Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars:

Talföljder Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljd En ändlig eller oändlig följd av tal uppställda i en bestämd ordning, t.ex. 1,, 4, 8, 16, 3, 64 (ändlig följd består av 7 element) 1,, 4, 8, 16, 3, 64,... (skall föreställa en oändlig talföljd) Vanligen betecknas talen med en bokstav med index, där bokstaven är densamma för alla tal i följden, medan index anger talets nummer i ordningen: Summatecken Produkttecken Fakultet a 1,a,a 3,... (a n ) 6 n=0 t.ex. symboliserar en talföljd med 7 element numrerade från 0 till 6 (a n ) n=1 symboliserar en talföljd med oändligt många element, ett för varje positivt heltal NX a k = a n + a n+1 + a n+ +... + a N k=n NY a k = a n a n+1 a n+... a N k=n n! =1 3... n Aritmetisk talföljd kallas en talföljd där differensen mellan intilliggande tal är konstant: 1,, 3, 4, 5, 6, 7,..., 5, 8, 11, 14, 17, 0,... 0, 15, 10, 5, 0, 5,... Geometrisk talföljd kallas en talföljd där kvoten mellan intilliggande tal är konstant: 1,, 4, 8, 16, 3, 64,... (här är kvoten =) 1 4, 1 8, 1 16, 1 3, 1 64 (här är kvoten = 1 ) Aritmetisk / Geometrisk summa (serie) kallas summan av alla tal i en aritmetisk / geometrisk talföljd 1++3+4+5 1++4+8+16 51

Formel för en aritmetisk summa Säg att vi vill beräkna s =3+6+9+... +96+99. Skriv talen två gånger under varandra i motsatt ordning: 3 6 9 1... 93 96 99 99 96 93 90... 9 6 3 Summerar vi radvis, får vi s. Det är emellertid också lätt att summera kolonnvis, eftersom alla kolonnsummor är lika: 3 + 99 = 6 + 96 = 9 + 93 =... =99+3 Totalt har vi 33 kolonner med kolonnsumma =10, alltså s = 33 10 =33 3+99. Den sista omskrivningen vill illustrera att kolonnsumma = medelvärdet av första och sista termen. Allmänt: s = (antal termer) (medelvärdet av första och sista termen) = = första termen + sista termen (antal termer) Ofta förekommande specialfall (som man egentligen alltid kan återföra sig på): 1++3+... + n = n (n +1) Formel för en geometrisk summa För varje x 6= 1och positivt heltal n har vi Om s = 1+x + x + x 3 +... + x n 1 + x n, så är x s = x + x + x 3 + x 4 +... + x n + x n+1 Subtrahera den andra likheten från den första, så tar de flesta termerna ut varandra: (1 x) s =1 x n+1 Således 1+x + x +... + x n = 1 xn+1 1 x = xn+1 1 x 1 En geom. talföljd, som inte börjar på 1, återför man på detta genom att bryta ut den första termen: 1 4 1 8 + 1 16 1 3 + 1 64 = 1 4 Ã 1+ µ 1 µ + 1 µ + 1 3 µ + 1! 4 5 = 1 4 1 1 1 1 = 1 4 33/3 3/ = 11 64 5

Induktionsprincipen, induktionsbevis Induktionsaxiomet Låt M vara en mängd av heltal. Då gäller: ¾ 1) n 0 M = M innehåller alla heltal som är n ) n M = n +1 M 0 Induktionsprincipen Låt P n beteckna en öppen utsaga, som innehåller heltalsvariabeln n. Då gäller ¾ 1) P n är sann för n = n 0 = P ) P n är sann = P n+1 är sann n är sann för alla heltal n n 0 Fås ur induktionsaxiomet genom att låta M = {n : P n är sann} Induktionsprincipen, starkare form Som föregående, men med ) utbytt mot ) P m är sann för alla heltal m med n 0 m n = P n+1 är sann Är ekvivalent med den första varianten. Induktionsbevis för att en öppen utsaga P n är sann för alla heltal n n 0 består av två delar: Del 1) induktionsbasen/induktionsbörjan : bevis för att P n0 är sann Del ) induktionssteget : bevis för att (P n = P n+1 ) är sann för alla n n 0, eller motsvarande för den starkare formen. induktionsantagande kallas förledet i implikationen (P n = P n+1 ) Välordningsprincipen Varje icke-tom delmängd av N (eller Z + ) har ett minsta element. Kan visas vara ekvivalent med induktionsaxiomet. Hur har man fått alla de där formlerna? Såväl T som V har avsnitt (4.3 resp. 4.), där de ger exempel på hur man skulle kunna pröva sig fram. Det är nyttigt att ha sett att även sådant trevande och famlande förekommer när man sysslar med matematik. Det finns emellertid ett par knep, som skulle lett snabbare till målet i mänga fall, och som dessutom skulle gjort induktionen överflödig, men vi hinner inte fördjupa oss i dem nu. 53

Rekursion, rekursiva definitioner, iteration (Flyktigt omnämnt i T: längst ner på sid.130 samt i vissa övningar.) Rekursiv definition För en följd som t.ex. 1,, 4, 8, 16, 3,... är det lätt att ge en formel som visar hur talen fås ur sitt ordningsnummer: a n = n, n =0, 1,, 3,... För talen i följden (kallas Fibonaccis följd efter en italienare Fibonacci från 100-talet) 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... är det inte alls lika lätt. Men det finns ett enkelt samband mellan ett tal och närmast föregående: 89 = 55 + 34 55 = 34 + 1 34 = 1 + 13, etc. Vi skulle kunna definiera (beskriva) talföljden på följande sätt: a 0 = 0 a 1 = 1 a n+1 = a n + a n 1, n =1,, 3,... Det första eller några av talen i början får vi ange explicit, sedan ger vi en regel som tillåter oss att successivt räkna fram efterföljande tal ur närmast föregående. En sådan definition kallas rekursiv. Rekursionsformel kallas en formel av typen a n+1 = a n + a n 1 ovan, som anger hur ett tal i en följd ska beräknas ur föregående tal. Iteration sägs föreligga när man upprepade gånger tillämpar samma beräkningsprocedur, t.ex. att beräkna tal i Fibonaccis talföljd genom upprepad insättning i a n+1 = a n + a n 1. Kommentarer till Thorbiörnson, kap.4 Formel (4.3) Stryk första summan och sätt parenteser kring k +1 islutetavandrasumman,såtrorjag att det ser klarare ut: k (k +1) 1++... + k +(k +1)= + k +1 Beviset för induktionsprincipen, sid.18 Som T själv antyder, det här är snarare ett axiom, d.v.s. något som antas utan bevis! T visar att induktionsprincipen kan härledas ur välordningsprincipen, men båda är lika lätta att tro på, så resonemanget blir en akademisk övning bara. Att välordningsprincipen skulle vara ekvivalent med urvalsaxiomet och Zorns lemma är FEL. 54

Induktionsbevis: extra exempel Våra läroböcker ger intrycket att induktion är bara till för summor och olikheter. Inte alls! Det väsentliga är att man återför sig till ett problem av samma typ, men med ett mindre heltal n. 1. Se den första figuren nedan. Givna är tre vertikalt uppsatta pinnar. På den första pinnen är ett antal ringformiga plattor av olika diametrar trädda. Uppgiften är att flytta dessa till den tredje pinnen under iakttagande av följande regler: (a) Endast en platta i taget får flyttas. (b) Man får aldrig ha någon platta ovanpå en med mindre diameter. (c) Den andra pinnen får användas som mellanstation. (Ett sällskapsspel från 1800-talet, som påstods ha verklighetsbakgrund: När Gud skapade Jorden, gav han ovannämnda uppgift till prästerna i Brahmas tempel (var det nu ligger någonstans) - med 3 diamantnålar till pinnar och 64 guldplattor att flytta. De skulle flytta en platta om dagen och lär hålla på fortfarande... I fallet n =3, t.ex., klarar man sig så här: Menhurgörmannärantaletplattorärstort? Vilket är det minsta antalet flyttningar som behövs för en hög med n st. plattor? 55

Lösning: Fallet n =1är klart: flytta direkt! Anta att vi känner till en procedur som fungerar för n plattor. Då skulle vi kunna utnyttja den till att flytta n +1plattor i tre steg: i) Flytta de n översta plattorna, fast till pinne och med 3 som mellanstation. ii) Flytta den största plattan från 1 till 3. iii) Flytta de n plattorna från till 3 med 1 som mellanstation. Klart! Hur många flyttningar blev det? Med a n = antalet flyttn. för n plattor har vi. Ett 4 4-rutbräde med en hörnruta borttagen, se nedan till vänster, kan täckas exakt, utan överlappning, med triomino -brickor (ordet släkt med domino ) av den typ som visas nedan till höger på följande sätt: a 1 = 1 a n+1 = a n +1+a n och räknar snabbt ut att de första a k :na är 1, 3, 7, 15, 31,... Det verkar som om a n = n 1 för alla n. Att kontrollera detta är en uppgift av precis den typ våra läroböcker behandlar: i) Det stämmer för n =1 ii) Om det stämmer för ett visst n, så stämmer det också för n +1, ser vi av följande uträkning: Visa att även 8 8-, 16 16- och allmänt varje n n -rutbräde med en hörnruta borttagen, kan täckas med ovanstående triominobrickor! Lösning: Man kan utnyttja övertäckningen av 4 4- brädet till att få fram en övertäckning av ett 8 8-bräde: a n+1 =a n +1=( n 1) + 1 = n+1 1 Att a n också är det minimala antalet, kan inses även det med induktion: Klart att a 1 =1är det optimala för 1 platta. Anta att a n är det optimala för n plattor. Vi visar att det då inte går att klara sig med färre än a n +1 flyttningar i fallet med n +1 plattor: Innan vi kan flytta den största plattan till pinne 3, såmåstevihaflyttat alla de andra till pinne. För det behövs inte mindre än a n flyttningar enligt induktionsantagandet. Efter att vi flyttat den största, så återstår det återigen att flytta n st. och det kunde inte göras snabbare än med a n flyttningar, så totalt krävs minst a n +1+a n. Klart. Lägg en triominobricka i mitten som figuren visar, så kan vi tänka oss resten uppdelad i 4 st. 4 4-bräden med en hörnruta borttagen. Sådana har vi övertäckningar för alltså klarar vi 8 8-brädet också! På samma sätt kan varje n+1 n+1 -bräde tänkas uppdelatt i ett triominofragment i mitten, samt 4 st. n n -bräden. Induktionssteget fungerar! 56

3. I hur många områden delas ett plan av n linjer i allmänt läge, d.v.s. då ingaparavlinjerärparallellaoch inga tre linjer går genom samma punkt? För n =3, exempelvis, får vi 7 områden: 1 4 Lösning: Låt a n = antalet områden för n linjer. Tänk dig att vi lägger till en linje i taget! Ponera att du vet vad a n 1 är för ett visst n. Kandudåsägavada n blir, d.v.s. kan du räkna fram hur många fler områden du får, när du lägger till den n:te linjen? Den n:te linjen kommer att skära alla de n 1 förstaochgöradetiolikapunkter detären konsekvens av förutsättningarna. Den kommer att delas in av dessa skärningspunkter i n st. intervall: 5 3 6 7... a n = ++3+4+... +(n 1) + n = 1+(1++3+... + n) = [aritmetisk summa, se sid.5] = n (n +1) 1+ 4. Givet en ändlig mängd, konstruera en lista över alla dess delmängder, som är sådan att den börjar med den tomma mängden och varje delmängd därefter fås ur föregående antingen genom att lägga till eller ta bort ett element. T.ex. om vi skall ha delmängderna av {a, b, c}, så skulle en acceptabel lista vara { }, {a}, {a, b}, {b}, {b, c}, {a, b, c}, {a, c}, {c} Lösning: Anta att vi klarar av problemet då antalet element i mängden är n och att vi nu står inför en mängd med n +1 element. Jag illustrerar med fallet då mängden är {a, b, c, d}. Vi väljer ut ett av elementen, säg d. Så börjar vi med att lista alla delmängder som inte innehåller d under iakttagande av reglerna ovan. Det kan vi göra för det är detsamma som problemet med en mängd med n st. element. Listan har vi uppskriven ovan. Så fortsätter vi med att upprepa listan, men i omvänd ordning och med element d lagt till alla delmängderna:..., {c, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {b, c, d}, {b, d}, {a, b, d}, {a, d}, {d} Varje intervall svarar mot ett gammalt område (från indelningen med n 1 linjer enbart), som nu delas i två. Områden, som inte har något intervall gemensamt med den n:te linjen, påverkas ej. Så antalet områden ökar med n: a n = a n 1 + n Tillsammans med det uppenbara a 1 =ger detta a = + a 3 = ++3 a 4 = ++3+4 57

5. Du har i skolan löst linjära ekvationssystem med ekvationer och obekanta ( -system), möjligen också system med 3 ekvationer och 3 obekanta. Hur gör man med ännu större system, som t.ex. x y z + w = 1 3x + 4y + 7z 1w = x 4y 3z w = 1 5x y 3z 31w = 0 Finns någon metod att klara av godtyckligt stora ekvationssystem? Ja, om alla ekvationerna är linjära som ovan. Proceduren kallas successiv elimination (eller Gausselimination) och tas upp i kursen Linjär algebra, men jag vill påpeka redan nu att huvudidén är just induktion: Om vi kan klara av ett system med n ekvationer, så kan vi också klara av ett system med n +1 ekvationer. I och med att vi kan klara av ett system med 1 ekvation enbart, så följer det av induktionsprincipen att vi kan klara av ett godtyckligt stort system. Vi kan reducera oss till system med färre antal ekvationer med hjälp av följande observation: Låt A, B, C och D stå för vilka uttryck som helst, t.ex. kan A stå för x y z +w och B för 1 och då kan vi skriva första ekvationen i systemet ovan som A = B. (Fast A, B, C och D behöver inte vara linjära!) Låt vidare k stå för ett godtyckligt tal. Då gäller ½ A = B C = D ½ A = B C + ka = D + kb (Med ord: Om de två likheterna till vänster är sanna, så är också de två likheterna till höger sanna, och omvänt: om likheterna till höger är sanna, så måste även likheterna till vänster vara sanna subtrahera ka = kb från andra ekvationen till höger, så fås ju andra ekvationen till vänster.) Detta betyder att vi i ett ekvationssystem kan addera en multipel av en ekvation till någon annan ekvation utan att därvid förändra lösningsmängden. Nu låter vi A = B symbolisera just första ekvationen i systemet ovan, medan C = D symboliserar först den andra, sedan den tredje? och slutligen den fjärde ekvationen i systemet. Samtidigt låter vi k stå för 3 resp. resp. 5 och ersätter C = D med C + ka = D + kb. T.ex. får vi den sista ekvationen nedan ur (5x y 3z 31w) 5(x y z +w) = 0 5( 1). Vi får följande ekvivalenta system x y z + w = 1 y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 Nu räcker det att kunna lösa ett system med 3 ekvationer, nämligen y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 För varje lösning (y, z, w) till detta delsystem, får vi en lösning till vårt ursprungliga genom att ta x = y+z w 1, så att även den första ekvationen blir uppfylld. Omvänt, måste varje lösning till det ursprungliga systemet ge även en lösning till delsystemet, så vi kan inte missa några lösningar! 6. Vilka belopp skulle man kunna betala jämnt om man hade obegränsad tillgång till 5- och 3-kr. mynt, men inga andra mynt/sedlar? Visa att alla belopp > 7 kr. går att betala! Lösning: Om vi kan betala n kr., så kan vi också betala n +3 kr. genom att lägga till ett 3 kr. mynt. Vidare har vi 8 = 5+3 9 = 3+3+3 10 = 5 + 5 Därmed kan vi betala alla belopp 8 kr. 58

7. Nedan har vi delat en kvadrat i 4 resp. 7 st. delkvadrater Går det att, på liknande sätt, dela i, säg, 1967 delkvadrater? Med undantag för n =, 3 och 5, så går det för alla positiva heltal n att dela en kvadrat i n delkvadrater! Bevis: Figuren ovan illustrerar att man ur en indelning i n delkvadrater kan få en indelning i n +3 kvadrater: Välj ut en delkvadrat, dra ett kors i den, d.v.s. dela in den i 4 delkvadrater, så som det är gjort med den övre vänstra fjärdedelen i figuren, så har vi en indelning med 3 st. fler delkvadrater! Så ett induktionsresonemang ger att en kvadrat kan delas in i 4, 7, 10, 13, 16, 19,...delkvadrater. Kan vi nu hitta en indelning i 6 delkvadrater, så får vi på samma sätt att det går att dela in i 6, 9, 1, 15, 18, 1,... delkvadrater. Kan vi hitta en indelning i 8 delkvadrater, så får vi att indelningar i 8, 11, 14, 17, 0, 3,... delkvadrater är möjliga. Då skulle vi ha täckt alla positiva heltal utom just, 3 och 5! Härärindelningari6 resp. 8 delkvadrater: 8. Längs en lång vandringsslinga i öknen finns ett antal vätskestationer. Vi antar att ens vätskebehov är proportionellt mot sträckan man går. Totala mängden dricksvatten i stationerna räcker för ett varv, men det kan hända att vissa stationer inte har tillräckligt för att man skall klara sig till nästa, medan andra har desto mer. Man kan alltså i allmänhet inte ta sig ett varv runt från vilken station som helst som startpunkt. Men hur är det om man får välja - går det alltid att hitta någon station, sådanattmankanklaraettvarv,ommanstartar där och sedan tar med sig vatten från efterföljande stationer? (Vi antar att det inte finns några begränsningar på hur mycket vi kan bära med oss!) Lösning: Ja, kan inses med induktion efter n = antalet vätskestationer. Klart för n =1. (Förutsättningen betyder då just att den stationen har tillräckligt mycket för ett varv. Anta att svaret är ja för ett visst antal n stationer och att vi nu har n +1 stationer. Vi väljer ut en av de två möjliga färdriktningarna det spelar ingen roll vilken, resonemanget fungerar lika bra för båda. Det måste finnas åtminstone en station, kalla den A, som har tillräckligt mycket vatten för sträckan fram till nästa station B motsatsen skulle innebära att den totala mängden vätska inte räcker för ett varv, i strid mot förutsättningarna! Nu kan vi tänka oss att station B läggs ner och allt dess vatten flyttas till A: Det spelar ingen roll för den fortsatta vandringen, om man får tillgång till B:s vatten vid B eller redan vid A för sträckan från A till B har vi tillräckligt medvattenfråna, enda skillnaden är att vi får bära mer. Men då har vi reducerat oss till samma problem, men med n stationer enbart och det kunde vi lösa, antog vi. Så då kan vi lösa problemet även för n +1stationer. 59

Kombinatorik: att lägga märke till Multiplikationsprincipen Lådprincipen (Dirichlets lådprincip) Permutationer Antalet permutationer av en mängd med n element (antalet omordningar, antalet sätt att ställa elementen i en kö) = n (n 1) (n )... 1=n! Ordnade delmängder Antalet ordnade delmängder med k st. element till en mängd med n st. element (antalet sätt att välja ut k element ur en mängd med n element med hänsyn till ordningen; Vretblad kallar detta antalet permutationer av k objekt valda bland n givna ) är = n (n 1) (n )... (n k +1)= n! (n k)! Delmängder (kombinationer) Antalet delmängder med k st. element till en mängd med n st. element (antalet sätt att välja ut k element ur en mängd med n element utan hänsyn till ordningen) µ n def. n (n 1) (n )... (n k +1) n! = = = k 1... k k!(n k)! Binomialkoefficienter kallas talen µ n k eftersom det är just de som uppträder som koefficienter i utvecklingen av (a + b) n, enligt Binomialsatsen nx µ (a + b) n n = a n k b k k k=0 Formlerna för binomialkoefficienter µ n = k n! k!(n k)! är ett kompakt uttryck tar litet plats och därför föredras i böckerna. Men det får inte tolkas så att man alltid måste räkna ut n! först, sedan k!, o.s.v.! Utnyttja hellre µ n n (n 1) (n )... (n k +1) = k k! för i den varianten har man redan förkortat en del gemensamma faktorer. (Om n <k<n,utnyttja att n k = n n k för att räkna med så litet k som möjligt.) Identiteter för binomialkoeffeicienter µ µ n n = k n k µ µ µ n +1 n n = + k k k 1 60

Pascals triangel Sållningsprincipen (strecken betecknar här antalet element i resp. mängd) A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C B C + A B C o.s.v enligt samma mönster för unioner av flera mängder Kommentarer till Thorbiörnson, kap.7 sid.46 ordnat par brukar man säga i stället för ordnad mängd i ett fall som denna övn.7.6 Den i ledningen antydda indelningen är sid.47- I stället för kombinationer av k element, kan man säga k-delmängder. sid.49 Läs kap. 7.3 strax efter formel (7.6)! (Paragrafen strax ovanför Ex. 7.13 samt beviset för formel (5), sid. 51 hänvisar till binomialsatsen.) Exempel 7.16 Resonerar man på samma sätt som i Ex. 7.15 leds man till att skriva svaret som 10! 7!3!. övn.7.10 T menar ord med fem bokstäver, inte ord med fem stavelser som det står i uppgiftstexten 61

Insändninguppgifter, omgång 3: induktion & kombinatorik 1. Låt a 1 = 1, a = 1, a 3 = 13,... a 9 = 13456789 (a) Ange en allmän formel för talen av typ a n = något Xmed n något med n (b) Ange en (alternativ) rekursiv definition av talföljden: a 1 =... a n = uttryck i a n 1 (c) Lägg märke till följande lustiga likheter: 9 1+ = 11 9 1 + 3 = 111 9 13 + 4 = 1111 9 134 + 5 = 11111... 9 13456789 + 10 = 1 111 111 111 Här är det frestande att tänka sig en fortsättning av typ 9 (...???...) + 11 = 11 111 111 111 9 (...???...) + 1 = 111 111 111 111 men vilka tal skall i så fall stå efter 9:an? Kan du ange en enkel metod att ta fram dem (med papper och penna enbart, helst)? Om du menar att mönstret kan fortsättas i all oändlighet, kan du också bevisa att din metod fungerar i all oändlighet?. Termerna a k iensumma P a k kanisintur vara summor: P ( P...). Parenteserna brukar utelämnas. a) Vad finns det för samband mellan mx j=1 k=1 mx j=1 nx a j b k, a j och b) Beräkna utan maskin 9X X100 jk j=1 k=1 nx b k? k=1 3. a) Följande produkt kan faktiskt minst lika enkelt framställas som en summa. Skriv med summatecken! (Utveckla parenteserna för n =0, 1,, 3, så ser du ett mönster!) ny ³1+x k k=0 b) Har du gjort rätt i (a), så har du fått en summa som det finns en formel för, så uttrycket går att förenkla ytterligare. Hur blir det? 4. Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1, a 1 = a n+1 = 3a n a n 1 Vad är a 100? Vad är a n för godtyckligt n N? (Det räcker nu inte att säga vad du tror, efter attharäknatut,säg,a,a 3,a 4, utan du får försöka ge en mera övertygande motivering!) 5. Visa med induktion att, om 0 <a k < 1 för k =1,, 3,..., n, så ny (1 a k ) 1 nx k=1 k=1 a k 6

6. För alla ickenegativa tal a och b gäller olikheten a + b ab =(ab) 1/ (olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde, kallas den) (Fås med a =( a),b= ³ b och kvadreringsregeln baklänges.) Man kan fråga sig om den går att generalisera till fler än två tal, så här: a k 0: a 1 + a +... + a n n n a 1 a...a n ³ =(a 1 a...a n ) 1/n (a) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n =p. (Tips: Utnyttja resultatet i fallet n =.) För vilka heltal n är då olikheten bevisad? (b) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n = p 1. (Tips: Sätt A = a 1+a +...+a p 1 p 1 och observera att A = a 1+a +...+a p 1 +A p ) För vilka heltal n är nu olikheten bevisad? 7. I en låda i en vrå i garderoben ligger huller om buller 10 gråa, 10 bruna och 10 svarta strumpor. Kalle vill ha två av samma färg, men lampan är trasig och han kan inte se färgerna. Hur många minst måste han ta för att vara säker på att få med sig två av samma färg? 8. Du ska placera 10 böcker på en (tom) hylla. Av dem handlar 5 om matematik, 3 om fysik och om kemi. Du vill att böcker i samma ämne står intill varandra. Hur många olika placeringar är möjliga? 9. Är det teoretiskt möjligt att alla er har olika tanduppsättningar? (Jag menar: Om man väljer ut två er, skall det skilja antingen i antalet tänder eller i fråga om vilka tänder de har om det är 1:a framtanden ovan till höger eller 6:e tanden nere till vänster, etc.) 10. Firman Bedrägeri med finess drivs av 7 st. kompanjoner som är något misstänksamma mot varandra. Debestämmersigförattbevarafirmans värdehandlingar i ett kassaskåp med flera lås och att ingen av dem får nycklar till alla låsen, utan det skall krävas att en majoritet är närvarande för att kunna öppna skåpet. Alltså: Ingen delgrupp om 3 personer skall besitta tillsammans nycklar till alla låsen, men varje delgrupp om 4 personer skall göra det. Hur många lås behöver skåpet ha? Hur många nycklar behöver var och en av kompanjonerna ha? 11. Avgör, utan maskin, vilket tal som är störst, 7 eller 8 1? Tips: 8=7+1. Tillämpa binomialsatsen. 1. För varje positivt heltal n och varje primtal p, gäller att n p n är delbart med p Bevisa detta med induktion, binomialsatsen och utnyttjande av det faktum att µ p, pprimtal, 1 k < p, alltid är delbart med p (Förklara varför!) k (Fermats lilla sats, kallas detta, efter fransmannen Fermat, 1601-1665, alla tiders främsta amatörmatematiker. Han var verksam som advokat, nämligen, men presterade förstklassig matematik på sin fritid.) 63

13. (Om du har tid.) Kring ett runt bord med p st. platser, där p är primtal, skall vi placera gäster av n st. nationaliteter. Vi intresserar oss dock inte för personerna själva, utan enbart för hur nationaliteterna placeras. Låt oss här skilja på placeringar och konfigurationer. Placeringar säger vi, när vi endast tar hänsyn till positionerna inbördes, d.v.s. en rotation av gästerna runt bordet anses inte ändra på placeringen. Konfigurationer säger vi, när vi tar hänsyn till de absoluta positionerna, d.v.s. två konfigurationer räknas som olika så fort vi kan peka på en stol som besätts av olika nationaliteter i de två fallen. (Vi skulle kunna säga att en placering är en ekvivalensklass av konfigurationer, där ekvivalensrelationen är Placering x kan öveföras i placering y genom rotation. ) Här exempel på två olika konfigurationer som dock representerar en och samma placering: amerikan, svensk svensk amerikan Här exempel på två olika konfigurationer som representerar olika placeringar: amerikan amerikan, svensk svensk Nu till frågan: Hur många olika placeringar, med minst två nationaliteter representerade, finns det? Vi går fram i små steg: (a) Hur många olika konfigurationer är möjliga, om vi även tillåter att alla gäster tillhör samma nationalitet? (b) Hur många konfigurationer/placeringar, där enbart en nationalitet förekommer, finns det? (Här spelar det ingen roll om vi räknar konfigurationer eller placeringar, eller hur?) (c) Visa att, om p är primtal, och en konfiguration med minst två nationaliteter roteras k steg, där 1 k<p, så får man inte samma konfiguration. (d) Visa att föregående påstående inte längre är sant, om vi stryker kravet på att p är primtal. (e) Besvara huvudfrågan med utnyttjande av resultaten i (a), (b) och (c). (f) Om du inte har gjort något fel på vägen, så kan du av resultatet i (e) sluta dig till Fermats lilla sats från fråga 1, d.v.s. du har ett alternativt bevis för den satsen! Ser du det? Att en sats kan bevisas på två så vitt skilda sätt, hoppas jag kan bidra till att förklara följande historia: Poeten NN hade som ung studerat matematik och hans matematikprofessor tillfrågades en gång hur det kom sig att NN bytt inriktning så drastiskt. Hans fantasi räckte inte till för att han skulle bli matematiker., svarade professorn. 64