KOMBINATORISK LOGIK Innehåll Definition av kombinatorisk logik Olika sätt att representera kombinatorisk logik Minimering av logiska uttryck Boolesk algebra Karnaugh-diagram Realisering av logiska funktioner i grindnät Ofullständigt specificerade funktioner
DEFINITION AV KOMBINATORISK LOGIK X Kombinatorisk logik Y X ( xn,, x) Y f (X ) Y ( ym,, y) x i {,}, i {, n } y j {,}, j {, m} Utgångarnas värde, för en given tidpunkt, beror endast på värdet på ingångarna vid samma tidpunkt. Kombinatorisk logik har inget minne. Copyright (c) Miun 24 2
OLIKA SÄTT ATT REPRESENTERA LOGISKA FUNKTIONER Sanningstabell Grindnät Boolesk algebra Normalform Copyright (c) Miun 24 3
SANNINGSTABELL A B Z Z = A B Ingångar Utgång A B Z Copyright (c) Miun 24 4
GRINDNÄT ABC ABC ABC ABC f ( A, B, C) ABC ABC ABC ABC Copyright (c) Miun 24 5
BOOLESK ALGEBRA Algebraisk manipulering Visa att: x yz ( x y)( x z) ( x y)( x z) xx yx xz yz x yx xz yz x xy xz yz x x( y z) yz x( y z) x yz yz Copyright (c) Miun 24 6
NORMALFORMER Icke-minimalt standardsätt att skriva algebraiska uttryck En boolesk funktion kan skrivas på två normalformer Summa av produkter, SP-normalform Mintermer Produkt av summa, PS-normalform Maxtermer Copyright (c) Miun 24 7
MINTERM Definitioner Produktterm Är en variabel eller en logisk produkt av två eller flera variabler Exempel: A, A, AC, ABD Minterm En n-variabel minterm är en produktterm med n variabler. För en funktion av n variabler så är dess mintermer av n variabler. Exempel: A BCD, A B C D, ABCD för f(a,b,c,d) Copyright (c) Miun 24 8
MINTERM Samband mellan mintermer och sanningstabell En minterm är en produktterm som är i en rad i sanningstabellen rad Ingångar f(a,b) minterm A B Z A B A B Mintermerna och 3 leder till att funktionen f(a,b) blir sann 2 AB 3 AB f ( A, B) AB AB Copyright (c) Miun 24 9
SP-NORMALFORM Summa av produkt SOP (Sum-of-products) Ett algebraiskt uttryck som är en logisk summa (ELLER) av logiska produkter (produkttermer) Exempel: AB + AC, AB + ABC SP-normalform Summan av mintermerna som motsvaras av sanningstabellens rader där utgången är Notation: f ( A, B, C) (,3 ) Copyright (c) Miun 24
EXEMPEL: SP-NORMALFORM f rad 2 3 4 5 6 7 Ingångar A B ( A, B, C) f ( A, B, C) C f(a,b,c) Z (,3,4,6,7 ) ABC ABC minterm A B C A B C A BC A BC AB C AB C ABC ABC ABC ABC ABC Copyright (c) Miun 24
MAXTERM Definitioner Summaterm Är en variabel eller en logisk summa av två eller flera variabler Exempel: A, A+B, A +B, A+C, A+B+D Maxterm En n-variabel maxterm är en summaterm med n variabler. För en funktion av n variabler så är dess maxtermer av n variabler. Exempel: A +B+C+D, A +B +C +D, A+B+C+D för f(a,b,c,d) Copyright (c) Miun 24 2
MAXTERM Samband mellan maxtermer och sanningstabell En maxterm är en summaterm som är i exakt en rad i sanningstabellen rad Ingångar f(a,b) maxterm A B Z A+B A+B Maxtermerna och 2 leder till att funktionen f(a,b) blir falsk 2 A +B 3 A +B f ( A, B) ( A B)( A B) Copyright (c) Miun 24 3
PS-NORMALFORM Produkt av summa POS (Product-of-sums) Ett algebraiskt uttryck som är en logisk produkt (OCH) av logiska summor (summatermer) Exempel: (A+B)(A+C), (A+B)(B+C) PS-normalform Produkten av maxtermerna som motsvaras av sanningstabellens rader där utgången är Notation: f ( A, B) (,2) Copyright (c) Miun 24 4
EXEMPEL: PS-NORMALFORM rad f 2 3 4 5 6 7 ( A, B, C) f ( A, B, C) Ingångar A B C f(a,b,c) Z (,2,5 ) maxterm A+B+C A+B+C A+B +C A+B +C A +B+C A +B+C A +B +C A +B +C A B CA B C A B C Copyright (c) Miun 24 5
KARNAUGH DIAGRAM Representation av en funktion i en två-dimensionell sanningstabell Närliggande celler skiljer sig bara i en variabel, både horisontellt och vertikalt. Hamming avstånd = Om närliggande celler (mintermer) är, så täcks de av en enda term Algebraisk princip: x x Copyright (c) Miun 24 6
& 2 VARIABEL K-DIAGRAM A AB f(a) Gray-kodat f(a,b) Copyright (c) Miun 24 7
3 VARIABEL K-DIAGRAM BC A f(a,b,c) BC A 3 2 4 5 7 6 f(a,b,c) Copyright (c) Miun 24 8
4 VARIABEL K-DIAGRAM CD AB 3 2 4 5 7 6 2 3 5 4 8 9 f(a,b,c,d) Copyright (c) Miun 24 9
ANVÄNDNING AV K-DIAGRAM Mintermer för f Maxtermer för f SOP POS Sanningstabell Bestämning av don t cares vid minimering Copyright (c) Miun 24 2
INRINGNINGAR I K-DIAGRAM ACD CD AB ABCD ABCD ABCD BC ABCD ABC( D D) ABC ABCD f(a,b,c,d) f ( A, B, C, D) BC ACD ABCD Copyright (c) Miun 24 2
INRINGNINGAR I K-DIAGRAM CD AB CD AB CD AB ABC D CD AB AB CD AB B D ABD CD AB AD CD AB B A BD CD AB B C CD AB B Copyright (c) Miun 24 22
OFULLSTÄNDIGT SPECIFICERADE FUNKTIONER Vissa ingångskombinationer förekommer aldrig Vid minimering kan utgångsvärdet för dessa väljas fritt mellan eller Indikeras som don t care (d) eller Exempel: kombinationerna, förekommer aldrig rad Ingångar f(a,b) A B Z - f ( A, B) (3) d(,) 2 3 - Vid inringning i K-diagram kan väljas som eller så att största inringningarna erhålls Copyright (c) Miun 24 23
REALISERING I GRINDNÄT Ta fram grindnät för funktionen: f ( A, B, C, D) (2,4,5,6,,,2,3,4,5) CD AB f(a,b,c,d) C B A D f f ( A, B, C, D) BC AC CD Copyright (c) Miun 24 24
SLUT PÅ FÖRELÄSNING 2 Innehåll Definition av kombinatorisk logik Olika sätt att representera kombinatorisk logik Minimering av logiska uttryck Boolesk algebra Karnaugh-diagram Realisering av logiska funktioner i grindnät Ofullständigt specificerade funktioner Copyright (c) Miun 24 25