Att tala och skriva matematik

maria asplund Att tala och skriva matematik Redskap för bedömning Folkparksskolan i Norrköping arbetar sedan åtta år med Tankeverkstad i åk F 5. Arbetssättet utvecklas ständigt och det senaste är att arbeta med tydliga mål. I artikeln ges exempel på hur läraren kan bedöma elevernas matematikkunskaper genom att lyssna när de talar och läsa det de skriver i reflektioner och sammanfattningar. I arbetssättet Tankeverkstad arbetar vi med att koppla mål i läro- och kursplan till olika teman för att matematikkunskaperna ska sättas i ett för eleverna vardagsnära sammanhang. Mätning och rumsuppfattning blir Uppdrag bakning eller Tema IKEA och decimalsystemet blir Tema mobiltelefoner eller Tema annonser. De olika temaområdena löper under 4 6 veckor och vi arbetar oftast med dem tre av veckans fyra lektioner. Den fjärde lektionen ägnar vi åt färdighetsträning av skriftliga metoder och förståelse för de fyra räknesätten. Det kan ske genom arbete med öppna problem, diskussioner om hur andra löst uppgifter, att eleverna gör egna uppgifter till olika svar eller att de beskriver t ex 15 / 3 med bild och ord. Vi använder inte någon matematiklärobok i traditionell mening. De flesta temauppgifterna konstruerar vi lärare och vi arbetar mycket med att hitta rika och utvecklingsbara problem. Det ställer en del krav på uppfinningsrikedom och idéer men vi tipsar varandra och delar med oss av våra planeringar, matriser och annat. Vi som är matematikansvariga träffas ungefär två timmar i veckan och diskuterar med varandra hur vi kan utveckla vår undervisning. Det viktigaste när vi ska konstruera en uppgift är att vi vet målet och har en idé om hur vi kan arbeta vidare och utveckla den. Uppgiften ska stimulera elevernas tänkande och följas upp så att eleverna har en mottagare för hur de löst uppgiften och får hjälp att värdera lösningarna, dra slutsatser och generalisera. Det är också bra om det går att hitta uppgifter som verkligen skapar behov av ny kunskap hos eleverna, det är då det blir meningsfullt för dem att lära sig nytt. Det är också viktigt att det är uppgifter som ligger nära elevernas vardag och som känns meningsfulla för dem att arbeta med. Tydliga mål Vi vill att våra elever ska ta ansvar för sitt arbete och känna att de arbetar för sin egen skull. Därför är vi tydliga med vilka mål eleverna förväntas nå inom ett temaområde. Målen sitter på väggen under hela temat och vi samtalar varje vecka om vilka mål vi arbetar mot just då. Till detta ägnar vi ungefär fem minuter i början eller slutet av lektionen. Det är särskilt betydelsefullt när vi är mitt uppe i ett tema, där vi kanske klipper och klistrar mycket, att koppla tillbaka till varför vi gör det, så det inte blir ett görande utan mål. Varje lektion lyfter vi ett eller två mål som vi arbetar med just den lektionen och skriver dem på tavlan, t ex: 11

kunna vara en aktiv samarbetspartner kunna utföra divisionsberäkningar. Vi försöker att vara tydliga med vad det är som gör att lärande kan ske. Läraren har t ex ansvar för att göra bra uppgifter, men eleven själv har ansvar för att ta sig an de uppgifter läraren föreslår. Vi är också tydliga med elevens egna ansvar när det gäller att lyssna på läraren och klasskamraterna samt att vara delaktig i gruppdiskussioner. Vid varje termins början skickar vi hem grovplaneringen i matematik. I den finns mål ur både läro- och kursplan för det vi kommer att arbeta med under terminen. Där finns också våra utvalda mål, både vilka mål vi strävar mot och vilka mål eleverna ska ha uppnått i slutet av terminen. Utdrag från våra utvalda mål, grovplanering för höstterminen åk 5 Övergripande strävar vi efter att alla elever ska: bli medvetna om sina styrkor och svagheter i ämnet kunna ta olika roller i samarbete, som språkrör, fokushållare och sekreterare kunna vara en aktiv samarbetspartner kunna stå för sin lösning och argumentera för den kunna dra slutsatser och se samband kunna reflektera muntligt och skriftligt över sitt eget lärande i matematik kunna sammanfatta ett temaområde i skrift utifrån ett antal frågeställningar och på så sätt visa vad de lär sig förstå tal i bråk- och decimalform. Tema Fritidsaktiviteter Vi strävar efter att alla elever ska: förstå vad en fritidsaktivitet är veta hur man beräknar medelvärde samt förstå vad det kan användas till kunna göra jämförelser kunna göra en tydlig redovisning av vad de lärt sig kunna utföra divisionsberäkningar kunna använda miniräknaren. Tema Former pepparkakshusbygge Vi strävar efter att alla elever ska: förstå orden cirkel, rektangel, triangel, kvadrat, parallellogram, romb, prisma, rätblock, pyramid, kon, klot och cylinder ha hört talas om talet pi kunna beskriva en tredimensionell figur kunna bygga en tredimensionell figur kunna beskriva skillnaden mellan räta, trubbiga och spetsiga vinklar kunna göra en ritning och konstruera något efter ritningen kunna göra enkla volymberäkningar kunna beräkna area. Mål för alla elever på Jägaren Mål som alla elever på Jägaren ska uppnå under höstterminen: veta vad medelvärde är och när man använder det kunna använda miniräknaren kunna kort division som skriftlig räknestrategi förstå orden cirkel, rektangel, triangel, kvadrat, parallellogram, prisma, rätblock, pyramid, kon, klot och cylinder kunna beräkna area kunna beskriva skillnaden mellan räta, trubbiga och spetsiga vinklar förstå vad en tredjedel är, som del av en hel och som del av antal samt hur det skrivs förstå decimalsystemet när det gäller tiondelar kunna vara en aktiv samarbetspartner. 12

Inför varje temaområde visar vi eleverna en bedömningsmatris där olika nivåer av målen för det specifika temaområdet finns med. Genomförande Ett tema startar alltid med en genomgång av vilka mål vi strävar mot, sen får eleverna tema uppgiften som kan se ut så här: Det har brunnit hemma hos dig. Väggar, golv och möbler är totalförstörda. Nu måste du göra i ordning ett helt nytt rum. Du får 15 000 kr av mig att handla för på IKEA där man kan köpa både möbler och golv. Väggarna kommer att målas av en målare men av mig kommer du att få en fin bård att sätta upp helt gratis, bara du talar om hur mycket bård du behöver. Jag vill att du handlar upp så mycket som möjligt av pengarna, om du behöver kan du ansöka om mer pengar men då måste du ha bra skäl till det. Vi varvar elevernas arbete i smågrupperna med genomgångar och små uppgifter som utgår från problem som eleverna stöter på under arbetets gång. Det kan vara hur man räknar ut area eller gör överslagsräkning. Tid för reflektion Vi tycker att det är viktigt att inte bara rusa fram i skolan utan att stanna upp och tänka på vad det egentligen är vi håller på med. Därför lägger vi en hel del tid på reflektion i matematikundervisningen. Efter åtminstone ett avslutat arbetspass varje vecka gör eleverna en så kallad kortreflektion utifrån en frågeställning från läraren. Det kan vara hur arbetet i gruppen gått, vad de lärt sig, hur lektionen varit, hur arbetet mot målen gått, vad de ska tänka på till nästa gång. Frågan följs alltid med varför de tycker si eller så och det finns alltid en framåtsyftande frågeställning. Därefter får eleverna 5 10 minuter till att skriva ner sina reflektioner. Varje vecka ges skriftlig respons till minst hälften av eleverna på deras reflektioner. Det kan vara hur jag som lärare upplevt att arbetet i gruppen gått, om jag sett något de lärt sig eller tips från mig om vad de behöver tänka på. Detta gör att varje elev får lärarens respons minst varannan vecka. Det blir ett sätt att prata om lärande i matematik med eleverna då vi har svårt att få tid att prata med dem enskilt. 13

Ibland handlar mina frågeställningar om hur det gått på individnivå, ibland på gruppnivå. De gånger jag ställer frågor på gruppnivå skriver eleverna enskilt men gruppen får en gemensam respons på det jag sett av deras samarbete under lektionens gång och vad de behöver göra för att förbättra samarbetet. Nästa lektion startar med att eleverna läser igenom det de skrivit i reflektions boken tillsammans med min respons så att de har i minnet vad de ska tänka på eller förbättra. 24/9-08 Jag tycker den här lektionen har varit rolig. Därför att jag gillar att jag lär mig mer när jag bygger. Det har gått bra att jobba med målen för att jag, Daniel och Daniela ville uppnå målen. Jag behöver träna på att låta Daniel och Daniela jobba mer. 25/9-08 Kul att du kände att alla i gruppen ville jobba. Jag tror att du måste träna på att förklara vad du menar för Daniel och Daniela. /Maria Exempel på en elevs kortreflektion och lärarens respons. Skriftliga sammanfattningar Efter avslutat temaområde, eller som avstämning mitt i ett långt temaområde, gör eleverna en sammanfattning utifrån flera frågeställningar. Skriv en sammanfattning där du funderar över: Vad du/vi gjort. Vad du lärt dig (visa också att du lärt dig det). Vad är bra med IKEA-uppgiften? Varför? Vad är mindre bra? Varför? Vad du bidragit med i gruppen. Alla elever måste inte beröra samtliga frågeställningar, de är ett stöd i skrivandet, men eleverna vet att det är viktigt att de i texten visar vad de lärt sig. Sammanfattningen blir ett slags repetitionstillfälle för eleverna. När de skriver stannar de ibland upp och frågar: Vad var kvadratmeter nu igen? eller Var omkretsen det som var runt rummet?. Man kan säga att det är en kombination av reflektion, repetition och prov. Sammanfattningen som genomförs enskilt blir en del av bedömningen. När jag läser elevernas sammanfattningar noterar jag samtidigt vad jag kan se i texten att de lärt sig. Alla elever får respons på sammanfattningen för att deras funderingar ska leda till vidare utveckling av matematiklärandet. När eleverna skriver sammanfattningen har de även bedömningsmatrisen bredvid sig så att de kan se målen för arbetet. IKEA Jag har jobbat med IKEA. Vi började med att få en läxa att rita våra rum. Sen fick vi en till läxa där vi skulle mäta alla väggar, dörrar och fönster. Vi fick IKEA-kataloger och sen började vi köpa möbler och golv. Sen har vi fått klippa ut dom möblerna vi vill ha ur katalogen och skrivit upp: Möbel, namn, sida, pris och storlek i en tabell. Och så fick vi klistra upp dom på ett färgat papper. Alla fick rita möblerna man köpt och sen klistra upp dom i det ritade rummet. Jag har lärt mig vad en skala är, det är ex: 5 cm på pappret är en meter i verkligheten. Jag har lärt mig vad m 2 är, det är en figur som är en meter på varje sida, det kan också vara 0,5 m på två sidor och 2,0 m på två sidor. Det svåraste var att räkna ut hur många m 2 det är på mina väggar när det inte är hela m 2 (kvadratmeter). För att det är svårt att räkna ut då hur många hela m 2 rummet består av. Jag tycker den har varit väldigt intressant och den är bra för att i en uppgift ingår massor olika saker att lära sig. Jag tycker inget har varit mindre bra för att allt vi har gjort i den här uppgiften har varit intressant och kul!! Exempel på en elevs sammanfattning. Tala som grund för bedömning Vår matematikundervisning baseras på problemlösning i grupp. Vi har en särskild utvecklingsplan för problemlösningsarbetet som sträcker sig från förskoleklass till åk 5. 14

Utvecklingsplanen har även kommit att gälla i svenska och engelska och kallas numera kommunikativ utvecklingsplan. Den ser likadan ut i alla ämnen och de grupper eller par eleverna är indelade i är samma oavsett om det är engelska, svenska eller matematik. I åk 5 ska de kunna lösa ett problem i grupp om tre elever, där varje elev har en egen uppgift såsom sekreterare, fokushållare och språkrör. (Läs mer om detta sätt att organisera grupparbete i Nämnaren nr 3, 2004. Artikeln finns på Nämnaren på nätet.) Eleverna ska kunna delta aktivt i samarbetet i gruppen och kunna argumentera för sin lösning. Grupperna var tidigare sammansatta av elever som kunde ungefär lika mycket matte, men efter att jag fick möjlighet att delta i ICME11 i Mexiko i somras och där lyssna på och läsa om vad forskningen säger om detta har vi nu ändrat så att grupperna är heterogent sammansatta. Grupperna består numera oftast av tre elever, vilket forskning enligt Rijkje Dekker visat är det mest produktiva antalet. Nu provar vi istället att tänka på hur de kan samarbeta och sätter samman arbetsgrupperna efter det i åk 5. I varje grupp finns en elev som kan samarbeta, en elev som inte kan och en elev som är på väg att lära sig, så att de ska kunna lära samarbete och matematik av varandra. Vi vuxna stöttar samarbetet genom att ge eleverna positiv förstärkning i arbetet när vi ser något som är bra. Det kan vara Just nu argumenterar du eller Nu är alla i er grupp aktiva, fortsätt med det eller Vad bra att du inte blev sur nu när inte din idé gick igenom. På så sätt blir eleverna medvetna om vad som händer i gruppen. Detta sistnämnda arbete har vi bara påbörjat, så än återstår mycket. När eleverna samtalar i sina grupper står jag en bit ifrån och lyssnar. Jag skriver ner det jag hör i deras samtal, vad enskilda elever visar att de kan och hur de klarar att samarbeta. På det sättet sker en form av bedömning även här. Lärarens dokumentation Eleven och läraren fyller tillsammans i matrisen vid ett kort samtal när ett tema område är avslutat. Matrisen skickas hem till föräldrarna för påseende och underskrift. Dessa matriser samlas i en mapp tillsammans med lärarens anteckningar om eleven. En gång per termin sammanställer läraren elevens kunskaper i det dokument som blir elevens skriftliga omdöme i matematik. Där beskriver hon också utvecklingen i förhållande till mål att sträva mot och vilka mål eleven har visat att den nått. Detta skickas också hem till föräldrarna en gång varje termin. Vi är noga med att det är visad kunskap som står upptagen i dokumentet, det är alltså inte säkert att eleven inte nått de mål som inte är införda, men eleven har ännu inte visat kunskaperna. När man tänker så blir det enklare att inte såra eleverna när de tycker att vi inte har fyllt i något som de själva tycker att de kan. Jag säger inte att du inte kan, men du har inte visat mig att du kan. Tidigare årskurser I artikeln är det främst arbetet i åk 3 5 som har beskrivits, men också i åk 1 3 arbetar vi med att eleverna sammanfattar vad de lärt sig. Även där är eleven med och diskuterar sitt lärande med hjälp av matriser. Vi tycker att det är viktigt att eleverna och föräldrarna är delaktiga i hela lärprocessen, från planering till bedömning. I förskoleklassen ska barnen våga prova olika sätt att hitta lösningar på problem. Arbetet sker individuellt, men alla barn redovisar för en vuxen hur de tänkt. Fortsättning Det är ett utmanande och intressant arbete att ständigt fortsätta utveckla matematikundervisningen och vi ser med spänning framåt. Litteratur Thunholm, M. & Bergehed, A. (2004). Tankeverkstad. Nämnaren (31)1, 15 18. Thunholm, M. (2004). Meningsfull matematik. Nämnaren (31)3, 28 31. Dekker: home.medewerker.uva.nl/r.dekker 15