Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning av Karlstads GeoGebrainstitut Karlstads universitet 31 januari 2013 Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra
GeoGebrafönstret När man startar GeoGebra är det denna standardvy som visas: I standardvyn visas Algebrafönster och Ritområde samt ett Inmatningsfält längst ned. Under Perspektiv finns andra valmöjligheter: Under Visa i övre menyraden, allra högst upp på sidan, finns fler fönster att öppna, bland annat: Kalkylblad, CAS och ytterligare ett ritområde, Ritområde 2. Under Inställningar kan man bland annat ändra teckenstorlek (bra om man gör demonstrationer). Verktygsraden 1
Under varje Verktyg i Verktygsraden finns en lista med ytterligare verktyg, som syns när man klickar på triangeln i nedre högra hörnet, se exempel nedan: Klicka på triangeln. Punkter (fria och beroende) Lägg till rutnät i Ritområdet genom att högerklicka någonstans i ritområdet och markera: Lägg in en punkt i ritområdet med hjälp av verktyget. För att kunna flytta punkten måste man klicka på (detta är lätt att glömma bort!). Ett alternativ är att trycka på Esc -knappen. OBS! om man vill ångra en inmatning, tryck på uppe i högra hörnet. Flytta punkten och studera hur punktens koordinater ändras i algebrafönstret. Ett annat sätt att lägga in punkter på är genom att skriva in punktens koordinater, t.ex. (1,2), i Inmatningsfältet: Gör detta! Konstruera nu Mittpunkten till punkterna A och B, med hjälp av verktyget: När man klickar på verktyget så hamnar det överst. Peka på verktyget för att få fram en hjälptext : Här beskrivs vad som skall markeras. 2
Flytta punkterna A och B och observera hur mittpunkten (punkt C) följer med. Notera även att C inte är direkt flyttbar. Högerklicka på punkten B och markera Spår på. Gör på samma sätt med punkten C. Rita en frihandsfigur genom att flytta runt punkten B. Ctrl + F raderar spår. Det är enkelt att dölja ett objekt genom att avmarkera (klicka på):, framför objektet i algebrafönstret. Testa! Vinklar i en triangel (samt Infoga text) Vi ska nu konstruera en triangel, mäta dess vinklar och beräkna vinkelsumman. Öppna Nytt fönster (finns under Arkiv ) Ta bort koordinataxlarna genom att högerklicka någonstans i ritområdet och avmarkera: Konstruera en triangel med hjälp av Polygon-verktyget: Vill man ändra exempelvis färg eller tjocklek på triangeln (eller något annat objekt), klickar man på triangeln till vänster om Ritområde : Markera därefter det objekt som du vill ändra utseende på. Till exempel kan vi dölja namnen på punkterna. Markera en punkt, håll ned Ctrl -knappen och markera även övriga punkter. Nu visas följande meny: Klicka här, välj Dold. Mät triangelns vinklar med hjälp av mätverktyget: OBS! Ordningen man väljer att markera punkter eller linjer på har betydelse för vilken vinkel man får undersök! Ändra antalet decimaler till 0 (finns under Inställningar ) 3
Beräkna triangelns vinkelsumma genom att addera vinklarna: OBS! Speciella tecken kan hämtas genom att klicka på: (nedre högra hörnet). Notera nu att vinkelsumman finns i algebrafönstret: Dra i hörnen på triangeln och se hur de olika vinklarna ändras, samtidigt som vinkelsumman är konstant! Infoga en textruta i Ritområdet med hjälp av verktyget: Klicka i Ritområdet, där du vill att texten ska infogas. Nu visas följande ruta: Här skriver man in texten Variablerna α, β, γ och δ hämtas här. OBS! Egenskaper hos texten kan ändras på samma sätt som andra objekt (se instruktion ovan) 4
Mätverktyg - Area och omkrets Vi ska nu göra en konstruktion som kan vara användbar för att studera trianglar med samma area men olika omkrets. Öppna Nytt fönster (finns under Arkiv ). Ta bort koordinataxlarna genom att högerklicka någonstans i ritområdet och avmarkera: Konstruera en linje genom två punkter med verktyget. Lägg in ytterligare en punkt C (utanför linjen). Konstruera en ny linje, parallell med den förra, och som går genom C : Lägg in en ny punkt (D) på den parallella linjen (den sist konstruerade linjen). Konstruera en triangel med punkterna A, B och D som hörn, med hjälp av Polygon-verktyget:. Dölj gärna punkten C. Nu ska vi mäta polygonens area och omkrets. Detta görs med följande mätverktyg: Dra i punkten D och undersök hur omkrets och area ändras! 5
Räta linjen, glidare I GeoGebra finns ett kraftfullt verktyg för dynamisk visualisering, som kallas Glidare (på engelska slider ). Vi ska här undersöka hur detta verktyg kan användas för att studera hur grafen till den linjära funktionen y = kx + m ändras för olika värden på parametrarna k och m. Öppna Nytt fönster och lägg till Rutnät genom att högerklicka någonstans i ritområdet och markera:. Klicka på verktyget Glidare : och därefter vart i Ritområdet som du vill placera glidaren. Nu visas följande ruta: Glidarens namn, intervall samt steglängd är förinställt men ändras enkelt. Ändra namnet till k och Steglängden till 0.5 (OBS! Som decimalkomma används punkt). Lägg in ytterligare en glidare och kalla den m (samma steglängd som ovan). Tips! Genom att peka på glidaren och hålla ned höger musknapp, kan glidaren flyttas omkring på skärmen. Mata in räta linjens ekvation: Med verktyget flyttas hela koordinatsystemet. Flytta eventuellt koordinatsystemet, så att origo blir mer centrerat. Dra i glidarna, och undersök hur de olika parametrarna k och m påverkar grafens utseende. Observera samtidigt hur det algebraiska uttrycket ändras i Algebrafönstret. Lägg in en punkt på linjen. Dra punkten längs linjen och studera samtidigt punktens koordinater i Algebrafönstret! Tips! Man kan välja att skriva ut punktens koordinater istället för punktens namn (vid punkten). För att göra detta se instruktionen vid den fjärde punkten i avsnittet Vinklar i en triangel ovan. 6
Geometriska avbildningar Spegling i linje Öppna Nytt fönster och ta bort koordinataxlarna. Dölj Algebrafönstret genom att markera krysset : Konstruera en linje genom två punkter med verktyget. Lägg in ytterligare en punkt C (utanför linjen). Spegla den fria punkten C i linjen med verktyget:. En spegelpunkt C skapas. Ändra färg på någon av punkterna C eller C genom att högerklicka på den och välja Egenskaper och därefter Färg. (Detta för att kunna skilja dem åt). Sätt spår på punkterna C och C genom att högerklicka på respektive punkt och markera Spår på. Rita en frihandsfigur genom att dra i punkten C! Lägg in ytterligare en linje, vinkelrät mot den första linjen med hjälp av verktyget: Spegla punkten C och C även i denna linje. Sätt spår på de nya punkterna och rita figur med punkten C! Infoga bild och spegla Det finns möjlighet att lägga in egna bilder i programmet. Vi skall göra detta och därefter utföra några avbildningar av bilden med hjälp av GeoGebra. Öppna Nytt fönster, stäng Algebrafönstret och dölj Koordinataxlarna. Klicka på: och därefter någonstans i Ritområdet. Välj en egen bild från din dator eller hämta bild från Internet (måste sparas någonstans på din dator). Troligtvis behöver storleken på din bild justeras. Ett sätt att göra detta på är följande: Lägg in två punkter, A och B, där du vill ha bildens nedre vänstra respektive högra hörn. Högerklicka på bilden, välj Egenskaper och därefter Position. Ange därefter A och B som hörn1 och hörn 2: 7
Nu kan bilden flyttas runt fritt i Ritområdet och storleken på bilden kan justeras genom att flytta punkterna A och/eller B. Rita en linje! Spegla därefter din bild i linjen med verktyget:. Flytta linjen (genom att flytta någon av punkterna C eller D) och undersök hur detta påverkar positionen av den speglade bilden. Undersök även vad som händer då bilden flyttas/ändras. Rotation med viss vinkel kring punkt Radera den speglade bilden, linjen samt punkten D genom att högerklicka på dem och välj Radera. Rotera bilden med verktyget:. Flytta punkten C och undersök hur detta påverkar avbildningens position. Tips! Rotationen kan tydliggöras genom att lägga in ett rutnät i Ritområdet. För att undersöka hur rotationsvinkeln påverkar avbildningens position kan Glidare användas. Klicka på verktyget Glidare och därefter vart i Ritområdet som du vill placera glidaren. Markera Vinkel och behåll de förinställda värdena för min och max. Tips! För att få en längre glidare, högerklicka på glidaren och välj Egenskaper. Under fliken Glidare kan bredden ändras till exempelvis 500: Högerklicka på den roterade bilden och välj Egenskaper. Under fliken Grundinställningar kan vinkeln α läggas in som rotationsvinkel: Undersök nu hur rotationsvinkeln påverkar avbildningen. 8
Likformighetsavbildning Ta bort eventuellt rutnät, den roterade bilden samt glidaren. Förstora eller förminska bilden med hjälp av verktyget:. Flytta punkten C och undersök hur detta påverkar avbildningens position. För att undersöka hur skalfaktorn påverkar avbildningens utseende kan med fördel Glidare användas. Polynom och derivata Vi ska här undersöka hur glidaren kan användas för att studera hur grafen till tredjegradspolynomet ändras för olika värden på parametrarna a, b, c och d. Öppna Nytt fönster och lägg in Rutnät Klicka på verktyget Glidare : och därefter vart i Ritområdet som du vill placera glidaren (använde de förinställda värdena). Lägg in ytterligare 3 glidare. Mata in tredjegradspolynomet: Med verktyget flyttas hela koordinatsystemet. Flytta eventuellt koordinatsystemet, så att origo blir mer centrerat. Dra i glidarna, och undersök hur de olika parametrarna a, b, c och d påverkar grafens utseende. Observera samtidigt hur det algebraiska uttrycket ändras. Ställ in glidarna så att grafen till polynomet ritas. Lägg in en punkt A någonstans på grafen. Kontrollera att punkten följer grafen när du drar i punkten. 9
Lägg in en Tangent till grafen, i punkten A, med hjälp av verktyget: Mät tangentens luntning med verktyget Lutning : Genom att flytta punkten A flyttas även tangenten och man kan studera hur dess lutning, dvs. funktionens derivata, ändras. För att studera funktionens derivata lägger vi in en ny punkt B med samma x- koordinat som A men med y-koordinaten lika med tangentens lutning, k. Skriv in:. ( genom att skriva x(a), fås punkten A s x-koordinat) Flytta punkten A och studera samtidigt punkten B s förflyttning. Högerklicka på punkten B och markera Spår på. Nu kommer punkten att lämna spår efter sig då A förflyttas och vi får funktionens derivata uppritad! Tips! Spåret raderas med Ctrl + F. Derivatan till funktionen kan även ritas upp genom att skriva: eller genom att använda kommandot:. OBS! Matematiska kommandon (och funktioner) fås fram genom att klicka på längst ned i högra hörnet. Med verktyget Funktionsinspektören, kan man bland annat undersöka en funktions nollställen, extrempunker, integral och hur dessa ändras då man ändrar funktionens definitionsmängd. Testa! 10
Kalkylblad, regression och zoomning Vi ska nu se exempel på hur en tabell i kalkylbladet kan läggas in som punkter i ritområdet och hur det sedan är möjligt att anpassa en funktion (t.ex. ett andragradspolynom) utifrån dessa punkter. Öppna Nytt fönster. Ta fram ett kalkylblad genom att markera Kalkylblad (finns under Visa ) Fyll i cellerna A1 B3 på följande sätt: Markera cellerna A1 B3, högerklicka och välj Skapa och därefter Lista med punkter. I algebrafönstret finns nu en lista, Lista1, som består av tre punkter: (1,3), (3,6) och (5,5). Dessutom kan man nu se punkterna i ritområdet. Klicka på därefter på RegressionPoly., längst ned i högra hörnet och välj Statistik. Dubbelklicka Eftersom det är Lista1 vi ska använda och vi vill ha ett polynom av grad 2 ska följande skrivas in: Lägg in andragradspolynomets formel, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet genom att markera formeln och dra den till ritområdet. Ändra något värde i tabellen och studera hur motsvarande punkt flyttas, hur grafen anpassas, hur punkten ändras i Lista1 i algebrafönstret och hur funktionsformeln ändras. Dra i någon av punkterna och studera hur motsvarande värden ändras i tabellen, hur grafen anpassas, hur punkten ändras i Lista1 i algebrafönstret och hur funktionsformeln ändras. Ändra tabellen så att den ser ut på följande sätt: Antagligen syns nu inte funktionens maximipunkt. Detta är lätt åtgärdat i GeoGebra eftersom det är så enkelt att zooma. Markera och scrolla. Vill man bara ändra skalan längs den ena axeln är det bara att markera och dra i axeln. Tips! För att återgå till standardvy, tryck: Ctrl + M. 11
Trigonometriska funktioner Vi ska nu använda GeoGebra för att rita funktionen y = sinx, både då x anges i radianer och i grader. Vi börjar med radianer. Öppna Nytt fönster. Skriv in: Markera och gör de justeringar som behövs för att få den placering och storlek på grafen som önskas. Högerklicka i ritområdet och välj: Välj xaxeln : Ändra Avstånd enligt följande: Om vi istället vill ha vinkeln x i grader blir det lite annorlunda: Skriv in: (grad-tecknet hämtas genom att klicka på ) Högerklicka i ritområdet och välj på samma sätt som ovan Ritområde och därefter xaxeln. Ändra nu Avstånd och Enhet enligt följande: Tips! Dölj eller radera funktionen ( ). Markera och gör de justeringar som behövs för att få den placering och storlek på grafen som önskas. 12