Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II

Innehåll Repetition: Linjära avbildningar Matrisrepresentation av linjära avbildningar Volymförändring vid linjära avbildningar Sammansättning av linjära avbildningar 8 mars 2016 2(32)

Repetition: Linjära avbildningar En avbildning av rummets (planets) vektorer är en regel F som till varje vektor x i rummet (planet) ordnar en entydigt bestämd vektor F(x), kallad bilden av x genom F. En avbildning av planets vektorer skulle kunna vara Projicera varje vektor ortogonalt på en given rät linje L genom origo (avbildningen P i figuren nedan) Spegla varje vektor i en given rät linje L genom origo (avbildningen S i figuren nedan) Rotera varje vektor ett halvt varv runt origo (avbildningen R nedan). S(x) R(x) 180 O P (x) x L Projektionen, speglingen och rotationen ovan är alla exempel på linjära avbildningar. 8 mars 2016 3(32)

Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det (i) för alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) gäller F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ), (ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller F(λx) = λf(x). Vi kan ersätta villkoren (i) och (ii) i ovanstående definition, med ett enda villkor: För varje par av vektorer x 1 och x 2 och varje par av reella tal λ 1 och λ 2 gäller att F(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 F(x 1 ) + λ 2 F(x 2 ). Informellt: Linjärkombinationer avbildas på linjärkombinationer. 8 mars 2016 4(32)

Matrisrepresentation av linjära avbildningar Under förra föreläsningen tittade vi på ett antal exempel på linjära avbildningar. Vad de alla hade gemensamt var att de kunde representeras med hjälp av matriser: För en linjär avbildning F visade det sig att bilden y = F(x) av en vektor x kan fås genom att beräkna en matrisprodukt Y = AX, där X och Y är kolonnmatriser som svarar mot x respektive y, och där A är en 2 2- eller en 3 3-matris, beroende på om F är en avbildning av planets eller rummets vektorer. Vi återanknyter till ett par av dessa exempel nedan. 8 mars 2016 5(32)

Exempel (Spegling i en rät linje) För den linjära avbildning S som speglar planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0, så fann vi att S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Sambandet mellan x = (x 1, x 2 ) och S(x) = (y 1, y 2 ) kan skrivas på matrisform: ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 5 12 x1. y 2 13 12 5 x 2 Alltså kan S representeras av matrisen A = 1 ( ) 5 12. 13 12 5 S(x) = (y 1, y 2) L O x = (x 1, x 2) 8 mars 2016 6(32)

Exempel (Ortogonal projektion på ett plan) För den linjära avbildning P som projicerar rummets vektorer ortogonalt mot planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0, så är P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. På matrisform: y 1 y 2 = 1 10 3 1 x 1 3 2 3 x 2, 11 y 3 1 3 10 x 3 d.v.s. P representeras av A = 1 10 3 1 3 2 3. 11 1 3 10 n x = (x 1, x 2, x 3) P (x) = (y 1, y 2, y 3) 8 mars 2016 7(32)

Vi konstaterade förra gången att vi har att göra med en linjär avbildning, så fort vi kan representera den med en matris, d.v.s. OM en avbildning kan representeras av en matris, SÅ är den linjär. Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s. OM en avbildning är linjär, SÅ kan den representeras av en matris. Sats För varje linjär avbildning F av rummets vektorer gäller att det i en given bas finns en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att likheten y = F(x) på matrisform motsvaras av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna F(x) respektive x. I boken bevisas denna sats i det fall, då F är en avbildning av rummets vektorer. Vi ska genomföra beviset i fallet då F är en avbildning av planets vektorer. Matrisen A blir då istället av typ 2 2. 8 mars 2016 8(32)

Bevis av satsen (för planets vektorer). Låt (e 1, e 2 ) vara en bas för planets vektorer. Säg att x = (x 1, x 2 ) och y = F(x) = (y 1, y 2 ) i denna bas, vilket alltså betyder att x = x 1 e 1 + x 2 e 2 och y = y 1 e 1 + y 2 e 2. Även F(e 1 ) och F(e 2 ) är vektorer i planet, så de har också varsin uppsättning av koordinater i den givna basen, säg F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ), vilket är samma sak som att F(e 1 ) = a 1 e 1 + a 2 e 2 och F(e 2 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2. Nu blir y = F(x) = F(x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 F(e 1 ) + x 2 F(e 2 ) = x 1 (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) + x 2 (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = (a 1 x 1 + b 1 x 2 )e 1 + (a 2 x 1 + b 2 x 2 )e 2. Men vi har ju också y = y 1 e 1 + y 2 e 2, och eftersom koordinaterna för en vektor är entydigt bestämda i en given bas, så måste { ( ) ( ) ( ) y1 = a 1 x 1 + b 1 x 2 y1 a1 b = 1 x1. y 2 = a 2 x 1 + b 2 x 2 y 2 a 2 b 2 x 2 ( ) a1 b Därmed representeras F av A = 1, och satsen är bevisad. a 2 b 2 8 mars 2016 9(32)

Om vi studerar beviset mer ingående, ser vi att det ger oss en metod att plocka fram matrisen till en linjär avbildning. Vi ser att vi fick matrisen ( ) a1 b A = 1, a 2 b 2 vars kolonner består precis av koordinaterna för F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ). Motsvarande gäller också för avbildningar av rummets vektorer. Med andra ord: Sats Om den linjära avbildningen F av rummet representeras av matrisen A i en given bas (e 1, e 2, e 3 ), så utgörs A:s kolonner av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ), d.v.s. bilderna av basvektorerna genom F. Exempel Om en linjär avbildning F av rummets vektorer representeras av 1 6 1 matrisen A = 3 3 0 i någon bas (e 1, e 2, e 3 ), så är 0 8 1 F(e 1 ) = (1, 3, 0), F(e 2 ) = ( 6, 3, 8) och F(e 3 ) = ( 1, 0, 1) i denna bas. 8 mars 2016 10(32)

Exempel (Spegling i en rät linje) Vi ska använda föregående sats för att på nytt plocka fram den matris A som representerar speglingen S av planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0. Vi behöver då veta koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ), och tar till den formel som härleddes förra gången, d.v.s. S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Som riktningsvektor valde vi v = ( 3, 2) (så därmed blir v 2 = 13). För e 1 = (1, 0) får vi därmed vilket ger λ = e 1 v v 2 = 1 ( 3) + 0 2 = 3 13 13, S(e 1 ) = 2λv e 1 = ( 6 5 13 ) ( 3, 2) (1, 0) = ( 13, 12 13 ). 8 mars 2016 11(32)

Anmärkning Observera att vi måste räkna ut ett nytt värde på λ när vi beräknar S(e 2 ); vi kan inte använda samma värde på λ som när vi beräknade S(e 1 ). Detta beror på att λ i den allmänna formeln S(x) = 2λv x beror av den vektor x som vi stoppar in i S, i och med att λ = (x v)/ v 2. 8 mars 2016 12(32) På samma sätt får vi för e 2 = (0, 1) att och därmed λ = e 2 v v 2 = 0 ( 3) + 1 2 = 2 13 13, S(e 2 ) = 2λv e 2 = 4 12 13 ( 3, 2) (0, 1) = ( 13, 5 13 ). Sammanfattningsvis: S(e 1 ) = ( 5 13, 12 13 ) och S(e 2) = ( 12 13, 5 13 ). Enligt satsen ovan kan vi nu bilda matrisen A för S i den givna basen (e 1, e 2 ), genom att som kolonner i matrisen välja koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ): A = ( 5/13 12/13 12/13 5/13 ) = 1 13 ( ) 5 12. 12 5

Exempel Vi använder samma metod som i förra exemplet, för att än en gång plocka fram matrisen för projektionen P av rummets vektorer på planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0. Den allmänna formeln är här P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. Här har vi n = (1, 3, 1) och därmed n 2 = 11. För e 1 = (1, 0, 0) blir vilket ger λ = e 1 n n 2 = 1 1 + 0 3 + 0 ( 1) 11 = 1 11, P(e 1 ) = e 1 λn = (1, 0, 0) 1 10 11 (1, 3, 1) = ( 11, 3 11, 1 11 ). 8 mars 2016 13(32)

För e 2 = (0, 1, 0) blir vilket ger λ = e 2 n n 2 = 0 1 + 1 3 + 0 ( 1) 11 = 3 11, P(e 2 ) = e 2 λn = (0, 1, 0) 3 3 11 (1, 3, 1) = ( 11, 2 11, 3 11 ), och med samma metod blir P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, 10 11 ). Matrisen för P i basen (e 1, e 2, e 3 ) kommer att som sina kolonner ha koordinaterna för P(e 1 ) = ( 10 11, 3 11, 1 11 ), P(e 2) = ( 3 11, 2 11, 3 11 ) och P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, 10 11 ): 10/11 3/11 1/11 A = 3/11 2/11 3/11 = 1 10 3 1 3 2 3. 11 1/11 3/11 10/11 1 3 10 8 mars 2016 14(32)

Exempel Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en positivt orienterad ON-bas för rummet. Låt R vara den avbildning, som roterar varje vektor i rummet 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Man kan visa e 3 e 2 att R är linjär; vi söker dess matris. e 1 Vi behöver veta koordinaterna för R(e 1 ), R(e 2 ) och R(e 3 ), eftersom dessa kommer att utgöra matrisens kolonner. Med ledning av figuren ovan ser vi att om e 1 roteras 90 moturs (sett från spetsen av e 3 ), så får vi e 2 som resultat, d.v.s. R(e 1 ) = e 2 = (0, 1, 0). om vi roterar e 2 på samma sätt får vi en vektor som pekar åt rakt motsatt håll som e 1. Alltså är R(e 2 ) = e 1 = ( 1, 0, 0). eftersom e 3 tjänstgör som rotationsaxel, så händer ingenting med denna vektor när den roteras; R(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Detta ger oss matrisen A = 0 1 0 1 0 0. 0 0 1 8 mars 2016 15(32)

Exempel Låt I vara den avbildning av rummets vektorer som definieras av I(x) = x för varje vektor x, d.v.s. varje vektor avbildas på sig själv. Trots att denna avbildning gör ingenting, är den nog så viktig och har därför fått ett eget namn: identitetsavbildningen. Det är lätt att se att identitetsavbildningen är linjär. Alla vektorer avbildas ju på sig själva, så därför är I(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = λ 1 I(x 1 ) + λ 2 I(x 2 ). Eftersom I är linjär, kan den representeras av en matris. Hur ser denna ut? 8 mars 2016 16(32)

Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en bas för rummets vektorer. Nu avbildar ju I alla vektorer på sig själva, så speciellt måste I(e 1 ) = e 1 = (1, 0, 0), I(e 2 ) = e 2 = (0, 1, 0) och I(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Enligt det sätt på vilken man plockar fram matrisen för en linjär avbildning, måste därmed I representeras av enhetsmatrisen 1 0 0 E = 0 1 0. 0 0 1 Lägg märke till att det inte spelar någon roll hur basen (e 1, e 2, e 3 ) ser ut; matrisen för I blir enhetsmatrisen i vilket fall som helst! (Senare kommer vi att se att en matris för en linjär avbildning i regel ser annorlunda ut, beroende på vilken bas man använder sig av. Men detta gäller alltså inte för identitetsavbildningen.) 8 mars 2016 17(32)

Volymförändring vid linjära avbildningar Låt v 1, v 2 och v 3 vara tre vektorer i rummet. Då spänner dessa upp en parallellepiped (vars volym är noll, om vektorerna råkar v 2 vara linjärt beroende). v 1 Om F är en linjär avbildning av rummet, så spänner även F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 ) upp en parallellepiped i rummet (vars volym blir noll, om dessa tre vektorer är linjärt beroende). Eventuellt F (v 3) ändras även orienteringen; om systemet (v 1, v 2, v 3 ) från början är positivt orienterat, kan (F(v 1 ), F(v 2 ), F(v 3 )) bli F (v 1) negativt orienterat. F (v 2) Kan något sägas om volymen av den parallellepiped som spänns upp av v 1, v 2 och v 3, jämfört med den som spänns upp av deras motsvarande bilder F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 )? Och finns ett sätt att avgöra om orienteringen ändras (som den t.ex. gör i figurerna ovan)? 8 mars 2016 18(32) v 3

Vi påminner om att volymfunktionen V (u 1, u 2, u 3 ) anger volymen (sånär som på tecken) av den parallellepiped som spänns upp av u 1, u 2, u 3 (och att V (u 1, u 2, u 3 ) bestäms genom att beräkna den determinant, vars kolonner ges av koordinaterna för u 1, u 2 och u 3 ). Man kan avgöra om systemet (u 1, u 2, u 3 ) är positivt eller negativt orienterat, genom att undersöka ifall V (u 1, u 2, u 3 ) är större eller mindre än 0. Om V (u 1, u 2, u 3 ) = 0 så är u 1, u 2, u 3 linjärt beroende. Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet, och antag att F i någon bas representeras av matrisen A. Låt u 1, u 2, u 3 vara tre vektorer i rummet. Då gäller V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) = deta V (u 1, u 2, u 3 ), d.v.s. volymen av parallellepipeden ändras med en faktor som är lika med determinanten av den matris som representerar F. Anmärkning Observera att om deta < 0, så kommer V (u 1, u 2, u 3 ) och V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) att ha olika tecken (såvida inte någon av dem är noll). I så fall ändrar F på orienteringen. 8 mars 2016 19(32)

Exempel Vektorerna u = (1, 2, 1), v = (2, 0, 2) och w = ( 1, 2, 1) spänner upp en parallellepiped med volymen 8, ty med hjälp av Sarrus regel får vi att 1 2 1 V (u, v, w) = 2 0 2 1 2 1 = 8. Antag att F är en linjär avbildning av rummet som representeras av matrisen 1 0 3 A = 1 2 1. 0 1 2 Vilken volym har den parallellepiped som spänns upp av F(u), F(v) och F(w)? Lösning. Eftersom deta = 6 så ger föregående sats direkt att V (F(u), F(v), F(w)) = 6 ( 8) = 48, d.v.s. volymen är 48. Notera att V (u, v, w) och V (F(u), F(v), F(w)) har samma tecken (båda är negativa), så F ändrar inte på orienteringen. 8 mars 2016 20(32)

Alternativ lösning. En mer omständlig lösning är att först beräkna F(u), F(v) och F(w), och därefter bestämma V (F(u), F(v), F(w)): Om kolonnmatriserna X, Y och Z representerar vektorerna u, v respektive w, så får vi koordinaterna för F(u), F(v) och F(w) genom att beräkna matrisprodukerna AX, AY respektive AZ. Eftersom 1 0 3 1 4 AX = 1 2 1 2 = 6, 0 1 2 1 4 så är F(u) = (4, 6, 4). På samma sätt får vi att F(v) = (8, 4, 4) och F(w) = (2, 4, 4). Detta ger att 4 8 2 V (F(u), F(v), F(w)) = 6 4 4 4 4 4 = 48, med hjälp av Sarrus regel. 8 mars 2016 21(32)

Exempel Antag att P är en projektion (ortogonal eller sned) av rummet på ett givet plan. Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer (d.v.s. de spänner upp en parallellepiped med positiv volym). Vad kan sägas om V (P(u), P(v), P(w)), d.v.s. vilken volym har den projicerade parallellepipeden? u v w 8 mars 2016 22(32)

Eftersom P är en projektion på ett plan, så kommer P(u), P(v) och P(w) alla ligga i detta plan. Dessa tre vektorer blir alltså linjärt beroende, så V (P(u), P(v), P(w)) = 0. P (u) P (v) P (w) Men om P representeras av matrisen A, så vet vi från föregående sats att V (P(u), P(v), P(w)) = deta V (u, v, w). Här är V (u, v, w) 0, ty u, v, w var ju linjärt oberoende. Men vänsterledet är ju noll. Alltså måste deta = 0. Slutsats: En projektion (ortogonal eller sned) av rummets vektorer på ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 0. 8 mars 2016 23(32)

Exempel Vilket samband råder mellan V (u, v, w) och V (S(u), S(v), S(w)), om S är en spegling av rummets vektorer i ett givet plan? w v u S(w) S(v) S(u) 8 mars 2016 24(32)

Volymen av parallellepipeden ändras inte vid en spegling. Däremot ändras orienteringen; om systemet (u, v, w) från början är positivt orienterat, så kommer (S(u), S(v), S(w)) att bli negativt orienterat. Alltså måste V (S(u), S(v), S(w)) = V (u, v, w). Om matrisen A representerar S, så ger formeln därmed att deta = 1. V (S(u), S(v), S(w)) = deta V (u, v, w), Slutsats: En spegling av rummets vektorer i ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 1. Att fundera på: Vad kan sägas om deta, om A är matrisen för en rotation? 8 mars 2016 25(32)

Sammansättning av linjära avbildningar I många situationer har man flera avbildningar som får operera på en vektor i tur ordning: Om vi t.ex. har två avbildningar F och G, och om x är en vektor i rummet, så kan vi först beräkna y = F(x), och därefter z = G(y) = G(F(x)). Den avbildning som avbildar x på G(F(x)) kallas för sammansättningen av F och G, och betecknas G F (vilket uttalas G boll F ). Alltså har vi definitionsmässigt att G F(x) = G(F(x)). Observera att notationen G F läses från höger till vänster, d.v.s först appliceras F, därefter G ( F följt av G ). Ordningen är viktig; i allmänhet är nämligen F G G F. Om både F och G är linjära, så visar sig G F också vara linjär. Alltså kan G F representeras av en matris. Antag att matriserna A, B och C representerar F, G respektive G F. Då motsvaras y = F(x) och z = G(y) av matrisekvationerna Y = AX respektive Z = BY, medan z = G(F(x)) = G F(x) motsvaras av Z = CX. Av Z = BY = B(AX) = (BA)X följer att C = BA. 8 mars 2016 26(32)

Vi har bevisat följande sats: Sats Låt F och G vara linjära avbildningar av rummet, och antag att de i någon bas representeras av matriserna A respektive B. I samma bas representeras då sammansättningen G F av matrisen BA. Exempel Låt S 1 vara speglingen i planet Π 1 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0, medan S 2 är speglingen i planet Π 2 : 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 0. Vi ska bestämma matriserna för de sammansatta avbildningarna S 1 S 2 respektive S 2 S 1. För en spegling i ett plan gäller att en vektor x avbildas på x 2λn, där n är en normalvektor till planet, och där λ = (x n)/ n 2 (se föregående föreläsning). Detta ger alltså S 1 (x) = x 2λ 1 n 1 och S 2 (x) = x 2λ 2 n 2, där n 1 = (1, 2, 3) och n 2 = (3, 2, 1) är normalvektorer till respektive plan, och där λ 1 = (x n 1 )/ n 1 2 och λ 2 = (x n 2 )/ n 2 2. 8 mars 2016 27(32)

Det visar sig (övning!) att S 1 och S 2 representeras av A 1 = 1 6 2 3 2 3 6 respektive A 2 = 1 2 6 3 6 3 2. 7 7 3 6 2 3 2 6 Detta ger att S 1 S 2 representeras av A 1 A 2 = 1 9 36 32 4 33 36, 49 48 4 9 medan S 2 S 1 representeras av A 2 A 1 = 1 9 4 48 36 33 4. 49 32 36 9 Lägg märke till A 1 A 2 A 2 A 1, så S 1 S 2 och S 2 S 1 är inte samma avbildning. (Man kan visa att S 1 S 2 och S 2 S 1 geometriskt kan tolkas som rotationer runt den räta linjen (x, y, z) = (t, 2t, t) med samma vinkel (cos 1 (1/49) 89 ), men åt olika håll (den ena medurs, den andra moturs), sett från spetsen av linjens riktningsvektor (1, 2, 1).) 8 mars 2016 28(32)

Exempel Låt S och P vara en spegling respektive en ortogonal projektion i ett och samma plan. Hur kan vi tolka de sammansatta avbildningarna (a) P P (vi projicerar två gånger efter varandra)? (b) S S (vi speglar två gånger efter varandra)? (c) S P (först projicerar vi, sedan speglar vi)? (d) P S (först speglar vi, sedan projicerar vi)? Lösning (a) Varje vektor som redan ligger i planet projiceras på sig själv. Därför blir P P(x) = P(P(x)) = P(x), d.v.s. P P = P. Om matrisen A representerar P, så betyder detta att A 2 = A. (b) När vi speglar två gånger efter varandra kommer en vektor x att avbildas på spegelbilden av spegelbilden av x, d.v.s. på sig själv: S S(x) = x. Om B är matrisen för S, så blir därmed B 2 = E enhetsmatrisen. 8 mars 2016 29(32)

(c) Alla vektorer som ligger i planet är lika med sin egen spegelbild. Detta ger att S P(x) = S(P(x)) = P(x), d.v.s. S P = P. För motsvarande matriser gäller därmed BA = A. (d) En vektor har samma projektion på planet, som dess spegelbild har, se figuren. x P (S(x)) = P (x) S(x) Alltså är även P S = P, så för motsvarande matriser gäller alltså AB = A. Sammanfattningsvis: Om P är en ortogonal projektion på ett plan och S en spegling i samma plan, så gäller P S = S P = P P = P och S S = I, där I betecknar identitetsavbildningen, som ju är den avbildning som avbildar varje vektor på sig själv; I(x) = x. 8 mars 2016 30(32)

Exempel I ett tidigare exempel från denna föreläsning konstaterade vi att 0 1 0 A = 1 0 0 0 0 1 är matrisen (i den positivt orienterade ON-basen (e 1, e 2, e 3 )) för den linjära avbildning R som roterar varje vektor runt e 3 med 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Om vi multiplicerar A med sig själv, får vi matrisen 1 0 0 A 2 = 0 1 0. 0 0 1 Detta är matrisen för R R; rotation ett halvt varv runt e 3. 8 mars 2016 31(32)

Avbildningen R R R betyder tre på varandra följande rotationer om 90 vardera, moturs runt e 3, d.v.s. sammanlagt en rotation 90 medurs, sett från spetsen av e 3. Dess matris är A 3 = 0 1 0 1 0 0. 0 0 1 Avbildningen R R R R betyder rotation ett helt varv. Alltså är R R R R = I identitetsavbildningen och följaktligen A 4 = E enhetsmatrisen. 8 mars 2016 32(32)