniska id er ges av 20

H gglund è1997è. Mera teoretiska introduktioner ges av Lennartson è2001è, Glad och Ljung è1989è, Schmibauer è1995è och Thomas è1992è. Harnefors och medarbetare è2004è ger en generellare introduktion till signaler och system, som f rutom reglerteknik ocks behandlar grunderna i signalbehandling. De icketekniska exemplen p reglerprocesser som i korthet beskrivits i avsnitt 2.6 inbegriper alltf r omfattande problemomr den f r att kunna behandlas p grundkursniv. F r den intresserade kan vi n mna t.ex. Khoo è2000è, som beskriver reglermekanismer i fysiologiska system. Gaiateorin introducerades av den brittiske kemisten James Lovelock è1982è. En kvantitativ behandling av dynamiska system och terkopplingsmekanismer i atmosf ren och oceanerna diskuteras bl.a. i Kump och medf rfattare è2000è. Referenser Harnefors, Lennart, Holmberg, Johnny, Lundqvist, Joop è2004è. Signaler och system. Liber AB. H gglund, Tore è1997è. Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Khoo, Michael è2000è. Physiological Control Systems. IEEE Press. Kump, L. R., Kasting, J. F., Crane, R. G. è2000è. The Earth System. Prentice Hall. Lennartson, Bengt è2001è. Reglerteknikens grunder. Studentlitteratur. Ljung, Lennart, Glad, Torkel è1989è. Reglerteknik. Grundl ggande teori Studentlitteratur. Lovelock, James è1982è. Gaia: A New Look at Life on Earth. Oxford University Press. Schmibauer, Bengt è1995è. Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur. Thomas, Bertil è1992è. Modern reglerteknik. Liber AB. 21