Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 den 1 april 005 Uppgift 1: Från ett register över manliga patienter med diabetes fick man följande statistik i procent: Lindrigt fall Allvarligt fall Patientens Någon förälder med diabetes Någon förälder med diabetes ålder ja nej ja nej Under 40 år 15 10 8 Över 40 år 15 0 0 10 Anta att en patient väljs ut slumpmässigt. Låt händelserna A, B och C definieras av A = Patienten är ett allvarligt fall B = Patienten är under 40 år C= Någon av patientens föräldrar har diabetes a) Är händelsen att patienten är ett allvarligt fall beroende eller oberoende av att någon av föräldrarna har diabetes (enligt ovanstående tabell)? b) Beräkna följande 3 sannolikheter och beskriv i ord vad de betyder 1) P(A C B C ) ) P(A C B C ) 3) P(A C B C C ) (8 poäng) Uppgift : Antalet sålda spinnspön för havsfiske per dag i en speciell sportaffär kan beskrivas av följande sannolikhetsfördelning: Antal sålda Sannolikhet 0 0.5 1 0.3 0. a) Beräkna väntevärde och varians för antal sålda spinnspön per dag. b) Vad är sannolikheten att det säljs minst 53 spinnspön under en 64-dagars period? (6 poäng) Uppgift 3: I ett reklaminslag i USA uppgavs att 75% av alla skolungdomar använde ryggsäck (för att bära skolmaterial till och från skolan). För att undersöka om detta påstående var sant tillfrågades 980 ungdomar. Av dessa använde 7% ryggsäck. Genomför beräkningar så att man kan avgöra om påståendet i reklaminslaget är sant eller ej. (5 poäng)
Uppgift 4: I en artikel i Solid State Technology beskrivs ett faktorförsök som användes vid utveckling av en etsningsprocess med nitrid. I processen användes C F 6 som reaktionsgas. Man kunde variera avståndet mellan anod och katod, A trycket i reaktorkammaren, B, gasflödet, C, och effekten på katoden, D. Följande nivåer användes i försöken A B C D Faktornivå (cm) (m Torr) (SCCM) (W) Låg ( ) 0.80 450 15 75 Hög ( + ) 1.0 550 0 35 Många responsvariabler skulle vanligtvis vara av intresse i denna process men i denna uppgift koncentrerar vi oss på etsningsgraden för kiselnitrid mätt i Ångström per minut. Med hjälp av de erhållna försöken beräknades följande effekter A = 101.65 AB = 7.875 BD = 0.65 ACD = 5.65 B = 1.65 AC = 4.875 CD =.15 BCD = 5.375 C = 7.375 AD = 153.65 ABC = 15.65 ABCD = 40.15 D = 306.15 BC = 43.875 ABD = 4.15 M = 776.063 a) Vad betyder A = 101.65? Förklara med vanliga ord så att en tänkbar uppdragsgivare skulle förstå. b) Använd ovanstående resultat till att beräkna ett 95%-igt referensintervall. (4 poäng) Uppgift 5: I ett fullståndigt 3 -faktorförsök ville man undersöka effekten av 3 faktorer A, B och C. För att kunna göra en bättre analys kompletterade man med 3 försök i centrumpunkten. Resultatet blev enligt nedan: Försöksordning A B C resultat 7 - - - 4 3 + - - 9 1 - + - 1 6 + + - 16 4 - - + 1 5 + - + 13 - + + 8 + + + 1 9 M M M 7 10 M M M 4 11 M M M 3 Fortsättning uppgift 5 på nästa sida
Fortsättning uppgift 5: Följande effekter beräknades: l A = 15.75 l B = 5.5 l C = 3.75 l AB =.5 l AC = 0.75 l BC = 0.5 l ABC = 0.5 a) Beräkna ett referensintervall och avgör vilka effekter som är signifikanta. b) Beskriv försöksresultatet med hjälp av en matematisk formel. c) Genomför en residualanalys och avgör om de antaganden man gör på försöksresultaten är uppfyllda. (8 poäng) Uppgift 6: I ett 4 -faktorförsök behövde man korta ner tiden för försökens genom-förande. Ett lämpligt sätt att göra detta är att använda blockning. Man beslöt att försöken skulle genomföras av olika operatörer med hjälp av olika maskiner. Hjälp till att genomföra blockningen så att beräkning av huvudeffekter och faktor-samspel inte påverkas av blockningen. Ange vilka försök som skall genomföras av respektive operatör och vilken maskin han/hon skall använda. Till din hjälp finns en 4 -designmatris som bilaga till tesen. (4 poäng) Uppgift 7: För ett serietillverkat, relativt komplext system, följer man upp antalet driftstörningar under de tre första månaderna efter installation hos kund. Efter de trettio första installerade systemen har följande data erhållits: System nr 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Antal driftstörn. 3 4 0 0 1 1 System nr 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Antal driftstörn. 1 3 4 5 4 3 1 0 1 System nr 1 3 4 6 7 8 9 30 Antal driftstörn. 3 3 5 1 0 1 6 4 Upprätta ett lämpligt kontrolldiagram. Är processen under statistisk kontroll? (6 poäng)
Uppgift 8: Vid en viss tillverkningsprocess hade man toleransgränserna T u = 130 mm och T ö = 170 mm på en viss kvalitetsvariabel. För att studera processens kapabilitet tog man ut 15 enheter och mätte det aktuella måttet på dessa. Man erhöll följande värden: 13 134 141 144 137 150 145 140 136 144 15 130 134 145 136 a) Lägg in mätvärdena på ett normalfördelningspapper. (Finns bifogat till tesen). b) Hur stor andel av produktionen kan man förvänta sig faller utanför respektive toleransgräns? c) Skatta med hjälp av normalfördelningspapperet processens medelvärde och standardavvikelse. d) Skatta processens kapabililtetsindex; C p, och korrigerade kapabilitetsindex, C pk, med hjälp av uppgifterna i c-uppgiften. Om du inte har löst denna, gör ett rimligt antagande om värdena på medelvärdet och standardavvikelsen, (7 poäng)
Lösningar till Tillämpad Matematisk statistik den 1/4-05 Uppgift 1: A = Patienten är ett allvarligt fall B = Patienten är under 40 år C= Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + 0 + 10 15 + 15 + 8 + 0 a) P(A) = = 0.4 och P(C)= = 0.58 100 100 8 + 0 d.v.s. P(A) P(C) = 0.4 0.58 = 3 medan P(A C) = = 0.8 100 d.v.s. A och C är beroende b) 1) P(A C B C 15 + 0 ) = P(patienten är ett lindrigt fall över 40 år) = = 0.35 100 ) P(A C B C ) = P(patienten är inte ett allvarligt fall under 40 år) = = 1 P(A B) = 1 0.10 = 0.90 3) P(A C B C C ) = P(patienten är ett lindrigt fall under 40 år vars föräldrar inte har diabetes) = 0.10 Uppgift : ξ = antal sålda spinnspön i i ) i= 0 i P( ξ xi ) i= 0 a) E(ξ) = x P( ξ = x = 0 0.5 + 1 0.3 + 0. = 0.7 Var(ξ) = x = [E(ξ) ] = 0 0.5 + 1 0.3 + 0. 0.7 = 0.61 b) η = ξ 1 + ξ +. + ξ 64 E(η) = E(ξ 1 ) + E(ξ ) +. + E(ξ 64 ) = 64 0.7 = 44.8 Var(η) = Var(ξ 1 ) + Var(ξ ) +. + Var(ξ 64 ) = 64 0.61 = 39.04 Eftersom n > 30 så resultatet från centrala gränsvärdessatsen användas, d.v.s. normalapproximation kan användas. η är ungefär N(44.8, 39. 04 ) 53 44.8 P(η 53) = 1 P(η<53) = 1 P(Z< ) 1 P(Z<1.31 ) 1 0.9049 = 39.04 0.0951
Uppgift 3: ξ = antalet i urvalet som använder ryggsäck ξ är Bin(n, p) = Bin(980, 0.7) Ett 95%-igt konfidensintervall för p: pˆ p(1 p) ± 1.96 n 0.7 0.75 0.5 ± 1.96 0.7 ± 0. 07 [0.693, 0.747] 980 Eftersom 0.75 (d.v.s. den andel som angavs i reklaminslaget) inte ligger i intervallet så tror vi inte att påståendet är sant. Uppgift 4: a) A = 101.65 betyder att när man ändrar avståndet mellan anod och katod från 0.80 cm till 1.0 cm så kommer etsningsgraden för kiselnitrid i genomsnitt att minska med 101.65 Ångström per minut. b) s effekt =.5686 ( 15.65) + 4.15 + 5.65 5 + ( 5.375) + ( 40.15) Ett 95%-igt referensintervall bildat av en t-fördelning med 5 df: 0 ±.57.57 0 ± 58. Uppgift 5: a) De tre observationerna i centrumpunkten används till att göra en beräkning av s. (7 + 4 + 3) 7 + 4 + 3 s = 3 = 4. 3333 3 1 med df ett 95%-igt referensintervall: 0 ± t s N 0 ± 4.303 4.3333 8 0 ± 6.33 Endast effekten av A är signifikant.
b) l A ŷ = l M + x A där lm beräknas på de 8 observationerna som inte ligger i centrumpunkten 1 l M = ( 4 + 9 1+ 16 1+ 13 + + 1 ) = 6.875 8 ŷ = 6.875 + 15.75 x A c) försöksordning y ŷ ε = y ŷ. 7 4 6.875 7.875 = 1 4 + 1 = 3 3 9 6.875 + 7.875 = 14.75 9 14.75 = 5.75 1 1 6.875 7.875 = 1 1 + 1 = 0 6 16 6.875 + 7.875 = 14.75 16 14.75 = 1.5 4 1 6.875 7.875 = 1 1 + 1 = 0 5 13 6.875 + 7.875 = 14.75 13 14.75 = 1.75 6.875 7.875 = 1 + 1= 3 8 1 6.875 + 7.875 = 14.75 1 14.75 = 6.5 residualer 6,5 3,00 1,5 0,00-1,75-3,00-5,75 Residualplot ε = -1.77 + 0.39x Plotten visar att residualerna mycket väl kan vara oberoende normalfördelade med samma varians. Däremot verkar det som om det finns en svag tidstrend i materialet. Om detta är sant eller ej är svårt att avgöra eftersom det är så få observationer. 0 1 3 4 5 6 7 8 9 försöksordning Uppgift 6: Använd t.ex. teckenkolumnerna för BCD och ABCD BCD används till maskinisterna. Om det finns i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskinist 1. Om det finns + i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskinist. ABCD används till maskinerna. Om det finns i teckenkolumnen så skall försöket genomföras på maskin 1. Om det finns + i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskin. Fortsättning uppgift 6 på nästa sida
fortsättning uppgift 6: Vi ställer nu samman ovanstående: Maskinist 1 på maskin 1: de försök med BCD = - och ABCD = - d.v.s. försök, 8, 1, 14 Maskinist 1 på maskin : de försök med BCD = - och ABCD = + d.v.s. försök 1, 7, 11, 13 Maskinist på maskin 1: de försök med BCD = + och ABCD = - d.v.s. försök 3, 5, 9, 15 Maskinist på maskin : de försök med BCD = + och ABCD = + d.v.s. försök 4, 6, 10, 16 Uppgift 7: Antalet driftstörningar per system under de 3 första månaderna är Poissonfördelat med λ a) λ uppskattas med c = genomsnittligt antal driftstörningar / system 1 68 c = ( + 3 + 4 +.. + 6 + 4 ) = 30 30 68 68 K ö = + 3 6.753 30 30 68 CL =.67 30 68 68 K u = 0 (eftersom 3 < 0 ) 30 30 b) Processen är under statistisk kontroll eftersom alla observationer ligger innanför kontrollgränserna. Uppgift 8: a) Rangordna observationerna Obs nr 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Värde 130 13 134 134 136 136 137 140 141 144 Obs nr 11 1 13 14 15 Värde 144 145 145 150 15 Det bifogade normalfördelningspapperet har redan en färdig hjälpskala på y- axeln för 15 observationer. Fortsättning uppgift 8 på nästa sida
Fortsättning uppgift 8: Normalfördelningsplot Kumulerade normalfördelningsvärden 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 18 130 13 134 136 138 140 14 144 146 148 150 15 154 T u Rangordnade värden b) I normalfördelningsplotten är den nedre toleransgränsen, T u, inritad på x- axeln. Därefter speglas T u i y-axeln med hjälp av linjen. På y-axeln avläses värdet 0.08. Det betyder att vi förväntar oss att 8 % av de tillverkade enheterna kommer att ligga under nedre toleransgränsen. Den övre toleransgränsen finns inte med på x-axeln i diagrammet. Därför förväntar vi oss att 0,000% av tillverkningen kommer att falla över den övre toleransgränsen. c) Kumulerade normalfördelningsvärden 0,99 0,98 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,01 Normalfördelningsplot 14 18 13 136 140 144 148 15 156 -s µ s fortsättning uppgift 8 på nästa sida
fortsättning uppgift 8: Från normalfördelningsplotten erhålles värdena µ s = 16.8, µ = 140 och µ + s = 153. 153. 16.8 Detta ger µ = 140 och σ = 6. 6 4 Tö Tu 170 130 d) C p = = 1. 01 6σ 6 6.6 M µ 150 140 CM = = = 0. 5 (Tö Tu ) (170 130) C pk = C p (1 CM) = 1.01 (1 0.5) = 0.505 Medelvärde: 140.0 Standardavvikelse: 6.6 Specifikation: Tu = 130 Målvärde = 150 Tö = 170 Cp = 1.01 Cpk = 0.505-3s Tu Målvärde +3s Tö 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 Frekvens 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 0,0 10 15 130 135 140 145 150 155 160 165 170