~ växelström Det flyter växelström och inte likström i de flesta elnät världen över! Skälen är många. Hittills har det varit enklare att bygga generatorer som levererar växelspänning. Transport av elenergi över långa sträckor blir ofta billigare och kan ske med mindre förluster, om man använder växelström. De flesta eldrivna apparater fungerar bra på växelström, och i de fall då likspänning behövs, t ex i TV-mottagare, kan växelspänningen likriktas. växelström 1
1 Sinusformad växelspänning Vi låter en slinga rotera med konstant fart i ett homogent magnetfält (fig 1). Eftersom flödet genom slingan ständigt ändras, induceras en spänning i den. Slingans ändpunkter är anslutna till var sin metallring, och via kontakter som släpar mot ringarna kan man ta ut spänningen. Vi ansluter släpkontakterna till en känslig likspänningsvoltmeter och låter slingan rotera ganska långsamt. Voltmeterns visare pendlar fram och tillbaka kring sitt jämviktsläge. Den inducerade spänningen är en växelspänning. Byter vi ut voltmetern mot ett oscilloskop, kan vi se att spänningens variation med tiden liknar en sinuskurva. S Fig 1. I en roterande slinga i ett magnetfält induceras en växelspänning. N S Fig. Ett tvärsnitt av den roterande slingan. Vi förutsätter att slingan roterar med konstant vinkelhastighet ω och att slingan vid tiden t = 0 är vinkelrät mot magnetfältet. Vid tiden t är då vridningsvinkeln α = ωt. α Vi ska undersöka hur man matematiskt kan beskriva denna växelspänning. Vi räknar tiden från ett läge då slingan är vinkelrät mot flödeslinjerna. Vid tiden t har slingan vridit sig vinkeln α = ωt, där ω är slingans vinkelhastighet (fig ). Om slingans area är A och flödestätheten B, är det magnetiska flödet genom slingan vid tidpunkten t (avsnitt 4, kap 9): Φ = BA cos α = BA cos ωt Enligt induktionslagen är momentanvärdet av den inducerade spänningen lika med tidsderivatan av denna funktion: dφ e = = BAω sin ωt dt Det minustecken som erhålls vid deriveringen har inget praktiskt intresse. Den inducerade spänningen mellan slingans ändpunkter växlar ständigt riktning, och ingenting hindrar att vi räknar spänningen positiv då vinkeln α = ωt ligger i första kvadranten. I så fall bortfaller minustecknet: e = BAω sin ωt växelström
Det största värde spänningen antar är BAω. Vi inför beteckningen ê (uttal: e-topp eller e-tak) för det värdet och får: e = ê sin ωt Momentanvärdet för en sinusspänning: u = û sin ωt Fig 3. Om ω är av storleksordningen 1 rad/s hinner en vanlig likspänningsvoltmeter visa växelspänningens momentanvärde. Generatorns polspänning kan alltså skrivas: u = û sin ωt Den inducerade spänningens momentanvärde varierar på samma sätt som elongationen hos en harmonisk svängning. Svängningens amplitud motsvaras av toppvärdet û. Växelspänningar genereras i praktiken sällan genom att en slinga roterar i ett homogent magnetfält. I allmänhet strävar man dock efter att ge spänningen sinusform, och det uttryck vi härlett kan därför tillämpas på de flesta växelspänningar. Så fort man känner värdet på de två konstanterna, toppvärdet û och vinkelhastigheten ω, kan man beräkna spänningens momentanvärde vid vilken tidpunkt t som helst. En växelspänning med tillräckligt låg frekvens kan studeras med en likspänningsvoltmeter, som har sitt nolläge mitt på skalan (fig 3). Men vid de vanligast förekommande växelspänningarna hinner ett sådant instrument inte reagera för de snabba förändringarna utan visar noll. För att då kunna registrera spänningens momentanvärden kan man använda ett oscilloskop eller en mätdator. Fig 4 (a) återger en oscilloskopbild av växelspänningen från ett vanligt spänningsaggregat. Oscilloskopets känslighet är i x-led 5,0 ms/cm och i y-led,0 V/cm. Bilden motsvaras av diagrammet i fig 4 (b), där växelspänningens momentanvärde u avsatts som funktion av tiden t. Toppvärdet ger ett oscilloskoputslag på,0 cm. Alltså: û =,0,0 V = 4,0 V. Medan växelspänningen klarar av en hel svängning rör sig elektronstrålen 4,0 cm i x-led. Perioden eller svängningstiden T är därför 4,0 5,0 ms = 0 ms och frekvensen f = 1/T = 50 Hz. Det ger ω = f = 100 rad/s. (a) (b) Fig 4. Registrering av sinusformad växelspänning på en oscilloskopskärm. växelström 3
Den aktuella momentanspänningen kan alltså skrivas u = 4,0 sin 100t. Spänningsaggregatets växelspänning har samma frekvens som den nätspänning som driver aggregatet. I Sverige, liksom i flertalet andra länder, är den frekvensen 50 Hz. KONTROLL 1 a) En växelspänning har perioden 4,0 ms. Hur stor är vinkelhastigheten? b) En växelspännings momentanvärde är u = û sin ωt, där û = 15,0 V och ω = 100 rad/s. Beräkna momentanvärdet vid tiden,0 ms. Resistor i växelströmskrets Vi ansluter en resistor till en växelspänningskälla med så låg frekvens att såväl strömmen genom resistorn som spänningen över resistorn kan registreras med likströmsinstrument (fig 5 a). Vi finner att utslagen på de två instrumenten ändras i takt med varandra. Vi drar slutsatsen att även strömmen är en sinusfunktion, som antar värdet noll och toppvärdet vid samma tidpunkter som spänningen. Man säger att spänningen och strömmen är i fas. Momentanvärdena kan skrivas: u = û sin ωt i = î sin ωt (a) u, i (b) u V i Fig 5. (a) Registrering av ström och spänning med likströmsinstrument i en lågfrekvent växelströms-krets. Frekvensen bör vara mindre än 1 Hz. (b) Spänningens och strömmens tidgrafer. Storheterna u och i är i fas. i A u t 4 växelström
Resistor i växelströmskrets: u och i i fas u = Ri De två funktionerna återges i samma graf i fig 5 (b). Spänningen och strömmen är proportionella mot varandra. Det innebär att Ohms lag gäller i varje ögonblick: u = Ri Speciellt är sambandet mellan toppvärdena: û = Rî 3 Elektronrörelsen i en växelströmskrets Vi kan likna ledningselektronerna i en ledare vid ett gasmoln, där de enskilda elektronerna rör sig med höga hastigheter i en oordnad värmerörelse under ständiga krockar med varandra och med ledarens atomer. Om en likspänning ligger över ledaren, driver elektronmolnet långsamt längs ledaren med en fart som oftast är betydligt mindre än 1 mm/s. Det är denna långsamma men ordnade elektronrörelse som utgör strömmen i kretsen, och som exempelvis orsakar magnetfältet i en spole eller värmeutvecklingen i en resistor. Ligger en växelspänning över ledaren ändrar det elektriska fältet ständigt riktning, och det blir ingen systematisk förskjutning av elektronmolnet. Alla ledningselektronerna tvingas dock att utöver värmerörelsen röra sig fram och tillbaka i takt med fältändringen, och även om förflyttningarna bara är av storleksordningen 1 µm har växelströmmen lika påtagliga magnetiska och termiska verkningar som likströmmen. 4 Effektivvärden Vi studerar en glödlampa som drivs med växelström. Lampan lyser utan synliga variationer i ljusstyrkan, trots att strömmen varierar mellan noll och toppvärdet. Ledningselektronerna pendlar fram och tillbaka i glödtråden, och ljuset bestäms av något slags medelvärde av denna ström. Vi ska se hur man definierar detta s k effektivvärde I hos växelströmmen. Effektivvärdet betecknas med stor bokstav för att skilja det från strömmens momentanvärde i. Vilket samband finns det mellan effektivvärdet I och amplituden î? Man utgår från den värmeutveckling som både växelström och likström orsakar i en resistor. Det är rimligt att en ström av en viss storlek, t ex 1 A, ska utveckla samma värmeeffekt, oberoende av vilken sorts ström det är fråga om. Man har därför bestämt sig för följande definition: växelström 5
En växelspännings (-ströms) effektivvärde är lika med storleken av den likspänning (-ström), som i en resistor utvecklar samma värmeeffekt som växelspänningen (-strömmen) i genomsnitt gör. En växelströms effektivvärde är lika med storleken av den likström som i en resistor utvecklar samma värmeeffekt som växelströmmen i genomsnitt gör. i = î sin ωt û sin ωt I U Fig 6. Om de två likadana lamporna lyser lika starkt, är likspänningen U lika med växelspänningens effektivvärde, och likströmmen I är lika med växelströmmens effektivvärde. Fig 7. Momentaneffekten i resistorn är p = ui. Hur stor är medeleffekten? På samma sätt definieras en växelspännings effektivvärde. Innebörden exemplifieras i fig 6. Den ena av två identiskt lika glödlampor drivs med 50-periodig växelspänning, den andra med likspänning. Om lamporna lyser lika starkt är värmeutvecklingen i dem densamma. Likspänningen U är då enligt definitionen lika med växelspänningens effektivvärde, och likströmmen I är lika med växelströmmens effektivvärde. Vi ska undersöka effektutvecklingen i resistorn i fig 7 och ta reda på sambandet mellan effektivvärdet I och toppvärdet î hos växelströmmen. Effektutvecklingen vid en viss tidpunkt t, momentaneffekten p, är produkten av spänningens och strömmens momentanvärden: p = ui Ohms lag u = Ri ger p = Ri = Rî sin ωt Momentaneffekten varierar med tiden t, och problemet är att finna effektens medelvärde. I grafen i fig 8 återges momentaneffekten p som funktion av tiden. Funktionen har som synes sinusform, och värdet på p varierar mellan noll och Rî. Medelvärdet P måste på grund av symmetrin ligga mitt emellan dessa två värden: P = Rî p Rî Fig 8. Om strömmen i en resistor har sinusform, i = î sin ωt, är momentaneffekten p = Rî sin ωt. Funktionen p har sinusform och varierar mellan värdena noll och Rî. 1 / Rî T T t 6 växelström
Effektivvärden vid sinusformad ström och spänning: î û I = ; U = Ö Ö Detta framgår också efter en omskrivning av uttrycket för p med hjälp av det trigonometriska sambandet sin 1 cos x x = : p = Rî sin ωt = Rî 1 cos ωt Rî = Rî cos ωt. Det sista ledet kan tolkas som ekvationen för en cosinuskurva med amplituden Rî /, förskjuten Rî / uppåt. Vi föreställer oss att vi byter ut växelströmmen mot en likström, vars storlek I avpassas så att dess effektutveckling i resistorn, RI, blir densamma som växelströmmens medeleffekt. Då är I enligt definitionen lika med växelströmmens effektivvärde, och vi får: eller RI = R î î I = Ö Vid sinusformad växelström är effektivvärdet lika med kvoten mellan toppvärdet och Ö. Genom att teckna momentaneffekten p = u /R, kan vi på motsvarande sätt finna spänningens effektivvärde: û U = Ö Då man anger storleken av en växelspänning eller en växelström, är det som regel effektivvärdena man använder. Det gäller t ex vid avläsning av växelströmsinstrument, där skalorna är graderade så att instrumenten visar effektivvärden. I fig 9 skisseras en experimentell undersökning av sambandet mellan en växelspännings effektivvärde och toppvärde. Ljuset från en glödlampa mäts med en belysningsmätare. Ju större värmeutvecklingen i Fig 9. Experimentell undersökning av sambandet mellan en växelspännings effektivvärde och toppvärde. (a) (b) (c) växelström 7
lampan är, desto större utslag gör mätaren. Lampan drivs först med en viss växelspänning, och belysningsmätarens utslag noteras. Därefter byts växelspänningen mot en likspänning, som avpassas så att mätaren gör samma utslag som tidigare. Medeleffekten i lampan är då densamma i båda fallen, och likspänningens värde sammanfaller med växelspänningens effektivvärde. Båda spänningarna registreras med ett oscilloskop, och toppvärdet û och effektivvärdet U mäts. Värdet på kvoten û/u stämmer väl med det teoretiska värdet û/u = Ö. KONTROLL (a) a) Den 50-periodiga nätspänningen är vanligen på 30 V. Vilket toppvärde har denna spänning? b) Effektutvecklingen i en växelströmskrets med resistansen 10 Ω är 40 W. Hur stort är strömmens effektivvärde? (b) Fig 10. Kondensator, ansluten till en likspänning (a) och till en växelspänning (b). i A u C Fig 11. Spänningskällans frekvens är så låg, att momentanvärden på spänning och ström kan observeras på likströmsinstrumenten i kretsen. C V 5 Kondensator i växelströmskrets Om en kondensator ansluts till en likspänning, laddas kondensatorn mycket snabbt tills kondensatorns spänning blir densamma som spänningskällans (fig 10 a). Därefter upphör strömmen, eftersom inga laddningar kan passera genom kondensatorn. Kopplas kondensatorn till en växelspänning (fig 10 b), kommer spänningen över kondensatorn att variera i takt med växelspänningen. Det betyder ständiga omladdningar, och en ström kommer därför att gå fram och tillbaka i kretsen. I kretsen i fig 11 ingår samma lågfrekventa spänningskälla som vi tidigare använt. På mätinstrumenten kan vi samtidigt observera momentanvärdena hos spänningen och strömmen. Den första iakttagelsen är att både spänningen och strömmen tycks vara sinusformade. De två förloppen är emellertid inte i takt med varandra. Spänningen når sitt toppvärde en fjärdedels period motsvarande vinkeln / efter strömmen. Man säger att spänningen är fasförskjuten / efter strömmen. Funktionerna för momentanvärdena kan skrivas: i = î sin ωt u C = û C sin ( ωt ) 8 växelström
Ström- och spänningsgraferna i fig 1 hjälper oss att förstå orsaken till fasförskjutningen. Före tidpunkten t 1 har strömmen under en halv period varit riktad åt det negativa hållet, vilket resulterat i att kondensatorn fått negativ spänning. Vid tiden t 1 byter strömmen riktning, och kondensatorn börjar urladdas. Mitt i tidsintervallet t t 1 har kondensatorn urladdats helt, och spänningen över den är noll. Strömmen fortsätter emellertid åt samma håll, med påföljd att en positiv spänning börjar byggas upp över kondensatorn. Uppladdningen upphör först vid tiden t, då strömmen är noll och åter byter riktning. Vid den tidpunkten har kondensatorn sin största laddning, och då har även spänningen sitt toppvärde. Fig 1. Ström- och spänningskurvor för kondensatorn, ritade i samma diagram. Spänningskurvan ligger en fjärdedels period efter strömkurvan. Strömmens och spänningens toppvärden î och û C är naturligtvis inte oberoende av varandra. Ökas û C blir också î större. Genom att bestämma û C och î vid några olika spänningar finner man att de två storheterna är proportionella mot varandra: û C = X C î eller U C = X C I Konstanten X C kallas kondensatorns reaktans. Jämför vi sambandet U C = X C I med Ohms lag, U = RI, ser vi att en kondensators reaktans motsvarar en resistors resistans. Båda storheterna har enheten 1 V/A = = 1 Ω. Reaktansen hos en kondensator bör vara beroende av kondensatorns kapacitans. Ju större kapacitansen är, desto mera laddning rymmer kondensatorn vid en viss spänning, och desto större måste strömmen i kretsen vara för att omladdningarna ska hinnas med vid en given frekvens. Reaktansen X C = U/I bör därför avta, när kapacitansen ökar. Även frekvensen hos växelspänningen bör ha inverkan på reaktansen. Om frekvensen ökas, måste omladdningarna ske snabbare. Är kondensatorspänningens toppvärde oförändrat, måste strömmen bli större. Reaktansen bör alltså avta då frekvensen ökar. växelström 9
Kondensator i växelströmskrets: 1 U C = I ωc Reaktans: 1 X C = ωc Enhet: 1 Ω Spänningen ligger / efter strömmen. (a) (b) Fig 13. (a) Strömmen genom högtalaren blir större vid höga frekvenser än vid låga. I (b) är det tvärtom. En teoretisk härledning bekräftar dessa slutsatser: Vi utgår från spänningen över kondensatorn, som vi skriver på samma sätt som vi tidigare gjort: u C = û C sin ( ωt ) Momentanvärdet på kondensatorns laddning q är produkten av kondensatorns kapacitans C och kondensatorspänningens momentanvärde: q = Cu C = Cû C sin ( ωt ) Strömmens momentanvärde är lika med laddningens tidsderivata: dq i = = ωcû C cos ( ωt dt ) Vi tillämpar sambandet cos ( α ) = sin α och får: i = ωcû C sin ωt = î sin ωt Spänningen är alltså fasförskjuten / efter strömmen. Eftersom î = ωcû C erhålls kondensatorns reaktans X C : û X C = C 1 1 = = î ωc fc Reaktansen X C avtar alltså med ökande värden på f och/eller C. I en växelströmskrets där en kondensator ingår är alltså sambandet mellan kondensatorspänningen U C och strömmen I 1 U C = I ωc Att en kondensators reaktans är frekvensberoende gör att kondensatorer kan användas för att släppa fram strömmar inom vissa frekvensområden och undertrycka andra. Fig 13 visar ett par enkla exempel. Vid lämpligt vald kapacitans är reaktansen i (a) så stor för låga frekvenser, att strömmen genom högtalaren blir försumbar. Vid höga frekvenser är däremot reaktansen liten och strömmen stor. Höga toner hörs väl, men inte låga. I (b) är förhållandena de motsatta. Där kortsluts i praktiken högtalaren vid höga frekvenser. Låga toner hörs men inte höga. KONTROLL 3 Växelströmsinstrumenten i vidstående krets visar de värden som anges i figuren. Voltmeterns resistans förutsätts vara mycket stor. a) Bestäm kondensatorns reaktans. b) Bestäm kondensatorns kapacitans. 10 växelström
6 Spole i växelströmskrets Fig 14. En spole med stor induktans och försumbar resistans är inkopplad i en lågfrekvent växelströmskrets. Momentanvärden på strömmen i spolen och spänningen över den mäts. En spole med försumbar resistans men med stor induktans L ansluts till en lågfrekvent spänningskälla, och två likströmsinstrument inkopplas så att momentanvärden på strömmen och spänningen över spolen kan observeras (fig 14). Eftersom strömmen genom spolen ständigt ändras, induceras i spolen en ems, som motverkar strömändringen. Det är den spänningen som registreras på voltmetern. Både strömmen och spänningen är sinusfunktioner av tiden, och liksom vid kondensatorn kan vi iaktta en fasförskjutning mellan de två förloppen. Men här ligger spänningen en fjärdedels period, eller fasvinkeln /, före strömmen. Vi kan skriva de två funktionerna: i = î sin ωt u L = û L sin ( ωt + ) Strömmen och spänningen åskådliggörs i fig 15. Fig 15. i-t-graf och u-t-graf för spole i växelströmskrets. Spänningskurvan ligger en fjärdedels period före strömkurvan. Precis som kondensatorn har spolen ett växelströmsmotstånd, en reaktans X L, som är kvoten mellan spänningen û L och î. Vi härleder ett uttryck för X L genom att utgå från strömfunktionen i = î sin ω t och använda sambandet di u L = L från avsnitt 7, kap 9. dt u L = L di dt = Lω î cos ω t eller, eftersom cos ω t = sin ( ωt + ) : u L = Lω î sin ( ωt + ) = û sin ( ωt + ) växelström 11
Härledningen bekräftar fasförskjutningen / mellan spänningen och strömmen, och den ger oss dessutom sambandet û L = ωlî mellan toppvärdena. Det sökta uttrycket för en spoles reaktans är alltså Resistansfri spole i växelströmskrets: U L = ωli Reaktansen X L = ωl Enhet: 1 Ω Spänningen ligger / före strömmen. û X L = L = ωl = fl î Vi ser att reaktansen X L ökar med såväl frekvensen f som induktansen L. Dess storlek anges liksom en kondensators reaktans i enheten 1 Ω. Då en spole med försumbar resistans ingår i en växelströmskrets, gäller alltså följande samband mellan spänningen över spolen och strömmen genom spolen: U L = ω LI Både kondensatorer och spolar har vidsträckt användning som komponenter i växelströmskretsar. Lägg dock märke till hur olika de två komponenternas egenskaper är. Spänningen över kondensatorn ligger / efter strömmen, medan spänningen över en resistansfri spole ligger / före strömmen. Vidare avtar reaktansen i en kondensator med frekvensen och kapacitansen, medan en spoles reaktans ökar med frekvensen och induktansen. KONTROLL 4 En spole med induktansen 35 mh ansluts till en 50-periodig växelspänning på 6,0 V. a) Bestäm strömmen i kretsen. b) Frekvensen ändras till 100 Hz. Hur ändras strömmen? c) En järnkärna skjuts in i spolen. Ökar eller minskar strömmen? 7 Allmän växelströmskrets Hittills har vi studerat växelströmskretsar som innehållit en enda komponent med en enda av egenskaperna resistans, kapacitans eller induktans. Tabell 1 sammanfattar sambanden mellan ström och spänning i sådana kretsar. 1 växelström
Tabell 1 Olika komponenters egenskaper i kretsar med sinusspänning Resistor med Kondensator med Spole med induktans L resistans R kapacitans C Samband mellan 1 effektivvärden på U = RI U = I U = ωli ωc spänning och ström Strömbegränsande storhet Fasförhållanden mellan momentanvärdena 1 Resistans R Kapacitiv reaktans X C = Induktiv reaktans X L = ωl ωc u och i i fas: i = î sin ωt u = û sin ωt u är efter i: i = î sin ωt u = û sin ( ωt ) u är före i: i = î sin ωt u = û sin ( ωt + ) Impedans Z = Enhet 1 Ω U I Vi ska nu kortfattat behandla kretsar där både resistanser och reaktanser kan ingå. Den strömbegränsande storheten U/I i sådana kretsar kallas impedans och brukar betecknas med Z. Den mäts i enheten 1 Ω. Hur man beräknar impedansen hos en given krets ligger utanför vår kurs. Här koncentrerar vi oss på fasförskjutningen mellan ström och spänning i kretsar med impedans. belastning lågfrekvent spänning Fig 16. Undersökning av fasskillnaden mellan spänning och ström vid en belastning som består av en resistor, en spole och en kondensator i serie. I fig 16 är en resistor, en spole med försumbar resistans och en kondensator anslutna i serie till en lågfrekvent sinusspänning. För att registrera ström och spänning används liksom tidigare likströmsinstrument av visartyp med nollställen mitt på skalan. Voltmetern är inte ansluten i figuren. växelström 13
Eftersom kretsen är seriekopplad, har strömmen i varje ögonblick samma momentanvärde överallt. Fasförhållandena hos delspänningarna u R, u L och u C kan kontrolleras genom att voltmetern kopplas in över en komponent i taget. Det bekräftar vad vi redan vet. Spänningen u R är i fas med strömmen i, medan u L ligger före i och u C är efter i. Vilken fasförskjutning har spänningen u över hela belastningen? Alla de tre delspänningarna inverkar förstås, och summaspänningen måste därför i förhållande till strömmen vara fasförskjuten en vinkel mellan och +. Om toppvärdet û L är större än û C bör u L dominera över u C, och huvudspänningen bör ligga före strömmen i fas. Belastningen sägs vara induktiv. Är û C större än û L ligger u efter i och belastningen är kapacitiv. Om slutligen û L och û C är lika stora, tar fasförskjutningarna i spolen och kondensatorn ut varandra, och u är i fas med i. Belastningen är resistiv. I vilken krets som helst med sinusformad växelström gäller följande samband mellan strömmen i i kretsen och spänningen u över en godtycklig belastning om fasförskjutningen betecknas med ϕ (den grekiska bokstaven lilla fi): i = î sin ωt u = û sin (ωt + ϕ) < ϕ < 8 Effekt i växelströmskrets Fig 17. Ström och spänning vid en allmän växelströmskrets. Vi har tidigare undersökt medeleffekten i en resistor i en växelströmskrets utan fasförskjutning (avsnitt 5). Men hur stor är den genomsnittliga effektutvecklingen i en belastning, där det finns en fasförskjutning ϕ mellan spänningen och strömmen? Momentaneffekten p är enligt fig 17: p = ui = ûî sin (ωt + ϕ) sin ωt Det är medelvärdet på denna funktion vi söker. Vi diskuterar först de två intressanta specialfall, där fasvinkeln ϕ är antingen eller +. Det är alltså fråga om effektutvecklingen i en kondensator eller i en resistansfri spole. Fig 18 visar hur momentaneffekten varierar med tiden i de två belastningarna. Båda effektkurvorna är symmetriska kring tidsaxeln, och genomsnittsvärdet under ett helt antal perioder är därför noll. Trots att varken strömmen eller spänningen är noll, har ingen elektrisk energi från spänningskällan förbrukats i kretsen. Hur kan det vara möjligt? 14 växelström
(a) (b) Fig 18. Momentaneffektens variation med tiden i en belastning, där fasvinkeln är eller +. (a) Belastningen är en kondensator. (b) Belastningen är en spole utan resistans. Orsaken är följande: Under de tidsintervall då momentaneffekten är positiv, matas energi från spänningskällan in i kondensatorn resp spolen. I kondensatorn lagras energin i form av elektrisk lägesenergi, och i spolen blir den magnetisk energi i det magnetfält som byggs upp. Då momentaneffekten är negativ, återgår den lagrade energin från kondensatorn resp spolen till spänningskällan. Energi pendlar ständigt fram och tillbaka mellan spänningskällan och belastningen, och den genomsnittliga energiomsättningen i kretsen är noll. Det återstår att finna ett uttryck för medeleffekten i en belastning där fasvinkeln ϕ har ett godtyckligt värde mellan och +. Vi börjar med att skriva om funktionen sin (ωt + ϕ) med hjälp av det trigonometriska sambandet: sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y Det ger: sin (ωt + ϕ) = sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ Momentaneffekten p = ûî sin (ωt + ϕ) sin ωt blir efter denna omformning: p = (ûî cos ϕ) sin ωt + (ûî sin ϕ) cos ωt sin ωt Vardera effekttermen innehåller en tidsberoende funktion, sin ωt respektive cos ωt sin ωt. Hur dessa funktioner varierar med tiden framgår av fig 19 (a) och (b). Medelvärdet under ett helt antal perioder är 1 som synes för den första funktionen och för den andra noll. växelström 15
(a) (b) Fig 19. (a) Funktionen y = sin 1 ωt är symmetrisk kring linjen y =, och funktionens 1 medelvärde under ett helt antal perioder är därför. (b) Funktionen y = cos ωt sin ωt är symmetrisk kring t-axeln, och dess medelvärde under ett helt antal perioder är därför noll. Växelströmseffekt: P = UI cos ϕ cos ϕ kallas effektfaktorn. Den genomsnittliga effektutvecklingen P i belastningen är således: 1 ûî û î P = (ûî cos ϕ) + 0 = cos ϕ = cos ϕ Ö Ö P = UI cos ϕ I uttrycket för effektutvecklingen i en belastning i en växelströmskrets ingår utom spänningen och strömmen den s k effektfaktorn cos ϕ, där ϕ är fasförskjutningen mellan spänningen och strömmen. Observera att effektfaktorn är positiv eller noll för alla tänkbara fasvinklar ϕ. Effektuttrycket kan naturligtvis tillämpas även på de specialfall vi tidigare behandlat: a) Resistor: ϕ = 0, cos ϕ = 1, P = UI cos ϕ = UI b) Kondensator: ϕ = /, cos ϕ = 0, P = UI cos ϕ = 0 c) Förlustfri spole: ϕ = /, cos ϕ = 0, P = UI cos ϕ = 0 KONTROLL 5 Spänningen över en spole är 4,8 V och strömmen genom den 0,64 A. Mellan spänning och ström uppmäts fasvinkeln 38. Beräkna värmeeffekten i spolen. 16 växelström
9 Transformatorn och elektrisk energiöverföring En av växelspänningens fördelar är att man lätt kan ändra dess effektivvärde med hjälp av en transformator. I sitt enklaste utförande består transformatorn av en järnkärna med två skilda spolar, en primärspole med N 1 varv och en sekundärspole med N varv (fig 0). Järnkärnan är konstruerad så att energiförlusterna i den på grund av virvelströmmar och ommagnetiseringar blir så små som möjligt. Fig 0. Transformator med primärsidan ansluten till en spänningskälla och med sekundärsidan öppen. Då primärspolen ansluts till en sinusspänning, orsakar strömmen i 1 ett magnetiskt flöde Φ i järnkärnan. Praktiskt taget hela flödet följer järnkärnan runt och passerar därmed också genom sekundärspolen. Eftersom flödet varierar i takt med strömmen i 1, induceras spänningar i båda spolarna: dφ e 1 = N 1 dt dφ e = N dt Division ger: e 1 N = 1 e N Vi antar att primärkretsens resistans är så liten att den kan försummas, och konstaterar att den inducerade spänningen e 1 i så fall i varje ögonblick har samma belopp som spänningskällans spänning u 1. Spänningen u över sekundärspolen är den inducerade spänningen e. Vi övergår till effektivvärden och får: U 1 U = N 1 N Genom lämpligt val av spolarnas varvantal kan en spänning U 1 ändras till en önskad spänning U. Metoden tillåter variation inom vida gränser. växelström 17
Så länge sekundärkretsen är obelastad är den s k tomgångsströmmen i 1 i primärkretsen fasförskjuten praktiskt taget / i förhållande till e 1. Inga effektförluster förekommer då i primärspolen, och inget effektuttag sker från spänningskällan. Fig 1. Transformator med en belastning på sekundärsidan. Om sekundärsidan belastas (fig 1), orsakar strömmen i ett magnetiskt flöde som enligt Lenz lag motverkar det ursprungliga. Därmed tenderar e 1 att minska, vilket i sin tur betyder att primärströmmen i 1 ökar tills den kompenserat den flödesminskning sekundärströmmen ger upphov till. Det magnetiska flödet i järnkärnan förblir alltså oförändrat, och båda de inducerade spänningarna bibehåller sina värden. Om transformatorlindningarnas resistanser är försumbara, gäller dessutom u 1 = e 1 och u = e. Även fasvinkeln ϕ 1 på primärsidan förändras vid belastning av sekundärspolen. Om vi kan bortse från energiförluster i transformatorn, måste effektutvecklingen på sekundärsidan motsvaras av ett lika stort effektuttag från spänningskällan: U 1 I 1 cos ϕ 1 = U I cos ϕ Vid stort effektuttag visar det sig att ϕ 1 och ϕ blir i det närmaste lika, dvs: U 1 I 1 U I Transformerar man ned spänningen och kortsluter sekundärspolen med två metallstycken, kan så stora värden på strömmen I erhållas att värmeutvecklingen räcker till att smälta samman metallstyckena. Det är principen för ett svetsaggregat. Om man omvänt transformerar upp spänningen, kan man enligt sambandet U 1 I 1 U I ta ut en given effekt vid en lägre sekundärström. Detta utnyttjar man vid överföring av elektrisk energi från kraftverken till förbrukarna (fig ). Vid långa transportsträckor får man avsevärda förluster i ledningarna på grund av deras resistans R. Värmeutvecklingen RI måste därför nedbringas till ett minimum. Det åstadkommer man genom att transformera upp generatorspänningen och överföra energin vid så hög spänning U som möjligt. En fördubbling av U innebär i princip att I halveras och att värmeförlusterna i ledningarna minskas till en fjärdedel. 18 växelström
kraftverk Fig. Principen för överföring av elenergi. Det finns dock en övre gräns för spänningen U. Ju större spänningen blir, desto besvärligare problem får man med överslag och andra urladdningar på grund av de höga fältstyrkor som bildas intill ledarna. Den högsta spänning som används vid överföring av elenergi i Sverige är 400 kv. På andra håll i världen förekommer dock avsevärt högre överföringsspänningar. Innan den elektriska energin levereras till förbrukaren transformeras spänningen ner igen till en driftspänning, som vanligen uppgår till 400 V eller 30 V. 10 Trefassystem Oftast levereras elenergi till t ex en fastighet via tre spänningsförande ledare och en s k noll-ledning, som ofta är jordad. De tre spänningarna har alla samma period och samma toppvärde, men de är fasförskjutna 1/3 period eller vinkeln /3 i förhållande till varandra. Spänningarna i detta s k trefassystem åskådliggörs i fig 3. Fig 3. Spänningarnas tidgrafer i ett trefassystem. växelström 19
fas 3 fas fas 1 î î î Vi ska belysa en fördel med trefassystemet framför ett enfassystem. Anta att vi kopplar in en resistiv belastning mellan varje fas och jord, så att maximalt tillåten ström med toppvärdet î går i alla de tre spänningsförande ledningarna (fig 4 a). Strömmarna är i fas med respektive spänning och alltså fasförskjutna /3 i förhållande till varandra. Strömmen i noll-ledningen är i varje ögonblick summan av de tre strömmarnas momentanvärden. Hur stor är den summan? Om de tre strömmarna alla har samma toppvärde î kan de skrivas i 1 = î sin ωt i = î sin (ωt + /3) i 3 = î sin (ωt /3). Genom att använda de trigonometriska sambanden sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β R nolledning (a) R R och och cos /3 = cos ( /3) = 1 î sin (/3) = sin /3 får vi (b) î R Fig 4. Effektuttaget i trefassystemet (a) är tre gånger så stort som i enfassystemet (b). i 1 + i + i 3 = î [sin ωt + sin ωt cos /3 + cos ωt sin /3 + + sin ωt cos( /3) + cos ωt sin( /3)] = 0 Om de tre belastningarna är resistiva och lika stora, är strömmen i nollledningen tydligen noll. Även om de villkoren inte är uppfyllda är strömmen i noll-ledningen i praktiken mindre än i de spänningsförande ledningarna, och noll-ledningen kan därför ha klenare dimensioner än de andra. De fyra ledningarna i trefassystemet i fig 4 (a) kan alltså ge tre gånger så stor effekt som de två ledningarna i motsvarande enfassystem (fig 4 b). Det innebär stora besparingar i ledningsmaterial och anläggningskostnader. 0 växelström
S ammanfattning Momentanvärdet på en sinusformad spänning eller ström: u = û sin ωt i = î sin ωt û resp î är toppvärdet eller amplituden. Effektivvärdet av en växelspänning är storleken av den likspänning, som i en resistor orsakar samma värmeeffekt som växelspänningen i genomsnitt gör. Vid sinusformad spänning gäller: û U = Ö Motsvarande samband för en sinusformad växelström: î I = Ö Spänning och ström vid olika komponenter: Resistor med resistansen R: U= RI Ingen fasförskjutning mellan spänning och ström. Kondensator med kapacitansen C: U = X C I 1 Reaktansen X C =. Enhet 1 Ω. ωc Spänningen / efter strömmen. Resistansfri spole med induktansen L: U = X L I Reaktansen X L = ωl. Enhet 1 Ω. Spänningen / före strömmen. Spänning och ström vid en godtycklig belastning (kombination av R, C och L): U = ZI Z kallas impedans. Enhet 1 Ω. Spänningen fasförskjuten en vinkel ϕ i förhållande till strömmen; / ϕ /. Effektutveckling i en belastning med fasförskjutningen ϕ : P = UI cos ϕ Speciellt: Resistor: P = UI = RI Kondensator eller resistansfri spole: P = 0 växelström 1
Ö vningar 1 4 En växelspänning u har tidsberoendet u = 0 sin 60 t volt, där t är tidens mätetal i sekunder. Bestäm a) toppvärdet. b) frekvensen. 5 Figuren visar en växelspänning registrerad på en oscilloskopskärm. En ruta i horisontell led betyder,0 ms och en ruta i vertikal led 5,0 V. Bestäm spänningens a) period. b) frekvens. c) vinkelhastighet. d) toppvärde. Momentanvärdet u av en växelspänningskällas polspänning är u = 10 sin 100 t V, där t är mätetalet för tiden i s. Till polerna ansluts en resistor med resistansen 5,0 Ω. a) Beräkna strömmens toppvärde. b) Ange strömmens storlek och riktning vid tidpunkten t = 0,013. 6 Spänningskällan i föregående uppgift ger i ett visst ögonblick 10 V med den polaritet som figuren visar. a) Ange spänningens storlek och polaritet 8,0 ms senare. b) Efter hur lång tid räknad från tidpunkten i figuren är spänningen 10 V med omkastad polaritet? 3 Den roterande slingan i fig ökar sin rotationshastighet till den dubbla. Hur påverkas härigenom växelspänningens a) frekvens? b) toppvärde? I det ögonblick figuren avser har spänningen över resistorn sitt toppvärde och strömmen värdet 3,0 A. a) Beräkna spänningens effektivvärde. b) Beräkna strömmens effektivvärde. c) Hur stor energi omsätts i resistorn under 30 s? 7 En lampa, märkt 60 W, ansluts till 30 V växelspänning. Lampan betraktas som en resistor. a) Hur stort är strömmens effektivvärde? b) Hur stort är strömmens toppvärde? c) Beräkna lampans resistans. växelström
8 10 Den angivna växelströmmen går genom en resistor med resistansen 1,0 kω. Hur stor effekt utvecklas? 11 9 En sinusformad växelspänning är ansluten till två seriekopplade resistorer enligt den övre figuren. Ett tvåstråleoscilloskop registrerar dels spänningskällans spänning (kanal 1), dels spänningen över den ena resistorn (kanal ). Den sistnämnda saknas i den nedre figuren. Rita den. Känsligheten i y-led är lika för de två kanalerna. Ovanstående i-t-diagram visar helpulslikriktad resp halvpulslikriktad växelström. Graferna är sammansatta av positiva sinusbågar. Beräkna effekten i en resistor med resistansen 0,80 kω för a) den helpulslikriktade strömmen. b) den halvpulslikriktade strömmen. 1 Under i övrigt oförändrade betingelser ändras anslutningarna till oscilloskopet i uppgift 8 så som figuren visar. Rita en figur som visar hur oscilloskopbilden kan se ut. växelström 3
Till en växelspänningskälla har anslutits en voltmeter och ett oscilloskop parallellt med varandra. På oscilloskopets skärm betyder en ruta i x-led 5,0 ms och en ruta i y-led 5,0 V. a) Hur mycket visar voltmetern? Spänningskällans frekvens ändras till 100 Hz och toppvärdet höjs med 5,0 V. Vilka förändringar medför detta för b) oscilloskopbilden? c) voltmeterns utslag? 16 13 En växelspänning med effektivvärdet 6,3 V och perioden 0 ms har anslutits till en kondensator med kapacitansen,0 µf. Bestäm a) kondensatorladdningens toppvärde. b) hur många gånger varje sekund som kondensatorn är fulladdad. 14 Då en växelspänning med û = 30 V kopplas till en kondensator, blir î = 0,50 A. Perioden är 6,0 ms. Bestäm a) reaktansen. b) kapacitansen. 15 Vid vilken växelströmsfrekvens har en kondensator med kapacitansen 1,0 µf en reaktans av 1,0 Ω? Till en växelspänningskälla med varierbar frekvens är en amperemeter och en kondensator anslutna i serie. Frekvensen varieras, och strömmen avläses vid några frekvenser. Vid varje avläsning är spänningen inställd på 5,0 V enligt voltmetern. Använd de inprickade mätresultaten i I-f-diagrammet för att beräkna kondensatorns kapacitans. 17 Vid vilken frekvens har en resistansfri spole med induktansen 10 mh en reaktans av 1,0 Ω? 18 En växelspänningskälla med konstant spänning, men variabel frekvens, ansluts till en spole med försumbar resistans, en konden- 4 växelström
sator och en induktionsfri resistor enligt kopplingsschemat. Spänningskällans frekvens ökas. Hur ändras då strömmen genom a) spolen? b) kondensatorn? c) resistorn? 19 Strömmen genom en resistansfri spole är 1,3 A vid frekvensen 100 Hz. Spolens induktans är 35 mh. Beräkna a) reaktansen. b) spänningen över spolen. 0 För att driva växelströmmen 3,0 A genom en spole med försumbar resistans behövs spänningen 10 V, då frekvensen är 100 Hz. a) Beräkna reaktansen vid denna frekvens. b) Hur stor är induktansen? c) Hur stor blir strömmen, om frekvensen ändras till 150 Hz vid oförändrad spänning? En spole ansluts till en växelspännings källa, vars frekvens f kan varieras. Spänning U och ström I avläses vid några olika frekvenser och resultaten visas i diagrammet, där impedansen Z = U/I avsatts mot f. Vid mätningarna användes också en likspänningskälla (f = 0). Bestäm spolens a) resistans. b) induktans. Det är tillåtet att försumma resistansen vid de högsta frekvenserna i mätserien. f 1 De två spänningarna i diagrammet har samma period. a) Hur stor är fasskillnaden? b) Skriv u som funktion av tiden t s, om u 1 = 30 sin ωt V. växelström 5
3 5 A I U V En apparat matas med växelspänningen 30 V, varvid strömmen är sinusformad med effektivvärdet 1,77 A. En samtidigt ansluten effektmätare (ej i figuren) visar genomsnittseffekten 376 W. Beräkna a) apparatens impedans. b) effektfaktorn. c) apparatens resistans. Ett tvåstråleoscilloskop är kopplat till en växelströmskrets med en resistor och en kondensator i serie enligt kopplingsschemat. För båda kanalerna i oscilloskopet gäller skalan 10 V/cm. Bestäm a) spänningskällans toppvärde. b) den resistiva spänningens toppvärde. c) strömmens toppvärde. d) fasförskjutningen. e) effekten. 4 En spole (utan järnkärna) ansluts först till likspänningen 15 V. Strömmen genom spolen är då 1,5 A. Därefter kopplas spolen till växelspänningen 0 V. Strömmen blir även då 1,5 A. a) Hur stor resistans har spolen? b) Hur stor värmeeffekt utvecklar växelströmmen i spolen? c) Beräkna effektfaktorn. 6 Över en spole med järnkärna och resistansen 100 Ω kopplas växelspänningen 0 V. Strömmen är 1,0 A och effektfaktorn är 0,50. Vi antar att strömmen inte nämnvärt avviker från sinusform. a) Beräkna spolens effektförbrukning. b) Hur stor värmeeffekt utvecklas i spolens trådlindning? c) Vad händer med den del av spolens effektförbrukning som inte blir värmeeffekt i lindningen? 7 En järnfri spole med resistansen 60 Ω kopplas till en växelspänningskälla med spänningen 15 V och frekvensen 0,80 khz. Strömmen blir 0,0 A. Beräkna a) spolens impedans. b) effekten c) fasförskjutningen mellan spänning och ström. 6 växelström
Svar och lösningsanvisningar 1 a) 0 ms b) 50 Hz c) 0,31 krad/s c) ω = f d) 10 V a) 8 V med motsatt polaritet a) Diagrammet ger 8 V. b) 10 ms 3 a) Den fördubblas a) Perioden, som motsvarar tiden för ett varv, blir hälften så lång. b) Det fördubblas b) Alla flödesändringar sker nu dubbelt så snabbt. 4 a) 0 V b) 30 Hz b) ω = 60, f = 60. 5 a),0 A a) î = û/r. b) 1,6 A medurs i fig. b) i =,0 sin 1,3 A = 1,6 A 6 a) 0,13 kv a) û = 180 v b),1 A b) î = 3,0 A c) 8,1 kj 7 a) 0,6 A a) P = UI b) 0,37 A c) 0,88 kω c) R = U/I eller R = U /P. 8 Om strömmen genom resistorerna är i, gäller u 1 = (450 Ω) i u = (300 Ω) i och alltså u = /3 u 1. 9 10 0,90 W 11 a) 0,10 kw a) Effekten densamma som för sinusformad växelström med toppvärde 0,5 A. b) 0,05 kw b) Precis hälften av effekten i a). växelström 7
1 a) 7,1 V a) Voltmetern visar spänningens effektivvärde. b) c) Ändras till 10,6 V 13 a) 18 µc a) ˆq = Cû. b) 100 b) gånger varje period 14 a) 60 Ω b) 16 µf 15 0,16 MHz 16 5 µf 17 16 Hz 18 a) minskar a) I = U/X L och X L växer. b) ökar c) ändras ej 19 a) Ω b) 9 V 0 a) 40 Ω b) 64 mh c),0 A c) X L = 60 Ω 1 a) 0,79 rad a) Av diagrammet ses att u ligger 1/8 period efter u 1 i tiden. b) u = 40 sin (ωt 0,79) V /8 = 0,79 rad. a) 40 Ω Vid f = 0 är Z = R eftersom ωl = 0. b) 50 mh Vid stora f är Z ωl enligt problemtexten. 3 a) 0 V a) Avläses på oscilloskopet. b) 10 V b) Avläses på oscilloskopet. Den resistiva spänningen ligger före c) 10 ma totalspänningen i fas. d) 1,0 rad d) Avläses på oscilloskopet. Perioden () upptar 6 rutor. = 1,0 rad 3 e) 50 mw 4 a) 10 Ω b) 3 W c) 0,75 c) UI cos ϕ = RI 5 a) 130 Ω Z = 30 V/(1,77 A) b) 0,94 cos ϕ = 376 W/(30 V 1,77 A) c) 10 Ω R = 376 W/(1,77 A) 8 växelström
6 a) 110 W b) 100 W c) Den regelbundet upprepade ommagnetiseringen av järnkärnan och den värmeutveckling i järnkärnan, som orsakas av virvelströmmar, kräver sin del av den tillförda effekten. I detta fall förbrukar spolen 110 W, varav 10 W förbrukas i järnkärnan och återstoden i trådlindningen. Observera att uttrycket RI, där R betyder trådlindningens resistans, ej är tillfyllest för beräkning av spolens effektomsättning. 7 a) 75 Ω b),4 W c) 37 K 1 a) 1,6 krad/s K a) 35 V b) 8,8 V b),0 A K 3 a) 1,6 kω b),0 µf K 4 a) 0,55 A b) Strömmen halveras. c) Strömmen minskar, eftersom induktansen blir större. K 5 a),4 W växelström 9