Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning
Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad sannolikhet. slumpvariabler, fördelningar (diskreta, kontinueliga, binomial, normal), väntevärde, standardavikelse, varians, centrala gränsvärdessatsen
Regler för sannolikheter A och B är händelser. 1 0 P(A) 1 2 P(utfallsrummet) = 1 3 P(A C ) = 1 P(A), A C är komplementet till A, (icke A) 4 Om A och B är disjunkta så gäller P(A eller B) = P(A) + P(B) 5 Allmännt P(A eller B) = P(A) + P(B) -P(A och B) 6 Om A och B är oberoende så gäller P(A och B) = P(A)P(B)
Betingade sannolikheter, (s 278, 280) P(A B) : Sannolikheten för A givet B P(A B) = P(A och B) P(B) vilket också kan skrivas P(A och B) = P(A B)P(B)
Räkneregler för väntevärden och varianser (s. 271) Om X och Y är stokastiska variabler med korrelation ρ, 1 ρ 1, och a och b är konstanter, då gäller: µ a+bx = a + bµ X µ X +Y = µ X + µ Y σa+bx 2 = b 2 σx 2 σx 2 +Y = σx 2 + σ2 Y + 2ρσ X σ Y σ 2 X Y = σ 2 X + σ2 Y 2ρσ X σ Y (1)
Stickprovsmedelvärde (s. 297) Om µ Xi = µ, σ Xi = σ, i = 1,... n, så gäller µ x = µ σ x = σ n
Centrala gränsvärdessatsen (s. 299) Om µ Xi = µ, σ Xi = σ, i = 1,... n, så gäller att x approximativt är N(µ, σ/ n), om n är stort.
Binomialfördelning (s.310) Låt X vara antalet av ett visst utfall vid n upprepade försök/observationer (eller ett stickprov av storleken n) X är binomialfördelad, X B(n, p), om 1 Fixt antal observationer, n. 2 Alla n observationerna är oberoende. 3 Varje observation kan anta exakt två olika värden (samma par av utfall vid varje observation). 4 Sannolikheten att det ena utfallet inträffar skall vara samma vid varje observation, p.
Väntevärde och std för binomialfördelningen (s. 316) X B(n, p) µ X = np σ X = np(1 p) Om n är stort så gäller att X approximativt är N(np, np(1 p)) fördelad
Binomialfördelning formel(s.325) X B(n, p), Binomial Probability If X has the binomial distribution with n trials and probability p of success on each trial, the possible values of X are 0, 1, 2,, n. If k is any one of these values, P(X = k) = n p k (1 p) n k k ( n k ) = n! k!(n k)!
Lösningsmetodik 1 Vilken situation har vi? 2 Vad vill vi veta? 3 Vad känner vi till? Inför beteckningar. 4 Vilka formler är lämpliga? 5 Utför räkningarna 6 Tolka resultaten (är dom rimliga?)
Exempel 1: En statistikintresserad snickare har undersökt kapning med en viss utrustning och funnit att felet vid en kapning hade populationsgenomsnittet 0 och standardavvikelsen 0,7 (enhet: mm). Om snickaren nu ska kapa upp 49 brädor, vad blir variansen för det genomsnittliga felet? Svar: 0.72 49 = 0.01.
Exempel 2 En kabel består av 100 ståltrådar. Sannolikheten att en 1 km lång ståltråd är defekt är 0.12. Kabeln måste för att bära angiven tyngd betså av minst 95 helt felfria trådar. Vad är sannolikheten att en 1 km lång kabel kan bära angiven tyngd? Tolka resultatet. Lösning: X =antal defekta trådar av 100. p = 0.12 = sannolikheten att en tråd är defekt. Vi söker P(X 5). X Bin(100, 0.12), n = 100, p = 0.12. np = 100(0.12) = 12 > 10 och n(1 p) > 10. Därför kan X approximeras med normalfördelning: X Bin(n, p) N(np, np(1 p)) = N(100(0.12), 100(0.12)(0.88)) = N(12, 3.25) P(X 5) P(Z 5 12 3.25 ) = P(Z 2.15) = 0.0158
Exempel 3 Antag att 7% av alla bilförare kör berusat. Sannolikheten att en berusad person somnar under bilkörningen kan sägas vara 33%. Motsvarande sannolikhet för en nykter person är 3%. En olycka inträffar, och det konstateras att bilföraren somnat vid ratten. Vad är sannolikheten att den personen var berusad? Lösning: Baye s regel B={bilförare kör berusad} S={bilförare somnar under bilkörningen} P(B) = 0.07, P(B c ) = 0.93 P(S B) = 0.33, P(S B c ) = 0.03 P(B S) = P(B och S) P(S B)P(B) P(S) = P(S B)P(B)+P(S B c )P(B c ) = (0.33)(0.07) (0.33)(0.07)+(0.03)(0.93) = 0.45294