DIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA

Transkript

1 DIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA Innehåll Talsystem och koder Aritmetik för inära tal Grundläggande logiska operationer Logiska grindar Definitioner i Boolesk algera Räknelagar

2 BINÄRA TALSYSTEMET Binärt Positionssystem Två symoler används, B = {, } Binära tal gör det lätt att ygga elektronik aserade på elektroniska omkopplare En algera utvecklad av Boole gör det lätt att hantera logiska uttryck aserade på inära tal 2

3 POSITIONSBASERADE TALSYSTEM Ett generellt positionsaserat talsystem med asen Låt S s, s,, s 2, s antal tillgängl iga symoler asen mängd siffror N = positivt heltal, N q = antal positioner som krävs för att representera N i asen 3

4 REPRESENTERA POSITIVA HELTAL För positiva heltal: ex., Decimalt tal N q i i s i s2 s låt =, S = s,,,8,

5 REPRESENTERA POSITIVA HELTAL exempel, Binärt tal (asen 2) 3 2 2s3 s2 s s låt = 2, S =,

6 REPRESENTERA DELAR AV HELTAL (ENG. FRACTION) Låt S s antal,, s p2, s p tillgängl iga mängd siffror symoler i S asen F p = Antal positioner som krävs för att representera F i asen, eller antal positioner som tillåts då lir F= - i=- p s i i 6

7 EXEMPEL PÅ DECIMALTAL Låt p = 3 (tre positioner till höger om decimalpunkten) Fs s 2 2 s

8 EXEMPEL PÅ BINÄRA DECIMALTAL? Låt p =

9 BAS-KONVERTERING 9 Ett tal med asen skrivs om som: En division av N med ger: En division av N med ger 2 ) ( s N s s s s s s s s N p p p p p p p p s N Resten = s = minst signifikanta siffran s N 2 Resten = s = näst minst signifikanta siffran

10 PROCEDUR FOR BAS- KONVERTERING Exempel: Omvandla 57 till inärt tal kvot rest 57 / 2 = / 2 = 4 4 / 2 = 7 7 / 2 = 3 3 / 2 = / 2 = Minst signifikanta iten (eng. Least Significant Bit) Mest signifikanta iten (eng. Most Significant Bit) Svar: 57 2

11 ATT TÄNKA PÅ VID OMVANDLING Syftet med inär representation är att erhålla tal i ett format som passar digital logik Ju större noggrannhet ett inärt tal har desto fler itar krävs mer digitala kretsar Alla tal i en as kan INTE representeras exakt i alla andra aser (avrundningsfel)

12 BINÄRA, OKTALA OCH HEXADECIMALA TAL Det är lätt att konvertera inära tal till andra, mer lättaretade format genom att gruppera itar tillsammans och sedan konvertera till lämplig as Oktala tal S={,,..., 7 }, asen = 8 3-its grupper Hexadecimal S={,..., 9, A, B, C, D, E, F }, asen = 6 4-its grupper 2

13 EXEMPEL: BINÄR TILL OKTAL OMVANDLING N 2 =. gruppera i 3-itars grupper från decimal -punkten N 2 =. fyll ut med två nollor för att få oktala tal (fulla grupper) N 2 =. Konvertera varje 3-itars grupp N 8 = N 8 = (264.4) 8 3

14 EXEMPEL: BINÄR TILL HEXADECIMAL N 2 =. gruppera i 4-itars grupper från decimal -punkten N 2 =. fyll ut med nollor för att få kompletta grupper. N 2 =. konvertera varje 4-itars grupp N 6 = 2 B 4. 8 N 6 = (2B4.8) 6 = (2B4.8) H 4

15 VIKTADE KODER Godtycklig vikt kan tilldelas varje position Binary Coded Decimal (BCD) 8, 4, 2, exempel, = 8 + _ + _ + = 9 Alla kodord används inte Enart -9 används Ej -5 5

16 ICKE-VIKTADE KODER Cykliska På varandra följande kodord skiljer sig åt med endast en it och det gäller också då de slår runt Gray Code är den vanligaste 6

17 GRAY KOD Fördelar Enkelt att konstruera för vilket antal itar som helst Cyklisk Unik 7

18 ,2 & 3-BITARS GRAY KOD Ordning Kodord 8

19 ALFANUMERISKA KODER Alfanumeriska koder representerar åde Decimala siffersymoler - 9 Alfaetets tecken A Z, a z Övriga skrivara tecken T.ex: %, &,?, Styrsymoler Escape, ny rad, etc. Standardkoder: ASCII, ANSI, etc. 9

20 ASCII ASCII kodning American Standard Code for Information Interchange ASCII-taell Ger hexadecimal kod Rad: minst signifikanta positionen Kolumn: mest signifikanta positionen Exempel: ASCII( C ) =

21 NEGATIVA TAL Teckenit Biten längst till vänster representerar talets tecken negativt positivt Bitarna till höger om teckeniten är storleken på talet S... q-itar som representerar storleken 2

22 EXEMPEL: TAL MED TECKENBIT 2 koder för noll Skiftning Ger ej mult/div med 2, Tar ej hänsyn till tecknet Decimal s (storlek)

23 TVÅ-KOMPLEMENT Två-komplement representation För ett n-itars tal är värdet för MSB -2 n- (istället för +2 n- ) Övriga itars värde är samma som för positiva tal Regler för att utföra två-komplement Invertera samtliga itar i talet Addera till talet Exempel: Bilda två-komplement till 8-itars talet 2 (=7 ) + = -7 23

24 TVÅ-KOMPLEMENT 3-BITARS TAL En kod för noll Skiftning Ger mult/div med 2, Tar hänsyn till tecknet Decimal 2-komp

25 ADDITION OCH SUBTRAKTION Exempel: =? = =? = =? = =? = -6 25

26 MULTIPLIKATION/DIVISION MED 2 Skifta det inära talet ett steg vänster = +2 = -2 = +4 = -4 Skifta det inära talet ett steg höger = +4 = -4 = +2 = -2 26

27 BOOLESK ALGEBRA Historik George Boole (85-864), en engelsk matematiker visade att logik kan uttryckas som algeraiska ekvationer. Han gav upphov till vad vi kallar Boolesk algera. (854: An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Proailities) Används idag inom matematik, informationsteori, switching algera, grafteori, datorvetenskap och artificiell intelligens. Edward Huntington: ( ), en amerikansk matematiker som gav Boolesk algera sina axiom. Claude Shannon (96-2), en amerikansk matematiker som eskrev informationens minsta eståndsdel som eller. Han myntade egreppet it. Han lade grunden till informationsteorin som har haft avgörande etydelse för utvecklingen av kommunikationssystem. 27

28 BOOLESK ALGEBRA DEFINITIONER Konstanter (Falsk) (Sann) Axiom + = = + = = + = + = = = = = Operationer + (ELLER) (OCH) (ICKE) 28

29 RÄKNELAGAR FÖR EN VARIABEL x + x = x x x = x x + x = x x = x + = x = x + = x x = x (x ) = x Dessa räknelagar kan enkelt visas utifrån axiomen. 29

30 RÄKNELAGAR FÖR FLERA VARIABLER Associativa lagar x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z Kommutativa lagar x + y = y + x x y = y x Distriutiva lagar x (y + z) = x y + x z x + y z = (x + y) (x + z) 3

31 RÄKNELAGAR FÖR FLERA VARIABLER Asorptionslagar x + x y = x x (x + y) = x Concensuslagen x y + x z = x y + x z + y z De Morgans lag (x + y) = x y (x y) = x + y x + x y = x ( + y) = x = x x (x + y) = x x + x y = x + x y = x ( + y) = x = x x + y = x y x y = x + y Augustus de Morgan 3

32 GRUNDLÄGGANDE LOGISKA OPERATIONER Namn/operator Symol Funktion Logisk operation OCH, eng. AND. X Y Z Z = X Y ELLER, eng. OR + X Y Z Z = X + Y ICKE, eng. NOT Z X Z Z = X 32

33 GRUNDLÄGGANDE LOGISKA OPERATIONER Namn/operator Symol Funktion Logisk operation NAND X Y Z Z = X Y Z = (X Y) NOR X Y Z Z = X + Y Z = (X + Y) XOR X Y Z Z = X Y 33

34 SLUT PÅ FÖRELÄSNING Innehåll Talsystem och koder Aritmetik för inära tal Grundläggande logiska operationer Logiska grindar Definitioner i Boolesk algera Räknelagar 34