Matematik Grundskola åk 1-9 Modul: Språk i matematik Del 3: Cirkelmodellen - texter i matematik Texter i matematik Eva Norén, Anette de Ron och Lisa Österling, Stockholms universitet I matematikklassrummet pågår ständigt interaktion där informella ord, formella ord och symboler från matematikspråket används. Matematikspråket beskrevs i del 1 och del 2, och denna del handlar om vad som kan förväntas ingå i olika texter i matematik. Elever behöver i sina texter använda ord och symboler i både muntlig och skriftlig form. I kursplanen nämns bland annat att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna såväl formulera som lösa matematiska problem. Att producera texter i matematik har en vidare innebörd och innefattar flera moment: att planera för innehållet, att vara medveten om textens syfte, att disponera sin text, att hitta rätt formuleringar och ordval, liksom formella aspekter som korrekt grammatik och stavning. De behöver därför få undervisning om hur symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska objekt och representationsformer uttrycks språkligt och hur de används för att passa olika syften och sammanhang. I den här delen och i de två nästföljande delarna ligger fokus för undervisningen på skriftspråket i matematik. Genrer bland matematiktexter Ett sätt att uppmärksamma det skriftliga matematikspråket är att tänka i genrer, det vill säga tänka att i matematikundervisningen möter eleverna en rad olika texter som har olika språkliga, strukturella och kontextuella drag. Exempel på texter eleverna möter i matematik är olika sorters uppgifter: rena matematikuppgifter, problem eller modeller instruktioner och faktarutor bevis redogörelser för undersökningar berättelser exempellösningar Texter eleverna förväntas producera i matematik kan vara lösningar till olika matematikuppgifter: problem, modeller eller bevis egna förklaringar av samband, som alternativ till lärobokens förklaringar eller som en lärobok för yngre elever posters eller väggtidningar matematik i samband med andra ämnen, till exempel laborationsrapporter, eller i texter med matematik i samband med natur- och eller samhällsfrågor egna matematikuppgifter eller räknehändelser https://larportalen.skolverket.se 1 (7)
Dessa olika slags texter tillhör olika genrer, vilka har olika syften och används i olika sammanhang. Därför innehåller vissa texter informella och vardagliga ord, och andra mer formella matematikord, bilder och symboler. Lärarens uppgift är att tydliggöra vilka förväntningar och vilka konventioner som gäller inom ämnets textgenrer. Generellt har alla texter en övergripande struktur, det innebär att texter av en viss sort börjar, fortsätter och avslutas på ett visst sätt. Texter i matematik är ofta konstruerade och formulerade på ett sätt som skiljer sig från texter eleverna möter i sin vardag eller i andra ämnen. Texter i matematik är konstruerade för ett särskilt syfte och följer specifika mönster. Det finns också en stor variation inom en specifik textgenre. Exempel på en specifik genre från årskurs 3 En månghörning är en figur med fler hörn än två, där hörnen sitter ihop med raka streck. Till exempel är både en triangel och en kvadrat två olika typer av månghörningar. En triangel kallas för en trehörning och en kvadrat för en fyrhörning. Det är antalet hörn som bestämmer namnet. En månghörning kan ha många olika former. Om vi tittar närmare på triangeln, som är en månghörning, kan vi rita upp den på flera sätt. Till exempel: Figur 1. Exempel på text ur ett webbläromedel för åk 3. Vi läser texten. Vilka fakta hittar vi? 1. En månghörning är en figur med fler än två hörn, hörnen sitter ihop med raka streck. 2. En triangel är en månghörning. 3. En kvadrat är en månghörning. 4. En triangel har tre hörn, en kvadrat har fyra hörn. 5. Antalet hörn i en månghörning bestämmer namnet på månghörningen. 6. En månghörning kan ha olika former. https://larportalen.skolverket.se 2 (7)
Vi tittar på vad som är karaktäristiskt för språket i texten ovan. Det finns bilder som anknyter till texten. Texten innehåller många formella matematikord men inga matematiska symboler. De formella matematikorden är: antal, månghörning, kvadrat och triangel. Det finns också ord, både substantiv och bindeord, som har en precis och speciell innebörd i den här textgenren och fraser som är viktiga att uppmärksamma så att elever både förstår innebörden och får tillgång till dem, när de senare ska producera egna texter i genren. Exempel på substantiv är hörn och former. Den här texten är en förklarande text. Exempel på en specifik genre från årskurs 6 Figur 2. Exempel på text ur ett läromedel för åk 6. Vi läser texten. Vilka fakta hittar vi? 1. Triangelns mått för dess bas och höjd. 2. En formel för beräkning av triangelns area. Vi tittar på vad som är karaktäristiskt för språket i texten ovan. Det finns en bild med beteckningar som knyter texten till bilden. Det finns relativt lite text och men rätt många matematiska symboler, de som finns med är siffror, multiplikationstecken, divisionstecken, likhetstecken och enheter. Det finns formella matematikord: triangel, area, bas och höjd. Det finns ord och fraser som är viktiga att uppmärksamma så att elever både förstår innebörden och får tillgång till dem för att själva kunna producera texter i genren. Triangeln har Triangelns area är Det är en faktatext. Den är inte förklarande, det händer ingenting i texten. https://larportalen.skolverket.se 3 (7)
Exempel på en specifik genre från årskurs 7 En vinkel kallas trubbig om den är större än en rät vinkel (90 ), men samtidigt mindre än en rak vinkel (180 ). En vinkel kallas rak om den är dubbelt så stor som en rät vinkel, alltså att den är 180, vilket är detsamma som ett halvt varv. För raka vinklar gäller att vinkelbenen är del av samma linje. Figur 3. Exempel på text ur ett webbläromedel för åk 7. Vi läser texten. Vilka fakta hittar vi? 1. En trubbig vinkel är större än en rät vinkel. 2. En trubbig vinkel är mindre än en rak vinkel. 3. En rät vinkel är 90. 4. En rak vinkel är dubbelt så stor som en rät vinkel. 5. 180 är detsamma som ett halvt varv, eller en rak vinkel. 6. När vinkelbenen är en del av samma linje, vinkeln 180. Vi tittar på vad som är karaktäristiskt för språket i texten ovan. Det finns en bild med beteckningar som knyter texten till bilden. Det finns relativt mycket text och relativt sparsamt med matematiska symboler, de som finns med är gradtecken och tal för vinklarnas storlek. Det finns en del formella matematikord: dubbelt, halvt, linje, vinkel och vinkelben. Det finns också ord, både substantiv och bindeord, som har en precis och speciell innebörd i den här textgenren: samtidigt, detsamma som, alltså, del av, samma. Det är ord och fraser som är viktiga att uppmärksamma så att elever både förstår innebörden och får tillgång till dem för att själva kunna producera texter i genren. I den här texten används relativt lite förklarande text. Vad som händer i texten kan vi se genom att betrakta verben: kallas, gäller, är. Ett visst av dessa verb (gäller) har en specifik innebörd i ett matematiskt sammanhang. Generellt om texter i matematik Det kan vara svårt att formulera texter med vardagsord, helt utan matematikord och symboler. Matematikens ord och symboler behövs för att beskriva och kommunicera matematiska samband. Vardagsord behövs för att skapa förståelse. Texter i matematik formuleras olika beroende på vem som är tänkt läsare och vilket syfte texten har. Det innebär att en förklarande text kan vara ett stöd för eleverna. En text om vinklar kan också vara en instruerande text. Om syftet istället är att texten ska ingå i ett matematiksammanhang behöver språket vara det matematiska språket med mer matematiskt symbolspråk. https://larportalen.skolverket.se 4 (7)
Att arbeta med matematikens texter ställer ibland höga krav på eleverna. Dels ställer det språkliga krav på att kunna läsa, skriva, förstå och växla mellan informella ord, formella ord och symboler, dels krävs en förståelse av de matematiska samband som texten beskriver (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Cirkelmodellen Den genrepedagogiska cirkelmodellen, eller cykeln för undervisning och lärande (Gibbons, 2013), kan utgöra en bas för arbete med olika sorters matematiska texter. Många lärare som har undervisat efter cirkelmodellen beskriver hur deras elever har förbättrat sina resultat eftersom alla lärare på skolan tagit ansvar för elevernas språkutveckling, och inte bara de lärare som undervisar i svenska. Modellen har framförallt använts inom naturvetenskapliga och samhällsvetenskapliga ämnen, som traditionellt har stora mängder text. För dessa ämnen finns en hel del litteratur om praktisk användning av cirkelmodellen i undervisningen. De dokumenterade erfarenheterna i matematik är hittills betydligt mer begränsade. Men enligt bland andra Magnus Österholm (2006) är att kunna läsa, förstå och lära sig från texter en central aspekt att fokusera på även inom matematik. Även Lundberg och Sterner (2006) resonerar kring korrelationen mellan läsförståelse och framgång i matematik. De elever som har liten vana av språket i texter som används i undervisningen behöver stöttning för att upptäcka hur textgenrer är uppbyggda. I elevgrupper där språket kan vara ett hinder för att förstå matematisk text, kan språket också vara ett hinder för att tolka och ge uttryck för matematiska samband eleverna faktiskt behärskar. Det har visat sig att cirkelmodellen är ett stöd för alla elevers språkutveckling, oavsett språklig nivå. I cirkelmodellen (figur 4) ingår fyra faser. Figur 4. Cirkelmodellen av Björn Magnusson 2016 (fritt efter Gibbons, 2013) https://larportalen.skolverket.se 5 (7)
Fas 1. Eleverna ska efter denna fas kunna läsa och förstå en text inom området. Lärarens uppdrag är att vinnlägga sig om att eleverna får tillgång till det matematikspråk och de symboler som behövs, genom att välja en exempeltext som kan läsas gemensamt. Inför denna gemensamma genomläsning behöver läraren läsa igenom den och tänka över vilka ord och symboler som kan vara obekanta för eleverna. Läraren behöver också tänka ut frågor till varje stycke, eller på annat sätt planera för att följa upp elevernas förståelse av texten. Vid den gemensamma läsningen får läraren möjlighet att bygga upp en gemensam kunskapsoch språkbas för klassen. Fas 2. Läraren väljer några texter, till exempel från det läromedel man använder, elevlösningar från tidigare prov eller lärarens egna texter. Texterna ska fokusera det aktuella matematiska kunskapsområdet. Eleverna får tillsammans med läraren analysera en vald textgenre med utgångspunkt i språk, struktur och sammanhang. Den gemensamma kunskapsbasen från fas 1 gör det möjligt att tillsammans undersöka de typiska språkliga dragen för denna genre. Fasen knyter framförallt an till grundprincipen om språklig stöttning. Fas 2 kan avslutas med att upprätta en lista över vad man kommit fram till avseende språk, struktur och sammanhang för textgenren. I del 4 kommer ni att arbeta med fas 2 inom genren textuppgifter i matematik. Fas 3. I den här fasen producerar lärare och elever gemensamt text i någon av matematikens genrer. Ofta utgår man från en modelltext som förebild. Eleverna kan bestämma vad texten ska handla om, men läraren leder skrivandet och ställer frågor. Listan från fas 2, kan användas som utgångspunkt. Arbetet innebär ofta att eleverna resonerar om matematikinnehåll, formuleringar, meningsbyggnad och sammanhang, samtidigt som de lär av varandra. Fas 4. I denna sista fas omsätter eleverna vad de redan lärt sig och producerar texter i matematik, enskilt eller i par. Textproduktionen sker inom en av textgenrerna och inom samma kunskapsområde i matematik. Fas 3 och 4 bearbetas i del 5. Analysera texter i matematik Lärare beskriver cirkelmodellens fas 2 som den svåraste fasen (Skolverket, 2010). Det kan bero på att matematikundervisning ofta inte belyst aspekter som berör textanalys (Österholm, 2006). Eftersom matematikuppgifter och matematiska texter är centrala i matematikundervisningen, bör lärare i förväg granska de matematiska texter som finns i till exempel läroböcker och textuppgifter som eleverna förväntas arbeta med. Det behövs för att förebygga språkliga och innehållsliga hinder. Granskningen av texterna behöver också relatera till de kunskaper som läraren har om sina egna elever. När en elev har problem med att uppfatta innehållet i textuppgifter beror det ofta på svårigheter i att läsa av en matematisk text snarare än svårigheter i att behärska matematiska operationer (Lundberg & Sterner, 2004; Malmer, 2002). Eleven kan då behöva rent språklig stöttning, även det är en av grundprinciperna för språkutvecklande matematikundervisning. Att uppfatta innehållet i en text kan vara problematiskt för elever med svenska som andraspråk såväl som för elever med svenska som förstaspråk. Men att läsa på ett andraspråk kan innebära att ännu mer kraft måste läggas på att koda av texten än att tolka det matematiska innehållet. https://larportalen.skolverket.se 6 (7)
I texten Läsa och förstå finns förslag på hur matematiktexter kan läsas tillsammans med eleverna. Exempel på arbetssättet finns även i filmerna Skolvägen och Tårtan I. Avslutning Cirkelmodellens fas 1 går ut på att skapa en gemensam kunskapsbas i klassrummet för att sedan kunna bredda och fördjupa kunskaperna utifrån ett språkutvecklande förhållningssätt. Att läsa och tolka matematisk text tillsammans bygger gemensamma erfarenheter och en gemensam språkbas att arbeta vidare med. I fas 2 fortsätter utvecklingen och förankringen av matematikkunskaper genom att elever tillsammans med läraren får undersöka språk, struktur och sammanhang i en specifik matematisk textgenre. I den här artikeln har vi exemplifierat med några matematiska texter i olika årskurser. Andra texter i matematik kommer att ha delvis andra språkliga drag, men ämnesorden och symbolerna kommer att vara återkommande. I arbetet med elever gör man inte hela den språkliga analysen varje gång, utan en aspekt i taget kan väljas ut för att så småningom ge eleverna kunskap om flera genrespecifika drag. Välj till exempel att titta på inledningar i texter en gång, och vad verb som antag, beräkna eller bestäm har för innebörd i matematisk text en annan gång. Referenser Gibbons, P. (2013). Stärk språket, stärk lärandet: språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt för och med andraspråkselever i klassrummet. Stockholm: Hallgren & Fallgren. Lundberg, I. & Sterner, G. (2006). Räknesvårigheter och lässvårigheter under de första skolåren hur hänger de ihop? Stockholm: Natur & Kultur. Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur. Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i matematikuppgifter. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Österholm, M. (2006). Characterizing reading comprehension of mathematical texts,. Educational Studies in Mathematics, (63), 3, 325-346 https://larportalen.skolverket.se 7 (7)