Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran är det som kallas matematisk modellering. Det innebär till exempel att man översätter en vardaglig situation som beskriver ett samband till en algebraisk formel. I boken Matematiktermer för skolan, definieras en formel som ett uttryck som beskriver samband med hjälp av symboler. För att kunna beskriva ett samband med symboler måste man dels förstå sambandet med naturligt språk, och dels förstå hur det ska översättas till symbolspråk. Ett klassiskt exempel I en numera klassisk studie undersökte Clement (1982) hur en grupp förstaårselever på ingenjörsutbildningen löste följande uppgift: Skriv en ekvation där du använder variablerna S och P för att uttrycka följande situation: Det finns 6 gånger så många studenter som professorer på det här universitetet. Låt S stå för antalet studenter och P för antalet professorer. Obs! Försök att lösa uppgiften själv innan du läser vidare! Trots att ingenjörsstudenterna kunde lösa komplicerade ekvationer med både derivata och integraler var det 37 % av de 150 studenterna som inte kunde göra en korrekt översättning av den här situationen till en ekvation. Det vanligaste felet var att studenten skrev formeln 6S = P, medan den korrekta formeln är 6P = S. Intervjuer med studenterna visade på tydliga mönster av systematiska fel i studenternas resonemang. Vissa studenter som försökte hitta en formel som matchade ordföljden. 6 gånger så många studenter översattes då till 6 S och de fick den felaktiga formeln 6 S = P. Ett annat typiskt fel var när studenter skrev en formel som representerade en statisk jämförelsesituation. Man ritade till exempel upp 6 stycken studenter och en professor för att visa förhållandet 6:1. = P översattes till 6S = 1P. Om man istället hade betraktat det som ett proportionellt samband studenter och professorer skulle man sätta upp den korrekta ekvationen S/P = 6, som är ekvivalent med ekvationen S = 6 P De studenter som skrev den korrekta formeln resonerade med hjälp av en hypotetisk operation för att skapa en likhet. De tänkte ungefär så här: En formel är en lik- http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (5)
het. Eftersom det är 6 gånger så många studenter skulle jag behöva multiplicera antal professorer med 6 för att det skulle bli lika många. Alltså är formeln S = 6 P Det finns två korrekta formler för den här situationen som båda bygger på att man tolkar bokstaven som antal och inte objekt. 6 S betyder inte 6 studenter. Det betyder 6 gånger antalet studenter. Situationen kan översättas så här: Antalet studenter (S) är lika med 6 gånger antalet professorer (P): S = 6P. Eller så här: Antalet professorer (P) är en sjättedel så många som antalet studenter (S), alltså lika med antalet studenter (S) delat på 6: P = S/6. En formel uttrycker ett generellt samband. Om man förstår det kan man testa sin formel genom att sätta in olika värden på variablerna och se om resultatet är rimligt. Formeln hjälper oss att veta hur många det är av den ena sorten om man vet antalet av den andra sorten. Om det är 10 professorer på universitetet, då säger formeln S = 6P att det finns 6 10 = 60 studenter. Ovanstående problem har används i olika varianter i många studier senare. I en version som använts i en svensk studie (Persson, 2010), var formuleringen på en skola finns det 9 gånger så många elever som lärare. Alla studier visar liknande resultat som det Clements studie visade. Det förefaller alltså som om översättning från en vardagssituation till algebrans språk inte är intuitivt utan något du behöver undervisa aktivt om. Ett klassrumsexempel Ett bra exempel på ett samband som är relevant för elever i åk 4-6 är att beskriva åldersrelationer. Alla barn i skolåldern vet intuitivt att en åldersskillnad är beständig och därför gäller generellt. Oavsett hur gammal jag är kommer skillnaden mellan min och din ålder alltid att vara densamma. Hur gör man för att beskriva den skillnaden med en algebraisk formel? Om situationen är att Mika är 5 år äldre än Sam, hur skulle vi då kunna skriva en formel som uttrycker det? Formelskrivandet har två komponenter: (1) att förstå sambandet, (2) att skriva sambandet algebraiskt. (1) Först måste man förstå vilka storheter som ska representeras med bokstäver. I det här fallet är det åldrar. Ett samband mellan två variabler kan alltid uttryckas på två sätt. Här handlar det om Mikas ålder i förhållande till Sams (hon är 5 år äldre) och Sams ålder i förhållande till Mika (han är 5 år yngre). (2) Det förefaller ofta naturligt att välja M för Mikas ålder och S för Sams ålder, men problemet med det är att bokstäverna lätt kan misstolkas till att betyda personerna Mika och Sam. Därför är det bra att införa en variation redan i valet av bokstäver. Det är också viktigt att man är tydlig när man pratar om sin formel. M = S + 5 ska INTE utläsas Mika är lika med Sam plus 5 utan Mikas ålder är lika med Sams ålder plus 5. Det är viktigt att alltid skriva upp vad bokstäverna representerar, så att man senare kan gå tillbaka och tolka de http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (5)
resonemang man för. Vill man vara extra tydlig med att bokstaven representerar ett tal kan man till exempel skriva att M är antal år Mika är och S är antal år Sam är. Tänkbara kritiska aspekter För att kunna översätta från vardagssituationer till algebraiska formler behöver eleverna urskilja flera olika delar av innehållet. Här beskrivs några delar som skulle kunna vara kritiska för eleverna. 1: Att förstå att en bokstav i en formel representerar ett tal (antal), inte ett objekt. När man skriver en formel behöver man välja vilka tal man ska representera. Vilken bokstav man väljer är irrelevant så länge man är säker på vad bokstaven representerar. 2: Att förstå att en formel är en ekvation och därför alltid uttrycker en likhet. Samtidigt uttrycker en formel ett samband mellan två (eller fler) variabler. Det innebär att man kan testa sin formels giltighet genom att sätta in olika värden på variablerna. Eftersom formeln är generell (gäller för en mängd värden) ska den likhet man får fram i varje enskilt fall alltid vara sann. En formel är sann för en mängd värden, men inte alltid en oändlig mängd. Ett samband mellan åldrar är till exempel inte relevant för negativa värden. 3: Att förstå att en formel med två variabler alltid kan skrivas på två olika sätt beroende på vilken variabel man utgår från. Antingen beskriver man hur den ena variabeln beror av den andra eller tvärtom. Möjliga variationsmönster Här kommer sambandet mellan Mikas och Sams åldrar att användas som exempel för att visa hur olika delar av innehållet kan bli synliga genom att innehållet varieras och kontrasteras systematiskt. Att hitta generella samband att arbeta med är inte helt lätt. Det är viktigt att du väljer ett samband som är generellt, som alltså gäller för många olika värden på variablerna, för att det ska kännas meningsfullt att skriva formler. Att till exempel skriva en formel som beskriver att Kalle har 3 fler syskon är Per är meningslöst, för det gäller ju enbart vid ett tillfälle. Om någon av dem får ett nytt syskon får inte automatiskt den andre också ett nytt syskon, så det finns inget riktigt samband mellan de två variablerna. Några samband som vore lämpliga för eleverna att uppmärksamma i årskurs 4-6 skull kunna vara: Vi antar att varje tik föder tre valpar. Om a är antal tikar och b är antal valpar som uppfödaren har så är 3a = b och a =b/3. Formeln uttrycker sambandet mellan hur många tikar som finns och hur många valpar som föds. Jag köper bio-biljetter och betalar 80 kronor per biljett. Om c är antal biljetter jag köper och d är hur mycket jag ska betala så är c 80 = d och c = d/80. Formeln uttrycker sambandet mellan hur många biljetter jag köper och hur mycket jag betalar. Fabian får olika mycket pengar varje vecka beroende på hur mycket han hjälper till hemma. Han sparar alltid 5 kronor i sin sparbössa, och resten av pengarna handlar han för. Om f är antal kronor Fabian får och g är antal konor Fabian handlar för så http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (5)
är g = f 5 och f = g + 5. Formeln uttrycker sambandet mellan hur mycket pengar Fabian får och hur mycket han handlar för. Situation: Mika är 5 år äldre än Sam, när Sam är 5 år så är Mika 10 år När du börjar arbetar med ett samband kan det vara en fördel att först göra en tabell där du för in några olika värden på de variabler du har, så att alla förstår vilket samband du pratar om. Tabellen har den nackdelen att varje exempel måste skrivas var för sig, medan formeln du skapar är generell och därför beskriver alla exempel på en gång. Mikas ålder Sams ålder Tabellen visar olika åldrar på Mika och Sam. 10 år 5 år 15 år 10 år 5 år 0 år 6 år 1 år 100 år 95 år Bestäm först bokstäver som representerar hur många år Mika och Sam är. Till exempel: Låt M vara så många år som Mika är och S vara så många år som Sam är. Håll dessa konstant och beskriv sedan sambandet i form av likheter på så många olika sätt som möjligt, både med vanligt språk och med symboler: Mikas ålder är lika med Sams ålder plus 5 år M = S + 5 Sams ålder är lika med Mikas ålder minus 5 år S = M 5 Mikas ålder minus Sams ålder är lika med 5 år M S = 5 Sams ålder plus 5 år är lika med Mikas ålder S + 5 = M Mikas ålder minus 5 år är lika med Sams ålder M 5 = S För varje formel du hittar på: testa genom att sätta in värden på M och S för att se om den stämmer. Stämmer formeln S + 5 = M? När Sam är 10 år sätter vi 10 + 5 = 15. Det innebär att Mika är 15 år. Ja det stämmer. Kontrastera genom att skriva formler som inte stämmer. Till exempel: Låt M vara så många år som Mika är och S vara så många år som Sam är. Vad betyder då formeln M = S 5 (Att Mikas ålder är Sams ålder minus 5 år) Vad betyder så formeln M = 5 S (Att Mikas ålder är lika med 5 år minus Sams ålder) Testa formlerna genom att sätta in värden på M och S. Variera vilka bokstäver du väljer. Till exempel: Låt x vara så många år som Mika är och y vara så många år som Sam är. Låt a vara så många år som Mika är och b vara så många år som Sam är. osv. Gå för varje nytt val av bokstäver igenom hur formeln skulle se ut. M = S + 5 x = y + 5 a = b + 5 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (5)
Riktigt utmanande blir det om du väljer bokstäver som förvirrar, som till exempel: Låt S vara så många år som Mika är och M vara så många år som Sam är. Då betyder S = M + 5 att Mikas ålder är lika med Sams ålder plus 5 år. Variera åldersskillnaden. Ta in fler personer och fortsätt att skriva formler som beskriver sambanden mellan Mikas och Sams åldrar och de nya personerna. Till exempel: Låt M vara så många år som Mika är och S vara så många år som Sam är. Nu finns också Nina som är 8 år äldre än Mika. Låt N vara så många år som Nina är. Vilka formler kan eleven då skriva? Här kan det vara bra att börja med ett specifikt exempel för att klargöra åldrarna. Om Sam är 5 år, då är Mika 10 år och Nina 18 år. N = M + 8 M = N 8 osv Om Nina är 8 år äldre än Mika, hur är då Ninas ålder i relation till Sams ålder? N = S + 13 S = N 13 osv Med tre olika variabler finns det en väldigt stor variation av olika formler man kan skriva. Låt fantasin flöda och testa sedan formlerna genom att sätta in värden på M, S och N. Du kan också sätta ihop formlerna. Om N = M 8 och N = S + 3 och vi vet att N i båda formlerna representerar samma sak (antal år Nina är) så kan vi ju skriva: N = N M + 8 = S + 13 stämmer det? Referenser Clement, J. (1982). Algebra word prolem solutions: thought processes underlying a common misconception. Journal for research in mathematics education, 13(1), 16-30. Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet. Persson, P.-E. (2010). Räkna med bokstäver, avhandling Luleå: Luleå Tekniska Universitet http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (5)