rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017
Vad är sanning? Vi verkar använda begreppet utan större problem till vardags. Det kanske vore intressant att ha en definition: P är sann om och endast om...
Varför behövs en definition? Logisk konsekvens definieras ju i termer av sanning: därför är konsekvensrelationen inte mer precis än definitionen av sanning... Varför behövs en formell definition? En av förhoppningarna är att kunna bevisa att och sammanfaller, och har en formell definition...
P är sann om och endast om... Vilken sorts entitet är P? En sats? Ett påstående? En proposition? Ett yttrande? En trosföreställning? Något annat? Hur hanterar vi att det finns (potentiellt) oändligt många sanna P? Är sanning redundant i språket?
Att säga om det som är, att det icke är, eller om det som icke är, att det är, är osant, medan att säga om det som är, att det är, eller om det som icke är att det icke är, är sant. Aristoteles Tolkas vanligtvis som ett utkast till en formulering av ett klassiskt, bivalent och korrespondensteoretiskt sanningsbegrepp. Problem: en av oss oberoende verklighet? som vi har tillgång till? vari består korrespondensen?
Några alternativ: Koherensteorier Pragmatiska/pragmatistiska teorier Redudansteorier/deflationistiska teorier
En relation mellan lingvistiska objekt (satser) och det som uttrycks av dessa objekt. P är sann omm S Detta är ett satsschema där vi kan ersätta S med en påståendesats och P med ett namn på satsen, tex genom användandet av citationstecken. Exempel: Snön är vit är sann omm snön är vit. Snön är vit är falsk omm snön inte är vit.
Det verkar inte så kontroversiellt att vi kan referera till satser. Exempel: It is raining är en sats på engelska. Det regnar är en sats på svenska. I allmänhet: Om P är en sats, så är P ett namn på satsen P.
Exemplen kan betraktas som en partiell definition av sanning. På liknande sätt kan sanning definieras för ett språk som bara har tex 1000 möjliga satser. P 0 är sann omm P 0 och P 1 är sann omm P 1 och... och P 999 är sann omm P 999 och P 1000 är sann omm P 1000 Men: Det verkar finnas (potentiellt) oändligt många satser.
Tarskis T -schema: P är sann om och endast om P. Definition Ett sanningsbegrepp är adekvat för ett språk L omm T -schemat gäller för varje sats i L. T -schemat är så att säga ett minimalt krav på hur sanningsbegreppet skall uppföra sig.
Exempel: Det finns falska satser på denna ljusbild. När är denna sats sann? Aristoteles skulle säga att satsen är sann om det finns falska satser på denna ljusbild. Alltså: Det finns falska satser på denna ljusbild är sann omm det finns falska satser på denna ljusbild. Vi måste på något annat sätt kontrollera satserna på ljusbilden och avgöra om de är sanna eller falska.
Satsen som står med röd text på denna ljusbild är falsk.
Definiera satsen S som S är falsk. (Det gjorde vi just.) T-schemat ger: S är falsk är sann omm S är falsk Om S är falsk så är S är falsk sann enligt T -schemat. Men S är falsk är satsen S, så S är sann. Då måste S vara sann. Men då är S är falsk falsk enligt T-schemat. Men S är falsk är satsen S, så S är falsk. Alltså är S både sann och falsk samtidigt, vilket motsäger bivalens.
Förslag till lösning: Överge bivalens - tillåt fler sanningsvärden, tex odefinierad, halvsann eller både-sann-och-falsk. Lögnarparadoxen hämnas: Definiera S som S är inte sann. T-schemat ger: S är inte sann är sann omm S inte är sann Om S inte är sann så är S är inte sann sann. Men S är precis den satsen, så S är sann. Om S är sann så är S är inte sann inte sann. Då är S inte sann. Problemet kvarstår.
Förslag till lösning: Ta bort sanningsbegreppet ur språket. Då kan vi inte längre uttrycka vissa generella påståenden som Allt jag säger är sant. Förslag till lösning: Förbjud självrefererande satser. Lögnaren hämnas igen: Satsen till höger är sann Satsen till vänster är falsk
Denna sats är sann.
Definition Ett språk L är semantiskt slutet omm det innehåller namn på alla L-satser. Tarskis sats Ett semantiskt slutet språk kan inte definiera ett adekvat sanningsbegrepp för sig själv. Tarskis förslag till lösning: Definiera sanningsbegreppet i ett annat språk!
Skilj mellan språket som vi definierar sanning för (objektspråk), och språket som vi definierar sanning i (metaspråk). Sanning för språket L 1 definierade vi med svenska som metaspråk (utökat med några ytterligare symboler). Halbach använder istället engelska som metaspråk. Metaspråket måste vara tillräckligt rikt: tex måste det innehålla hela objektspråket. P är sann omm P är ett uttryck i metaspråket, så om P är en sats i objektspråket måste även metaspråket innehålla P, och dessutom P som är ett namn på P.
Men, det finns ju (potentiellt) oändligt många satser i språket. Varje uttryck i metaspråket är ändligt, så därför kan vi inte explicit definiera sanning för alla satser i objektspråket. Lösningen är att definiera sanning för de atomära satserna, och sedan använda en rekursiv definition precis som i fallet med L 1 : Sanning hos en komplex sats definieras i termer av sanningsvärdet hos delsatserna. Exempel: ϕ ψ A = T omm ϕ A = T och ψ A = T