8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K

8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K ( s) =, K > Ts + A R ( ω) = ( jω) = K + ( ωt ) ϕ ( ω) = ( jω) = artan( ωt ) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet A R / K oh fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen: 2 AR/K Fasförskjutning (grader) 2 2 2 ωt 2 4 6 8 2 2 ωt 8-

System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Vi har tidigare härlett 2 n Kω ( s) =, K > 2 s + 2ζω s + ω n 2 n A R = n K 2 2 2 ζω ωn ( ( ω/ ω ) ) + (2 / ), ω ωn 2 ζω / ω n artan om ω 2 < ( ω / ωn ) ϕ = π /2 om ω = ωn 2 ζω / ωn π artan om ω > ω 2 n ( ω / ωn ) ω n Vi har okså visat att vi vid vinkelfrekvensen ω = ω n 2ζ får en resonanstopp med amplitudförhållandet A R 2 K = 2 2ζ ζ 8-2

ζ =..2.3.4.5.7. AR/K 2. 2 ω/ω n 2 4 2..2.3.4.5.7. ζ =. fasförskjutning ( o ) 6 8 2 4 6 8 ω/ω n 8-3

Dödtid För en dödtid L med överföringsfunktionen s () = e Ls har vi härlett A R ( ω ) = ϕ( ω) = Lω Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen att öka obegränsat, oh desto snabbare ju större dödtiden är. AR 2 ω L fasförskjutning ( o ) 2 3 4 5 6 2 ω L 8-4

Element i serie För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen = 2 n har vi visat att totala amplitudförhållandet oh fasförskjutningen ges av A = A A A R R, R,2 R,n ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ 2 n Logaritmering av uttryket för amplitudförhållandet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R,2 R, n Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade amplitudförhållanden i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens fasförskjutningar. 8-5

8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y y m - m v p Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av kretsöverföringen L = L m p v Antag =, m = v L.s e p = oh = K. Då blir.5s +.s K e K.s = = e.5s +.5s + Vid frekvensen ω = 7 rad/min (antages att dödtiden oh tidskonstanten är uttrykta i minuter) fås fasförskjutningen ϕ = artan(.5 7). 7 8 = π Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är 8 kallas för systemets kritiska frekvens ω. Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir K AR (7) =.7 K 2 + (.5 7) Om K = /.7 = 8. 56 så fås A R (7) =. 8-6

Om ledvärdet r = sin( 7t) oh kretsen är öppen så blir ym = AR (7) sin(7 t π ) = sin(7 t) efter en stund. Om kretsen samtidigt slutes oh r =, så blir insignalen till r y = m sin( 7t), dvs samma som tidigare, kretsen fortsätter att osillera av sig själv!. Antag att K > 8. 56, dvs A R > vid ω = 7. Om vi upprepar samma som ovan blir ym = AR sin(7 t ) i öppen krets, oh när kretsen slutes har insignalen till större amplitud än tidigare, y m blir större exponentiellt ökande osillationer kretsen är instabil! 2. Antag att K < 8. 56, dvs A R < vid ω = 7. Vid slutning av kretsen fås då exponentiellt avtagande osillationer kretsen är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt om A R > vid den kritiska frekvensen ω för kretsöverföringen, annars är det stabilt. L OBS. Om vi testar Bodes stabilitetskriterium på L stabilitet för, d.v.s. den slutna kretsen. + L ett godtykligt antal av delelementen i L. L, så avgörs L får innehålla 8-7

I praktiken bör följande två steg utföras vid test av Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm den kritiska frekvensen ω, d.v.s. den frekvens som kretsöverföringen fasförskjuter med 8 2. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen ( = AR ( ω )). Om A R ( ω ) < så är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på två olika sätt:. rafiskt genom att rita Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ω kan utläsas ur fasförskjutningsdiagrammet, oh amplitudförhållandet vid ω ur AR -diagrammet. 2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen π = ϕl (ω), där ϕ L avser kretsöverföringens fasförskjutning, m.a.p. frekvensen ω. 8-8

8.3.2 Iterativ beräkning av kritisk frekvens Vi utnyttjar det faktum att den totala fasförskjutningen för ett system med flera element i serie Ls L() s Ke = ( n ) ( N ) Ts Tns T + s + T s + + + fås genom att addera delelementens fasförskjutning. Vid den kritiska förstärkningen ω har vi fasförskjutningen π, dvs n π = Lω artan( Tω ) + artan( Tω ) i i i= i= n+ n N N ω = π artan( Tiω) + artan( Tiω) L i= i= n+ (*) ω kan ibland beräknas iterativt på detta sätt. Om kretsöverföringen innehåller underdämpade delsystem av andra ordningen modifieras (*) enligt formlerna för fasförskjutningarna för respektive element. Formeln (*) konvergerar dok inte alltid oh dessutom kan den inte användas om vi saknar dödtid. Vi tar till ett trik oh beräknar ω enligt n N ω = ω + a π Lω artan( Tiω) + artan( Tiω) i= i= n+ där konstanten a skall vara sådan att konvergens uppstår. Man kan visa att n N a = 2 L+ Ti Ti i= i= n+ alltid ger konvergens men den kan vara ganska långsam. Som startvärde för iterationen kan t.ex. användas ω = (men uppenbarligare kan man göra smartare startgissningar). 8-9

Övning 8.3 Bestäm kritiska frekvensen oh normerade amplitudförhållandet vid densamma för ett system med kretsöverföringen L () s = () s 2() s 3() s 4() s där 4s.5 () s = e, 2() s = 2s +, 2.8 3 ( s) =, 4 ( s) = s + 5s + rafisk lösning med Bodediagram L 2 2 ω L 2 3 4 5 2 ω 8-

8.3.3 Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av t.ex. L, real( L ( jω)), som funktion av imaginärdelen av L, imag( L ( jω)). Den kurva som uppstår kallas för Nyquistkurva. Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium. Det förenklade Nyquist-kriteriet: Ett återkopplat system är instabilt om Nyquistkurvan ( ω = ) för kretsöverföringen skär negativa realaxeln till vänster om punkten (-,). Annars är det återkopplade systemet stabilt. Exempel 8.2. Nyquist-kurvorna för systemet i Övning 8.3 med K =,.49, 2 ser ut enligt följande:.5.5 Imag( L (jω)).5 2 2.5 K =, stabilt K =.49, på gränsen 3 K =2, instabilt 3.5 4 2 2 3 4 5 Real( L (jω)) 8-

Ett lite allmännare Nyquist-kriterium: Ett återkopplat system är instabilt om Nyquist-kurvan ( ω = ) för kretsöverföringen bildar ett tak över punkten (-,). Annars är systemet stabilt. OBS. Detta kriterium gäller helt allmänt så länge kretsöverföringen ej har poler eller nollställen i högra halvplanet. Det finns ett Nyquistkriterium som beaktar även detta fall, som dok är avsevärt mera komplierat, se t.ex. Shmidtbauer eller lad oh Ljung. OBS 2. Det beaktar t.ex. okså teken, så man kan undersöka nedre stabilitetsgränsen för K i övning 8., som följande figur illustrerar: 2.5 Imag( L (jω)).5.5 3 2.5 2.5.5.5 Real( L (jω)) 8-2

Övning 8.4 Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K e. Ls a) Hur ser Nyquist-kurvan ut? b) Vad blir stabilitetsintervallet för K? Övning 8.5 En proess som kan modelleras som en ren dödtid regleras med en P-regulator. Reglerventilen oh mätinstrumentet har försumbar dynamik oh deras förstärkningar är K v =. 5 oh K m =.8. När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår svängningar med en konstant amplitud oh perioden minuter. a) Vilken är regulatorns förstärkning? b) Hur stor är dödtiden? 8-3

8.3.4 Stabilitetsmarginaler Förstärkningsmarginal Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) A m säger hur myket vi kan öka på regulatorförstärkningen utan att den slutna kretsen blir instabil. Den är definierad som Am = AR ( ω) där A R är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För stabilitet krävs att A m >. Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverföringen L =. Bestäm en P-regulator som har för-.s Ke.5s + stärkningsmarginalen A m =.7. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för. är.5 minuter? Från tidigare har vi ω = 7 rad/min, AR ( ω ) =.7 K. Vi kräver A ( ω ) = A som ger K = 5. R m Dödtiden L =.5 min ger iterativt enligt ω = ω + 3 π.5ω artan(.5 ω ) [ ] ( a = 2 / (.5 +.5) 3) kritiska frekvensen ω =.6rad/min. Vid denna frekvens är amplitudförhållandet 5 A R (.6) =.85 < 2 + (.5.6) vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden L =.5 min. 8-4

Fasmarginal Med fasmarginal ϕ m menas hur myket den negativa fasförskjutningen får öka vid den frekvens där kretsöverföringen har förstärkningen, utan att den slutna kretsen blir instabil. Bodes stabilitetskriterium säger att AR ( ω ) <, dvs om vi vid en frekvens ω g har AR( ω g) =, så kräver stabilitet att vi vid denna frekvens ha en mindre negativ fasförskjutning än 8. Frekvensen ω g kallas för överkorsningsfrekvens. Uttrykt matematiskt så definieras fasmarginalen ϕ m som m g AR g ϕ = ϕ( ω ) + 8, ( ω ) = För stabilitet krävs att ϕ m >. ϕ( ω g) oh AR( ω g) skall givetvis beräknas för kretsöverföringen. Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som ovan, som har ϕ m = 3. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för. är.5 minuter? Vi söker först ω g så att ϕ( ωg ) = ϕm 8 = 5 = 5 π /6. Vi kan använda liknande iterativ beräkning som ovan. Vi får ωg = ωg + 3[ 5 π / 6.ω artan(.5 ω) ] som ger ω g = 2. rad/min. AR( ω g) = motsvarar K A R (2.) = = K = 6.4 2 + (.5 2.) Om dödtiden L =.5 min är enligt Ex. 8.5 ω =.6rad/min. 6.4 A R (.6) =.4 > 2 + (.5.6) instabilt 8-5

Exempel 8.5. Förstärknings- oh fasmarginaler kan enkelt.s Ke avläsas ur Bode-diagram. För kretsöverföringen L =.5s + med K = 5 fås Bode-diagrammet nedan med angivna förstärknings- oh fasmarginaler. L ω g /A m L 2 ω 5 5 fasmarginal 2 ω 2 ω 8-6

8.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning 8.4. Ziegler-Nihols svängningsmetod Numerisk bestämning av stabilitetsgräns I praktiken vill man inte att ett reglersystem skall vara på gränsen till instabilitet. Detta p.g.a.. Ett system på gränsen till instabilitet håller på oh svänger i all evighet. 2. Man har aldrig perfekt modell Av dessa orsaker vill man hålla ett visst avstånd till stabilitetsgränsen, en stabilitetsmarginal. En mindre förstärkning än den maximala borde ge en viss stabilitetsmarginal ω säger något om möjlig snabbhet för systemet Rekommendationer enligt Ziegler-Nihols:. Sök den kritiska frekvensen ω för kretsöverföringen utan regulator (dvs ) m p v 2. Beräkna AR ( ω ) 3. Beräkna maximal stabiliserande förstärkning, dvs K,max AR ( ω) = K,max = A R ( ω ) 4. Utgående från max, K oh ω beräkna regulatorparametrar enligt nedanstående formler 8-7

P-regulator: PI-regulator: PID-regulator: K =.5K, max K =.45K, max P 2π 5 Ti = =.2.2ω ω K =.6K, max P 2π 3 Ti = = 2 2ω ω P 2π.8 TD = = 8 8ω ω P är periodtiden för svängningar med frekvensen π P = 2. ω ω, dvs OBS. Z-N rekommendationer garanterar ej god reglering eller ens stabilitet. Man bör använda stabilitetsanalys eller testa regleringen i praktiken OBS 2. Z-N ger ganska kraftig reglering, man vill i praktiken ofta ha lite försiktigare reglering (minska K, öka T i ). Detta beror delvis på att Z-N rekommendationer är tänkta för konstantreglering, ej servoreglering. 8-8

Experimentell bestämning av stabilitetsgräns För att experimentellt bestämma K, max oh ω för ett system måste man ha en återkopplad PID-regulator tillgänglig. Följande steg bör utföras:. Sätt T i = oh T d =, dvs så att vi får en P-regulator. 2. Pröva med ett värden på regulatorförstärkningen K. 3. ör liten stegförändring i börvärdet, registrera utsignalens beteende. 4. Om vi får stående svängning, så har vi hittat K, max = K, periodtiden för svängningarna är P, dvs de stående svängningarna har frekvensen ω. Om svängningarna är avtagande, så öka på K oh återgå till punkt 3. Om svängningarna är växande, så minska på K oh återgå till punkt 3.,max K oh P kan uttnyttjas direkt för design av PID-regulator enligt Ziegler-Nihols. 8-9

Exempel 8.6. I övning 8. oh exempel 8.2 kom vi fram till att K. 49. Stegsvaren för den slutna kretsen ser ut på, max följande sätt om vi väljer respektive K = K :.5, max K =.2K, max, K = K, max 3 utsignal 2 K =.2K,max 2 3 4 5 6 7 8 9 3 utsignal 2 K = K,max 2 3 4 5 6 7 8 9 3 utsignal 2 K =.5K,max 2 3 4 5 6 7 8 9 tid Som vi ser erhålls stående svängning i den mittersta figuren med K = K, max. Man kan även utläsa en periodtid P på a 3 tidsenheter. Detta betyder att ω = 2π / P. 29, vilket är helt tillräkligt nära det mera exakta värdet.27. 8-2

Övning 8.6 Bestäm K, max för nedanstående system med frekvensanalys. r + y v - m p p =, v =, m =, = 5s + 2s + s + K Övning 8.7 Ställ in en P-, PI- samt PID-regulator för systemet i övning 8.6. 8-2

8.4.2 Design av lead-lag kompensatorer Idén med s.k. lead-lag design är att utgående från en känd överföringsfunktion för systemet i fråga designa PI- oh/eller PD-regulatorer så att givna stabilitetsmarginaler uppfylls. Regulatorerna kan användas som sådana eller kombineras till en seriekopplad PI-PD-regulator,. PI-lag dimensionering PI-regulator: + Ti s PI ( s) = K + = K Ti s Ti s Lag-filter: + Ti s + Ti s lag ( s) = a =, a > + at s i + Ti s a Lågfrekvensförsärkningen ges av lag ( ) = a, oh om vi sätter a =, fås (nästan) en PI-regulator + Ti s lag ( s) = = PI ( s) / K Ti s Vi begränsar oss till dylika lag-filter. 8-22

Bode-diagrammet för ett lag-filter ser ut enligt följande: 2 lag 2 2 ω/t i 2 lag 4 6 8 2 2 Man kan dimensionera PI-regulatorn enligt följande priniper:. Dimensionera regulatorförstärkningen K så att vid ren P- reglering fås önskad fasmarginal ϕ m + a. extra som lagfiltret kommer att bidra med. 2. Överkorsningsfrekvensen ω g ( AR( ω g) = ) för den P-reglerade kretsöverföringen ( K ) bestämmer integrationstiden så att T = 5 / ω. i g ω/t i K behöver ej justeras, eftersom lagfiltrets förstärkning är vid frekvensen ω g. Det är oftast inte lämpligt att välja längre integrationstid T i än det som rekommenderas ovan (i motsats till Z-N). 8-23

Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som beskrivs av överföringsoperatorn s e ( s) = s + som ger a) ϕ m = 3 b) ϕ m = 6. Beräkna även regulatorinställningar enligt de olika rekommendationerna i avsnitt 7.3. Resultaten sammanfattas i tabellen nedan. 3 Z-N C-C ITAE CHR % CHR 2% Konst. konst. konst. K 9.8 9. 9.8 8.5 6. 7. T 5.3 3.33 2.75 3. 4. 2.3 i 6 ITAE följe CHR % följe CHR 2% följe K 5.43 4.83 3.5 6. T 9.36 9.87 2.. i 8-24

.8.6.4.2.8.6.4.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) (heldragen), b) ϕ m = 6 (strekad). ϕ m = 3 Vi kan även testa approximativa samband: stigtiden t s. 4 oh insvängningstiden t ω g 5% 6 ω tan( ϕ ). a): t s. 4, t 5%. 7, exp. ts 2.9-2. =.8, t5%.5 - =.5. b): t s 2. 6, t 5% 6. 5, exp. ts 3.6-2.2 =.4, t5% 6.2 - = 5.2. g m 8-25

Det är enkelt att göra PI-lag dimensionering med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås 2 2 5 5 2 2 Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom att rita Bodediagram för kretsöverföringen L = : 4 L 2 2 2 L 5 5 2 2 8-26

PD-lead dimensionering En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen PD ( s) = K D + αt PD regulator Ds ( + T s), α. lågpassfilter Detta påminner om ett lead-filter: ( + TDs) lead ( s) =, b > b TD + s b Förstärkningsfaktorn / b införs för att få förstärkningen vid maximalt faslyft: lead b /T d b/t d b/t d / b lead lead,max o ω Bodediagram för leadfilter 8-27

Värdet på parametern b (den s.k. leadkvoten) bestämmer maximala faslyftet ϕmaxenligt b ϕmax = arsin, ϕmax < b + Man kan även avläsa behövligt b ur figur 8.5. 9 7 6 5 lead,max 4 3 2 5 5 2 25 Maximalt faslyft ϕ max vid frekvensen b / TD som funktion av leadkvoten b för ett leadfilter b 8-28

Vi kan utnyttja detta till design av en PD-regulator D PD( s) = Klead ( s) = K b TD + s b K T ( b) s D / = + b TD + s b ( + T s) Dimensionering kan ske enligt följande:. Välj K så att vid ren P-reglering (b = ) fås önskad överkorsningsfrekvens ω. g 2. Om inte fasmarginalen är tillräklig används leadfiltret för att lyfta fasen, avläs nödvändig b-parameter ur figuren, oh sätt maximal faslyft vid ω = b / T T = b / ω. g D D g OBS: Slutlig regulatorförstärkning är Till sist några varningar: K b. Stora värden på b ger stora variationer i styrsignalen (kraftig deriverande verkan) 2. Fasmarginal räker ej alltid till, man behöver även ha tillräklig amplitudmarginal 3. Räker ej alltid med att vi har både stor fasmarginal oh stor förstärkningsmarginal, men det är sällsynt! 8-29

Kombinerad PI- oh PD-reglering (lead-lag) Kan användas för att:. eliminera regleravvikelse 2. få tillräklig fasmarginal 3. få önskad snabbhet, som beror av ω g < ωl. r u y + - PD PI p Den kombinerade regulatorn PIPD ( s) = K lag ( s) lead ( s) = har den asymptotiska amplitudkurvan K + Ti s T s i b ( + T s) T + b D D s PID K K / b /T i =.2ω g /T d b/t d =ω g b/t d Amplitudkurva för PI-PD regulator med asymptoter inritade 8-3

PI-PD-regulatorn kan designas enligt följande priniper:. Välj K så att önskat överkorsningsfrekvens ω g erhålls ( K AR ( ωg ) =, AR för endast systemet). 2. Välj konstanten b så att önskad fasmarginal + uppnås vid ω g 3. Plaera maximal faslyft vid ω g, dvs välj Td = b / ωg. 4. Välj slutligen Ti = 5 / ωg Några praktiska råd:. Man kan inte välja hur högt ω g som helst 2. Fasmarginalen (oh amplitudmarginalen) oh ω g bör kontrolleras med Bode-diagram. 3. PI-PD-regulatorn är ekvivalent med en PID-regulator med filtrerad D-verkan: + Ti s + TDs PIPD ( s) = K Ti s + T f s är ekvivalent med τ Ds PID ( s) = κ + + τis + τ f s om τi TiTd τ f = T f, τi = Ti + Td T f, κ = K, τ d = T f T τ i i 8-3

Exempel 8.8. En proess har överföringsfunktionen 4 ( s) = 3 ( + s) Bestäm en PI-PD-regulator som ger ω g = 2 rad/s oh fasmarginalen 35. De olika stegen i Bode-diagram: 4 2 2 4 6 2 2 5 5 2 25 3 2 2 8-32

Resultat i form av L,, oh. S T 3 2 2 3 4 5 2 2 8-33

Simulering av reglering:.5.5.5 5 5 8 6 4 2 2 5 5 8-34