Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen Konsultarbete Matematik D Skriftlig rapport till kunden!
Frågeställning: En jeep kan ta sammanlagt 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin. Anta att du färdas 1000 km i öknen och att bränsle bara finns vid startpunkten. Om du ska klara färden måste du placera ut dunkar i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går åt och hur ska depåerna placeras ut? Finn en lösning som är så bra som möjligt. Vi vet alltså hur mycket bensin vi kan ta med oss i jeepen och bränsleförbrukningen. Det vi ska ta reda på är var bensindepåerna ska placeras ut och hur mycket bensin som kommer behövas under resan. Målet är att hitta en lösning som gör att resan blir så effektiv och bränslesnål som möjligt. Svar: Vi ska på ett så effektivt sätt som möjligt åka 1000 km i öknen. Vår jeep kan dock bara frakta 200 liter åt gången så vi måste använda oss av egenfraktade bränsledepåer på vägen. En full tank räcker halva vägen. Den minsta volymen bensin som kan gå åt är 1535 liter. Utförande metod 1: Excel Denna enkla metod gick ut på att med hjälp av en uppritad sträcka baklänges räkna ut den mista möjliga volymen bensin som behövdes vid varje depå och på så sätt får fram en slutvolym vid start punkten.
Vi valde en sträcka på till exempel 100 km mellan depåerna. Det går då åt 40 liter bensin per sträcka och 80 liter tur och retur. Det gör så att 120 liter kan lämnas vid depån (200 80 = 120 liter). Eftersom att det behövs 200 liter vid den sista (det blir den första när vi räknar baklänges) depån, 500 km, måste man åka 3 gånger mellan den första och andra depån. Se bild 1. Detta räknade vi ut med (1): OBS! Vi avrundade uppåt för att det inte blir en 0,66e eller 2,25e osv. körning, det måsta bli heltal För att få fram hur mycket bensin vi behövde vid den andra depån använde vi oss av (2): Depåernas volymer adderas och en totalvolym fås. Detta var ett enkelt angreppsätt som inte gav några specifika resultat, förutom om den relativt trångliga proceduren gjordes många gånger. Men ett mer effektivt angreppsätt däremot var att använda Excel. På så sätt kan lättare avståndet mellan depåerna varieras och leda till olika resultat. Formler använda i Excel:
Bild 2 Med hjälp av Excel kunde V vid depårena och A beräknas med ungefär samma formler. Eftersom att dessa är beroende av varandra lyckades vi göra så att då vi ändrade avståndet mellan depåerna ändrades V och A automatiskt efter våra formler. Se Excel-bilder. På så sätt kunde olika avstånd mellan depåerna ställas in och enkelt visa hur V och A ändras. Då kunde utläsas att den totala volymen för resan blev minst då A går mot noll. Det betyder att avståndet A ska vara så litet som möjligt för att resan ska bli så bränslesnål som möjligt. Bild 3 Olika lösningar där A och V varierar.
Bild 4 Med hjälp av Excel fick vi enkelt fram olika resultat. Men den mest optimala lösningen är fortfarande inte helt självklar. Därför ska en tredje metod prövas för att få fram ett så bra resultat som möjligt. Metod 2: Algebraiskt Hittills har det antagits att avstånden mellan depåerna är samma, men är det verkligen den bästa lösningen? Vi undersöker då avstånden är olika. Bild 5
För att göra lösningen effektivare måste mer bensin fraktas kortare väg. Eftersom att B befinner sig 2/3 in på sträckan från start till A och B befinner sig på det maximalt effektiva avståndet, känns det rimligt att anta att C befinner sig 2/3 in på sträckan start till B. Men när vi behöver frakta större mängd bensin innebär det att avståndet minskar, så att onödigt mycket bensin slipper slösas på att frakta bensin. Eftersom att vi har en exakt volym som måste fyllas (bensin som krävs vid depå B) är det inte säkert att allting går jämt upp vid sträckan 2/3. Om det händer måste vi kompensera en aning för detta så att vi slipper åka en extra sträcka för att hämta små mängder för att komma upp till 400 liter. Vi undersöker: 2/3 av 200 är 133,333 2/3 av 133,333 är 88,888 Är 88,888 längdenheter från start en lämplig placering för C? Avståndet mellan B och C är 133,333-88,88 = 44,444 Varje bensindumpning blir då 200 2* 44,444 =111,111 För att vi ska kunna frakta över de 400 liter som ska finnas vid B krävs då att vi kör sträckan C till B 400/ 111,111 = 3,6 gånger. Men eftersom att vi på sista vändan bara åker halva sträckan måste vi räkna med att vi får med oss den mängden bensin, 44,444 liter. Vi använder detta i formeln och får: (400-44,444 )/ 111,111 = 3,2 vändor. Detta är inte optimalt men med 4 vändor transporteras för mycket bensin( 4(200 2 * 44,444 ) + 44,444 = 489 liter) och med 3 vändor blir det för lite( 3(200 2 * 44,444 ) + 44,444 = 378 liter). Dock gör 3 vändor att vi kommer närmare volymen vi vill ha (400 liter) och då känns det rimligt att vi använder det, men hur ska vi komma upp i 400 liter på 3 vändor? Vi kompenserar genom att minska avståndet mellan B och C en aning. Avståndet kan då beräknas på följande sätt: S är avståndet mellan B och C vi vill veta. C befinner sig alltså 133,333-40 = 93 längdenheter från startpunkten. När s är 40 räcker 3 vändor för att trasportera 400 liter från C till B. Eftersom det krävs precis 3 vändor som vardera drar 200 liter bensin måste vi ha 600 liter bensin vid C.
Bild 6 Vi fortsätter med samma metod för att räkna ut depå D. 2/3 av 93,333 är 62,222 Är 62,222 längdenheter en lämpligplacering för D? Avståndet mella C och D är 93,333-62,222 = 31,111 Varje bensindumpning blir då 200 2 * 31,111 = 137,777 För att vi ska kunna frakta över de 600 liter bensin till C som behövs måste (600 31,111 )/ 137,777 = 4,13 vändor köras. 4,13 är inte optimalt så det avrundas till 4. Hur gör vi för att komma upp i 600 liter på 4 vändor? Vi gör som i förra beräkningen. Eftersom det krävs 4 vändor och 200 liter bensin går åt vardera måste vi ha 800 liter bensin vid C. På samma sätt räknar vi ut placeringen av depåerna E, F och G. bensindumpning blir: Avståndet mellan G och H är 2,9911 längdenheter. Varje För att vi ska kunna köra 1400 liter till G
måste vi köra: 7,2 avrundas till 7. Men eftersom transporten mellan två depåer kräver bensin så kan vi omöjligen få med oss 1400 liter från H till G på 7 vändor. Därför måste vi åka 8 vändor från H till G. Om avståndet mellan G och H är 13,333 längdenheter blir placeringen av H: 8,97 13,333 = -4,360. Detta innebär att depå H hamnar bakom startpunkten. Då startpunkten redan ligger långt från målet är det onödigt att flytta den ännu längre bort. Vi räknar nu med starpunkten som depå H. för att ta reda på hur mycket bensin som måste tas med på den 8:e vändan måste först volymen bensin vid G efter 7 vändor beräknas. Detta innebär att på den 8:e vändan måste 1400 1274,374 = 125,626 liter bensin fraktas. Vi måste ta med oss 125,626 + 8,97 = 134,599 liter från start. Den totala bensinförbrukningen för hela resan blir Analys: I den första metoden visar resultaten att då avståndet mellan depåerna går mot noll blir bränsleförbrukningen minst. Det är inget specifikt svar och dessutom en tämligen orimlig lösning. Då avståndet blir mindre innebär det fler stopp, fler av- och påstigningar från bilen och mer bärande av bensindunkar. Eftersom att uppgiften är realistisk måste lösningen vara så realistisk som möjligt. Det känns inte realistiskt att den bästa lösningen innebär att man måste stiga ur bilen var tionde meter om sträckan är 1000 kilometer. Men vad innebär då den bästa lösningen? En optimal lösning kan antas vara en så bränslesnål men samtidigt tidsmässigt kort resa som möjligt. Realistiskt sett är det vad en bilist skulle se som mest optimal. Därför känns lösningen på Metod 2 som den optimala. Detta innebär att resan blir mest effektiv då avstånden mellan depåerna är olika. Resultatet visar även att det är optimalt att avstånden mellan depåerna är små i början och ökar ju närmare slutdestinationen jeepen kommer. Sedan efter halva vägen fylls tanken upp och resten körs hela vägen på en tank utan stopp. På det sättet behöver sträckorna mellan depåerna köras minst antal gånger och är därför den mest optimala lösningen. Men beroende på vad man tycker är den bästa lösningen blir svaret olika. Om den bästa
lösningen skulle innebära att göra så få stopp som möjligt blir avståndet mellan depåerna större och tiden bli kortare. Däremot blir mängden bensin större. Källor: Matematik 3000 ( 2000,Lars-Erik Björk, Hans Brolin) http://www.maths.lth.se/query/faq/jeep.pdf (2012-04-15)