. Planeters skenbara rörelser Genom observationer på himlavalvet kan man endast bestämma riktningen till ett avlägsetobjekt (somen planet) inte dessavstånd. Om det senaremåste man göra vissa antaganden. Ett djärvt men fruktbart antagande är att planeterna rör sig i cirklar kring solen. Detta kommer inte att ge en advekat beskrivning av dess observerade lägen på himlen, men det utgör en god början. De inre planeterna Låt en inre planet rotera kring solen i en cirkel med radien R <, där Jordens avsånd från solen är som sedvanligt normaliserat till (en astronomisk enhet A.E.), och låt θ utgöra dess observerade vinkelavstånd från solen. Då gäller att dess maximala vinkelavstånd θ 0 ges av sinθ 0 = R R θ Exempel. Venus roterarkring solen i en cirkel med radien 0.78A.E. Detta betyder att dess största vinkelavstånd från solen ges av arcsin0.78 = 45.9 o (Notera att sin45 o = 2 7 2 5 = 0.7) vilket är en åttondelsvarv kring himlen. När Venus rektascension är större än solens kommer den att gå upp tidigare och kallas då traditionellt Morgonstjärnan, om däremot rektascensionen är mindre än solens går den upp senare och följaktligen går den ner senare och benämnes Aftonstjärnan. Venus är så ljusstark att den även kan skönjas på dagen, men det är givetvis en fördel att betrakta den på natten. En intressant uppgift blir då att finna dess maximala höjd över horisonten, vilket kommer att bero på latituden samt tiden på året. Så låt oss betrakta en inre planet som väsentligen befinner sig i samma plan som jordbanan, d.v.s. den rör sig längs ekliptikan. Dess vinkelavstånd θ från solen kommer att då beräknas längs ekliptkan och kommer därmed att avvika
en aning från skillnaden i rektascension. Vi har att göra med en annan vinkel θ och relationerna ges av sinθ = sinθ +sin 2 ιcos 2 θ där ι är vinkeln mellan de två storcirklarna, i detta fall ι = 23.5 o och därmed sinι = 0.399,sin 2 ι = 0.59vilket betyder att θ θ med likhet för θ en multipel av en rät vinkel, och θ θ.08 Deklinationerna för Solen och planeten kommer att skilja sig. Givet vinkeln θ räknat från vårdagsjämningen erhåller vi deklinationen u genom sinu = sinθsinι Viinserattdennaändrarsigsnabbastnärθ ärenjämnmultipel avenrätvinkel, d.v.s. när solen befinner sig vid dagjämningspunkterna, medan det däremot är liten skillnad vid midsommar och midvinter. Ju högre deklination ju längre under dagen befinner sig objektet ovanför horisonten (på norra halvklotet). Vinkeln ψ kommer att vara kritisk. u ψ d L d Vi ser att d = tan(l)sin(u) från figuren längst till höger. Från mittenfiguren inser vi att d = cos(u)sin(ψ) ur vilken vi erhåller sin(ψ) = tan(l) tan(u). Antag nu för enkelhetens skull att Solen befinner sig på samma deklination som planeten. När den befinner sig vid horisonten är det lätt att såväl beräkna tidsskillnaden vid upp och nedgång för planeten, som att beräkna dess höjd vid horisonten när natt och dag inträder. Vinkeln θ ger tidsskillnaden och höjden över horisonten ges av (d+sin(θ ψ P ))cos(l) 2
dess vinkel betecknas ψ S. Men däremot om solen och planeten har skilda deklinationer, och vi betecknar ψ P solens förändras situationen något. Vi får då modifiera θ med att addera termen ψ P ψ S. Om solen befinner sig på en lägre deklination än planeten kan planeten vara ovanför horisonten i mörkret längre och vi adderar ett positivt bidrag, men å andra sidan om solens deklination är högre blir dess nedgång försenad och detta ger en förkortning av den tid planeten befinner sig i mörkret.. Sammanfattar vi det hela får vi att höjden ges av (d+sin(θ ψ S ))cos(l) θ θ ψ P ψ P Exempel.2 När det gäller Venus har vi noterat att den maximala avståndet från solen är 45.9 o men låt oss skriva 45 o = π/4 för enkelhetens skull. Antag att Venus har maximal deklination, det betyder att Solen befinner sig antingen vid 45 o efter vårdagjämningen eller 45 o innan höstdagsjämningen. Det förra datumet motsvarar 5 maj, det senare 6 juli. Planetens deklination är den maximala 23.5 o vilket motsvarar ett d av tan(l)sin(23.5 o ) = 0.64 om vi sätter L = 57 (Göteborgs horisont), medan solens deklination ges av u där sin(u) = sin(45 o )sin(23.5 o ) och således u = 6.38 o. Detta motsvarar via sin(ψ) = tan(l)tan(u) ett ψ S = 26.9 och ett ψ P = 42.02. För att beräkna θ beräknar vi det för 90 o som är oförändrat, samt för θ = 45 o via sin(θ sin(θ) ) = att +sin 2 (23.5 o )cos 2 (θ) θ = 42.88 o medan det θ vi är intresserad av blir 47.2 o till detta skall vi addera ψ P ψ S = 5. vilket ger 62.23 o = 4h9m. I maj kommer Venus vara morgonstjärna synlig 4 timmar och 9 minuter i mörkret medan i juli kommer den att vara aftonstjärna synlig lika länge i mörkret. För att beräkna höjden använder vi formeln arcsin((d+sin(θ ψ S ))cos(l)) vilket ger 3.5 o 3
De yttre planeterna Q De yttre planeterna kan betraktas i så kallad opposition, d.v.s. Solen, Jorden och Planeten befinner sig i en rät linje i nämnda ordning. Den skiva planeten presenterar till Jorden kommer att vara fullt upplyst, dessutom kommer den att vara som närmast. Det kan dock vara svårt att ur en enstaka observation sluta om planeten är i opposition eller inte. Att en planet vid två olika tillfällen befinner sig på samma position på himmelsfären (som kan ses genom att den passerar nära en ljusstark stjärna behöver dock inte betyda att den befinner sig på samma plats i sin bana, ty Jorden behöver inte göra det. P P J J Däremot om Jorden gör det, så gör också planeten det. Med andra ord om en specifik position observeras vid samma tider på året har inte bara Jorden genomgått ett helt antal varv utan även planeten. Antal varv Jorden har roterat är lätt att bestämma, det är bara att räkna åren, lite mera subtilt är det att räkna varven för planeten. Jorden rör sig kring Solen snabbare än den yttre planeten. Efter att Jorden har fullgjort ett varv har planeten inte hunnit göra sitt, det kan då vara frestande att ur planetens position ett år senare kunna sluta hur stor del av ett varv det har fullgjort. Vi betraktar då nedanstående bild. Q P P O MendensöktavinkelnPOQkommerattberopåavståndet. Däremot kan vi under årens lopp notera dessa vinklar och se hur de växer och varje gång de passerat 360 o noterar vi att planeten ifråga har avslutat återigen ett varv. När vi har återgått åtminstone approximativt till utgångspunkten kan vi erhålla en kvot ω mellan omloppstiderna genom att dividera antalet jordvarv med planetvarv. Detta ger uppenbarligen en rationell approximation. Ju längre vi väntar, d.v.s. ju större nämnare och täljare vi är beredda att acceptera, desto bättre approximation. Exempel.3 Mars omloppstid är 686.9 dygn, medan Jordens är 365.25 (Det Julianska året ). Kvoten är.8808 och vi finner approximationer som 2/ (två omlopp per Marsår), 5/8 =.875..,32/7=.882...,79/42=.88... Dock när vi har tillgång till ω kan vi gå baklänges och använda de tidigare observationerna för att bestämma radien r. Den traditionella längden på året för astronomer som därmed följer den enklare Julianska kalendern. 4
P Q β Vi har uppmätt vinkeln α givet av QJP och vi har α även beräknat vinkeln β givet av QOP dessutom γ har vi uppmätt vinkeln QJP(γ). Det är genom att J O mäta denna vinkel, avståndet från Solen, vid de två olika tillfällena vi erhåller skillnaden α Ettannatsättärföljande. Antagattjordenrörsigiencirkelbanamedradien och omloppstid 2π i lämpliga enheter. Den kan då beskrivas av (cost,sint). Låt en (yttre) planet röra sig likaledes i en cirkulär bana med radien R och omloppstid 2π/ω och dess rörelse kan då beskrivas av (R cos(ωt), R sin(ωt). Notera att planeterna rös sig i samma riktning. De relativa positionerna r(t) ges då av r(t) = (Rcos(ωt) cost,rsin(ωt) sint) Vektorn r(t + dt) ligger framför r(t) om och endast om r(t) r(t + dt) > 0 vilket kan omskrivas r(t) (r(t +dt) r(t)) > 0 ty r(t) (r(t +dt) r(t)) = r(t) r(t + dt) r(t) r(t) och den sista termen försvinner. Genom att låta dt 0 finner vi att villkoret för att r(t) skall röra sig i positiv riktning är att r(t) ṙ(t) > 0. En punkt sägesvara stationärom r(t) ṙ(t) = 0. Om riktningen på r(t] växlar tecken igenkännes detta av att en stationär punkt passeras. Detta upplevs som om planetens färd på himlen byter riktning. 8 3 2 7 6 4 5 0 8 8 7 6 5 2 3 4 4 7 3 0 2 5 6 0 I figuren ser vi hur positionerna först rör sig i positiv riktning (från höger till vänster) först snabbt och sedan långsammare tills det kommer till ett stopp efter 3, sedan byts riktningen och planeten tycks röra sig från vänster till höger med stigande hastighet och har vid 4 samma position som vid. Hastigheten sjunker sedan för att återigen stationeras vid 6 byta riktning igen och ökas,och vid 7 passeras samma punkt (longitud) som vid 0 och 4. Detta fenomen inträffar vid opposition och kan, fortfarande under antagande om likformig vinkelhastighet i en cirkelrörelse, utnyttjas för att bestämma tidpunkten för en opposition. 5
Vi kan lätt med lite trigonometrisk manipulation beräkna ur vilket vi erhåller r(t) ṙ(t) = (ωr 2 + cos((ω )t)(ω +)R cos((ω )t) = ωr2 + (ω +)R. Vi inser således att villkoret för att fenomenet med retrograd rörelse vid opposition är att ωr 2 + (ω +)R Exempel.4 I fallet med planetbanor kommer Keplers tredje lag ge ω = R 3 2 och därmed ωr 2 + (ω +)R = + R R+ R En opposition inträffar för t = 0 där de stationära tidpunkterna ges av ±t 0 där cos((ω )t 0 ) = ωr2 + (ω +)R. Nästa opposition inträffar vid t = 360 o /( ω), se bilden nedan, där den grovt dragna delen visar när rörelsen är positiv och däremellan när det rör sig om retrograd rörelse. H P O Notera att perioden mellan påföljande oppositioner inte sammanfaller med jordensperiod. Den senareärbetecknad med P i figuren ovan, den förramed O. Om Jorden rör sig α varv så rör planeten sig αω(< α) varv. En ny opposition inträffar om α = αω d.v.s. α( ω) =. Kvoten ω kallas planetens synodiska period och ger perioden mellan två konsekutiva oppositoner. Ju nämare ω är till desto längre är den synodiska perioden. Känner vi ω (enligt observationer ovan) och tidslängden 2t 0 av den retrograda rörelsen beräknar vi R genom cos((ω )t 0 ) = ωr2 + (= H) (ω +)R och där vi kan lösa ut R genom att lösa en andragradsekvation. R = H(ω +)± H 2 (ω +) 2 4ω 2ω 6
Omvänt om vi känner till R och ω kan vi beräkna tidslängden av den retrograda rörelsen. Slutligen genom att utnyttja Keplers tredje lag och anta att säg en asteroid rör sig i en cirkelbana runt jorden, räcker det med tidslängden av den retrograda för att bestämma avståndet. Exempel.5 Sett från Venus företar Jorden en retrogradrörelse. Astronomer på Venus har beräknat Jordens ω till 0.6598 vidare har de observerat att denna retrograda rörelse inträffar under 0.0938 del av Venusåret. Vad är Jordens banradie uttryckt i Venus? Vi omvandlar 0.0938 i grader, dividerar med 2 och multiplicerar med ω = 0.384802 och tar cosinus för att erhålla H = 0.9744. Vi löser andragradsekvationen och erhåller faktiskt två möjliga värden.38249 och.7577 varav det senare motsäger Keplers tredje lag (men om de veneriska astronomerna inte känner till denna?) Exempel.6 Jupiter har omloppstiden.86 år och omloppsradien 5.2 beräkna under hur lång tid Jupiter befinner sig på retrograd rörelse på himlen under en opposition. Man beräknar ω = /.86 = 0.084 och därmed ω = 0.96. Därefter H = 0.582 varvid vi finner att arccosh = 54.44 o detta motsvarar ett t 0 givet av ω 54.44o = 59.45 o vilket är ett sjättedelsvarv ganska exakt och motsvarar då 6 dagar. Detta skall fördubblas och vi fonner att under 22 av årets dagar befinner sig Jupiter i retrogradrörelse. Övningsuppgifter. Slutför diskussionen om Venus maximala höjd över Göteborgs horisont när dess deklination är större än Solens, som befinner sig i någon av dagjämnspunkterna..2 Antag för enkelhetens skull att Merkurius rör sig i en cirkel 2 med radien 0.38 (A.E) a) Beräkna maximala vinkelavståndet till Solen! b) Beräkna maximala höjden över horisonten under natten vid ekvatorn! c) Beräkna maximala höjden över horisonten under natten på Göteborgs breddgrad!.3 Beräkna maximala vinkelavståndet av Jorden till Solen sett från Ganymedes.4 Från Ganymedes beräkna maximala vinkelavståndet från Jupiter för de inre månarna Io och Europa. 2 Att ta hänsyn till Merkurius elliptiska bana gör uppgiften mera intressant men kräver en del matematiska kunskaper om polärer till ellipser för att behandlas korrekt 7
2. Planetrörelserna Keplers Lagar En planet rör sig i en ellips, med solen i en av brännpunkterna Vektorn given av solen och planeten sveper lika areor under lika tid. Kuberna av medelavstånden är proportionella mot kvadraterna av omloppstiderna Ellipser och Kägelsnitt En ellips benämnes i vanligt tal med det vaga ordet oval. Det refererar till en ihoptryckt cirkel. En cirkel som ses från en sned vinkel har formen av en ellips. Mera specifikt om vi har en cirkel med radien a och således given av ekvationen och skalar yaxeln med en faktor b a x 2 a 2 + y2 a 2 = får vi istället ekvationen x 2 a 2 + y2 b 2 = som är ekvationen aven ellips. Dess snitt med x-axeln fås genom att sätta y = 0 och därmed punkterna (±a,0), På samma sätt fås dess snitt med y-axeln genom att sätta x = 0 och därmed (0,±b). Om a > b säges den horisontella axeln av längd 2a utgöra storaxeln, och den vertikala axeln 2b lillaxeln. Avståndet 2a utgör det längsta avståndet mellan två punkter på ellipsen, avståndet 2b är det minsta avståndet mellan två punkter på ellipsen vars mittpunkt går genom dess centrum. 8
En ellips parametriseras av (acost,bsint). Dess area beräknas enkelt till πab, medan båglängden hos en ellips är ett klassiskt problem som gav upphov till så kallade elliptiska funktioner. Ellipsen har två brännpunkter (F,F 2 ) som ligger på storaxeln. Dessa har två egenskaper visavi en godtycklig punkt P på ellipsen Summan av avstånden PF + PF 2 är konstant och således lika med 2a Om T är tangenten till ellipsen vid P kommer vinklarna som PF och PF 2 bildar med T vara lika. P T F F 2 Om ellipsens brännpunkter ges av(±c, 0) kommer vi således att ha relationen a 2 = b 2 +c 2 Bråket e = c a är ett mått på ellipsens tillplattning och är invariant under (likformig) skalning. Den benämnes excentricitet. Och uppenbarligen gäller att 0 e <. Cirkeln är en ellips med excentricitet 0 och både brännpunkterna sammanfaller. Den andra egenskapen kan tolkas optiskt, och därmed benämningarna brännpunkter. Nämligen strålar som utgår från ena brännpunkten reflekteras mot den andra. Betrakta skaran av ellipser med storaxlarna längs x-axeln med en brännpunkt i origo och ellipsens högra extrempunkt i (, 0). Ekvationen av en sådan ellips ges av (x λ) 2 a 2 + y2 b 2 = där det återstår att bestämma a,b,λ. Först noterar vi att a + λ +. Om excentriciteten är e finner vi att b = e 2 a. Vidare om högra brännpunkten liggeriorigo att ae+λ = 0 medan om den vänstraligger i origoatt ae+λ = 0. 9
I det första fallet finner vi lätt a = e,b = +e e,λ = e e. Medan i det andra fallet byter vi bara ut e mot e. Vi kan då förenkla ekvationen till x 2 ( e 2 )+2xe(+e)+y 2 = (+e) Denna har mening även för e = som ger 4x = 2 y 2 d.v.s. en parabel Löser vi ut x i y finner vi x = 2(+e) y2 +... När e = får vi således likhet. Med andra ord en parabel är en ellips för vilken den andra brännpunkten ligger i oändligheten. Strålar som utgår från den kvarvarande brännpunkten konvergerar till den andra brännpunkten i oändligheten och är således parallella. Omvänt strålar parallella med dess axel konvergerar till brännpunkten. Detta är egenskaper som utnyttjas i astronomin via reflexteleskop. Om e > får vi en parabel, brännpunkten har då gått över sidan och återuppstår till höger. Om 0 > e > kommer den andra brännpunkten röra sig mot höger och bli den högra brännpunkten. Ellipser, parablar och hyperblar är alla exempel på andragradskurvor. Hyperbelns ekvation ges av x 2 a 2 y2 b 2 = medan parabeln av x = ay 2 om dess axel läggs längs x-axeln. Orden är grekiska och betecknar mindre, lika med och mera 3. Grekerna initierade studiet av dessa kurvor genom att skära koner med plan. Den främste antike utforskaren av kägelsnitt var Apollonius som i Euklides anda, utan ko-ordinater, strikt bevisade dess fundamentala egenskaper. 3 På engelska är en liknelse i Bibeln översatt till parable, en överdrift med hyperbole och an ellipsis en förkortning 0
Banelementen För att beskriva en ellips form räcker det med att veta dess excentricitet e. För dess storlek längden 2a av dess storaxel. För att bestämma dess läge behöver vi först och främst bestämma det plan i vilket det ligger. Planet är bestämt av sin normal vilken kan ges av två antipodala punkter på himmelsfären och som bestämmer en storcirkel på densamma. Det är tradition inom astronomin att ge planets snitt med ekliptikan, som ger två antipodala punkter som benämns noder, samt den vinkel i (inklination), den ger med denna. Givet riktningen på planetens rotation i sin bana kan vi välja ut den ena av de två noderna, nämligen den vid vilken deklinationen med respekt till ekliptikan växer. Detta är den så kallade växande noden (ascending node) medan den andra noden är den avtagande (descending). Vinkeln mellan två plan kan bestämmas på två olika sätt, antingen som θ eller supplementvinkeln π θ (80 θ beroende på vinkelenhet). Om planetens rikting är motsols (vad matematiker kallar positiv) väljs den mindre av de två riktingarna, är den medsols (så kallad retrograd rörelse) väljs den större. Inklinationen är således alltid positiv och mindre eller lika med än 80 grader. En planet med inklination 80 o rör sig alltså i samma plan som ekliptikan, men i retrograd (medsols) rikting. Givet riktningen på banan kan man välja ut en av enhetsnormalerna, d.v.s. en av de antipoda punkterna. Detta betyder att man ger planet en orientering, d.v.s vad som är upp och vad som är ner. På samma sätt har ekliptikan en distingerad normal. Vinkeln mellan två riktade sträckor är alltid väldefinerad och mellan 0 och 80 grader. Den växande nodens position är given av sin longitud, denna är given av vinkeln mellan vårdagsjämningspunkten på ekliptikan och noden, och betecknas traditionellt med Ω. Notera att denna skall inte förväxlas med vinkeln som ger rektascensionen, som är den riktiga longituden och räknas efter himmelsekvatorn. Inklinationen i och Ω samt riktningen på banan bestäms av en enda punkt på himmelsfären. Exempel 2. Givet punkten med deklination ψ = 20 o och rektascension θ = 2h bestäm inklination och Ω! Normalen med dessa sfäriska ko-ordinaterges av cosθcosψ,sinθcosψ,sinψ. I vårt fall gäller ψ = 20 o,θ = 360 o /2 = 30 o vilket ger a = (0.84,0.470,0.342). Normalen för ekliptikan med positiv orientering är given av (0,sinl,cosl) där l är lutningen på jordaxeln och således given av b = (0,0.399,0.97). Tar vi skalärprodukten a b av dessa bägge enhetsnormaler erhåller vi 0.50 vilket motsvaras av vinkeln 59.93 o som således är inklinationen. För att finna den växande noden tar vi istället vektorprodukten och a b och normaliserar och finner c = ±(0.340, 0.862, 0.375). Vi tar därefter skalärprodukten med (, 0, 0) som pekar till vårdagsjämningspunkten och finner ±0.340 vilket motsvarar vinklarna 9.896 o och 60.04 o vilken skall vi välja.
När vi väl har bestämt planet måste vi bestämma hur ellipsen befinner sig i det. Detta betyder att vi måste bestämma storaxelns läge. Storaxeln har två punkter, nämligen den som är närmast (perihelion) och den som är längst bort (aphelion). I planet har vi redan en stråle nämligen den som ger den växande noden. Vinkeln som dessa bägge ω Ω ι strålar bestämmer kallas perihelions argument och betecknas med ω, den kan vara mellan 0 o och 360 o. Dessa fem numeriska parametrar är tillräckliga för att bestämma ellipsen. Dessa kallas banelementen. För att bestämma planetens position krävs ytterligare en parameter, nämligen planetens position är bestämd av den vinkel u den gör med perihelion. Denna vinkel är växande om planeten rör sig normalt d.v.s. positivt och avtagande om den rör sig retrograd. Till banelementen är det också normalt att tillfoga omloppstiden T. Givet en tidpunkt (säg t = 0) i vilken planeten befinner sig i perihelion kan vi vid varje godtycklig tidpunkt t bestämma dess position i rummet och givet Ω,ω och u finna dess position på himlavalvet sed från Solen. På grund av parallaxen kommer dessa att skilja sig en aning från vad motsvarande position kommer att vara sedd från jorden, såvida inte en A.E är försumbar jämfört med storaxelns dimension a. Konstant area Låt r(t) vara positionsvektorn med sitt tidsberoende. Mellan tiderna t och t+dt har denna vektor svept ut en area given av 2 r(t) r(t+dt) = 2 r(t) (r(t+dt) r(t)). Hastigheten av denna areaförändring är således givet av r ṙ. Dess derivata är således lika med noll om och endast om vektorn sveper ut lika areor under lika tid. Villkoret är ekvivalent med r r d.v.s. r, r är parellella, vilket är precis fallet för alla centralrörelser, d.v.s. kraften är alltid parallell med positionsvektorn, d.v.s riktad mot eller från en fix punkt. Vi finner att h = r ṙ är en konstant, och kan ses som en normal till ellipsens plan. Om vi använder h = h som tidsenhet finner vi att omloppstiden T ges av Th = πab För att beräkna positionen betraktar vi en punkt P på cirkeln med radien a (halva storaxeln) och centrum i ellipsens centrum. Dess position är given av vinkeln E som kallas den excentriska anomaliteten. Notera att P inte ligger på ellipsen utan dess projektion P (vilken vi får genom att skala med lillaxeln, d.v.s. skala y-koordinaten med b/a). Arean av cirkelsektorn OQP ges av 2 a2 E. Drar vi från arean av triangeln OFP som ges av 2ae asine erhåller vi 2 a2 (E esine) som är arean av FQP. Skalar vi denna vertikalt med b/a erhåller vi arean FQP som är den area radien har svept över under den tid som 2
det tagit för den excentriska anomaliteten att växa från 0 till E. Denna area är således given av 2ab(E esine). P P O E F φ Q För att denna area skall växa linjärt med tiden finner vi att E ( ecose) = k där 2π 2ab(kT) = πab således k = T. Den intressanta och relevanta vinkeln är ψ kallade den sanna anomaliteten. Sambandet mellan de två är givna av bsine = r(e)sinψ där r(e) är längden av radievektorn i termer av E. I själva verket gäller att r(e) = a( ecose). Exempel 2.2 Mars rotationstid är 687(jord)dygn. Om den befinner sig vid sin perhelion punkt den 24 Februari vilket är dess läge den 24 juli? Excentriciteten hos banan förutsätts vara 0.0. Mellan 24 februari och 24 juli är det 50 dagar. 50/687 = 0.28. Ser vi i tabellen inser vi att vi kan approximera med en cirkel och denna bråkdel motsvarar en excentrisk anomalitet av 78 o Exempel 2.3 Merkurius har en omloppstid på 88 dygn och en excentricitet på 0.2 hur många dagar efter sin perihelionpassage är avståndet lika med halva storaxelns längd (d.v.s. = a medelavståndet)? Den excentriska anomalin är 90 o och i tabellen avläser vi 0.28 vilket vi multiplicerar med 88 dygn och får 9 dygn. 3
Initialvillkor Givet en position och en hastighetsvektor visavi en centralkropp som utövar en viss kraft enligt Newtons lag, kommer det att finnas en unik ellips i vilken kroppen kommer att följa. Om kroppen rör sig i en cirkel kommer hastigheten att hela tiden vara vinkelrät mot positionsvektorn. Om den rör sig med icke försvinnande excentricitet kommer det endast att finnas två sådana positioner under banan, nämligen vid perihelion och aphelion, d.v.s. storaxelns ändpunkter. För varje ellips kommer det finnas två punkter när avvikelsen från det vinkelräta är som störst, denna maximala avvikelse kan uttryckas i e. Om initialvektorn är vinkelrät mot positionsvektorn finns det två hastigheter som ger en cirkelrörelse beroende på vilken riktning planeten kommer att röra sig. Denna hastighet beror på massan av kroppen. Den är given av g R där konstanten g är proportionell mot kroppens massa. Om denna kritiska hastighet skalas uppstår en ellips. Om hastigheten är mindre än den cirkulära kommer kroppen hinna falla mer under en given längd än under den cirkulära rörelsen och avståndet till centrum kommer att avtaga och få ett minimum på motsatta sidan, medan hastigheten kommer att tilltaga och få ett maximum vid samma antipodala punkt. Den ellips vi får kommer tangera cirkel på insidan och vara helt innesluten i denna. Men om hastigheten är större, kommer kroppen falla mindre under en given längd och vi får en ellips som tangerar cirkeln utifrån och kommer att omsluta denna. Avståndet kommer att tilltaga medan hastigheten kommer att avta, och maximu för den förra och minimum för den senare kommer att antas återigen på den motsatta sidan. Ju större hastigheten är desto längre bort kommer den andra brännpunkten att ligga. Vid en kritisk hastighet har den nått oändligheten, och banan är en parabel. Denna kritiska hastighet är samma som flykthastigheten. I detta fall kommer hastigheten att gå mot noll. Om hastigheten överstiger flykthastigheten kommer hastigheten gå mot ett gränsvärde strikt större än noll, och banan kommer att vara en hyperbel. Den andra brännpunkten har då gått över oändligheten och återfinns nu till höger. Om vi skalar hastigheten med t kommer partikeln röra sig samma sträcka under en skalning av tiden med /t och därmed falla en sträcka skalad med /t 2. Om den cirkulära banan är lokalt given av x = R y2 ges, som tidigare påpektas, vid excentricitet e, x = R y2 2R(+e). Vi erhåller då t2 = + e. Speciellt fås för e = att t = 2 som anger kvoten mellan flykthastigheten och den cirkulära hastigheten. Om t < erhåller vi då ett negativt e som skall tolkas som att centralmassan är belägen vid den bortre brännpunkten. Således om t,t 2 är skalningarna vid de motsatta punkterna och R = ( e)a är avståndet till närmaste brännpunkten, och därmed R 2 = ( + e)a till den bortre. De cirkulära hastigheterna kommer att vara g R, g R 2 2R respektive och hastigheterna i banan t g R,t g 2 R 2 där t 2 = +e och t2 2 = e. Adderar vi 4
den kinetiska energin 2 gv2 och den potentiella g R erhåller vi g 2 t2 R g R = t2 2 2R Sätter vi t 2 = +e och R = ( e)a förenklas det hela till g 2a oberoende av e. I själva verket kommer detta hålla för hela banan. Exempel 2.4 Vi har en satellit som rör sig ed 8km/s nära jorden. Hur mycket skall dess hastighet ökas till för att den skall följa en bana tillräckligt excentrisk för att runda Månen? (Vi bortser från Månens gravitation) Avståndet till Månen är 60 jordradier. Månens radie är /4 jordrade. Storaxelns längd kommer då att bli 6.25 jordradier. Halva storaxelns längd blir 30.625 jordradier, och avståndet från jordens centrum (ena brännpunkten) blir då 29.625 jordradier varav följer att excentriciteten blir e = 29.625/30.625 = 0.9673 och hastigheten skall ökas med en faktor.40262< 2 Tvåkropparproblemet Omenkropproterarkringsolenpåettvisstavståndsäghardenenomloppstid proportionellt mot kvadraten av solens massa. Samma gäller planeten. Men om nu solen roterar kring planeten får vi ett helt annat värde på omloppstiden än om planeten roterar kring solen. Hur kan man matematiskt se skillnaden? Vi har här ett tvåkroppar problem som vi bortsett från tidigare när planetens massa har ansetts försumbar i jämförelse med solens och vi därmed bortsett från dess inverkan. Gör vi det inte finner vi att om två kropparmed massornam och m attraheras ömsesidigt att de roterar kring en gemensam jämviktspunkt vars läge bestäms av hävstångsprincipen i två ellipser med gemensam brännpunkt på ett sådant sätt att de två kropparna och jämviktspunkten alltid befinner sig på en rät linje. Keplers tredje lag måste revideras en aning. Vi finner a 3 T 2 = k M +m Där a är det maximala avståndet mellan kropparna. Exempel 2.5 Två solar (med samma massa) roterar runt varandra på ett avstånd av A.E. Vilken är omloppstiden? Omlopps tiden för Jorden runt Solen på detta avstånd är ett år. Nu är effekten den dubbla massan så omloppstiden skall divideras med 2 d.v.s. 260 dagar. 5
Trekropparproblemet A B Det klassiska trekropparproblemet rör Solen, Månen och Jorden. Månen påverkas både av Solen och Jorden. Kraften från Solen är ungefär dubbelt så stor som den från Jorden (F), så den sammanlagda kraften kommer att variera stort under Månens omlopp runt Jorden. Vid fullmåne är den som störst och utgör då 3F(2F +f) medan under nymåne är den som minst F(2F F) vid bägge fallen pekar den mot Solen. Att beräkna och förutsäga Månens rörelse på himlavalvet med hjälp av Newtons lagar är ett klassiskt problem, och det sägs att inget lär ha gett Newton en sådan huvudvärk. Först Månen roterar kring Jorden som i sin tur roterar kring Solen. Man förväntar sig då en bågig månrörelse, men så är faktiskt inte fallet, Månens bana runt Solen är inte bara en approximativ ellips (Jordens bana) men faktiskt konvex. För att utreda detta närmare tänker vi oss en planet som roterar kring Solen i en cirkulär bana och som dessutom har en måne som roterar likaledes i en cirkulär bana runt planeten. Solens massa kan vi sätta till M medan planetens massa normaliserar vi till (M är således kvoten mellan Solens massa och planetens). På samma sätt kan vi normalisera planetbanans radie till och månbanans till r. Planetens färd beskrivs av (cost,sint) och månens visavi planeten av (r cos(ωt), r sin(ωt), således om planetens omloppstid är normaliserad till 2π kommer månens omloppstid att vara 2π/ω om ω < 0 har månen så kallad retrograd rörelse. Vi kan kombinera dessa två rörelser till en enda via cost + rcos(ωt + φ),sint + rsin(ωt + φ) där φ är en fasförskjutning. Det kan vara lämpligt att sätta denna till φ = π. Situationen blir då följande (cost rcos(ωt),sint rsin(ωt)) Positionen för A är ( r,0) medan positionen för B är (cost rcos(ωt),cost rsin(ωt)). Vi betraktar små t och kan således skriva ( t2 2 r( (ωt)2 2 ),t rωt) Vi vill nu skriva denna på formen x = r 2k y2 som ger krökningen av månens bana då den är som minst krökt. Villkoret för att vi skall ha en konvex bana är att 2k > 0. I vårt fall har vi x = ( r) 2 ( ω2 r)t 2 och y = ( ωr)r och därmed kan vi skriva x = ( r) ω 2 r 2( ωr) 2y2 6
. Således har vi villkoret att ω 2 r > 0 Exempel 2.6 I fallet med vår måne har vi r = /400 och ω = 365/27.32 = 3.36 och således ω 2 r = 0.446 < Låt oss nu betrakta det dynamiska fallet. Vi kan då beräkna ω = M 2 r 3 2 från Keplers tredje lag. Sätt α = ωr = (Mr) 2 och β = ω 2 r = M r 2. Kraften mot solen är försvagad på grund av en motstående kraft från planeten. OmdennormalakraftenärM ärkraftenfrånplanetenr 2 (meraprecist( r r )2 ) kvoten blir Mr 2 = β. Om den ursprungligacirkulärahastigheten ärv 0 blirden nu v 0 β. Dock den aktuella hastigheten är v 0 ( ωr) = v 0 ( α) ty månen rör sig i motsatt riktning från planeten. (Hade det rört sig om en retrograd rörelse hade det istället varit v 0 (+α)). Vi multiplicerar således med hastigheten α β. Detta betyder att krökningen multipliceras med β ( α) 2. Nu måste krökningen vara mindre än den som ges av cirkeln med radien annars kommer månens bana hela tiden vara inne i denna cirkel, ty månbanan kommer hela tiden ha mindre krökning. Vi får därmed villkoret ( α) 2 β vilket översätts till 2α+α 2 β eller β 2α α 2 vilket vi förenklar till 2 β α = M r 2 (Mr) 2 = M r 3 2 vilket kan förenklas till r (4M) 3 Detta kallas Hillradien och ger den radie inom vilket en planet behåller sin måne. I fallet med vår egen Måne rör sig denna radie om.5 miljoner km, d.v.s. omkring fyra gånger större än det aktuella avståndet. Notera dock att detta resonemang utgör en förenkling, en mer noggrann analys ger formeln för Hill radien till r (3M) 3 men felet är endast 0% och ger i alla fall med enkla medel en god uppskattning. Exempel 2.7 Hillradien för vår måne vars massa är /8 av jordens ges av r = (3 8) 3 7 d.v.s. omkring 55 000 km 7
Övningsuppgifter 2 2. Visa från ellipsens ekvation och definitionen av dess brännpunkter att summan av avstånden till de två brännpunkterna för en punkt på omkretsen är konstant, och att den är lika med storaxelns längd. 2.2 En stjärna roterar kring en annan i en cirkel. Antag att planet för denna skär den linje som förbinder centrum stjärnan med vår jord (och därmed öga) i 30 grader från det vertikala. Beräkna excentriciteten hos den uppkomna ellipsen. 2.3 Halleys komet har en bana med excentricitet 0.967 och ett perihelion av 0.586 A.E. Beräkna avståndet till solen vid dess aphelion. 2.4 Merkurius banelement är givna av e = 0.205,ι = 7 o,ω = 47 o,ω = 3 o,a = 0.387. Beräkna perihelions position i ett koordinatsystem i vilket himmelsekvatorn sammanfaller med xy planet, och vårdagsjämningspunkter ligger på positiva x-axeln, och enheten är A.E. 2.5 Beräkna Merkurius maximala deklination 2.6 Beräkna Jupiters maximala deklination om Ω = 99.5 o och ι =.3 o 2.7 Om Merkurius befinner sig vid sitt perihelion den mars, vilket är dess avstånd till Solen den 5 mars? 2.8 Under hur stor del av sin omloppstid befinner sig Halleys komet innanför jordbanan? 2.9 Vilken hastighet har Halleys komet under sin perihelion passage? Med hur många procent skall vi öka denna hastighet med för att Halleys komet en gång för alla kommer att försvinna från solsystemet. 2.0 Under hur stor del av sin omloppstid runt Jupiter befinner Ganymedes sig på den konvexa delen av sin bana runt Solen? 2. Beräkna Hillradien för Ganymedes. Antag att Mars måne Phobos istället roterar kring Ganymedes på samma avstånd från dess yta som den har från Mars. Kommer Ganymedes att få behålla den? 8