66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y).. f(λx) =a(λx) =aλx = λ(ax) =λf(x), där λ R. f(x) =ax, (6.) Egenskaperna. och. ovan har visat sig vara så pass viktiga att funktioner som uppfyller dessa har fått ett eget namn. Definition 6.. Vi säger att en funktion f : R R är linjär om för varje x, y R och tal λ gäller. f(x + y) =f(x)+f(y).. f(λx) =λf(x). Alltså är f(x) =ax en linjär funktion. Funktioner som inte är linjära kallar vi för icke linjära och de är många fler. T.ex., är de elementära funktionerna, dvs polynom, trigonometriska, exponential och logaritmfunktionerna icke linjära. Låt oss titta närmare på f(x) =.Detgäller att f(x + y) =(x + y) = + y +xy = f(x)+f(y)+xy = f(x)+f(y), dvs villkor. är inte uppfyllt och därmed är f(x) = inte linjär. Inte heller villkor. är uppfyllt, ty f(λx) =(λx) = λ = λ f(x) = λf(x). Motsvarande linjära funktioner finns i Linjär algebra. Nedan ska vi se vilka dessa är och hur de verkar. Vi ska bl.a. visa att linjära funktioner i Linjär algebra är en generalisering av funktionen i (6.) ovan till flera dimensioner. Det gäller faktiskt att där A är en matris. F (ex) =eax,
6. Linjär avbildning 67 Låt e = {e, e, e 3 } vara en bas i rummet och låt Y = under matrisen A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 y y y 3 =, dvs a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 y y y 3 vara bilden av X = x x eller kortare Y = AX (6.3) Vi ser att sambandet i (6.3) är en regel som till varje vektor ex ordnar en entydig vektor ey via ey = eax. (6.4) Detta påminner om definitionen av begreppet funktion. Ett samband av typ (6.4) kallas därför en linjär funktion eller en linjär avbildning av rummet samt matrisen A för en avbildningsmatris. Allmännare, låt {e, e,...,e n } vara en bas i ett vektorrum V. Antag att u = ex V och v = ey W.Dåär (6.4) ett enklare fall av sambandet: v = F (u) ey = F (ex) (6.5) där F kallas en avbildning (eller funktion). Vi säger också att v är bilden av u under F och att u är urbilden till v. Ofta används beteckningen F : V W för att tala om att F är definierad på hela V samt har sina värden i W Definition 6.3. Låt V, W vara vektorrum och F : V W en avbildning från V till W. Vi säger att F är en linjär avbildning om. F är additiv:. F är homogen: F (u + v) =F (u)+f (v) F (λu) =λf (u), λ R. Exempel 6.4. Rotation, spegling och projektion är några exempel på linjära avbildningar som vi kommer att studera närmare längre fram.
68 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel 6.5. Låt v vara en fix vektor. Visa att avbildningen F given via är linjär. F (u) =(u v) Lösning:. Vi visar först att F är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att F (u + u )=((u + u ) v) =(u v)+(u v) =F (u )+F(u ).. Vi visar nu att F är homogen: F (λu) =(λu v) =λ(u v) =λf (u). Alltså F är både additiv och homogen och därmed linjär. Exempel 6.6. Låt e = {e, e } vara en bas i planet och låt u = x e + e vara en godtycklig vektor i planet. Visa att avbildningen F är linjär om x +3x F (u) =F (x e + e )=e. 4x 5 Lösning:. Vi visar först att F är additiv. Låt u = a e + b e och u = a e + b e. Då är u + u =(a + a )e +(b + b )e. Vi får att F (u + u )=F ((a + a )e +(b + b )e )=e (a + a ) + 3(b + b ) 4(a + a ) 5(b + b ). Av räknelagarna för matriser följer nu att a +3b F (u + u )=e a +3b + e 4a 5b 4a 5b = F (u )+F(u ).. Vi visar nu att F är homogen. Om u = x e + e,såär λu = λx e + λ e.dåär λx +3λx F (λu) =F (λx e + λ e )=e x +3x = λe = λf (u). 4λx 5λ 4x 5 Alltså är F linjär.
6. Linjär avbildning 69 Exempel 6.7. Låt v vara en fix vektor i rummet. Är avbildningen F (u) =(u v) u linjär? Lösning: Vi har att F (u + u ) = ((u + u ) v) (u + u ) = (u v) u +(u v) u +(u v) u +(u v) u = F (u )+F(u )+(u v) u +(u v) u = F (u )+F(u ). Vidare gäller att F (λu) =(λu v) (λu) =λ (u v) u = λ F (u) = λf (u). Alltså är F en icke linjär avbildning på rummet. Exempel 6.8. Låt G vara en avbildning på rummet som i basen {e, e, e 3 } ges av x G(eX) =e. (6.6) + Undersök om G är linjär. Lösning: Låt u = e X = e och a b c u + v = e Avbildningen G är inte linjär, ty och v = e X = e a b c λu = λ e + e a b c a b c λa λb λc a b c. Vi behöver summan a + a b + b c + c. G(u + v) = G(u)+G(v). G(λu) = λg(u). T.ex., följer av (6.6) att G(λu) =G e λa λb λc λa λc λ b λb + λc = λ e λa c λb b + c = λg(u).
7 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel 6.9. Låt F vara en avbildning på rummet som i basen {e, e, e 3 } ges av F (ex) =e x +3 4 5 där e Y är bildvektorn till urbilden e X under F.. Undersök om F är linjär.. Bestäm bilden av vektorerna e, e och e 3. 3. Bestäm bilden F (u) om u = e + e + e 3. 4. Bestäm om möjligt urbilden u till bilden F (u) = e + e 3. = ey. (6.7) Lösning:. F är linjär om F (u + v) =F (u)+f (v) ochf (λu) =λf (u). Vi har att F (u + v) = F e = e a + a b + b c + c a +3b 4b 5c b + e (a + a ) + 3(b + b ) 4(b + b ) 5(c + c ) b + b a +3b 4b 5c b = F (u)+f (v). och F (λu) =F e λa λb λc λa +3λb 4λb 5λc λb = λ e a +3b 4b 5c b = λf (u). Alltså är F en linjär avbildning. Låt oss titta närmare på hur F verkar på en given vektor ex; och speciellt på koordinaterna X till vektorn. Vi har att F (ex) =e x +3 4 5 3 4 5 = A x = eax. Tydligen finns det till en linjär avbildning F en avbildningsmatris A så att bilden ey ges av ey = F (ex) =eax.. Vi bestämmer bilden av basvektorerna, dvs F (e ), F (e )ochf(e 3 ). Vi får enligt (6.7) att +3 F (e )=F e 4 5
6. Linjär avbildning 7 och F (e )=F e F (e 3 )=F e +3 4 5 +3 4 5 Dessa är kolonner i avbildningsmatrisen A till F : 3 A = 4 5 = F (e ) = F (e ) = F (e 3 ) 3 4 5 3. a) Bilden F (u) ges enligt (6.7) av F (u) =F e b) Men bilden kan också tas fram med hjälp av bilden hos basvektorerna 3 F (u) =F (e +e +e 3 )=F(e )+F (e )+F (e 3 )=e +e 4 +e 5 5 c) och kanske allra enklast med hjälp av avbildningsmatrisen A: 3 F e = ea 4 5 5 5 4. Vi söker alltså en vektor u = e X så att bilden är F (u) = e + e 3,dvs 3 x e = F (ex) =eax = 4 5, dvs 3 4 5 x = x = Ekvationssystemet ovan löses med hjälp av Gausselemination eller genom att invertera matrisen A. Alltså är F (e(,, 8) t )=e(,, ) t. Anmärkning 6.. Vi har i exemplet ovan sett att till en linjär avbildning F hör en matris A, så att bilden av vektorn u = e X ges av F (ex) =eax. 8 Vi ska i nästa sats visa att detta gäller alltid om F är en linjär avbildning.