F11: Poissonprocesser och tillförlitlighet
Egenskaper Träd Test London Poissonprocesser i planet Vi har ett område B. Låt N(B) vara antalet händelser som inträffar i område B. Om det gäller att två eller fler händelser inte inträffar (exakt) samtidigt, N(B i ) är oberoende om B i är disjunkta (dvs inte överlappar), händelserna inträffar stationärt i tiden och likformigt i rummet, dvs fördelningen för N(B) beror bara på storleken av B, inte var och när, så följer N(B) en poissonprocess och N(B) Po(l B ) där B är arean av B.
Egenskaper Träd Test London Exempel: Japanese black pine vs Redwood Man studerar hur unga plantor av olika trädslag fördelar sig på ett orört skogsområde. 1 Japanese black pine saplings 1 Redwood seedlings 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 Slumpmässigt fördelat? 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 Ihopklumpat fördelat?
Egenskaper Träd Test London Test av Poissonprocess med konstant intensitet Dela in området i likstora rutor, B 1,..., B k och testa om antalet händelser, N(B i ), i rutorna kan vara Po(l B i ), med hjälp av ett q 2 -test. Ex: Japanese black pine (forts): Vi delar in området i 5 5 = 25 rutor, vardera med arean 1/25. Förväntat antal tallar per ruta, m i = l i B i = l i/25. Vi vill testa H 0 :l1 =... = l25 = l, dvs H 0 :m1 =... = m25 = m = l/25. Vi skattar m = totalt antal tallar / antal rutor = 65/25 = 2.6, dvs N(B i ) Po(2.6).
Egenskaper Träd Test London Ex: Japanese black pine (forts): Observationerna i de 25 rutorna blev: 3 6 3 3 1 3 4 3 3 3 5 2 3 1 2 1 0 1 2 1 2 3 3 4 3 Sammanställt i en tabell: k träd: 0 1 2 3 4 5 6 n k : 1 5 4 11 2 1 1 25 p k : 1.9 4.8 6.3 5.4 3.5 1.8 1.2 Jämför n k = observerat antal rutor med k träd med 25 p k = förväntad antal rutor med k träd.
Egenskaper Träd Test London Ex: Japanese black pine (forts): Vi har p 0 = P(N(B i ) = 0) = e 2.6 2.6 0 /0! = 0.074, p 1 = P(N(B i ) = 1) = e 2.6 2.6 1 /1! = 0.193,... k p 6 = P(N(B i ) 6) = 1 p k = 0.049 Eftersom k=0 q 2 = k (n k 25p k ) 2 = 8.0 q 2 0.05 (7 1 1) = 11.07 25p k kan vi inte förkasta att data kommer från en Poissonprocess i planet med konstant intensitet.
Egenskaper Träd Test London Ex: Redwood (forts): Nu har vi istället m = 62/25 = 2.48, dvs N(B i ) Po(2.48). Observationerna blir: 0 5 3 1 3 1 2 6 0 2 6 5 3 0 2 1 0 0 8 0 0 1 4 3 6 Sammanställt: k träd: 0 1 2 3 4 5 6 n k : 7 4 3 4 1 2 4 25 p k : 2.1 5.2 6.4 5.3 3.3 1.6 0.3 Eftersom q 2 = (n k 25p k ) 2 = 54.9 > q 2 0.05 (7 1 1) = 11.07 kan vi 25p k k förkasta att data kommer från en Poissonprocess i planet med konstant intensitet.
Egenskaper Träd Test London Ex: Japanese black pine vs Redwood (forts): Japanese black pine saplings 12 10 Observerat antal Förväntat antal 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 k träd 7 6 5 4 3 2 1 Redwood seedlings Observerat antal Förväntat antal 0 0 1 2 3 4 5 6 k träd
Egenskaper Träd Test London Exempel: Bomber över London Under slutet av andra världskriget bombades London med V2-bomber. Tyskarna hävdade att de kunde styras och att man därmed kunde sikta in sig på strategiska mål. Engelsmännen använde sig av teorin om Poissonprocessen för att undersöka detta. I södra London fälldes 537 bomber på ett område av 144 km 2. Området delades in i 576 mindre områden på vardera 0.25 km 2 och i vart och ett av dessa mindre områden noterade man antalet bombnedslag: k (antal bomber) 0 1 2 3 4 5 n k (antal områden 229 211 93 35 7 1 med k träffar) Fördelade sig träffarna slumpmässigt över området eller klumpade de ihop sig? (Övningsuppgift)
Definition Styrka Felsannolikheter och felfunktion Vi har ett system vars egenskaper är slumpmässiga och beskrivs av slumpvariablerna X 1,..., X n. Systemet går sönder, händelsen B inträffar, för vissa kombinationer av värdena på X 1,..., X n. Vi är intresserade av situationer där B kan ses som att en funktion h( ) av de slumpmässiga egenskaperna underskrider en viss kritisk nivå, u crt : P f = P(B) = P(h(X 1,..., X n ) < u crt ) Felfunktion Funktionen h(x 1,..., X n ) kallas systemets felfunktion.
Definition Styrka Exempel: Styrka och last Vi har ett system där styrkan kan ses som en slumpvariabel R (Resistance) och lasten som en annan slumpvariabel S (Stress). (a) Bestäm systemets felfunktion. Lösning (a): Systemet går sönder om lasten S överstiger styrkan R, dvs om S > R, dvs R S = h(s, R) < 0. Felfunktionen är alltså och felsannolikheten h(s, R) = R S P f = P(h(S, R) < 0) = P(R S < 0).
Definition Styrka Ex: Styrka och last (forts): (b) Antag att styrkan R är normalfördelad N(5, 0.3 2 ) medan lasten S är normalfördelad med väntevärde 3 och variationskoefficient 0.2. Beräkna systemets felsannolikhet om vi antar att styrkan och lasten är oberoende. Vi har att R N(5, 0.3 2 ) och att S N(3, 0.6 2 ) eftersom R(S) = V(S) E(S) = V(S) 3 = 0.2 V(S) = (0.2 3) 2 = 0.6 2 1.4 1.2 1 R = styrka S = last 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Definition Styrka Ex: Styrka och last (forts) (b): Eftersom S och R är oberoende får vi att V(R S) = V(R) + ( 1) 2 V(S) = 0.6 2 + 0.3 2 = 0.45, h(s, R) = R S N(E(R) E(S), V(R S)) = N(5 3, 0.45) = N(2, 0.45) 0.7 0.6 R S: oberoende 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0 1 2 3 4 5
Definition Styrka Ex: Styrka och last (forts) (b): vilket ger P f = P(R S < 0) = 1 F( 0 2 0.45 ) = F( 2.98) = 1 F(2.98) = 1 0.9986 = 0.0014. (c) Beräkna systemets felsannolikhet om vi antar att styrkan och lasten är korrelerade med korrelationskoefficient 0.5. Cov(S, R) = r(s, R) V(S) V(R) = 0.5 0.3 2 0.6 2 = 0.09, V(R S) = V(R) + ( 1) 2 V(S) + 2 ( 1) Cov(S, R) = 0.6 2 + 0.3 2 + 2 ( 1) ( 0.09) = 0.63, h(s, R) = R S N(2, 0.63)
Definition Styrka Ex: Styrka och last (forts) (c): 0.7 0.6 0.5 R S: oberoende R S: korrelerade 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0 1 2 3 4 5 vilket ger P f = P(h(S, R) < 0) = P(R S < 0) = F( 0 2 0.63 ) = F( 2.52) = 1 F(2.52) = 1 0.9941 = 0.0059.
Definition Styrka Ex: Styrka och last (forts): Det är kanske mer rimligt att anta att både last och styrka har en skev fördelning istället för normalfördelning, t.ex. lognormalfördelning. (d) Antag istället att styrkan är lognormalfördelad med median 5 och variationskoefficient 0.1 medan lasten är lognormalfördelad med variationskoefficient 0.2 och en median som är 60 % av medianen hos styrkan. Dessutom är logaritmen av styrkan och logaritmen av lasten korrelerade med korrelationskoefficient 0.5. Beräkna felsannolikheten.
Egenskaper Styrka Lognormalfördelning: En s.v. X är lognormalfördelad om ln X är normalfördelad. För en lognormalfördelad variabel X med ln X N(m, s 2 ) så gäller E(X) = e m+s2 /2 V(X) = e 2m (e 2s2 e s2 ) D(X) = e m e 2s2 e s2 = e m+s2 /2 e s2 1 Observera att parametrarna m och s inte är väntevärde respektive standardavvikelse för X. Medianen för X är e m. Variationskoefficienten blir R(X) = D(X) E(X) = e s2 1 vilket ger s = ln(1 + (R(X)) 2 )
Egenskaper Styrka Lognormalfördelning (forts) Lognormalfördelningar 1.4 1.2 1 0.8 0.6 ln X N(0, 1 2 ) ln X N(0, 2 2 ) ln X N(1, 0.5 2 ) ln X N(1, 1 2 ) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Egenskaper Styrka Ex: Styrka och last (forts) (d): Median och variationskoefficient för lognormalfördelningar ger e R = 5 mr = ln 5 1.61, s 2 R = ln(1 + (R(R))2 ) = ln(1 + 0.1 2 ) 0.1 2, s 2 S = ln(1 + (R(S))2 ) = ln(1 + 0.2 2 ) 0.2 2, e m S = 0.6 e m R = 0.6 5 = 3 ms = ln 3 1.10 1 0.8 R: styrka S: last 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Egenskaper Styrka Ex: Styrka och last (forts) (d): Vi har nu att systemet går sönder om R < S R S < 1 ln R S < ln 1 ln R ln S < 0. Vi har alltså en ny felfunktion: h(s, R) = ln R ln S, med V(ln R ln S) = V(ln R) + ( 1) 2 V(ln S) + 2 ( 1) Cov(ln R, ln S), = 0.1 2 + 0.2 2 + 2 ( 1) ( 0.5 0.069, h(s, R) = ln R ln S N(ln 5 ln 2, 0.069) = N(0.51, 0.069) 0.1 2 0.2 2 )
Egenskaper Styrka Ex: Styrka och last (forts) (d): 2 1.5 h(s,r) = ln R ln S Felsannolikheten 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 vilket ger P f = P(h(S, R) < 0) = P(ln R ln S < 0) = F( 0 0.51 0.069 ) = F( 1.95) = 1 F(1.95) = 1 0.974 = 0.026.
Kedja Exempel: En kedja är inte starkare än sin svagaste länk Påfrestningen (enhet kn) som en länk tål är en stokastisk variabel som är Rayleighfördelad med frekvensfunktionen f(x) = 1 4 xe x2 /8, x > 0 Vad är sannolikheten att en kedja som består av 4 länkar brister om den utsätts för belastningen 0.5 kn? Lösning: Vi har fyra oberoende styrkor R 1, R 2, R 3, R 4 och systemet går sönder om min(r 1, R 2, R 3, R 4 ) < 0.5 h(r 1, R 2, R 3, R 4 ) = min(r 1, R 2, R 3, R 4 ) 0.5 < 0 Vi behöver fördelningen för min(r 1, R 2, R 3, R 4 )!
Kedja Ex: Kedja (forts): Vi har F min (x) = P(min(R 1, R 2, R 3, R 4 ) x) = 1 P(min(R 1, R 2, R 3, R 4 ) > x) = 1 P(R 1 > x) P(R 2 > x) P(R 3 > x) P(R 4 > x) ( ) 4 = 1 f R (u) du x ( ) 1 4 = 1 /8 x 4 ue u2 du = 1 ([ e ] ) 4 u2 /8 = 1 (e ) 4 x2 /8 = 1 e x2 /2. Minimum blir också Rayleigh-fördelat! x
Kedja Ex: Kedja (forts): 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 En länk Kedja med 4 länkar P f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P f = P(h(R 1,..., R 4 ) < 0) = P(min(R 1,..., R 4 ) 0.5 < 0) = P(min(R 1,..., R 4 ) < 0.5) = F min (0.5) = 1 e 0.52 /2 = 0.1175