Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag som visar hur addition och multiplikation samverkar, och som visar att multiplikation är upprepad addition. Den visar hur multiplikation distribueras (fördelas) över addition. Detta lärandeobjekt handlar främst om att utveckla elevernas förmåga att resonera algebraiskt och att förstå det algebraiska symbolspråket (hur parenteser fungerar och sambandet mellan multiplikation och addition). Här är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen: 1. Om vi har 5 åkrar med 3 får på varje och 4 kor på varje, hur många djur har vi? Räknar man får och kor för sig så är det 5 3 + 5 4. Räknar man först samman hur många djur vi har på varje åker är det 5 7. Det måste vara samma antal: 5 (3 + 4) = 5 3 + 5 4. Detsamma om vi har a åkrar, b får och c kor. 2. Om jag arbetar 5 dagar och varje dag får 600 kronor i lön men betalar 50 kronor för lunchen, hur mycket pengar kommer jag att tjäna? Räknar man först ut hur mycket jag får i lön och sedan drar av för alla luncherna så är det 5 600 5 50. Räknar man istället först ut hur mycket jag tjänar varje dag efter lunchavdraget så är det 5 (600 50). Det måste vara samma summa: 5 (600 50) = 5 600 5 50 En geometrisk illustration av distributiva lagen kan se ut så här: (b + c) b c! a = a + a Algebraiskt uttrycks den distributiva lagen så här: a (b + c) = a b + a c för multiplikation över addition gäller att produkten av ett tal och en summa kan betraktas som summan av två produkter. Då subtraktion rent matematiskt kan definieras som addition av den additiva inversen, alltså att b = +(-b) kommer den distributiva lagen att gälla även för subtraktion. Till exempel kan man skriva 5(8 3) = 5(8 + (-3)) = 5 8 + 5 (-3) = 5 8 5 3 För multiplikation över subtraktion gäller då att produkten av ett tal och en differens kan betraktas som differensen av två produkter: a (b c)=a b a c http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (6)
I konkreta situationer som i de två exemplen ovan är den distributiva lagen ganska intuitiv. I algebraundervisningen handlar det om att blir medveten om dess generella giltighet och förstå varför den gäller generellt, samt att kunna resonera om och med hjälp av den. När elever inte längre har en vardagssituation att referera till är det vanligt att de glömmer bort att multiplicera med den andra termen i parentesen. Eleven kanske skriver: 3(y+9) = 3y + 9. För att inte glömma bort den andra termen behöver eleven förstå den algebraiska strukturen som ligger bakom den distributiva lagen. Djupanalysen av TIMSS-rapporten från 2007 visas att många elever i åk 8 inte behärskar användningen av den distributiva lagen. På en uppgift är det 32,5 % som multiplicerar in i parentes på ett inkorrekt sätt genom att enbart multiplicera första termen: 2(x + y) = 2x + y. På en annan uppgift var det 22 % av eleverna som förenklade 3(2x 1) till 6x 1. Distributiva lagens tillämpning i huvudräkning Ett vanligt användningsområde för den distributiva lagen inom aritmetiken är att utnyttja den som huvudräkningsstrategi. Beräkna följande multiplikationer i huvudet innan du läser vidare: 6 12 3 99 Hur gjorde du? Många väljer att utnyttja den distributiva lagen så som visas i uträkningarna här, kanske utan att vara medvetna om det. 6 12 = 6 (10+2) = 6 10 + 6 2 = 60 + 12 = 72 3 99 = 3 (100 1) = 3 100 3 1 = 300 3 = 297 Multiplikation som upprepad addition Den distributiva lagen knyter samman multiplikation och addition på flera sätt. Genom att utnyttja distributiviteten kan man visa varför multiplikation är en upprepad addition. Eftersom multiplikation är kommutativ (a b = b a)så är: a (b + c) = (b + c) a och den distributiva lagen gäller alltså även när den första faktorn är en summa: (b + c) a = b a + c a Låt oss så betrakta utsagan 2 3 = 3 + 3 Den distributiva lagen ger oss: 2 3 = (1+1) 3 = (1 3)+(1 3) = 3 + 3 Den distributiva lagen gäller även då det finns fler termer i parentesen, dvs. (b + c + d) a = ba + ca + da, vilket ger att 3a = (1 + 1 + 1) a = 1a + 1a + 1a Användningen av den distributiva lagen i algebra En del av algebran handlar om att kunna manipulera algebraiska uttryck, förenkla uttryck och hitta lösningar till ekvationer. I det sammanhanget använder man ofta den distributiva lagen för att antingen multiplicera in en term i en parentes; 2(2x + 1) = 4x + 2, eller bryta ut en term för att faktorisera; (4x + 2) = 2(2x + 1). För att utveckla flexibilitet i symbolhanteringen behöver eleverna dels lära sig att känna igen situationer då man kan ha nytta av att http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (6)
lagen gäller och dels lära sig att använda lagen med säkerhet och i båda riktningarna, både att bryta ut ur parentes och att multiplicera in i parentes. Forskning visar att elever som lär sig hantera lagen i aritmetiska sammanhang (med tal), och som även lär sig en regel för hur man kan multiplicera in ett tal i en parentes, ändå gör många fel när den distributiva lagen ska tillämpas i algebra. Detta tror man kan bero på att eleverna inte förstått den algebraiska strukturen i regeln utan bara fokuserat på specifika räkneexempel. En låg nivå av förståelse för lagen visar en elev som motiverar likheten 4 (3+5)=4 3 + 4 5 med att det måste vara så eftersom vänster led och höger led är lika när man beräknar dem, dvs. 32 = 32. 4 (3+5)= 4 8 = 32 4 3 + 4 5 = 12 + 20 = 32 En högre nivå av förståelse visar en elev som kan föra ett strukturellt och generellt resonemang liknande det här (fritt översatt efter exempel ur artikeln Students algebra sense via their understanding of the distributive law skriven av Mok, 2010): Inuti parentesen är en grupp av tal, och när de multipliceras är det som att multiplicera alla talen i gruppen. Gruppen delas i två delar och man multiplicerar båda delarna. Man ska ju multiplicera med hela gruppen Elevers hantering av prioriteringsreglerna är också viktig i sammanhanget. Vi behandlar inte dem närmare här eftersom de bör utgöra ett eget lärandeobjekt. Däremot tar vi upp elevers förståelse för hur parenteser används i matematiken som en viktig aspekt av den distributiva lagen. I ett uttryck är det som står innanför en parentes att betraktas som en representation av ett tal. Till exempel är (2 + 8), (15 5) och 10 tre olika representationer av samma tal. När bokstäver införs som representationer av tal kan en bokstav, till exempel x, representera ett tal. Likaså kan (x + 1) eller (53 x 2 ) representera tal. Många elever har svårt för att acceptera detta, vilket i litteraturen brukar kallas elevers ovilja att acceptera brist på avslut (Lack of Closure), kanske som en vana de har med sig från aritmetiken. Att acceptera brist på avslut innebär att man kan hantera uttryck såsom (a + b), (5 + 2) eller (x 1) som egna ting eller som svar utan att behöva räkna ut dem. Tänkbara kritiska aspekter Några aspekter som skulle kunna vara kritiska för att elever ska utveckla förmågan att tilllämpa och kunna resonera generellt om den distributiva lagen har formulerats nedan som tänkbara kritiska aspekter. Vilka aspekter som verkligen är kritiska för en viss elev beror självklart på elevens tidigare kunskap. 1. Att förstå tillämpningar av distributiva lagen i praktiska och numeriska exempel. För att kunna fokusera på detta innehåll kan det vara en stor hjälp att sätta namn på fenomenet. Det är lättare att resonera om var, när, hur och varför vi använder den distributiva lagen om vi pratar om den som just den distributiva lagen. Ordet distributiv kommer från latinets distributivus vilket betyder som fördelar. En multiplikation fördelas ut över alla tal i parentesen som följer. http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (6)
2. Att kunna urskilja det som står i en parentes både som en helhet och som delarna i denna helhet. 3. Att veta när man behöver sätta ut parenteser och när man inte behöver sätta ut parenteser för att på ett korrekt sätt representera en beräkning. 4. Att kunna urskilja olika symboliska sätt att beskriva situationer då den distributiva lagen är tillämplig. Till exempel a (b + c), (b + c) a och a (b + c + d) men inte: a+ (b + c), a + (b c) och a (b c) Detta innehåll är den symboliska motsvarigheten till innehållet som presenteras i punkt 1. Det är en fördel om eleverna har stor erfarenhet av tillämpningar av distributiva lagen i konkreta och numeriska sammanhang när de börjar ställa mer generella frågor utifrån symboliska uttryck. 5. Att kunna utvidga den distributiva lagen till multiplikationens distributivitet över subtraktion: a (b c)=a b a c Möjliga variationsmönster Här presenteras några förslag på variationsmönster som du kan använda för att fokusera elevernas uppmärksamhet på de olika delarna av detta innehåll. Vilka dimensioner av variation du än öppnar upp så är det viktigt att eleverna får chans att formulera generella påståenden och slutsatser. Uppföljningen och resonemangen kring en serie av exempel behövs för att den kritiska aspekten ska komma fram. Varje specifikt exempel medverkar till att bygga upp ett mönster och det är mönstret som avslöjar den algebraiska strukturen. Det är ofta en fördel att eleverna får vara med och skapa variationen snarare än att den presenteras färdig av dig. Det viktiga är att du är väl förberedd och har tänkt igenom vilken variation som eftersträvas och vad det är som ska bli synligt. 1. Att förstå tillämpningar av distributiva lagen i praktiska och numeriska exempel skulle kunna illustreras med olika exempel som alla genererar samma likhet. Till exempel likheten 5 (10 + 6) = 5 10 + 5 6. Håll likheten konstant men försök illustrera den med olika situationer, till exempel: - Huvudräkning av 5 16 - Hur många barn är det totalt i 5 klasser med vardera 10 flickor och 6 pojkar? - Varje dag gör jag 10 situps på morgonen och 6 situps på kvällen, hur många situps gör jag totalt på 5 dagar? Bygga torn Bygga torn är en övning med konkret materiel som kan användas till resonemang om den distributiva lagen. Ge eleverna legobitar (eller klossar) av samma storlek men olika färg och låt dem bygga torn. För varje torn ställer man sig sedan följande frågor: a) Hur många legobitar av varje färg behöver jag för att bygga 5 likadana torn? http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (6)
b) Hur många legobitar behöver jag totalt för att bygga 5 likadana torn? c) Hur kan man på olika sätt skriva en matematisk uträkning av totala antal bitar som behövs för 5 torn? Fråga a) och b) baseras på det konkreta tornet och fokuserar på innehållet som tas upp under punkt 1. Fråga c) handlar om att symbolisera, och fokuserar därför innehållet som tas upp under punkt 2 genom att lyfta fram de två olika sätten att skriva för varje exempel. Om tornet byggs av a röda och b gröna bitar behövs totalt 5 (x + y) bitar. Här representerar (x + y) ett helt torn samtidigt som x och y representerar olika delar av tornet. Det är viktigt i den här övningen att eleverna blir medvetna om att svaret på fråga a) och b) är en hjälp till att kunna resonera om fråga c). Fråga a) och b) har tal som svar, vilket gör att elever ser dem som riktiga. Fråga c) har en helt annan karaktär och har ett svar där eleven måste kunna acceptera brist på avslut, dvs att svaret är ett uttryck. Om tornet byggs av 2 blå och 3 gula legobitar blir svaret på fråga a) 15 gula och 10 blå och på fråga b) 25 bitar. Men på fråga c) blir svaret till exempel: 5 3 + 5 2 eller 5 (3+2) eller (3+2) 5 osv. Det är först på fråga c) som man tränar algebraiskt tänkande, och först när man formulerar en generell regel för hur man kan komma på olika sätt att skriva dessa uttryck som man sysslar med algebra. Här kan du öppna två dimensioner av variation: Dels kan du variera tornens utseende och hålla konstant antal torn som eleverna beräknar på, exempelvis 5 torn. Dels kan du hålla konstant en viss sorts torn och variera olika antal torn eleverna beräknar för, exempelvis för 8 torn, för 10 torn, för 1000 torn, för n torn. På slutet bör eleverna nå fram till ett generellt uttryck för ett torn till exempel hur många legobitar som behövs för att bygga c antal torn av a röda och b gröna bitar. 2. Att kunna urskilja det som står i en parentes både som en helhet och som delarna i denna helhet kan belysas genom att du expanderar en parentes. Om vi skriver 5 12 så kan jag ställa frågan: På vilka olika sätt kan man skriva talet 12? 5 (10+2), 5 (6+6), 5 (4+4+4) osv. 3. Att veta när man behöver sätta ut parenteser och när man inte behöver sätta ut parenteser för att på ett korrekt sätt representera en beräkning kan fokuseras genom att du sätter ut parenteser på olika ställen i ett uttryck och diskuterar vilken konsekvens det får. Om du håller konstant de tal och operationer som finns i uttrycket men varierar var parentesen finns blir betydelsen av parentesen synlig. Här blir prioriteringsreglerna en del av resonemanget. 5 + 4 2 + 3 8 x 5 + 2 (5 + 4) 2 + 3 (8 x) 5 + 2 (5 + 4 2) + 3 (8 x 5) + 2 5 + (4 2) + 3 8 (x 5) + 2 5 + (4 2 + 3) 8 (x 5 + 2) 5 + 4 (2 + 3) 8 x (5 + 2) http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (6)
4. Att kunna urskilja olika symboliska sätt att beskriva situationer då den distributiva lagen är tillämplig kan fokuseras genom ett liknande variationsmönster. Utgå från ett uttryck där den distributiva lagen är tillämplig. Konstanthåll talen och parenteserna och variera operationerna addition och multiplikation. Diskutera för varje uttryck om den distributiva lagen gäller eller inte och varför. Då uppstår en kontrast som belyser olika symboliska sätt att beskriva situationer då den distributiva lagen är tillämplig. Variera gärna representationsformen här genom att illustrera och exemplifiera med konkreta exempel och geometriskt såväl som med tal. 6 (2+3) (1+9) 4 6 (n +3) 6 (2 3) (1 9) 4 6 (n 3) 6 + (2+3) (1+9) + 4 6 + (n +3) 6 + (2 3) (1 9) + 4 6 + (n 3) 5. Att kunna utvidga den distributiva lagen till multiplikationens distributivitet över subtraktion kan belysas genom att använda de tidigare beskrivna dimensionerna av variation men utökas med exempel på subtraktioner, samt genom att jämföra additioner med subtraktioner. Referenser Mok, I. (2010). Students' algebra sense via their understanding of the distributive law. Pedagogies: An international journal, 5(3), 251-263. Skolverket. (2008). TIMSS 2007 Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport 323. Stockholm: Skolverket. http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (6)