Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen till avsnitt tre i distanskursen i linjär algebra! Det är här kursens kärna ligger, och de grundläggande begreppen i linjär algebra presenteras. De inledande avsnitten om linjära ekvationssystem och matriser var just en inledning! Kapitel 4 beskriver det n-dimensionella rummet R n, där n är ett positivt heltal, och linjära avbildningar från R n till R m. Vi finner att sådana linjära avbildningar svarar direkt mot m n - matriser. I kap 4.2 och 9.2 studerar vi geometrin för olika typer av linjära avbildningar i planet och i rymden, såsom speglingar, vridningar, projektioner m.m. Kap 5.1-5.4 innehåller de mest centrala delarna av kursen. Här definieras grundbegreppen vektorrum, linjärkombination, linjärt hölje, linjärt oberoende, bas och dimension. I kap 5.5 och 5.6 används dessa grundbegrepp för att närmare lära känna matriser, linjära ekvationssystem och kopplingarna mellan dessa. Vid tidsbrist kan man fästa mindre vikt vid dessa delar av kursen. Läsanvisningar och kommentarer till läroboken Kap 4 Euklidiska vektorrum När man ser hur räknesätten fungerar komponentvis för vektorer med två resp. tre komponenter, är det inte svårt att föreställa sig hur de skulle ta sig ut om antalet komponenter vore ett annat. Vid summering av vektorer adderas komponenterna parvis, vid multiplikation av vektor med tal multipliceras varje komponent med talet, och när man beräknar en skalärprodukt multipliceras komponenterna parvis, och resultaten adderas. Det exakta antalet komponenter är inte kritiskt, räknesätten fungerar på samma sätt oavsett detta antal. Det är följaktligen en naturlig generalisering att tänka sig vektorer som specificeras av n komponenter: u = (u 1,u 2,...,u n ). Vi överger därmed betraktelsesättet att vektorer i första hand är geometriska objekt till förmån 1
för ett algebraiskt synsätt: en vektor är ett element i R n, där R n är mängden av alla n-tupler (ordnade följder av n reella tal). 4.1 Euklidiska n-dimensionella rummet Här ges grundläggande definitioner för vektorer i R n som direkt svarar mot dem som gäller för vektorer i planet (R 2 ), resp. i rymden (R 3 ). I sats 4.1.1 sammanfattas de viktigaste räknereglerna. Skalärprodukten u v definieras här på vanligt sätt. Den kallas dock i stället för inre produkt (inner product). En inre produkt definierad på detta sätt kallas för den Euklidiska inre produkten. 1 Normen för en vektor definieras på ett sätt som ger resultaten i kapitel 3 som specialfall. Observera dock att den grundläggande definitionen är u = (u u) 1/2, och att normens beroende av komponenterna därmed inte, som i kapitel 3, baseras på en geometrisk åskådning och på Pytagoras sats 2. När man sysslar med geometri i planet (eller i rymden) är punkter och vektorer olika typer av objekt. Beskriver man vektorer med komponenter och punkter med koordinater ser dock representationerna lika ut: talpar (eller taltripletter) för såväl punkter som vektorer. Mängden av punkter i planet är R 2 och mängden av vektorer i planet är också R 2. I rymden är såväl mängden av punkter som mängden av vektorer R 3. I R n finns inte längre någon klar åtskillnad mellan punkter och vektorer. Vi kan, efter behag, referera till elementen i R n som punkter i R n eller som vektorer i R n. I definitionen av avståndet mellan två element i R n d(u,v) = u v, har vi alltså frihet att säga att vänsterledet är avståndet mellan punkterna u och v, och högerledet är normen av differensen mellan vektorerna u och v. Notera gärna hur estetiskt tilltalande dessa definitioner av norm och avstånd är, jämfört med formlerna (1) till (4) på sid 128-129. Observera också att dessa formler fås som specialfall av definitionerna i R n då n = 2 resp. 3. 1 I kapitel 6 diskuteras andra sätt att definiera inre produkt. 2 Pytagoras sats förutsätts inte, utan kan bevisas enkelt m.h.a. vektorer och inre produkt, som på sid. 175. Tyvärr har ett korrekturfel slunkit igenom: u skall vara v på ett ställe i beviset. 2
Två viktiga olikheter, som gäller för alla vektorer u och v i R n, är Cauchy-Schwarz olikhet u v u v och triangelolikheten u + v u + v. Den senare följer ur den förra (se beviset på sid 172). Beviset för Cauchy- Schwarz olikhet bygger på ett litet trick, och presenteras i kap 6.2. 3 Vi kan (oberoende av dessa algebraiska bevis) lätt övertyga oss om att olikheterna gäller i fallen n = 2 resp. 3. Vi har ju u v = u v cos (där är vinkeln mellan u och v), och eftersom cos 1 för alla vinklar följer Cauchy-Schwarz olikhet. Triangelolikheten kan tolkas geometriskt som att en sida i en triangel inte kan vara längre än de båda andra tillsammans (se Fig 2(b)). Olikhetens namn förknippas med denna tolkning. Triangelolikheten kan också formuleras som i sats 4.1.5(d) med hjälp av avståndsfunktionen. Jämför Fig 3 (och observera att vi här betraktar u, v och w som punkter). Ortogonalitet är ett centralt begrepp i R n även då n>3. Om u v = 0 sägs u och v vara ortogonala. Vi kommer framöver i kursen att intressera oss mycket för denna egenskap, som har den trevliga effekten att förenkla beräkningar. Kap 4.1 avslutas med en betraktelse över de algebraiska likheterna mellan räknesätten för å ena sidan vektorer i R n och å andra sidan matriser av typen n 1 eller 1 n. Det visar sig ofta vara praktiskt att kunna växla mellan synsätten att objekten man räknar med är vektorer resp. matriser (eller rader eller kolonner i matriser). Övningar: 1, 4, 5c, 6ace, 7, 8, 9ac, 10, 11ac, 14ef, 17ad, 18a. 4.2 Linjära transformationer från R n till R m Kapitlet inleds med en kortfattad repetition av vad en funktion är. En funktion från A till B är en regel som till varje element i en mängd A ordnar exakt ett element i en mängd B. Det är viktigt att ha klart för sig att det är denna definition av funktionsbegreppet som är den grundläggande. (Den grafiska/geometriska bilden av en funktion som en kurva i ett koordinatsystem är användbar bara för att åskådliggöra funktioner från R till R.) Definitionsmängden A och målmängden B behöver inte bara bestå av reella tal, utan kan vara godtyckliga mängder. Här kommer vi att betrakta funktioner från R n till R m. Ett grundläggande begrepp i linjär algebra är linjär avbildning (linear transformation). Linjära avbildningar är ett slags funktioner 4 som 3 Där visas Cauchy-Schwarz olikhet inte bara för en Euklidisk utan för en allmän inre produkt. 3
kännetecknas av ett par trevliga egenskaper, som gör funktionerna lätta att räkna med. Dessa egenskaper kan i ord formuleras så här: bilden av en summa är summan av bilderna, och bilden av en multipel är multipeln av bilden. Mer exakt: funktionen T från R n till R m sägs vara linjär om det gäller att T(x 1 + x 2 ) = T(x 1 ) + T(x 2 ), och att T( x) = T(x) för alla vektorer x, x 1 och x 2 i R n och alla reella tal. Anton föredrar att basera definitionen av linjär transformation på en komponentframställning och på begreppet linjär ekvation (studera sid 182). Ovanstående egenskaper för linjär avbildning presenteras i stället som en sats (4.3.2 på sid 203). Denna definition leder direkt till det mycket viktiga resultatet att linjära avbildningar från R n till R m svarar mot m n -matriser. Påståendet att en vektor w i R m är bilden (under en linjär avbildning T) av en vektor x i R n, d v s w = T(x), kan skrivas w = Ax. Att avbilda vektorn x med avbildningen T är alltså detsamma som att multiplicera x med en viss m n -matris A. 5 (Vektorn x uppfattas här som en kolonnmatris.) Om du tycker att detta verkar knepigt, så kan jag lugna dig. Det är lika enkelt som att linjära ekvationssystem kan uttryckas med hjälp av matrismultiplikation (sid 33). Titta på exempel 2, sid 183! En geometrisk tolkning är ofta bra för förståelsen av algebraiska sammanhang. En linjär avbildning 6 från R 2 till R 2 resp. från R 3 till R 3 kan ges en klar geometrisk tolkning, som exempelvis en spegling, vridning, projektion eller skalförändring. Detta åskådliggörs i tabellerna 2 till 9. (Observera att man inte här, som när det gäller funktioner från R till R, grafiskt kan visa hur alla element avbildas. Man nöjer sig med att illustrera hur ett, godtyckligt, element avbildas. 7 ) Lär dig ordentligt dessa typer av avbildningar. (Formel (17) behöver dock inte läras in. Det räcker med vridningar kring koordinataxlarna, tab 7.) Sammansättningar av linjära avbildningar svarar mot multiplikation av motsvarande matriser. Observera att den avbildning/matris som har sin verkan först står längst till höger. 4 Termerna avbildning, funktion och transformation betyder i den här kursen i stort sett samma sak. I vissa andra sammanhang används termen transformation dock bara för inverterbara funktioner, som exempelvis vid byte av koordinatsystem (koordinattransformation). 5 Jämför gärna med situationen för linjära funktioner från R till R (specialfallet n=m=1). Det är inte svårt att se att det då gäller att T(x)=ax. När vi går från funktioner R R till funktioner R n R m, så byts skalären (1 1 - matrisen) a mot m n - matrisen A. I grunden gäller dock hela tiden att en linjär funktion svarar mot multiplikation med konstant. 6 En linjär avbildning från R n till R n kallas också för en linjär operator på R n. 7 Detta är ju lika bra! Vet man vad som gäller för ett godtyckligt element, så vet man vad som gäller för alla. 4
Övningar: 1b, 2a, 4a, 5a, 6b, 8c, 9a, 10a, 12d, 13b, 14b, 16b, 17a, 20d. 4.3 Egenskaper för linjära transformationer från R n till R m En viktig klass av avbildningar har egenskapen att olika element inte kan ha samma bild. Om det för alla u och v gäller att u v T(u) T(v), så sägs avbildningen T vara en-entydig 8 (one-to-one). Bland våra linjära avbildningar kan vi geometriskt förstå att vridningar och speglingar, men inte projektioner, har denna egenskap. En-entydighet är en förutsättning för inverterbarhet. En en-entydig linjär operator på R n är inverterbar. Detta innebär att det finns en linjär operator T 1 sådan att T 1 (T(x)) = T(T 1 (x)) = x för alla x. (Se Fig 3 för en geometrisk åskådning.) Om A är matrisen för avbildningen T så är A 1 matrisen för T 1. Ett viktigt och användbart resultat presenteras som sats 4.3.3, nämligen att kolonnerna i matrisen för avbildningen T är bilderna under T av basvektorerna e 1, e 2,..., e n. Se till att du förstår härledningen på sid 204. Alltså: när vi vet hur basvektorerna avbildas, så kan vi direkt skriva upp matrisen för avbildningen. Studera exempel 6. (Vad är determinanten för avbildningens matris? Är avbildningen inverterbar?) Vi har tidigare snuddat vid begreppen egenvektor och egenvärde till matris (sid 96-98). Med tanke på den intima kopplingen mellan matriser och linjära avbildningar är det kanske inte förvånande att man också kan tala om egenvektor och egenvärde till linjär avbildning. En trevlig effekt av denna koppling är att vi kan få en geometrisk tolkning av vad en egenvektor är. I exempel 7 och 8 avhandlas egenvektorer och egenvärden till en vridning resp. en projektion. Fundera gärna själv över motsvarande situation för en spegling, t.ex. spegling i x-axeln (i R 2 ). Övningar: 1ab, 2ab, 3, 5ab, 6a, 7ab, 8ab, 9b, 10b, 12abcdef, 13a, 14a, 18ac, 19c. Innan vi fortsätter med kapitel 5, som är ganska abstrakt, så sticker vi emellan med kapitel 9.2. Där tittar vi lite närmare på geometrin för ytterligare några linjära avbildningar i planet. 9.2 Geometri för linjära operatorer på R 2 I detta avsnitt, som är ganska tillämpningsinriktat, studerar vi linjära avbildningar av geometriska figurer i planet. Om vi betraktar elementen i R 2 8 En synonym term är injektiv. 5
som punkter, snarare än (geometriska) vektorer, är det inte svårt att förstå matematiken bakom spegling, vridning o.s.v. av figurer. Varje punkt i figuren avbildas ju enligt samma regel. Förutom de linjära avbildningar som beskrevs i kap 4.2 tas här upp töjning (expansion) och kompression, som är förstoring resp. förminskning i viss riktning, samt skjuvning (shear), som också är riktningsberoende. Begreppet elementär matris kommer till användning. Detta är en matris som kan fås från enhetsmatrisen med en enda elementär radoperation. Sats 9.2.2 sammanfattar några geometriska egenskaper hos (inverterbara) linjära avbildningar i planet. En följd av satsen är att trianglar avbildas på trianglar och parallellogrammer på parallellogrammer. Övningar: 1ac, 6ef, 12bc, 13ac, 15bc, 16, 17ace, 18. Kap 5 Allmänna vektorrum I detta kapitel definieras de centrala grundbegreppen i den linjära algebran: vektorrum, linjärt oberoende, bas och dimension. 5.1 Reella vektorrum Nu är det dags att ta det slutliga steget i abstraktion av begreppet vektor: från geometriska vektorer (pilar), till talpar/taltripletter, till n-tupler, till element i vektorrum. Ett vektorrum är en mängd där vi har definierat två räknesätt för elementen: addition av två element och multiplikation av element med tal. Båda räknesätten ger som resultat ett element i mängden. 9 Det ska finnas ett nollelement. Vidare ska välkända, enkla räkneregler gälla. 10 Dessa egenskaper (axiomen) är modellerade efter vad som gäller för R n. R n är alltså urtypen för vektorrum. Kan man tänka sig konkreta exempel på andra typer av vektorer än våra vanliga n-tupler? Ja, exempelvis matriser, med vanliga räknesätt (Ex 2 och 3), eller funktioner, med räknesätt definierade som i Ex 4. Övningar: 1, 4, 6, 10, 11, 12, 13, 20. 9 Detta innebär att vektorrum alltid innehåller oändligt många element. Undantag är det triviala vektorrummet, vars enda element är 0. 10 Observera att vi inte behöver definiera skalärprodukt (d.v.s. inre produkt) för att ha ett vektorrum. Denna behövs däremot för begrepp som norm, avstånd och ortogonalitet, och behandlas i kap 6. 6
5.2 Delrum I ett givet vektorrum är det ofta så att en viss del av elementen själva utgör ett vektorrum (med samma räknesätt). Då talar man om ett delrum 11 (subspace). För att undersöka huruvida en delmängd är ett delrum räcker det med att kontrollera axiomen (1) och (6), d.v.s. att delmängden skall vara sluten under räknesätten. Ett geometriskt exempel: en linje genom origo är ett delrum till R 3 (Ex 2). Varför? Jo, summan av två vektorer på linjen blir ju en vektor på linjen, och en vektor på linjen multiplicerad med ett tal blir också en vektor på linjen. Ett korrekturfel har slunkit igenom på sid 223: ordet not skall vara med i rutan vid Fig 3. Ex 4 och Ex 5 ger exempel på delrum till vektorrum av matriser resp. funktioner. Ett viktigt resultat är att lösningarna till ett homogent linjärt ekvationssystem med n obekanta utgör ett delrum till R n. Detta kan förstås algebraiskt i det allmänna fallet som på sidan 225, och geometriskt i fallet n = 3 när man betänker att lösningarna till ekvationssystemet svarar mot origo, en linje genom origo eller ett plan genom origo, beroende på om antalet fria variabler (d.v.s. antalet parametrar i lösningen) är 0, 1 eller 2. Studera Ex 7. Definitionen på sid 226 av linjärkombination av vektorer är central. Detta begrepp är något av grundbulten för den linjära algebran. Innebörden är enkel. En linjärkombination av ett antal vektorer innebär att vektorerna multipliceras med varsitt tal och resultaten adderas. Läs och begrunda Ex 8 och 9. Om man utgår från en uppsättning vektorer v 1, v 2,..., v r i ett vektorrum V, och studerar mängden av alla linjärkombinationer av dessa vektorer, så har man ett delrum till V. Detta är inte svårt att visa, eftersom en summa av linjärkombinationer av dessa vektorer också är en linjärkombination av samma vektorer, och detsamma gäller för en multipel. Detta delrum kallas för det linjära höljet till v 1, v 2,..., v r (space spanned by v 1, v 2,..., v r ), och betecknas span{v 1, v 2,..., v r }. 12 När man säger att ett vektorrum (eller delrum) spänns upp av en uppsättning vektorer menar man att varje vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i uppsättningen ifråga. För att skaffa sig en bild av vad detta innebär är det bra att tänka på ett någotsånär påtagligt geometriskt exempel. (Jämför Fig 5 på sid 228.) I den tredimensionella rymden R 3 gäller att en vektor spänner upp en linje genom origo. Alla linjärkombinationer är då helt enkelt alla multipler av vektorn. 11 Den synonyma termen underrum förekommer också. 12 Ibland skriver man på svenska lin i stället för span för att beteckna det linjära höljet. 7
Två (icke-parallella) vektorer spänner upp ett plan genom origo. Och tre vektorer (som inte ligger i samma plan) spänner upp hela rymden. Övningar: 1ab, 2ac, 3ac, 4ac, 5b, 6bdf, 7ac, 10ab, 11ac, 13, 14ac. 5.3 Linjärt oberoende Begreppet linjärt oberoende är centralt. En uppsättning vektorer sägs vara linjärt oberoende (linearly independent) om ingen av dem kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga. Detta kan formuleras som i definitionen på sidan 232, nämligen att det enda sättet att uttrycka nollvektorn som en linjärkombination av vektorerna är att låta samtliga koefficienter vara lika med noll. Om vektorerna inte har denna egenskap sägs de vara linjärt beroende (linearly dependent). Innebörden av linjärt beroende kan sägas vara att uppsättningen innehåller minst en onödig vektor, i så måtto att den kan plockas bort utan att rummet som spänns upp av de återstående vektorerna blir mindre. Vi håller på att arbeta oss fram till begreppet bas för vektorrum. En bas är en minimal uppsättning vektorer som spänner upp hela rummet. Vi vill inte ha med några onödiga vektorer i basen, utan kräver att den ska vara linjärt oberoende. Mer om detta i kap 5.4. Du rekommenderas varmt att skaffa dig förståelse för begreppet linjärt oberoende både algebraiskt (Ex 1-7 och satserna 5.3.1-5.3.3) och geometriskt (Fig 1 och 2). De sista två sidorna, om linjärt oberoende för funktioner, kan hoppas över. Övningar: 2abd, 3a, 4ad, 5a, 6c, 7a, 15, 18. 5.4 Bas och dimension Nu är det dags att koppla ihop begreppen spänna upp och linjärt oberoende. Vad vi är ute efter är ett enhetligt sätt att referera till elementen i ett vektorrum. Vi vill ha en uppsättning vektorer, en bas, sådan att varje element i vektorrummet på ett entydigt sätt kan skrivas som en linjärkombination av dessa vektorer. Basen skall alltså spänna upp vektorrummet, d.v.s. varje vektor i rummet skall kunna uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i basen. Samtidigt skall basen vara linjärt oberoende, d.v.s. ingen vektor skall kunna skrivas på mer än ett sätt som en linjärkombination av vektorerna i basen. Detta leder oss till definitionen av bas för vektorrum på sid 244. Observera att basen i sig inte är unik; för varje 13 vektorrum finns det oändligt många tänkbara baser. 13 Utom för det triviala vektorrummet, vars enda element är 0. 8
Om vi en gång för alla bestämmer oss för att räkna upp basvektorerna i en viss ordning, så kan vi referera till en vektor v i rummet genom att i motsvarande ordning ange koefficienterna i den linjärkombination av basvektorerna som är lika med v. (Se koordinater relativt en bas längst ned på sid 244.) Om basvektorerna är n till antalet, kan vi alltså entydigt ange en vektor v med hjälp av en n-tupel. 14 Denna kallas koordinatvektorn för v relativt basen S, och koefficienterna kallas koordinaterna för v relativt basen S. När man anger vektorer i R n som n-tupler är det underförstått att komponenterna är koordinater relativt standardbasen e 1, e 2,..., e n. Lär dig vad denna är, och gå igenom Ex 1-6. När vi diskuterade koordinatvektorer ovan förutsatte vi att antalet vektorer i basen var n st., d.v.s. ändligt. Ett sådant vektorrum kallas ändligtdimensionellt. 15 Satserna 5.4.2 och 5.4.3 säger att alla tänkbara baser för ett sådant vektorrum måste bestå av samma antal vektorer. Detta antal kallas för vektorrummets dimension. Resten av kap 5.4 utvecklar ytterligare sambanden mellan de grundläggande begrepp vi nu, förhoppningsvis, har lärt oss. Övningar: 2ac, 3ac, 4c, 5, 7ab, 9b, 11, 14, 19. 5.5 Radrum, kolonnrum, nollrum Kapitel 5.5 och 5.6 är inte lika grundläggande för den linjära algebran som 5.1-5.4. Här tillämpas i stället idéerna på matriser och på linjära ekvationssystem, vilket leder till en djupare förståelse för sambanden mellan dessa. En m n - matris A kan sägas innehålla m st. radvektorer som är element i R n, och dessutom n st. kolonnvektorer som är element i R m. Det linjära höljet till radvektorerna kallas radrummet till A, och är ett delrum till R n. Kolonnvektorerna spänner på samma sätt upp ett delrum av R m, som kallas kolonnrummet till A. Nollrummet (nullspace) kallas lösningsrummet till systemet Ax = 0. Detta är ett delrum till R n. Läs delkapitlet med målsättningen att lära dig hur man kan hitta baser för dessa delrum. Övningar: 2a, 3bc, 6ac, 8ac, 9ac. 14 Det är ju precis så vi brukar ange elementen i R n! Tänker man efter hur räknesätten (addition och multiplikation med tal) fungerar kommer man fram till att varje vektorrum med n vektorer i basen i själva verket har samma matematiska struktur som R n. 15 Det finns också vektorrum som inte har någon bas bestående av ändligt många vektorer; sådana rum kallas oändligtdimensionella. Dit hör många rum av funktioner. 9
5.6 Rang och nollrummets dimensionen Här görs observationen att radrummet och kolonnrummet har samma dimension. Detta dimensionstal kallas för matrisens rang (rank). Det viktigaste i delkapitlet är dimensionssatsen 5.6.3, som relaterar rangen med nollrummets dimension och antalet kolonner i en matris. Läs gärna resten av kap 5.6 för att få ytterligare kännedom om linjära ekvationssystem. Övningar: 2ac, 4, 12a. 10