2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn

2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn [Understanding Physics: 13.16-13.17] Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och fjäderkonstanten (kraftkonstanten) k är H(p, x) = p2 2m + 1 2 kx2, och den tidsoberoende Schrödinger ekvationen för systemet kan därför skrivas Liksom förut skall vi lösa ekvationen med en ansats: 2 d 2 ψ 2m dx + 1 2 2 kx2 ψ = Eψ. ψ = Ae βx2, som har derivatorna dψ dx = 2βxAeβx2 och d2 ψ dx 2 = 4β2 x 2 Ae βx2 +2βAe βx2 = 2β(1+2βx 2 )Ae βx2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 1

Substitution i Schrödinger ekvationen leder då till 2 2m 2β(1 + 2βx2 ) + 1 2 kx2 = E, efter division med Ae βx2. Denna ekvation kan också skrivas i formen! E + 2 β m + 2 2 β 2 m 1 2 k! x 2 = 0. Eftersom ekvationen måste gälla för alla värden av x, så måste parentesuttrycken var för sig försvinna. Av villkoret 2 2 β 2 m 1 2 k = 0 följer då, att β2 = mk 4 2, dvs β = ± mk 2. Eftersom egenfunktionerna bör vara ändliga överallt, så måste den positiva roten förkastas, och härav följer att en lösning till Schrödinger ekvationen är ψ = Ae mk 2 x2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 2

Energivillkoret E + 2 β m = 0 leder då till följande uttryck för den motsvarande energin E = E 0 = 2 β m = 2 m mk 2!, eller alltså E 0 = 1 2 r k m = 1 2 ω, där ω = p k/m är oscillatorns klassiska vinkelfrekvens. Det visar sig inte vara möjligt att finna en sådan lösning till den harmoniska oscillatorns Schrödinger ekvation, som skulle ha en lägre energi än E 0. Den lösning som vi har funnit, representerar därför systemets grundtillstånd, och E 0 är den motsvarande energin. Värdet av konstanten A kan beräknas ur normeringsvillkoret Z ψ (x)ψ(x)dx = 1 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 3

med substitutionen u = mk 2 1/4 x: 1 = A 2 Z! e mk x 2 dx = A 2 2 1/4 Z e u2 du = 1. mk 1/4. Den normerade grundtillståndsfunk- Integralen R e u2 du har värdet π, varför A = tionen är alltså mk π ψ 0 = mk π! 1/4 e mk 2 x2. Vi skall använda oss av detta resultat för att beräkna väntevärdet av x 2 i harmoniska oscillatorns grundtillstånd: Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 4

x 2 = Z ψ x 2 ψdx = mk π! 1/2 Z x 2 e mk x 2 dx = där vi gjort substitutionen u =! 1/2! 3/2 Z mk mk u 2 e u2 du, π 1/2 x. Integralen blir 1 2 π, och vi får således x 2 = 1 2 mk q mk. Väntevärdet för den potentiella energin är således U = 1 2 kx2 = 1 k 4 m = 1 4 ω = 1 2 E 0, och väntevärdet för den kinetiska energin är alltså också 1 2 E 0. Den totala energin fördelas alltså alltså lika mellan kinetisk och potentiell energi, vilket stämmer med den klassiska mekaniken. De högre energitillstånden skall vi inte studera här. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 5

2.17. Om kvantmekanikens tolkning Som vi tidigare sett, begränsar osäkerhetsprincipen våra möjligheter att bestämma samtidigt en partikels position och rörelsemängd. Enligt Bohr var detta en naturlag. Som en förklaring till vågpartikeldualiteten framlade han 1927 sin komplementaritetsprincip, enligt vilken våg- och partikelegenskaperna är komplementära, dvs varandra uteslutande. Enligt Bohr var det experimentets natur som bestämde om t.ex. en elektron betedde sig som en partikel eller en våg. Om rörelsemängden för en partikel kunde mätas exakt, så måste dess position vara osäker. I Köpenhamnstolkningen, som denna beskrivning började kallas, var alltså en partikels position och rörelsemängd komplementära storheter. Men det fanns dock de som frågade sig, om inte en partikel ändå kunde ha en bestämd position och rörelsemängd, fast de inte samtidigt kan mätas. Einstein ville inte godta kvantmekanikens sannolikhetstolkning. Han sade upprepade gånger att han var övertygad om att Gud inte spelade tärning. Tillsammans med Podolsky och Rosen konstruerade han 1935 följande tankeexperiment (EPR, A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev. 47, 777-780) för att belysa sin syn på kvantmekaniken. Antag, att två partiklar A och B växelverkar med varandra under en viss tid, och sedan rör sig åt olika Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 6

håll utan att längre påverka varandra. Populärt kan EPR-experimentet förklaras på följande sätt. Enligt osäkerhetsprincipen kan vi mäta partiklarnas kombinerade rörelsemängd exakt då de kolliderar, och senare rörelsemängden för A och positionen för B. Rörelsemängden för B skulle man sedan kunna bestämma på grund av att den totala rörelsemängden bevaras, och sålunda skulle man känna både positionen och rörelsemängden för B exakt. Den kvantmekaniska osäkerheten skulle då kunna bevaras endast om A skulle störas genom mätningen av B:s position, vilket skulle leda till att B:s rörelsemängd inte skulle kunna bestämmas exakt. Frågan är hur denna störning i såfall skulle överföras från B till A? (sådana tillstånd som A och B befinner sig i har senare kallats sammanflätade tillstånd). Vi kan tänka oss två möjligheter för detta: a) Partikeln B kan påverka partikeln A omedelbart på avstånd, vilket förutsätter kommunikation med en hastighet som överskrider ljusets (detta kallades av Einstein för spöklik fjärrverkan (spukhafte Fernwirkungen). b) Informationen kanske överförs på ett sätt som kvantmekaniken inte ger besked om. Einstein föredrog den senare mekanismen. Han ansåg därför kvantmekaniken vara en ofullständig teori. Kanske finns det dolda variabler, som vi inte känner till? Bohr ansåg däremot i sitt svar att man inte kan studera en del av ett system, utan att man måste betrakta det sammanflätade systemet som en helhet, fastän avståndet mellan de enskilda partiklarna kan vara stort. Schrödinger skrev också samma år en artikel ( Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, die Naturwissenschaften 23, 807-812, 823-828, 844-849), där han redogjorde för sin syn på den kvantmekaniska mätteorin. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 7

1964 beskrev John Bell matematiskt hur sådana variabler skulle kunna användas för att göra teorin fullständigare, och utvecklade en olikhetsprincip, med vars hjälp man skulle kunna undersöka deras existens. Enligt Bell borde det vara experimentellt möjligt att skilja mellan den kvantmekaniska sammanflätningsteorin och teorier som innehåller dolda variabler. På 1980 talet gjordes experiment av Aspect och andra som baserade sig på Bell s idéer för att utforska, hur kvantmekaniken fungerar. De moderna experimenten har visat, att mekanismen a) är sannolikast. Man brukar också numera säga, att kvantmekaniken är en icke-lokal teori (syftar på att påverkan sker omedelbart). Detta innebär, att alla partiklar i själva verket tillhör samma system, eftersom de kan påverka varandra på avstånd, och det verkar sålunda inte att existera dolda variabler. Experiment som gjorts under de senaste åren visar att sammanflätning av fotoner i optiska fibrer kan observeras på över 10 km avstånd. De sammanflätade kvanttillstånden kan också tänkas få praktiska tillämpningar t.ex. vid kommunikation på långa avstånd, och vid beräkningar (kvantkryptografi och kvantdatorer). T.o.m. teleportering av partikeltillstånd kan tänkas vara möjlig. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 8

Kapitel 3. Atomfysiken [Understanding Physics: 19.1-19.4] Vi skall nu övergå till att studera atomerna, och visa hur kunskapen om atomernas struktur gradvis ökats genom användning av kvantmekanik. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 9

3.1. Atommodeller Då en elektrisk ström passerar genom en gas, kommer atomerna där att joniseras. De elektriskt neutrala atomerna delar upp sig på negativt laddade elektroner och positivt laddade joner. Det är därför lätt att föreställa sig, att atomerna innehåller elektroner. Vi vet också att elektronens massa är betydligt mindre än atomens. Därför är det sannolikt, att atomens positiva laddning står för största delen av massan. Detta visste man om atomen redan vid början av 1900 talet. Frågan var, hur massan och laddningen var fördelad i atomen. J.J. Thomson i Cambridge föreställde sig sålunda, att atomen bestod av en jämnt fördelad positiv laddning uppblandad med elektroner, som russin i en pudding. Problemet löstes genom genom experiment, som utfördes av Ernest Rutherford i Manchester år 1910 tillsammans med Hans Geiger och Ernest Marsden. De bombarderade tunna guld och silverfolier med α partiklar. De mätte sedan spridningsvinklarna, under vilka α partiklarna avlänkades på grund av Coulomb växelverkan med laddningarna i atomerna, och använde dem för att bestämma laddningsfördelningen i atomen. Om Thomsons plumpuddingmodell skulle stämma, så borde α partiklarna avlänkas endast obetydligt, då de passerade genom atomen. Rutherfords experiment visade emellertid, att fastän de flesta α partiklarna passerade igenom atomen utan att spridas, så var det några (ungefär 1 på 10000) som spreds mer än 90. Många av dem avlänkades t.o.m. 180. Sannolikheten för att detta skulle inträffa, om laddningarna var Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 10

jämnt fördelade, uppskattades till 1 på 10 3500. Rutherford uttryckte saken så, att det var som om du skulle ha avfyrat en kula mot en bit toalettpapper, och den skulle ha studsat tillbaka och träffat dig. Vad Rutherfords experiment visade, är att den positiva laddningen i atomen och nästan hela massan är koncentrerad i en mycket liten volym i centrum av atomen, och att största delen av atomen består av tomrum. Radien av denna kärna kunde beräknas på basen av de observerade spridningsvinklarna, och visade sig vara av storleksordningen 10 14 m, mer än 10000 gånger mindre än atomens radie. Vi får alltså en bild av atomen, där en tung, positivt laddad kärna omges av en mycket större volym, som innehåller elektronerna. Frågan var nu, varför drar inte kärnan till sig alla elektronerna? Man resonerade, att detta inte skedde, därför att elektronerna rörde sig runt kärnan, såsom planeterna kring solen. Denna planetmodell tillämpad på den enklaste atomen, väteatomen, visar en elektron med laddningen e, som rör sig runt en kärna med laddningen +e (en proton) på avståndet r. Om vi för enkelhetens skull antar, att elektronen rör sig i en cirkelbana kring kärnan, så kan man sätta centripetalkraften lika med den e attraktiva Coulomb kraften och får då 2 4πɛ 0 r 2 = mv2 r, som kan skrivas som mv2 = e2 4πɛ 0 r. Elektronens totala energi är E = 1 2 mv2 andra fås E = e2 8πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r, och om vi substituerar mv2 från den första ekvationen i den = e2 8πɛ 0 r. Alternativt kan vi också uttrycka E med hastigheten v : E = 1 2 mv2. Som man väntar sig för ett bundet system, är den totala energin negativ. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 11

Även om planetmodellen verkar mycket tilltalande, så fungerar den inte, när man tar elektromagnetismen i beaktande. Som vi vet, alstrar en accelererande laddning elektromagnetisk strålning (sekt. 18.2). I planetmodellen utsätts elektronerna hela tiden för centripetalaccelerationen och förväntas därför förlora energi i form av elektromagnetisk strålning. Elektronens totala energi, som avbildas i fig. 19.4, visar att då elektronen förlorar energi, måste dess banradie minska, och leda till att den störtar in i kärnan. Mätningar av jonisationsenergin ger inte heller resultat som stämmer överens med planetmodellen. Jonisationsenergin är den energi, som krävs för att helt frigöra en elektron från en atom. Det är en positiv energi, som tar ut den negativa bindningsenergin, och således frigör elektronen. Samma grundämnes atomer har visat sig alltid ha lika stor jonisationsenergi. Detta resultat var oväntat, emedan energin som behövs för att frigöra en elektron från en atom kan anta vilket värde som helst, om r kan ha ett godtyckligt värde. Därav följer, att elektronerna i en atom endast kan röra sig i bestämda banor. Att elektronernas banradier och bindningsenergier har fixerade värden, påminner om kvantiseringen av energin i ett bundet system. Innan vi går över till att tillämpa kvantmekanik på detta system, skall vi visa hur den klassiska planetmodellen kan modifieras, så att man kringgår problemen med den. Den slutliga modellen, Bohrs atommodell, kallas semiklassisk, eftersom kvanthypotesen har kombinerats med den på ett något godtyckligt sätt, så att teorin ger de rätta svaren. På grund av att denna modell är så enkel att arbeta med, skall vi utnyttja den till att börja med. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 12

3.2. Vätets spektrum, Rydbergs formel Då en elektrisk ström passerar genom en gas, så kommer atomerna att absorbera energi genom kollisioner med elektroner och joner, och sänder sedan ut energin som ljus, dvs elektromagnetisk strålning. Det utsända ljuset kan delas upp på komponenter med en gitterspektrometer eller en prismaspektrometer. Detta atomspektrum innehåller diskreta linjer, som är karaktäristiska för en särskild atom. Spektret kan också användas för att identifiera de undersökta atomerna (spektroskopi). Denna teknik är speciellt lämplig då man inte kan komma över prov på det undersökta ämnet, såsom t.ex. i astrofysikaliska studier. Väteatomens spektrum är speciellt enkelt (fig. 19.6, se nedan). Märk att endast de tre, eller möjligen fyra, linjerna som har den längsta våglängden, kan observeras med ögat. Därför används oftast en annan detektionsmetod, såsom fotografisk film. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 13

Spektrets linjer uppvisar tydliga regelbundenheter. Linjerna bildar serier, där avståndet mellan på varandra följande linjer avtar med avtagande våglängd, tills en punkt nås (seriegränsen), där ljusemissionen blir kontinuerlig. En empirisk formel för de synliga linjerna upptäcktes av Johann Balmer år 1885, och serien kallas Balmer serien efter honom. Rydbergs formel (uppkallad efter den svenska fysikern Johannes Rydberg (1854-1919)), som är allmännare, upptäcktes 20 år före planetmodellen. Tillämpad på Balmer-serien ser den ut så här: 1 λ = f c = R H 1 4 1 n 2. Här är R H är en konstant, som kallas Rydbergs konstant för väte. Dess värde är noggrant bestämt: 10967757.6±1.2 m 1. Heltalet n i formeln antar värdet 3, 4,... för Balmer-serien. Om t.ex. n = 3, så får vi λ = 656.47 nm, som är våglängden för den röda linjen i Balmerserien. Värdet n = 4 ger Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 14

λ = 486.27 nm, som är den blågröna linjen i Balmerserien, osv. Seriegränsen svarar mot n =, dess värde är λ = 364.71 nm (ligger i ultraviolett). Observera, att formeln ger linjerna mätta i vakuum. För att konvertera en vakuumvåglängd λ vak till en våglängd, mätt i luft λ luft, används formeln λ vak = nλ luft, där n är luftens brytningsindex (1.000292). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 15

3.3. Bohrs postulat Den danska fysikern Niels Bohr (1885-1962) försökte förklara Rydbergs formel genom att förbättra planetmodellen. Han visade att detta lyckas, om man utgår från följande postulat (Bohrs postulat, Phil. Mag. 26, 1 (1913)): Postulat 1: Istället för ett oändligt antal banor, som är klassiskt möjliga, antar vi att elektronen i en väteatom endast kan röra sig i banor, vilkas rörelsemängdsmoment L uppfyller villkoret där h betecknar Plancks konstant. L = mvr = nh 2π = n, n = 1, 2, 3,... Observera, att om vi skriver postulat 1 med hjälp av elektronens rörelsemängd p fås L = pr = nh 2π, och om vi substituerar p = h/λ (de Broglies hypotes) fås L = pr = h λ r = nh 2π, som kan förenklas till nλ = 2πr. Detta postulat kan därför tolkas så, att omkretsen av en tillåten Bohr bana måste svara mot ett heltaligt antal de Broglie våglängder. Detta innebär, att en elektronbana är endast tillåten om en stående de Broglie våg kan bildas på dess periferi. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 16

Man kan också förklara varför elektronerna inte kan befinna sig i en bana som inte uppfyller detta postulat: om det inte ryms ett heltaligt antal vågor på omkretsen av banan, så blir intensiteten noll, eftersom det då inträffar destruktiv interferens. Postulat 2: Elektroner i tillåtna banor producerar ingen elektromagnetisk strålning. Postulat 3: Elektronerna kan hoppa från en tillåten bana till en annan tillåten bana. Då detta sker, utsänds elektromagnetisk strålning med en bestämd frekvens f, som uppfyller villkoret hf = E i E f, där E i och E f är elektronens energi i den ursprungliga, resp. den slutliga banan. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 17

3.4. Bohrs modell för väteatomen Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan Bohrs första postulat skrivas v = n mr. Om vi substituerar detta uttryck i ekvationen ovan, fås vilket kan förenklas till n 2 1 2 m = mr e2 8πɛ 0 r, där r = 4π 2 ɛ 0 me 2 n2 = a 0 n 2, a 0 = 4π 2 ɛ 0 me 2, som har värdet 0.529 10 10 m, kallas Bohrs radie. Bohrs teori ger alltså en uppskattning för atomens storlek, som stämmer med observationerna. Radier, som inte överensstämmer med de kvantiserade värdena r = a 0 n 2, är inte tillåtna. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 18

Om uttrycket för radien substitueras i uttrycket för elektronens energi, fås E = e2 8πɛ 0 r = e2 8πɛ 0 a 0 n = e2 me 2 1 2 8πɛ 0 4π 2 ɛ 0 n = me4 1 2 32π 2 2 ɛ 2 0 n 2, som kan uttryckas E n = E 0 n 2, där E 0 = me4 32π 2 2 ɛ 2 0 = 13.60 ev. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 19

Sålunda leder Bohrs postulat också till kvantisering av energin. Det lägsta energitillståndet E 1 = E 0 svarar mot n = 1, och kallas för väteatomens grundtillstånd. Det följande tillståndet, vars energi är E 2 = E 0 /4, svarar mot n = 2 och kallas det första exciterade tillståndet (se fig. 19.9, se nedan). Väteatomens jonisationsenergi, dvs den energi som behövs för att frigöra en elektron från grundtillståndet (n = 1), är lika med E 1. Enligt Bohrs postulat är detta det enda möjliga värdet av väteatomens jonisationsenergi, och det förklarar varför jonisationspotentialen är densamma för alla väteatomer, dvs 13.6 V (uttryckt i volt). Enligt Bohrs andra postulat kan elektronen befinna sig i ett tillåtet energitillstånd utan att stråla ut energi. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 20

Det tredje postulatet tilllämpas på övergångar mellan tillåtna tillstånd. Om energin för begynnelsetillståndet är E i, och energin för sluttillståndet är E f, så är frekvensen för den utsända strålningen f = E i E f h. Om vi substituerar uttrycken för energin E i = E 0 /n 2 i och E f = E 0 /n 2 f i denna ekvation, fås f = 1 h " E0 n 2 i E 0 n 2 f # = E 0 h 1 n 2 f 1 n 2 i!, varav följer där 1 λ = f c = E 0 hc R = E 0 hc = 1 n 2 f 1 n 2 i!! 1 = R 1, n 2 f n 2 i me4 64π 3 3 ɛ 2 0 c = 10973731 m 1. Om vi jämför denna ekvation med Rydbergs formel, ser vi att de båda formlerna är identiska, om n f = 2 och n i = n, även om det finns en liten (men signifikant) skillnad mellan R H och R. Skillnaden beror på, att vi antagit att elektronen beskriver en cirkelrörelse kring kärnans medelpunkt vid härledningen av R. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 21

I själva verket sker rörelsen kring systemets massmedelpunkt, som sammanfaller med kärnans medelpunkt endast om elektronens massa antas vara försvinnande liten i förhållande till protonens massa. I själva verket är kärnan 1836 gånger tyngre än elektronen, och elektronmassan borde därför ersättas med den reducerade massan µ = m em p = m e(m p /m e ) = m e 1836. m e + m p 1 + m p /m e 1837 Bohrs första postulat blir då L = µvr = n, och vi säger i detta fall. att systemets totala rörelsemängdsmoment är kvantiserat. Om vi substituerar den reducerade massan µ i uttrycket för energin E 0, så blir den teoretiska konstanten R utbytt mot konstanten R H = 1836 1837 R. Det teoretiska värdet av R H stämmer mycket väl överens med det experimentella värdet. Observera, att den reducerade massan är olika för deuterium och tritium, eftersom kärnmassan då skiljer sig från protonens massa. För deuterium t.ex. är kärnmassan 3672m e, varför Rydbergs konstant för deuterium (R D ) är något större än för väte. Alla linjer i Balmer serien för deuterium är därför något förskjutna mot kortare våglängder jämfört med motsvarande linjer i vätets Balmer serie (isotopskift). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 22

Vätets spektrum kan nu förklaras med hjälp av Bohrs nivådiagram för väte (fig. 19.12 samt figuren ovan). Som vi ser kan spektret delas upp på olika serier: a) Lyman serien består av övergångarna mellan de exciterade nivåerna n i = 2, 3,... till grundtillståndet n f = 1. Seriegränsen är 91.1 nm. b) Balmer serien innehåller övergångarna mellan de exciterade tillstånden n i = 3, 4,... till första exciterade tillståndet n f = 2. Seriegränsen är 364.7 nm. c) Paschen serien består i sin tur av övergångar mellan de exciterade Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 23

nivåerna n i = 4, 5... och tillståndet n f = 3. Seriegränsen är 820 nm. d) Övergångar från högre tillstånd till tillståndet n f = 4 och n f = 5 ger upphov till Bracket, resp. Pfund serien. Våglängden för alla linjer i dessa serier kan beräknas ur den allmänna Rydberg formeln. Seriegränsen får man genom att sätta n i = i formeln. Om elektronen i en väteatom får en energi E c, som är större än jonisationsenergin för väte (E ), så kommer elektronen att fullständigt frigöras från atomen, och överskottsenergin E K = E c E överlåtes i form av kinetisk energi till elektronen. Energin för en sådan elektron är inte kvantiserad, varför elektronens energinivåer bildar ett kontinuum. Elektronens banhastighet i den lägsta Bohr banan kan uppskattas ur Bohrs modell. Eftersom den totala q 2E 0 m energin i grundtillståndet kan skrivas E 1 = E 0 = 1 2 mv2, så är v = = 2.19 106 m/s. Denna hastighet är nästan 1 % av ljushastigheten. Om man vill beräkna hastigheten noggrannare, borde man därför göra en relativistisk beräkning. Som en följd av Heisenbergs osäkerhetsrelation, blir osäkerheten i position för en elektron som rör sig med hastigheten 2.2 10 6 m/s att vara av storleksordningen 10 10 m. Detta avstånd är av samma storleksordning som den första Bohr banan. Därför kan man inte betrakta elektronerna som punktformiga partiklar, som är lokaliserade i atomen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 24

Bohrs atommodell kan lätt utvidgas till att gälla också andra atomer med en elektron, t.ex. joner som He +, Li 2+, Be 3+, där endast en elektron kretsar kring en kärna med laddningen +Ze. Sådana joner, som kallas väteliknande joner, kan behandlas i Bohrs teori så, att man ersätter laddningen +e i uttrycket för Coulomb energin med +Ze, där Z = 2 för He, Z = 3 för Li, etc. Dessutom måste den reducerade massan modifieras. En följd av detta är att E 0 = Z 2 µe 4 /(32π 2 2 ɛ 2 0 ) och att Rydbergs formel sålunda kan skrivas 1 λ = 1 RZ2 1, n 2 f n 2 i där R = µe 4 /(64π 3 3 ɛ 2 0 c). Observera, att värdet av µ = m em/(m e + M) närmar sig m e, då kärnans massa M växer. Då Z växer, och jonen således blir tyngre, kommer värdet av R därför att närma sig R.! Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 25