Abstract Den här föreläsningen introducerar en stokastisk modell för livslängder. Speciellt definierar vi livslängd, fördelningsfunktion, dödlighetsintensitet och överlevelsefunktion. Vi tittar också på Makehams fördelning som är den mest tillämpade livslängdsmodellen i Sverige. Contents Page Historia om livslängdstabeller Sannolikhetsteoretisk modell Livslängdsfördelningens egenskaper 5 Parametriska livslängdsmodeller 6 Makehams fördelning 8 Page 1 of 11
Historia om livslängdstabeller Tidpunkterna då de första nationella livslängdstabellerna publicerades har varierat kraftigt mellan olika länder. Sverige (1755) var det första landet att göra det och därefter följde ett flertal länder. Exempel är Holland (1816), Frankrike (1817), Norge (181), England (1843), Tyskland (1871), Schweiz (1876) och USA (19). Observera att i många länder producerades det regionala livslängdstabeller långt innan de nationella tabellerna såg dagens ljus. Ett flertal personer har gjort framträdande arbeten inom ramen för att etablera livslängdstabeller inom livförsäkring De historiskt mest kända personerna är demoivre (179), Gompertz (185), Makeham (186), Sang (1868) och Weibull (1939). I Sverige gjordes en framträdande insats av Pehr Wargentin (1717-1783) vars arbete lade grunden till Statistiska centralbyrån som grundades 1858. Pehr Wargentins övriga arbete innehöll många intressanta konklusioner som bar frukt även före 1858. Sannolikhetsteoretisk modell Låt livslängden T för en godtyckligt vald individ vara en icke-negativ kontinuerlig stokastisk variabel med fördelningsfunktionen F (x) = P (T x), x Täthetsfunktionen f definieras genom f(x) = F (x), x Sannolikhetsteoretisk modell continued on next page... Page of 11
µ x dx F (x + dx) F (x) 1 F (x) 1 F (x + dx) F (x) µ x = lim dx dx 1 F (x) µ x 1 F (x + dx) F (x) dx 1 F (x) = f(x) 1 F (x) #1 Låt T x vara en icke-negativ stokastisk variabel som representerar återstående livslängd vid åldern x för en godtycklig individ. Fördelningsfunktionen för T x definieras som F x (t) = P (T x t), t. Funktionen l x definieras som överlevelsefunktionen till den återstående livslängden T x genom l x (t) = 1 F x (t) = P (T x > t), t. Funktionsvärdet l x (t) är alltså sannolikheten för en x-årig individ att leva i ytterligare minst t år. P (T x > t) = l (x + t), t l (t) = l (x) d(1 F (t)) dt = f(t) l x (t) = l (x + t), t µ x = l (x) l (x) = d(ln ) dx # = e x µ sds Page 3 of 11
Låt oss titta på några typiska kurvor:.4 1.35.9.3 man kvinna.8.7 man kvinna Täthetsfunktion.5..15.1 Fördelningsfunktion.6.5.4.3. #3.5.1 4 6 8 1 1 Ålder 4 6 8 1 1 Ålder #4 P (T x t) = 1 / P (T x > t) = / = e x+t µ x s ds P (T x t) = 1 e x+t µ x s ds P (T x t) lim t t = µ x #5 F x (t) = P (T x t) = P (T x + t T > x) = F (x + t) F (x) 1 F (x) Den ettåriga dödsrisken q x för åldern x definieras som q x = P (T x 1) Page 4 of 11
q x = 1 e x+1 x+1 µ x s ds µ s ds x µ s konstant på (x, x + 1) = µ x+ 1 ger ln(1 q x ) µ x+ 1 ty q x = 1 e x+1 x µ s ds. Antag q x litet, serieutveckla ln(1 q x ) q x qx/ = q x (1 + q x /) #6 1 qx Förläng HL med (1 q x /) ln(1 q x ) - q /4 x qx. 1 q x / 1 q x / µ x+ 1 q x 1 q x q x µ x+ 1 1 + µ x+ 1 #7 Livslängdsfördelningens egenskaper P (T t) = F (t) = t f(s) ds lim F (t) = 1 lim l(t) = 1 t t l (t) = d (1 F (t)) = f(t) dt #1 f x (t) = f(x + t) 1 F (x) = l (x + t) = µ x+t, t Låt T x vara den återstående livslängden för en godtycklig individ med åldern x. Med förväntad återstående livslängd för T x menar vi e x = E(T x ) E(X) = [1 F (x)] dx # Page 5 of 11
e x = t l (x + t) dt = t = 1 ( ) [t ] t= t= l(x + s) ds = µ x+t dt = dt Parametriska livslängdsmodeller Exempel.1. Den enklaste livslängdsmodellen är modellen med konstant dödlighetsintensitet, det vill säga µ x = c, x där c är en positiv parameter. Genom att tillämpa resultaten i ovanstående avsnitt i detta kapitel får vi = e x µ sds = e cx En följd av detta samband är att = e x+t µ x s ds = e ct Täthetsfunktionen för T x ges av f x (t) = µ x+t = c e ct Parametriska livslängdsmodeller continued on next page... Page 6 of 11
och den förväntade återstående medellivslängden e x är lika med c 1. Exempel.. Vi betraktar en livslängdsfördelning med en högsta tillåten levnadsålder w och en dödlighetsintensitet som ges av µ x = 1 w x, x < ω Genom att återigen tillämpa definitionen av, se Definition??, får vi = e x µ s ds = e x 1 w s ds = e [ln(w s)]s=x s= = = e ln(w x) ln(w ) = e ln(1 x/w) = = 1 x w, x < w Observera att är lika med noll utanför intervallet x < w. En följd av (1) är att = 1 t w x Täthetsfunktionen för T x ges alltså av f x (t) = µ x+t = 1 w x som ej beror av t. Fördelningen för T x är då likformig på [, ω x] och därför är den återstående medellivslängden e x = (w x)/. Observera att man lätt kan formulera täthetsfunktionen för den totala livsläng- Parametriska livslängdsmodeller continued on next page... Page 7 of 11
den, T, som f(t) = 1 w, t < ω Då gäller naturligtvis, i linje med konstaterandet ovan om T x, att livslängden, T, är likformigt fördelad på intervallet [, ω]. Makehams fördelning Livslängdsmodellen definieras genom följande antagande om utseendet på dödlighetsintensiteten µ x = α + βe γx, x Observera att för x = får vi µ = α + β > i den händelse minst en av parametrarna är positiva. ln() = x µ s ds = αx + β γ (eγx 1), x Eftersom Makehams fördelning är så viktig i tillämpningarna fram-över skall vi härleda en del egenskaper för fördelningen. Vi kan relativt enkelt beräkna fördelningsfunktionen genom att vidareutveckla uttrycket för ovan. Vi får att F (x) = 1 e αx β γ (eγx 1), x Täthetsfunktionen kan då skrivas Makehams fördelning continued on next page... Page 8 of 11
f(x) = (α + βe γx ) e αx β γ (eγx 1), x Vid tillämpningen av Makehammodellen har man genom åren arbetat med olika parameteruppsättningar; exempel är 1. L39. L55 3. G64 4. M64 5. M9 Detta är den parameteruppsättningen som är absolut mest vanlig i branschen, dock med en del varianter. Grundkommittén; M 9 definieras genom µ x = α + β 1 γ(x f), x där man, som vi skall gå igenom nedan i mer detalj, har valt parametrarna α =, 1, β =, 1 och γ =, 44. f = {, om man 6, om kvinna 6. M1 1 3 µ x = 1 +, 1 e,44 ln(1 ) (x f ), x PM har valt en modell där man försökt anpassa en dödlighetsintensitet speciellt till observerad dödlighet i åldrarna 61-9 år. Det innebär att anpassningen är inte fullt så god för andra åldrar. Makehams fördelning continued on next page... Page 9 of 11
µ x = { α + β e γ x, x ω µ ω + k(x ω), x ω där = e x µ sds. x µ s ds = αω + β γ (eγω 1) + µ ω (x ω) + k ( x ω ω(x ω)) = = αω + β γ (eγω 1) + µ ω (x ω) + k (x ω). Om vi nu skall jämföra olika parameteruppsättningar kan det göras med förväntad återstående livslängd: Makehams fördelning continued on next page... Page 1 of 11
Tabell Kvinnor Kvinnor Kvinnor Män Män Män 5 år 65 år 8 år 5 år 65 år 8 år 1891 4, 13, 5,4,4 1, 4,9 R3 6,9 15, 6,4 6,1 14,5 5,9 M64 31,6 19, 9,1 8, 16, 7,1 M9 39,4 5,6 13,5 33,7,4 9,6 DUS 36,1,1 1,3 33, 19,6 8,6 Page 11 of 11