Dagens Teori Grafer Vad är en graf? Figur 11.1: En enkel graf med fem noder och sex bågar

Dagens Teori 11.1 Grafer 11.1.1 Vad är en graf? Figur 11.1: En enkel graf med fem noder och sex bågar Definition: En graf består av två ändliga mängder V och E där V är mängden av noder (hörn, vertices) och E är mängden av bågar (kanter, edges). Vi skriver G = (V(G),E(G)). Nedan ser vi en graf med 5 noder och 6 bågar. Ger vi noderna namn, som i figur 11.2 kan vi skriva beskriva G utan att ta till någon figur: Figur 11.2: Noderna har fått namn G = ({A,B,C,D,E},{(A,B),(A,D),(B,D),(B,C),(B,E),(C,E)}) Först alltså en mängd med noder och sedan en mängd med bågar. Där varje båge består av ett par nodnamn. Figur 11.3: En graf med en loop och med multipla bågar Håkan Strömberg 1 KTH STH

11.1. GRAFER Den graf vi presenterat i figurerna ovan är en enkel graf till skillnad från den i figur 11.3, som har både en loop och multipla bågar. Alla grafer vi kommer att befatta oss med i denna kurs är enkla grafer. Det antal noder en graf G innehåller, bestämmer grafens ordning, betecknas n(g) I Mathematica kan vi definiera och ritar en graf genom << GraphUtilities g = {"Adam" -> "Bertil", "Bertil" -> "Curt", "David" -> "Bertil", "Erik" -> "Adam"}; GraphPlot[g, VertexLabeling -> True] Vi startar med att inkludera GraphUtilities och definiera grafen g. Kommandot GraphPlot ger en bild över grafen. Genom VertexLabeling -> True får vi med nodernas namn. Erik Adam David Bertil Curt Figur 11.4: Vill vi definiera grafen i figur 11.2 skriver vi alltså och vi får g1 = {"A" -> "B", "A" -> "D", "B" -> "D", "B" -> "C", "B" -> "E", "C" -> "E"}; GraphPlot[g1, VertexLabeling -> True] C A B E D Figur 11.5: Några exempel på grafer I figur 11.9 ser vi de olika typer av grafer som är definierade. Vi endast att diskutera enkla grafer och strikta digrafer. Riktat graf är en synonym till digraf. Håkan Strömberg 2 KTH STH

Figur 11.6: Vitamin A, C 20 H 30 O Figur 11.7: Karta över Haninge Isomorfism Alla som får i uppgift att rita en graf utifrån G = ({A,B,C,D,E,F},{(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,F),(F,A),(A,D),(B,E),(C,F)}) kommer troligtvis att producera sin egen version. Ibland kan det vara svårt att se att två grafer härstammar från samma definition. Till exempel är grafen i figur 11.10 samma som grafen i 11.11. Vi säger då att graferna är isomorfa, eller att det råder en isomorfi mellan graferna. Så här tar man reda på om isomorfi mellan två grafer gäller. << Combinatorica g2 = {1->2, 1->6, 1->3, 2->4, 2->5, 3->4, 3->5, 4->6, 5->6}; g3 = {1->4, 1->5, 1->6, 2->4, 2->5, 2->6, 3->4, 3->5, 3->6}; g2b = ToCombinatoricaGraph[g2] g3b = ToCombinatoricaGraph[g3] IsomorphicQ[g2b, g3b] False För det första spelar det ingen roll hur man döper noderna. Genom g2 och g3 har vi definierat det två graferna. För att ta reda på om de är isomorfa måste vi först konvertera dem till den typ av grafer som Combinatorica hanterar. I sista raden testar vi så isomorfismen och får reda på att de inte är isomorfa. Detta betyder att, trots att vi testar alla tänkbara numreringar, (6! = 720), av noderna i den andra grafen så kommer ingen numrering att göra att graferna blir identiska. Håkan Strömberg 3 KTH STH

11.1. GRAFER Figur 11.8: Visar alla delmängder av mängden {A,B,C,D} Figur 11.9: Olika typer av grafer där vi här tar upp de med röda noder Är graferna i figur 11.12 isomorfa? En nods gradtal Noden i figur 11.13 har gradtalet 4. Definition: En nod A s gradtal, i en enkel graf, är lika med antalet bågar som är förbundna A. Finns det en graf med 7 noder som alla har gradtalet 5? Om det finns en sådan graf så blir summan av alla gradtal 5 7 = 35. Eftersom varje ny båge i en graf ökar på det totala antalet gradtal med 2 måste summan av alla nodernas gradtal vara jämnt. Alltså kan det inte finnas en graf med 7 noder som alla har gradtalet 5! I grafen i figur 11.14 har bågarna följande gradtal 5,4,3,3,2,2,1 En följd av icke negativa heltal sägs vara grafisk om det finns en graf med denna gradtalssekvens. Vilka av följande sekvenser är grafiska? a) 5,4,3,2,2,1 b) 5,4,4,3,0 c) 6,5,5,4,3,3,2,2,2 Håkan Strömberg 4 KTH STH

Figur 11.10: Figur 11.11: d) 6,6,6,6,4,3,3,0 a) Summan av gradtalen är 17 och alltså är sekvensen inte grafisk. b) Även om summan av gradtalen här är jämn, så är denna sekvens inte grafisk, därför att en nod har 5 bågar, vilket betyder att den är förbunden med 5 andra noder och så många finns det inte. c) Kan inte avgöras lika snabbt. Men det finns en algoritm som kan ge oss svaret. Den går ut på att man hela tiden förenklar grafen tills man enkelt kan avgöra resultatet. Vi genomför beräkningarna (1) 655433222 (2) 44322122 (3) 44322221 (4) 3211221 (5) 3222111 (6) 111111 Den sista raden, (6), i schemat ovan är grafisk eftersom motsvarande graf kan se ut som i figur 11.3. Vi får sekvensen (2) från sekvens (1) genom att utelämna första talet och eftersom det är 6, subtraherar vi 1 från var och en av de efterföljande 6 talen. Därefter sorterar vi rad 2 och får rad 3. För att komma från (3) till (4) utesluter vi 4 och subtraherar 1 från de 4 efterföljarna. Vi sorterar (4) och får rad (5). Nu är det dags att utesluta talet 3. Efter subtraktionen har vi nått till rad (6) som vi ser är grafisk och vi stannar. d) Använder vi den ovan givna algoritmen kan vi konstatera att sekvensen 6,6,6,6,4,3,3,0 inte är en grafisk sekvens. Följande sats garanterar att denna metod alltid fungerar: Håkan Strömberg 5 KTH STH

11.1. GRAFER Figur 11.12: Är dessa två grafer isomorfa? Figur 11.13: Sats 1: Betrakta följande två sekvenser och anta att sekvens (1) är i avtagande ordning. (1) s,t 1,t 2,...,t s,d 1,...d n (2) t 1 1,t 2 1,...,t s 1,d 1,...,d n Sekvens (1) är grafisk om och endast om (2) är grafisk I Mathematica finns en funktion som tar emot en lista av heltal och och bestämmer om denna lista kan utgöra en grafisk sekvens. Det hela kan lösas med hjälp av Mathematica genom GraphicQ[{5, 4, 3, 2, 2, 1}] False GraphicQ[{5, 4, 4, 3, 0}] False GraphicQ[{6, 5, 5, 4, 3, 3, 2, 2}] True GraphicQ[{6, 6, 6, 6, 4, 3, 0}] False Eulers sats: I varje graf är summan av alla gradtal lika med två gånger antalet bågar. Sats 3: I varje graf är antalet noder med ett udda gradtal jämnt. Det är ett jämnt antal människor på vår jord, som hälsat ett udda antal gånger. Sats 4: I varje graf med åtminstone två noder, finns det två noder med samma gradtal. Sammanhängande graf Innan vi lägger till den röda bågen i figur 11.16 har vi en icke sammanhängande graf. Genom den röda bågen får vi följaktligen en sammanhängande graf. Med g = RandomGraph[7, 0.5] ShowGraph[g] Håkan Strömberg 6 KTH STH

Figur 11.14: Figur 11.15: får vi följande framslumpade graf Första argumentet i RandomGraph anger hur många noder grafen ska bestå av. Det andra argumentet anger sannolikheten för att en båge ska finnas mellan två noder. Med hjälp av ConnectedQ[g] True tar vi reda på att grafen är sammanhängande. När antalet noder växer blir det svårare för Mathematica att presentera grafen på ett lätt sätt att avläsa. Med g = RandomGraph[30, 0.2] ShowGraph[g] lyckas vi få en sammanhängande graf, men som är ganska svår att tyda Grafers representation När en graf ska bearbetas av ett datorprogram, måste grafen presenteras på ett annat sätt, än genom en bild. Här tre olika möjligheter att ge indata till grafen i figur 11.19 Genom en lista av par av noder. Ungefär som vi inledningsvis definierade grafen A A B B C C D C E E Isolerade noder kommer inte med i denna representation. Genom att ange vilka noder en given nod har förbindelse med. A : C D B : C E C : A B E D : A E : B C Håkan Strömberg 7 KTH STH

11.1. GRAFER Figur 11.16: 1 7 2 6 4 8 3 5 Figur 11.17: Trots att denna representation innehåller redundant information är det denna datastruktur som ofta används i datalogiska sammanhang. Genom en grannskapsmatris (adjacency matrix) A B C D E A 0 0 1 1 0 B 0 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 D 1 0 0 0 0 E 0 1 1 0 0 Talet 1 och 0 visar att det finns respektive inte finns en båge mellan noden i översta raden och noden i vänstra kolumnen. Matrisen är symmetrisk och huvuddiagonalen innehåller idel 0:or. Ur datateknisk synpunkt är sökningar i denna representation mycket snabb. Nackdelen visar sig, då antalet noder är stort i förhållande till antalet bågar, vilket leder till stora, men glesa matriser och det går åt mycket minne. Tillämpning av grannmatrisen Om vi startar med följande grannskapsmatris G = A B C D E A 0 0 1 1 0 B 0 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 D 1 0 0 0 0 E 0 1 1 0 0 och först G 2,G 3,G 4,G 5 och G 6. Det vill säga vi multiplicerar den kvadratiska matrisen G med sig själv ett antal gånger. Med hjälp av Mathematica skriver vi Håkan Strömberg 8 KTH STH

19 20 15 25 1 5 8 4 14 27 10 28 18 24 30 3 6 7 9 29 13 26 16 17 12 21 2 11 23 22 Figur 11.18: Figur 11.19: och får G = G 4 = m = {{0, 0, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0, 1}, {1, 1, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 1, 0, 0}}; m//matrixform MatrixPower[m, 2] // MatrixForm MatrixPower[m, 3] // MatrixForm MatrixPower[m, 4] // MatrixForm MatrixPower[m, 5] // MatrixForm MatrixPower[m, 6] // MatrixForm 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 6 5 2 0 5 5 7 6 1 6 2 6 12 4 6 0 1 4 2 1 5 6 6 1 7 G 2 = G5 = 2 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 3 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 7 16 6 7 7 12 18 5 13 16 18 14 2 18 6 5 2 0 5 7 13 18 5 12 G 3 = G6 = 0 1 4 2 1 1 2 4 1 3 4 4 2 0 4 2 1 0 0 1 1 3 4 1 2 22 23 16 2 23 23 31 32 7 30 16 32 52 16 32 2 7 16 6 7 23 30 32 7 31 Hur ska vi då tolka detta? Betrakta grafen i figur 11.19 och syna samtidigt matrisen G 3. På hur många sätt kan man ta sig från nod A till nod C i tre steg? Med ett steg menas att passera en båge. Svaret är att det finns 4 resor: A C A C, A D A C, A C E C och A C B C. Det finns alltså fyra resor som startar i A och slutar i C, vilket vi direkt kan utläsa ur matrisen G 3. Håkan Strömberg 9 KTH STH

11.1. GRAFER Ur G 5 kan vi till exempel utläsa att man inte kan starta i D och återvända efter 5 steg. Det är väl förresten trevligt att få en tillämpning av matrismultiplikation. Olika typer av grafer Kompletta grafer Figur 11.20: En graf med n noder kan ha högst n(n 1) 2 bågar. När en graf har alla dessa noder kallas den en komplett graf. Vi noterar en komplett graf med K n. Figur 11.20 ser du K 3 och K 5. Cykliska grafer Alla noder har gradtalet två och bildar en ring. Graferna kallas cykliska Figur 11.21: och betecknas med C n. I figuren ser vi C 5. Reguljära grafer En graf där alla noder har samma gradtal kallas för en reguljära graf 1 6 5 8 9 2 10 7 4 3 Figur 11.22: g = PetersenGraph ShowGraph[g] DegreeSequence[g] {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3} Håkan Strömberg 10 KTH STH

I Petersen-grafen, som är så känd att den finns inbyggd i Mathematica har varje nod gradtalet 3, vilket vi får besked om när vi anropar funktionen DegreeSequence Platonska grafer Tetraeder Kub Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder I figuren ser vi de fem platonska kropparna. De enda fem kropparna som kan konstrueras av regelbundna månghörningar. De kallas så därför att Platon nämnde dem i dialogen Timaios. Till dessa hör lika många kända grafer, som om man vill kan se som tillplattade kroppar. Räknar vi ytorna förstår vi att en av kroppens sidor motsvarar den ytan som ligger utanför själva grafen GraphData["TetrahedralGraph"] GraphData["CubicalGraph"] GraphData["OctahedralGraph"] GraphData["IcosahedralGraph"] GraphData["DodecahedralGraph"] Håkan Strömberg 11 KTH STH

11.1. GRAFER Bipartita grafer Figur 11.23: En graf är bipartit om V kan delas upp i två disjunkta delmängder V 1 och V 2 så att varje båge i G förbinder en nod i V 1 med en nod i V 2. Figur 11.24: I figur 11.24 ser vi en komplett bipartit graf, som betecknas K 3,K 4. Hjulgrafer Denna typ av grafer, som betecknas W n, förklarar sig själv genom figur 11.25 Riktade grafer Vad som avses med riktade grafer framgår väl av figur 11.26. I figuren är till exempel A förbunden med C, men inte tvärt om. Skapar vi en grannmatris till denna graf får vi: Håkan Strömberg 12 KTH STH

Figur 11.25: W 8 Figur 11.26: A B C D E A 0 0 1 0 0 B 1 0 0 0 1 C 0 1 0 0 0 D 0 0 1 0 1 E 0 0 0 0 0 Först måste vi bestämma oss att det är från noderna i första kolumnen man kan ta sig till noderna i översta raden. Vi konstaterar att matrisen inte längre är symmetrisk. Observera att man över huvud taget inte kan ta sig från noden E. Om vi använder oss av samma definition som inledningsvis kommer ordningen i paren att vara avgörande för hur grafen ser ut. bagar = {{1, 3}, {2, 1}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 3}, {4, 5}}; g = FromOrderedPairs[bagar] h = FromUnorderedPairs[bagar] g är riktad och h är oriktad. En strikt riktad graf, som vi kommer att syssla med här, har inga loopar och inga multipla bågar. Däremot är det möjligt att det finns två bågar mellan ett par av noder en nod i varje riktning. Med detta kan vi beskriva även enkla grafer med hjälp av riktade grafer, där alla bågar ersätts med motsatt riktade bågar. När vi nu talar om gradtalet hos en nod i en riktat graf, handlar det om ingående- och utgående- gradtal. Tillämpningar: (a) Om en del vägar på kartan är enkelriktade, är det lämpligt att beskriva nätverket med en riktad graf. (b) Ett släktträd kan presenteras som en riktad graf, där riktningen är från äldre generationer till yngre. Håkan Strömberg 13 KTH STH

11.1. GRAFER Vandringar, vägar, stigar, kretsar och cykler En vandring (walk) är en sekvens av bågar där huvudet av en nod är svansen på nästa. Vandringen börjar och slutar i en nod Längden av en vandring är antalet bågar i sekvensen En väg (trail) är en vandring där ingen båge repeteras En stig (path) är vandring där ingen nod repeteras En krets är sluten sluten väg, som börjar och slutar i samma nod En cykel (cycle) är en sluten stig, som börjar och slutar i samma nod En nod v är nåbar (reachable) från u, om det finns en bana från u till v. Genom grafen i figur 11.27 visar vi detta. Figur 11.27: A B C E D E H E är en vandring som startar i A och slutar i E. Vandringen har passerat över bågarna [E,D] och [E,H] två gånger och besökt noden E tre gånger. F D B E G D F är en sluten vandring G H J K är både en väg och en stig F G I F är en cykel Alla i grafen ingående noder är nåbara från vilken annan nod som helst, vilket gör grafen är sammanhängande. Antalet grafer Namnger vi noderna kan vi konstruera 8 olika grafer utifrån 3 noder. Utan namn krymper antalet ned till 4 Antalet grafer med n, icke namngivna noder växer snabbt med stigande n. 1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, 274668, 12005168, 1018997864 med en ganska komplicerad formel. I de flesta av våra tillämpningar här är graferna sammanbundna (connected). I detta fall finns det då bara två grafer med 3 icke namngivna noder. Håkan Strömberg 14 KTH STH

Figur 11.28: Figur 11.29: Teoriuppgifter Problem 1 Vilken av följande sekvenser är grafisk? 5,5,4,4,3,2,2,1,1 6,5,4,3,2,2,2,2 Problem 2 Vilket är det minsta n där grafens ordning n(g) > 2 och alla noder har ett udda gradtal? Rita ett exempel. Problem 3 Konstruera en 4-reguljär graf Problem 4 Vilka av graferna i figur 11.30 är isomorfa? Figur 11.30: Håkan Strömberg 15 KTH STH

11.1. GRAFER Problem 5 Hur många noder och bågar har K 6? Vilket är det minsta värdet n kan anta för att K n ska ha 500 bågar? Problem 6 Om man sammanför komplementet till en graf G innehållande n noder och kallad G, och grafen G får man den kompletta grafen K n. Rita komplementgrafen till C 5 Problem 7 Grafen G har v noder och e bågar. Uttryck med hjälp av v och e antalet bågar i G Problem 8 Om n 4 har hjulgrafen W n noderna {1,2,3,...,n} och bågarna {{1,2},{1,3},...,{1,n},{2,3},{3,4},...,{n 1,n},{n,2}} Rita W n för n = 1...5. Konstruera sedan en formel för antalet bågar i W n. Problem 9 För vilka n är C n isomorf med C n? Problem 10 Anta att vi har en graf G med 8 noder som är isomorf med G. Hur många bågar har då G? Problem 11 Figur 11.31: Är graferna i figur 11.31 isomorfa? Håkan Strömberg 16 KTH STH

Problem 12 Antag att en sammanhängande graf G har p noder och att summan av gradtalen hos dessa noder är 2p. Visa då att grafen har åtminstone två cykler. Problem 13 Om T är ett träd vars noder har antingen gradtalet 3 eller 1 och det finns 10 noder med gradtalet 3. Hur många noder har då gradtalet 1? Problem 14 Låt G vara en sammanhängande graf med n > 2 noder och n bågar. Hur många cykler har G? Problem 15 Vilket är det minsta antalet bågar en graf med n noder kan ha för att vara sammanhängande? Vilken typ av graf är då detta? Problem 16 En graf har gradtalssekvensen 5, 4, 3, 2, 1,... 1. Bestäm antalet 1 i sekvensen. Problem 17 Rita ett träd med 5 noder varav två har gradtalet 1 Problem 18 Figur 11.32: Girth är den kortaste cykeln i en graf (mätt i antalet bågar). Bestäm girth hos grafen i figur 11.32 Problem 19 Vilken grafisk sekvens har grafen i figur 11.33? Problem 20 En graf är regular om varje nod har samma gradtal. Vilka är de två grafer med 6 noder som alla har gradtalet 3? Håkan Strömberg 17 KTH STH

11.1. GRAFER Figur 11.33: Problem 21 Hur många grafer (även icke sammanhängande) finns det med ordning 4? Problem 22 Hur många grafer finns det med den grafiska sekvensen 7, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1 Problem 23 Bestäm det minsta n, så att [7 n, 6 n, 2 n] utgör en grafisk sekvens Problem 24 För vilka ordningar n,1 n 15 hos grafer kan samtliga noder ha gradtalet 3? Problemlösning Problemlösning 1. Vem är kär i Adam? (2) Adam, Bertil, Curt och David tror sig alla ha funnit sin blivande fru. Eva, Fia, Gun och Helena heter de tilltänkta och de är alla kära i någon av de fyra herrarna. Men, och det är här problemet börjar, inget tycke är ömsesidigt. Adam älskar damen som är kär i herren som älskar Eva Herren som älskar Fia är älskad av damen som är älskad av Bertil Den dam som Curt älskar är kär i David Gun älskar inte Bertil Herren som är älskad av Helena älskar inte Gun Vem är kär i Adam? Håkan Strömberg 18 KTH STH

Problemlösning 2. Handskakningar (2) Ett gift par firade sin bröllopsdag, genom att bjuda in 3 andra gifta par. Åtminstone en i varje inbjudet par kände värden och/eller värdinnan. Även andra bekantskaper fanns bland gästerna. Vid ankomsten hälsade varje person på alla de inte redan kände. När alla anlänt och handskakningarna var avklarade minglade värden runt i sällskapet och frågade var och en hur många händer han/hon hade skakat. Han frågade även sin fru. Till sin förvåning gav alla olika svar. Hur många skakade värden och värdinnan hand med? Problemlösning 3. Sammanhängande linje (2) På ett papper ritar man några raka streck. Inget av strecken har någon gemensam punkt Figur 11.34: med något annat, eller ligger på samma räta linje. Går det alltid, oavsett antal och placering, att förbinda streckens ändpunkter med nya raka streck, så att man får en sammanhängande linje av streck som inte korsar sig själv? I figur 11.34 ser vi ett lyckat exempel. Problemlösning 4. Hur många städer? (2) I ett land är flygnätet utbyggt, så att varje stad har en direkt linje med högst tre andra städer. Man når samtliga städer i landet med högst en mellanlandning. Vilket är det största möjliga antalet städer som kan finnas i detta land? Rita figur Problemlösning 5. Danstillställningen (2) Sju herrar och sju damer träffades på ett party. Mot slutet av kvällen hade alla närvarande skrivit på en lapp antalet personer som han eller hon dansade med. De hade skrivit ned följande tal: 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6 Hur kan vara säker på att någon måste ha skrivit fel på sin lapp? Alla danser ägde rum mellan dam och herre. Håkan Strömberg 19 KTH STH

11.1. GRAFER Problemlösning 6. Brödrosten (2) Med en äldre typ av brödrost vill man rosta tre skivor bröd. Dessutom vill man göra det så Figur 11.35: Figuren visar en gammal brödrost där man endast kan rosta en sida av brödskivan i taget. Det finns plats för två brödskivor. effektivt (snabbt) som möjligt. I tabellen nedan ges de olika aktiviteterna och hur många sekunder de tar att utföra. Att rosta en sida tar 30 sekunder Att vända en skiva i rosten tar 2 sekunder Att ta bort en skiva från rosten och lägga den på tallriken tar 3 sekunder Att ta en skiva från tallriken och placera den i rosten tar 3 sekunder. Proceduren inleds med att det finns tre orostade skivor på tallriken och avslutas då dessa åter ligger på tallriken rostade. Observera att man behöver båda händerna för att utföra de tre sista aktiviteterna i listan. Konstruera en schema för hur proceduren ska genomföras och försök minimera tiden som krävs för att utföra proceduren. Problemlösning 7. Taltrianglarna (2) Högst upp till vänster i figur 11.36 ser vi talen 1...10 inplacerade i en triangel på ett sådant sätt att summan av talen på omkretsen av varje liten triangel alla är 28. Det är möjligt att placera talen 1...10 på ett liknande sätt i de övriga trianglarna så att summorna blir allt från 29 till 38. Visa det, troligtvis med ett C-program eller med Mathematica. Problemlösning 8. De fyra korten (2) Fyra personer fick var sitt kort. Alla åtta sidorna var enfärgade, med färgerna röd, grön, blå och gul två sidor av varje färg. Detta betydde att fyra sidor var synliga för alla (baksidan). Färgen på den andra sidan kände bara ägaren till. Varje person gjorde ett uttalande om sin hemliga färg: Namn Uttalande Baksidan Adam Grön eller blå Röd Bertil Varken grön eller blå Grön Curt Blå eller gul Röd David Blå eller gul Blå Inget kort har samma färg på båda sidorna och exakt två personer ljög i sitt uttalande. Vilken var de fyra personernas hemliga färger? Håkan Strömberg 20 KTH STH

Figur 11.36: Problemlösning 9. Pusselgatan (2) Adam och Bertil, som bor på Pusselgatan, en gata med nummer mellan 2 och 222, träffas en morgon på väg till jobbet. Vi snappar upp en liten del av deras dialog: De tre jag talar om bor alla på olika adresser på Pusselgatan och summan av deras husnummer är dubbelt så stor som ditt husnummer. Om man multiplicerar de tre numren får man 1260, sa Adam Av det kan jag inte sluta mig till vilka de tre numren är, sa Bertil Det är sant, men om jag dessutom säger att mitt husnummer är störst av alla fem, så bör du kunna säga vilka numren är, sa Adam På vilket nummer bor Adam och Bertil och vilka är de andra tre numren? Vi kan utgå ifrån att Bertil vet på vilken adress han själv bor! Håkan Strömberg 21 KTH STH

11.1. GRAFER Problemlösning 10. Delad kvadrat (2) I figur 11.37 ser vi en kvadrat, med sidan 6, delad i fyra delar med hjälp två linjer. Den Figur 11.37: ena är en diagonal och den andra utgår från ett hörn och når mitten av en av de motsatta sidorna. Vilken area har de tre delarna A, B, C och D? Till din hjälp får du formlerna Triangelns area A = b h 2 Kvadratens area A = s s Problemlösning 11. Kronkastning (2) Har ni någon gång blivit erbjuden att kasta krona på ett rutat bräde? Hur många till synes Figur 11.38: lättförtjänta kronor förlorade ni? Den som håller bank i spelet lägger ut ett bräde på golvet. Brädet är indelat i kvadrater med sidan 5 cm. Ni erbjuds att från någon meters håll kasta enkronor på brädet. Reglerna är följande En krona som faller vid sidan av eller rullar bort från brädet återgår till spelaren. En krona som hamnar hel och hållen inom en ruta, återlämnas till spelaren tillsammans med en vunnen krona från banken. En krona som hamnar tvärs över gränslinjen/gränslinjerna mellan två, tre eller fyra rutor är förlorad och går till banken. I figuren är alltså krona A förlorad. Krona B ger vinst. Ni kan gått utgå från att slumpen råder i spelet, det vill säga, att spelarens skicklighet inte har någon betydelse. Om vi bortser från att linjerna som skiljer rutorna åt har en viss tjocklek hur stor är då chansen att spelaren ska vinna en krona? Vi räknar med att en kronas diameter är 25 mm. Håkan Strömberg 22 KTH STH

Problemlösning 12. Pingisturneringen (2) Till skolmästerskapet i bordtennis i mixed anmäles fem skolor. Norra, Södra, Östra, Västra och Centralskolan. Varje lag hade två deltagare, en kille och en tjej. Flickorna hette Berit, Emma, Siv, Viktoria och Helen. De fem pojkarna hette Ingvar, Lennart, Max, Paul och Ted. Reglerna säger att ett lag blir utslaget då det förlorat tre matcher och det lag som återstår när fyra lag slagits ut är segrare. Turneringen startade en måndag kväll. Tre matcher var därefter schemalagda varje kväll. Om spelet inte är slut efter torsdag kväll, fortsätter matcherna på fredagen tills en vinnare blivit korad. Här är spelschemat: Måndag Match nr Lag 1 Öst - Väst 2 Nord - Syd 3 Central - vinnaren i första matchen Tisdag Match nr Lag 1 Förlorarna från måndagens två första matcher 2 Vinnarna av måndagens två sista matcher 3 Vinnare från kvällens första match, mot det lag som inte spelat tidigare i kväll Onsdag Match nr Lag 1 Förlorarna från tisdagens två första matcher 2 Vinnarna från tisdagens två sista matcher 3 Vinnaren från kvällens första match mot det lag som inte spelat tidigare i kväll Torsdag Match nr Lag 1 Vinnarna från onsdagens två sista matcher 2 Förlorarna från onsdagens två första matcher 3 Vinnarna från kvällens tidigare matcher Fredag Match nr Lag?? 1 Emma spelade i andra matchen både på måndagen och tisdagen. 2 Väst vann sin enda match i turneringen på måndagen Håkan Strömberg 23 KTH STH

11.1. GRAFER 3 Max och hans medspelare deltog totalt i fem matcher innan de blev utslagna i den andra matchen på torsdagen. 4 Syd spelade i första matchen både på tisdagen och onsdagen 5 Helen och hennes medspelare vann två matcher på tisdagen 6 Ingvar och hanns partner vann onsdagens andra match 7 Viktorias lag vann torsdagens första match 8 Paul och Siv möttes under onsdagens tredje match 9 Teds lag förlorade tredje matchen på torsdagen 10 Centralskolan fick stryk i torsdagens första match 11 Skolan som gav Nord deras tredje förlust spelade ytterligare två matcher, men vann inte turneringen. Vilka spelade i de olika lagen? Vilka matcher spelades på torsdagen och fredagen och hur slutade de? Vilket lag vann alltså turneringen? Håkan Strömberg 24 KTH STH

Laboration Laborationsuppgift 1. Hur många siffror (2) Hur många siffror finns det i talet 300!? Hur många av dem är 2:or? Laborationsuppgift 2. Vilka summor? (2) En lista innehåller n tal ur mängden {0,1,2} (med hänsyn tagen till ordningen, och med upprepning tillåten). Ta med hjälp av Mathematica reda på vilka summor som är möjliga för n = 2...6 och på hur många olika sätt de kan bildas. Om n = 2 finns det nio olika listor 00 01 02 10 11 12 20 21 22 Summan av dessa listor kan bli mellan 0 och 4. Det finns 0 1 2 3 4 antal 1 2 3 2 1 Laborationsuppgift 3. Beräkna summa (2) Beräkna n ( ) n 2 k k för n = 1...10. k=0 Laborationsuppgift 4. Tärningsfunktion (2) Kast med tärningar. På hur många sätt kan till exempel summan 15 bildas med hjälp av 5 tärningar om tärningarna har olika färger (alltså med hänsyn tagen till ordningen)? Du ska skriva en funktion som tar emot uppgift om önskad summa och som returnerar antalet möjligheter att åstadkomma denna summa. Laborationsuppgift 5. Pojkar i urnan (2) Listan m innehåller de fem pojknamnen Adam, Bertil, Curt, David och Erik. Du ska nu utifrån denna lista skapa fyra listor med följande innehåll: Alla urval med tre namn, där ordnigen är viktig och upprepning tillåten. Alla urval med tre namn, där ordningen är viktig och upprepning inte tillåten. Alla urval med tre namn, utan hänsyn till ordningen och där upprepning inte är tillåten. Alla urval med tre namn, utan hänsyn till ordningen och där upprepning är tillåten. Ta reda på antalet element i varje lista och jämför med urnmodellen Håkan Strömberg 25 KTH STH

11.1. GRAFER Laborationsuppgift 6. Delmängder utan konsekutiva tal (2) En mängd M innehåller de positiva heltalen {1,2,3...n}. Från denna mängd kan man skapa 2 n delmängder. Hur många av dessa delmängder saknar konsekutiva tal, (på varandra följande tal)? Exempelvis från M = {1,2,3,4}, kan bland andra mängderna {1,3}, {2} och {1,3,4} skapas. De två första har inga konsekutiva tal, vilket den sista har. Bestäm nu antalet delmängder med denna egenskap för n = 1...10 och identifiera denna talföljd! Laborationsuppgift 7. Rekursionsformel (2) Man definierar a(1), a(2),... med hjälp av följande rekursionsformel { n 10 om n > 100 a(n) = a(a(n+11)) om n 100 Bestäm a(k), k 101 och a(k), 102 k 200. Försök konstruera en formel som direkt ger svaret för givet värde på n. Laborationsuppgift 8. Hur många termer? (2) Uttrycket (x+y+z) 2 innehåller 6 termer (x+y+z) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz Skriv en funktion i Mathematica som tar reda på antalet termer hos det utvecklade (x + y+z) n, för n = 1...10. Det anses speciellt förtjänstfullt om du till sist kan finna en formel uttryckt i n, som direkt ger svaret. Laborationsuppgift 9. Vägmätarna (2) I Admas bil finns en kilometermätare med 6, siffror. Just nu står den på 006600 km. Detta är en palindrom eftersom talet får samma värde då det läses baklänges. Bertils bil har en mätare med enbart 5 siffror, som just nu visar 18981 km även det en palindrom. Curt, till sist, har en moped, vars mätare endast har 4 siffror och som visar 5335 km. Eftersom Adam fyllde år den här dagen, fick han i present av sina vänner deras vägmätare, som han omedelbart monterade in i sin bil. Efter hur många kilometer, kommer då följande mätare att samtidigt visa, två palindromtal nästa gång? Adams och Bertils Adams och Curts Bertils och Curts Adams, Bertils och Curts Tänk på att mätarna slår runt och börjar på noll igen efter 9999, 99999 respektive 999999 km. Bästa valet är här kanske C. Håkan Strömberg 26 KTH STH

Laborationsuppgift 10. Summering kors och tvärs (2) Nedan ges ett antal summor uttryckta på två olika sätt, samt ett uttryck som ger summan för givet n. Din uppgift blir nu att para ihop dessa uppgifter tre och tre genom att ange tillhörande bokstäver. a) n i=1 i4 b) 3+5+7+9+... c) n(n+1)(2n+1) 6 d) n i=1 i2 e) 1+2 3+4... f) ( 1) n 1+( 1) n n g) j) m) p) n i=1 i3 h) 1+4+9+16+... i) n+n(n+1) n i=1 ( 1)i (2i+1) k) 3+5 7+9... l) n i=1 2i+1 n 2 (n+1) 2 n) 1+16+81+256+... o) ( 1) n 2n+( 1) n 1 4 n i=1 ( 1)i i q) 1+8+27+64+... r) 4 n(n+1)(2n+1)(3n 2 +3n 1) 30 Laborationsuppgift 11. Vilket heltal? (2) Vilket är det minsta heltal, som, när det delas med talen 2...10 så får man i tur och ordning resterna 1...9? Laborationsuppgift 12. Siffror saknas (2) I de tre talen 90abc17, 79abc och 491abc4 innehåller alla de tre siffrorna a, b och c. Välj dessa så att de tre talen får en gemensam delare > 1. Håkan Strömberg 27 KTH STH

11.1. GRAFER Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Vi löser problemet med Mathematica genom GraphicQ[{5, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 1}] False GraphicQ[{6, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2}] True Lösning Teoriuppgift 2 Figur 11.39: Lösning Teoriuppgift 3 << Combinatorica g = CompleteGraph[4] ShowGraph[g] 1 5 2 4 3 Figur 11.40: Lösning Teoriuppgift 4 B och C, som båda har två noder med gradtalet 4. A har ingen nod med det gradtalet. Håkan Strömberg 28 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 5 K 6 har bågar. Olikheten ger n 33 noder 6 5 2 = 15 n(n 1) 2 500 Lösning Teoriuppgift 6 C 5 till vänster har komplementet C 5 till höger. Figur 11.41: Lösning Teoriuppgift 7 G har bågar. v(v 1) 2 e Lösning Teoriuppgift 8 Antal noder är 2(n 1) Lösning Teoriuppgift 9 Endast för n = 5 gäller detta. Se figur 11.41 Lösning Teoriuppgift 10 G och G har samma antal bågar. Det vill säga 8 7 2 2 = 14 Lösning Teoriuppgift 11 Ja. Lösning Teoriuppgift 12 Om G saknar cykler är G ett träd. Ett träd med p noder har p 1 bågar. Detta medför att summan av gradtalen är 2p 2 som är < 2p. Alltså har G åtminstone 2 cykler. Håkan Strömberg 29 KTH STH

11.1. GRAFER Lösning Teoriuppgift 13 Formeln 2n+1 ger svaret 2 10+1 = 21 Lösning Teoriuppgift 14 1 Lösning Teoriuppgift 15 n 1. Grafen är då ett träd. Lösning Teoriuppgift 16 Om vi i tur och ordning testar med 1... 3 1:or kan vi konstatera att dessa sekvenser inte är grafiska. men 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1 ger genom sekvensen 54321111 32100111 32111 32111 1001 11 11 0 Lösning Teoriuppgift 17 Trädet är en väg och en stig. Ingen av noderna eller bågarna besöks fler än en gång. Lösning Teoriuppgift 18 4 Lösning Teoriuppgift 19 5,4,3,3,2,2,2,2,1 Lösning Teoriuppgift 20 Lösning Teoriuppgift 21 Det finns 18 grafer. Håkan Strömberg 30 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 22 Det finns bara en. Lösning Teoriuppgift 23 f[n_] := Block[{L}, L := Flatten[Join[Table[7,{n}],Table[6,{n}],Table[5,{n}]]]; GraphicQ[L] ] Table[f[i], {i, 1, 10}] {7,7,7,6,6,6,5,5,5} är svaret. Lösning Teoriuppgift 24 För 4,6,8,10,12,14 f[n_] := Block[{L}, L := Table[3, {n}]; GraphicQ[L] ] Table[{i, f[i]}, {i, 1, 14}] Håkan Strömberg 31 KTH STH