De fyra räknesätten förankrade hos eleverna i årskurs 9?

School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI De fyra räknesätten förankrade hos eleverna i årskurs 9? Carolina Segerström Nalin Unsal Jan 26 MSI Report 67 Växjö University ISSN 165-2647 SE-351 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/--67/--SE

Examensarbete 1 poäng i Lärarutbildningen Höstterminen 25 ABSTRAKT Carolina Segerström & Nalin Unsal De fyra räknesätten förankrade hos eleverna i årskurs 9? The four calculating methods established among students in grade 9? Antal sidor: 66 Vi har undersökt vilka räknefärdigheter en grupp elever i årskurs 9 på en skola i Växjö har i addition, subtraktion, multiplikation och division. Vi har avgränsat studien till att behandla de naturliga talen och decimaltalen. De metoder, kunskaper och de svårigheter som åskådliggjorts har vi redovisat. Vi har även tagit reda på elevernas begreppsförståelse kring de fyra räknesätten. Vårt resultat bygger på en kvalitativ metod som består av ett test och två kompletterande intervjuer. Vi kan av vår undersökning se att den metod som gav flest korrekta lösningar var traditionella algoritmuppställningar medan skriftlig huvudräkning oftare gav fel svar. Eftersom vi valde ut två elever från testet med varierande kunskaper och svårigheter, fann vi en intressant koppling till deras olika begreppsförståelse och hållning till ämnet matematik. Sökord: Addition, subtraktion, multiplikation, division, metoder och svårigheter. Postadress Gatuadress Telefon Växjö universitet Universitetsplatsen 47-7 8 351 95 Växjö

Innehållsförteckning 1 Inledning..3 2 Syfte och frågeställningar..4 2.1 Syfte..4 2.2 Frågeställningar.4 2.3 Avgränsningar...4 3 Teoretisk bakgrund 5 3.1 Språk och begreppsbildningens betydelse i matematikinlärningen..5 3.1.1 Språklig kompetens + erfarenheter = begreppsbildning...5 3.1.2 Vygotskij om språkets betydelse i inlärningsprocessen 7 3.2 Definition av några matematiska begrepp och skriftlig huvudräkning 7 3.3 Addition och subtraktion..8 3.3.1 Lösningsmetoder med algoritmer och skriftlig huvudräkning.9 3.4 Multiplikation och division 12 3.4.1 Lösningsmetoder med algoritmer och skriftlig huvudräkning...12 3.5 Feltekniker och svårigheter 16 3.5.1 Addition och subtraktion 16 3.5.2 Multiplikation och division 17 4 Metod 19 4.1 Metodisk ansats..19 4.2 Urval...2 4.2.1 Presentation av de intervjuade eleverna.2 4.3 Genomförande och bearbetning.21 4.4 Etiska överväganden..22 5 Resultat.23 5.1 Resultat av elevernas räknefärdigheter i addition..23 5.1.1 Addition med heltal 23 5.1.2 Addition med decimaltal 24 5.2 Resultat av elevernas räknefärdigheter i subtraktion.25 5.2.1 Subtraktion med heltal...25 5.2.2 Subtraktion med heltal och decimaltal...26 5.2.3 Subtraktion med decimaltal...27 5.3 Resultat av elevernas räknefärdigheter i multiplikation.28 1

5.3.1 Multiplikation med heltal (1-siffrig faktor och 2-siffrig faktor)..28 5.3.2 Multiplikation med heltal (2-siffrig faktor och 3-siffrig faktor)..29 5.3.3 Multiplikation med decimaltal.3 5.4 Resultat av elevernas räknefärdigheter i division 31 5.4.1 Division med heltal (1-siffrig nämnare)..31 5.4.2 Division med heltal (2-siffrig nämnare)..32 5.4.3 Division med decimaltal..33 5.5 De fyra räknesätten i vardagssituationer..34 5.5.1 Addition och Subtraktion.34 5.5.2 Multiplikation och division..35 5.6 Resultat av intervjuerna...36 5.6.1 Hållning till ämnet matematik.36 5.6.2 Vad innebär begreppen addition, subtraktion, multiplikation och division? 36 5.6.3 Lösningsmetoder och feltyper.37 6 Analys 41 6.1 Analys av testresultatet i klass 9.41 6.1.2 De fyra räknesätten i vardagssituationer.43 6.2 Två elever med olika förutsättningar..44 6.2.1 Två elevers begreppsförståelse och språk...44 6.2.2 Vad tycker eleverna om ämnet matematik? 45 6.2.3 Kunskaper och svårigheter i addition.46 6.2.4 Kunskaper och svårigheter i subtraktion 46 6.2.5 Kunskaper och svårigheter i multiplikation...47 6.2.6 Kunskaper och svårigheter i division.48 7 Diskussion och slutsatser 5 8 Källförteckning 54 Bilagor 1-4...55 2

1 Inledning Matematik är ett levande ämne som rymmer kreativitet, nyfikenhet och inspiration. Det finns inte bara tusen förklaringar till elevernas framgång i matematik, utan det finns också tusen metoder att nå framgång med. Dessa tillsammans skapar en helhet i det matematiska tänkandet. För oss är det viktigt att man bygger matematiken på en bra grund, som eleverna får tid och stöd till att befästa. Under vår verksamhetsförlagda utbildning på högstadiet/gymnasiet har vi sett stora brister och dåliga räknefärdigheter i de fyra räknesätten, som för oss bildar grunden i matematik. Enligt kursplanen i matematik skall eleverna i slutet av nionde skolåret ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att beskriva och hantera situationer samt att lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle. Vi har sett många exempel på elever som saknar grunderna i matematik och som därmed kommer att få svårigheter med att hantera vardagliga situationer där matematikkunskaper behövs. Enligt Nationalencyklopedin (25) definieras de fyra räknesätten som de matematiska operationerna addition, subtraktion, multiplikation och division. Utifrån denna definition kommer vår undersökning att ta form. Som lärare är det viktigt att veta vilka kunskaper och svårigheter som eleverna visar inom ämnet matematik. För att man som lärare ska kunna hjälpa eleverna att förvärva sig nya kunskaper, bör man känna till eventuella hinder som står i vägen för lärandet. För barn som saknar möjligheter att utveckla elementära basfärdigheter såsom skriva, läsa, räkna och tala, som är en viktig förutsättning för att verka i samhället, kan följden bli att barnet får svårt att förstå, förklara och påverka sin verklighet. Vi ser det som angeläget att göra en studie som behandlar elevernas räknefärdigheter i de fyra räknesätten. Studien kommer att genomföras i en nionde klass på en kommunal högstadieskola i Växjö. Vi vill ta reda på vilka metoder, kunskaper, svårigheter och begreppsförståelse eleverna har i de fyra räknesätten. En del kunskaper skall, enligt kursplanen i matematik, ha förvärvats redan i slutet av femte skolåret. Eleverna skall i slutet av femte skolåret; förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division [ ] samt kunna räkna med naturliga tal - i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare, För lärare är det intressant och av stor vikt att identifiera elevernas räknefärdigheter och begreppsbildning, för att eleverna ska nå fortsatt framgång i matematik. 3

2 Syfte och frågeställningar 2.1 Syfte Syftet med vår studie är att undersöka vilka räknefärdigheter en grupp elever i årskurs 9 på en skola i Växjö har i addition, subtraktion, multiplikation och division. De metoder, kunskaper och de svårigheter som åskådliggörs kommer vi att redovisa. Vi vill även ta reda på elevernas begreppsförståelse kring de fyra räknesätten. 2.2 Frågeställningar Vårt syfte mynnar ut i följande frågeställningar: Vilka metoder använder eleverna vid räkning med naturliga tal och decimaltal med addition, subtraktion, multiplikation och division? Vilka kunskaper och vilka svårigheter finner vi hos eleverna vid räkning med de fyra räknesätten? Vilken förståelse har eleverna för begreppen addition, subtraktion, multiplikation och division? 2.3 Avgränsningar Vi har valt att avgränsa studien till att behandla de naturliga talen och decimaltalen. Vi kommer inte heller att undersöka hur kunskaperna och svårigheterna i de fyra räknesätten påverkar andra delmoment inom ämnet matematik. 4

3 Teoretisk bakgrund 3.1 Språk och begreppsbildningens betydelse i matematikinlärningen Gapet mellan den formella skolmatematiken och elevernas bakgrundskunskaper kan ibland vara mycket stort. Barnens möte med skolmatematiken kan därför framstå som problematisk. Gudrun Malmer (199, 1999, 22) har särskilt betonat språkets stora betydelse för såväl begreppsbildningen i matematik som för utvecklingen av det logiska tänkandet. Här får Gudrun Malmer stöd av Bertil Gran (1998), som också lyfter fram språkets betydelse i matematiken. Detta ser vi som en central teoretisk utgångspunkt för att förstå vårt resultat. En av de främsta ryska teoretikerna var Lev Vygotskij (1896-1934). Vygotskijs teori har fått gehör i psykologi i väst och används mycket i pedagogiska sammanhang. Gunn Imsen (2) har sammanställt Vygotskijs tankar och teorier om inlärningsprocessen och språkets betydelse. Som blivande pedagoger känns det naturligt att presentera en känd teori - en abstrakt modell av verkligheten. 3.1.1 Språklig kompetens + erfarenheter = begreppsbildning Malmer (199) skriver att språket är det viktigaste redskapet när det gäller tänkandet. Hon menar att det är ett nödvändigt medel för att bygga upp och utveckla begrepp om matematiska förhållanden. Det muntliga samtalet mellan elev och lärare har även stor betydelse, genom ordvalet och sättet att uttrycka sig kan man ta reda på mycket om elevens tankestrukturer och hur han/hon uppfattat eller missförstått det aktuella problemet. Hon konstaterar att det är viktigt att man ser till att eleverna uttrycker sina tankar i ord. Detta ses som ett tillfälle för eleverna att komma i kontakt med sitt tänkande, vilket gör de medvetna om inte bara vad de vet, utan också hur de vet det. Språket har stor betydelse både muntligt och skriftligt för bildandet av tankestrukturer (Malmer, 199). Många elever uppfattar matematiken som ett främmande språk, som man har mycket svårt att förstå. En del elever tror rent av att det är ett slags skolspråk. Kommer de bara ut ur skolan, så slipper de plågas av matten längre (Malmer, 199). Ofta ställs man inför frågor som: Varför skall vi lära oss detta? Vad har vi för nytta av detta? Man kan då konstatera precis som Gran (1998) gör att eleverna saknar motiv för lärandet och därför heller inget lär. Att eleverna har ett motiv eller ett incitament för sitt lärande är ett grundläggande villkor för verklig inlärning. Det är få elever som finner intresse inför en allt formellt utformad matematikundervisning. 5

Malmer (1999, 22) beskriver olika inlärningsnivåer i matematik. Malmer menar att eleverna inte får tillräckligt med tid och stöd för att befästa grundläggande begrepp. Som ett resultat av många års erfarenhet har Malmer i koncentrerad form beskrivit ett antal inlärningsnivåer, som bör beaktas och bli föremål för undervisningen. Malmer avslutar med att poängtera att erfarenheter i kombination med språklig kompetens är nödvändiga förutsättningar för begreppsbildning (Malmer, 1999, 22). Nivå 1. Tänka-tala Det är viktigt att anpassa undervisningen till elevernas verklighet och ta vara på de erfarenheter som eleverna redan har. Man ska arbeta på ett sådant sätt att eleverna ska få tillfälle att utöka sitt ordförråd. Eleverna måste öva upp sin förmåga att själva undersöka, upptäcka och uppleva. Nivå 2. Göra-pröva Eleverna ska arbeta med laborativa material på ett undersökande sätt. Detta arbete ska självklart vara väl genomtänkt. Med hjälp av detta arbete skapar eleverna ett inre bildarkiv som ledder till att eleverna utvecklar sitt logiska tänkande och finner lösningsmetoder. Det eleverna får arbeta med, ta i och på ett kreativt sätt hantera, har väsentligt större förutsättningar att bidra till att de blir delaktiga i den pågående process som en inlärning innebär. Nivå 3. Synliggöra För att nå vägen till det abstrakta symbolspråket hjälper det ofta eleverna att få strukturera sina tankar i en representationsform som de själva väljer. Detta är viktigt då de får se hur hållfasta deras tankegångar är. Här sker en djupbearbetning av problemet på egen hand och utifrån egna erfarenheter. Nivå 4. Förstå-formulera Enligt Malmer (1999, 22) är det vanligt att läraren startar direkt på denna nivå, med hänvisning till knapphet i tid. Det abstrakta symbolspråket är oftast svårt för eleverna att förstå därför att de saknar ord för dessa och har inga förutsättningar. Därför blir symbolspråket för dem ett helt främmande språk. Begreppsbildningen försvåras med en svag språklig medvetenhet. Här ligger stor betydelse i det pedagogiska konsten, dvs. vilken förmåga läraren har för att överföra stoffet till en för dem lämpligt tonart. Många elever har bra memoreringsförmåga då de lär sig mönster och modeller men har ingen förståelse för varför de gör si eller så. När innehållet blir svårare räcker det inte med bara memorering. Många barn kan lösa logiskt krävande exempel bara de inte behöver redovisa det formellt matematiskt. 6

Nivå 5. Tillämpning Produkten av lärandeprocessen är kunskap. Om man inte har förståelse kan inte kunskap tillämpas i nya och förändrade moment. Följden kan bli att eleverna försöker memorera, kopiera och reproducera och om det inte går lösa uppgifterna på dessa sätt upplever eleverna att uppgifterna är alldeles för svåra och ger upp utan att ens försöka lösa dem. Nivå 6 Kommunikation Genom att låta matematiken integrera med andra ämnen kan man få eleverna att förstå hur viktig matematiken är inom alla ämnen. Därför måste vi genom att hämta verklighetsförankrade exempel från olika ämnesområden, belysa matematikens stora betydelse. På så sätt kan man få fler elever att bli engagerade och intresserade. Eleverna ska få upptäcka och uppleva hur spännande matematiken kan vara och bryta den negativa inställningen till matematiken (Malmer, 1999, 22). 3.1.2 Vygotskij om språkets betydelse i inlärningsprocessen En central poäng hos Vygotskij är att all intellektuell utveckling och allt tänkande tar sin utgångspunkt i social aktivitet. Vygotskij menar att språket är vårt viktigaste redskap i processen socialisering. Språket och handlingen är delar av samma situation och fyller tillsammans en funktion. Ju mer komplex situationen är desto viktigare är det att barnet kan använda språket för att kunna klara uppgiften. Till att börja med är språket alltså en ren social aktivitet, men efterhand splittras språkfunktionen till ett socialt språk att kommunicera med och ett egocentriskt inre tal som underlag för tanken. På så sätt blir språket en nödvändig förutsättning för den intellektuella utvecklingen. Språket bestämmer därigenom hur man tänker och hur man uppfattar världen (Imsen, 2). 3.2 Definition av några matematiska begrepp och skriftlig huvudräkning För att ge en tydligare bild för läsaren har vi valt att ge följande definitioner av de fyra räknesätten, algoritmräkning, naturliga tal och decimaltal utifrån Nationalencyklopedin (25). Skriftlig huvudräkning definieras av Göran Emanuelsson, Bengt Johansson och Ronnie Ryding (1991). Addition är en fundamental matematisk operation vid vilken olika talvärden räknas samman till en summa. Två eller flera tal, addender eller termer, adderas till en summa. Mellan termerna skrivs plustecken: a+b=s. 7

Subtraktion är en räkneoperation som innebär att ett tal minskas med ett annat tal. I subtraktionen 8-3 kallas 8 minuenden, 3 subtrahenden och resultatet 5 skillnaden eller differensen. Multiplikation är en matematisk operation varigenom ett tal x, multiplikanden, multipliceras med ett annat tal m, multiplikatorn. Resultatet kallas produkt. Om m är ett positivt heltal innebär multiplikation upprepad addition. Division är en räkneoperation i syfte att finna hur många gånger en viss storhet innehålls i en annan Uppgiften är att för ett givet tal A (täljaren, dividenden) och ett annat tal B (nämnaren, divisorn) finna ett tal K (kvoten), så att A=B K. Algoritm ses inom matematik och databehandling som en systematisk procedur som i ett ändligt antal steg anger hur man utför en beräkning eller löser ett givet problem. Algoritmen anger de enskilda steg som skall tas för att lösa problemet. Naturliga tal är positiva heltal eller talet, dvs. något av talen, 1, 2, 3,...Decimaltal skrivs i decimalform som är ett representationssätt för reella tal. Till höger om heltalsdelen skrivs ett decimaltecken (i Sverige ett komma), följt av ändligt eller oändligt många siffror (decimaler), t.ex.,25. Skriftlig huvudräkning kännetecknas som att man skriver ner ett eller flera mellanled, som ger en enklare uträkning och att likhetstecken sätts mellan uttrycken, ex 46+37=7+13=83. 3.3 Addition och subtraktion Addition framställs ofta vid en introduktion som en situation som innebär ökning. Det finns några barn och det kommer fler. Man har ett antal pengar och får några till. Det förekommer till och med vissa särskilda plusord ord som innebär någon form av ökning. Här är det viktigt att eleverna mäter exempel som innebär sammanläggning. I dessa utökas antalet genom att man sammanför istället två (eller fler) delmängder till en mängd. Vid addition är det viktigt att påvisa den kommutativa lagen; a+b = b+a (Malmer, 1999, 22). Subtraktion sammankopplas ofta mycket tidigt med ord som ta bort, tappa, förlora o.s.v. I motsvarighet till addition, där ökning dominerar kan man se att minskning dominera i subtraktion. Tittar man på olika räknehändelser och de skilda tankeformer som leder fram till räknesättet subtraktion, så upptäcker man att flertalet av dem innebär jämförelse av olika slag. Det borde alltså vara betydelsefullt att se till att begreppet minskning inte dominerar (Malmer, 1999, 22). 8

Om man medvetet arbetar med att låta eleverna se sambandet mellan helheten och delarna så blir det även naturligt för eleverna att i tidig ålder se sambandet mellan addition och subtraktion (Malmer, 1999, 22). 3.3.1 Lösningsmetoder med algoritmer och skriftlig huvudräkning I detta avsnitt behandlar vi först additionsalgoritmen och subtraktionsalgoritmen med naturliga tal utifrån Wiggo Kilborns (1992) beskrivningar. Sedan följer ett kort avsnitt av Uno Kvist, Jan Larsson och Lars Strand (1987) som behandlar lösningsmetoder vid decimaltal. Sist redogör Birgitta Rockström (2) för skriftlig huvudräkning för både naturliga tal och decimaltal. Kilborn (1992) menar att den vanligaste algoritmen vid addition i svenska skolor är addition uppifrån, dvs att man läser siffrorna i tur och ordning uppifrån 3 6 2 1 5 6 +7 7 8 Vi börjar med entalskolumnen och räknar uppifrån och ner i samma ordning 2 + 6 + 8 = 16. Eftersom vi har passerat tiotalsgränsen, delar vi upp 16 i ett tiotal och sex ental. Entalet skrivs på summaraden och tiotalsettan som minnessiffra ovanför tiotalssexan: 1 3 6 2 1 5 6 +7 7 8 6 Vi fortsätter därefter med tiotalskolumnen, detta gör vi som om siffrorna i denna kolumn är ental. Alltså 1 + 6 + 5 + 7 = 19. Nio skrivs i summaraden och minnessiffran ett skrivs i hundratalskolumnen: 1 1 3 6 2 1 5 6 +7 7 8 9 6 Därefter är det bara hundratalskolumnen som återstår, 1 + 3 + 1 + 7 = 12. Resultatet förs ner i summaraden, där vi nu kan avläsa summan 1296: 1 1 3 6 2 1 5 6 +7 7 8 1 2 9 6 Vid lösning av subtraktion finner man fler lämpliga algoritmer. Här följer en beskrivning av den vanligaste, nämligen lånemetoden: 9

7 4 6-2 7 8 Vi börjar med att räkna i entalskolumnen 6 8, går inte. Vi lånar därför ett tiotal från tiotalssiffran 4. För att markera detta drar vi ett streck över 4. Ett tiotal växlas till tio ental som skrivs ovanför entalskolumnen. Då börjar vi om igen 1 + 6 = 16 och 16 8 = 8: 1 7 4 6-2 7 8 8 Nu förutsätter vi med tiotalskolumnen (4 1 = 3). 3 7 går inte, vi lånar ett tiotal från hundratalssiffran 7. Vi drar ett streck över 7. Ett hundratal växlas till tio tiotal som skrivs ovanför tiotalskolumnen, 1 + 3 = 13 och 13 7 = 6: 1 1 7 4 6-2 7 8 6 8 Nu går vi över till hundratalskolumnen (7 1 = 6). 6 2 = 4. Vi bokför fyran och konstaterar att differensen är 468 (Kilborn, 1992): 1 1 7 4 6-2 7 8 4 6 8 Vid addition och subtraktion med tal i decimalform har man samma algoritm som med hela tal. Decimaltecknen ska stå under varandra i uppställningen (Kvist, Larsson & Strand, 1987): 18,6 + 7,9 = 26,5 1 1 1 8, 6 + 7, 9 2 6, 5 1 1 1 5, 2 8-7, 6 5 7, 6 3 Grundprincipen i skriftlig huvudräkning vid addition är att räkna varje talsort för sig. Här börjar man med den största talsorten: 67 + 38 = 9 + 15 = 15 hundratalen + tiotalen + entalen 1

Skriftlig huvudräkning kan lösas på ett annat sätt, särskilt om talen är flersiffriga. Om den ena termen är nära ett helt hundratal, tusental osv. så kan man flytta över ental, från den ena termen till den andra: 699 + 247 = 7 + 246 = 946 1 ental flyttas från 247 till 699 Grundprincipen vid subtraktion är som den som vid addition, nämligen att varje talsort räknas för sig: 584 261 = 5 2 + 8 6 + 4 1 = 3 + 2 + 3 = 323 Subtraktion innebär inte bara ta bort, utan också skillnad. Om talet som ska subtraheras är nära ett tiotal, hundratal osv., kan man förenkla uträkningen genom att öka båda termerna med samma tal. Observera att skillnaden mellan talen är fortfarande densamma: 584 198 = 586 2 = 386 både termerna ökas med 2 När skillnaden mellan talen är liten är det lämpligt att använda sig av utfyllnadsmetoden: 584 575 = 5 + 4 = 9 utfyllnad från 575 till 584 Utfyllnadsmetoden har man störst nytta av när skillnaden mellan talen är liten. För att stimulera eleverna till ett smidigt tänkande, så att de inte fastnar för bara ett sätt att tänka, kan man låta dem skriva olika mellanled till samma uppgift: 93 48 = 5 5 = 45 varje talsort för sig eller = 95 5 = 45 både termerna ökas med 2 eller = 2 + 43 = 45 utfyllnad från 48 till 5, till 93 När eleverna förstår och kan behärska de olika tankegångarna får de möjlighet att själva välja den tankegång som de tycker är enklast och säkrast beroende på hur uppgiften ser ut. Om eleverna får klargöra och förklara sina lösningar får de uttrycka sina tankar både i ord och matematiska symboler och kan upptäcka att det finns andra lösningar än den egna. En felaktig lösning ger också en bra anledning till samtal om vad som är fel och hur det kan rättas till. När man räknar med tal i decimalform följer man samma mönster som vid hela tal: 4,2 + 5,6 = 9,8 i huvudet 9 +,8 varje talsort för sig 39,8 + 45,5 = 4 + 45,3 = 85,3 flytta över tiondelar Om man ska addera flera termer, försöker man hitta kombinationer som är lätta att räkna i huvudet, t.ex. tiondelar eller hundradelar som tillsammans blir en hel. Man följer samma mönster vid subtraktion med tal i decimalform som vid hela tal. Arbetssättet både förutsätter och utvecklar elevens förståelse för värdet av decimalerna: 32,5 25,7 = 7, 2 = 6,8 varje talsort för sig eller = 32,8 26 = 6,8 både termerna ökas med,3 eller =,3 + 4 + 2,5 = 6,8 utfyllnad från 25,7 till 32,5 (Rockström, 2) 11

3.4 Multiplikation och division I den muntliga matematiken berättar barnen ofta räknehändelser som utgör exempel på både multiplikation och division. Framför allt gäller det vanliga exempel som berättelser om uppdelning i ett antal lika stora delar. Upptakten till multiplikation sker ofta som en upprepad addition. Samma tal upprepas ett visst antal gånger i en addition. Vid multiplikation är det viktigt att påvisa den kommutativa lagen (a b = b a) (Malmer, 1999, 22). Att se sambandet mellan multiplikation och division är viktigt. Det går ofta att använda samma räknesituationer som vid multiplikation, men låta exemplen få ett divisionsinnehåll. Man ser då hur många gånger detta är möjligt. Division kan alltså ses som en innehållsberäkning, dvs. en upprepad subtraktion och därmed den direkta motsatsen till upprepad addition. Den andra tankegången i division är lika delning, där uttryck som delat med eller delat i används för divisionstecknet. Här anser Malmer (1999, 22) att vi bör använda det neutrala dividerat med för att undgå vissa negativa effekter. 3.4.1 Lösningsmetoder med algoritmer och skriftlig huvudräkning Här följer i tur och ordning algoritmer vid multiplikation och division med heltal som beskrivs av Wiggo Kilborn (1992). Därefter presenterar Uno Kvist m.fl. (1987) algoritmer vid multiplikation och division med decimaltal. Som avslutning följer olika metoder vid skriftlig huvudräkning med naturliga tal och decimaltal av Birgitta Rockström (2). Den vanligaste svenska metoden för multiplikation kan beskrivas med hjälp av distributiva lagen (a(b+c)=ab+ac). Både vid algoritmräkning och skriftlig huvudräkning kan man med hjälp av den distributiva lagen, reducera arbetet till ett antal del-multiplikationer. Man räknar först ut hur många ental, därefter tiotalen och hundratalen osv. Vi beräknar 247 5. Vi börjar med entalen, 5 7 = 35. Bokför entalet 5 och sparar 3 tiotal i minnet (minnessiffrans placering kan variera): 2 4 7 5 3 5 Vi fortsätter att multiplicera, 5 4 = 2. Vi räknar med minnessiffran och får 2 tiotal plus 3 (trean stryks) tiotal, vilket ger 23. Vi bokför 3 och håller 2 hundratal i minnet. 2 4 7 5 3 2 3 5 Vi tar slutligen 5 2 = 1. Plus 2 hundratal (tvåan stryks) och får 12 hundratal. Dessa bokförs direkt: 12

2 4 7 5 3 2 1 2 3 5 När man arbetar med två flersiffriga faktorer, såsom 26 147, brukar algoritmen bli svårare att förstå för eleverna. Detta beror dels på de invecklade turerna i räknandet, dels på att algoritmen sällan förankras i elevernas vardag. Beräkningen kan utföras på olika sätt. Man kan använda sig av delberäkningar med algoritmen, 2 147 och 6 147 (samma sätt som presenterats innan) 294 + 882 = 3822. En annan metod är att göra alla delberäkningar i ett svep men på ett mer begränsat utrymme. Här kan läsaren följa uträkningen med algoritmen på samma sätt som beskrivits ovan: 1 4 7 2 6 4 2 1 8 8 2 +2 9 4 3 8 2 2 De moderna divisionsalgoritmerna bygger på att man delar upp talen, i första hand täljaren, i ental, tiotal och hundratal, etc. Man utför därefter delberäkningar inom respektive talenhet, med början i de större talenheterna. Divisionen 861 / 7 kan utföras på följande sätt med kort division. Vi börjar med hundratalen. 8 i 7 ger 1, 7 1 = 7 hundratal. Ettan bokförs och 1 hundratal noteras på följande sätt: 1 8 6 1 = 1 7 Vi drar ett streck över åttan och skriver en etta ovanför. Därefter fortsätter vi med 16 (!) tiotal. 16 i 7 ger 2, 2 7 =14. Vi har alltså använt 14 av de 16 tiotalen och det är två kvar. Vi stryker alltså över 16 och skriver en två ovanför sexan: 1 2 8 6 1 = 12 7 Nu har vi 21 ental kvar. 21 i 7 ger 3. Trean bokförs, 3 7 = 21. Vi har använt 21 ental, varför de stryks över. Vi är nu klara och kvoten är 123: 1 2 8 6 1 = 123 7 Att tillägga här är att författaren använder ett delningstänkande. Kilborn (1992) skriver att 21 i 7 anses av vissa metodiker vara felaktigt. De anser att det bör heta 7 i 21 med motiveringen, att 7 går upp 3 gånger i 21 och använder då ett innehållstänkande. Det viktigaste är att det språk man väljer, har en klar innebörd och allra klarast blir det, om språket speglar en konkret handling (Kilborn, 1992). 13

Divisionen 861 / 7 kan utföras på följande sätt med lång division: 8 6 1 : 7 = Vi börjar med hundratalen. 7 i 8 ger 1 och 1 7 = 7. Vi har använt 7 hundratal och drar nu ifrån dessa från 8 hundratal vilket ger 8 7 = 1. Tillsammans med tiotalssexan som flyttas ned, ger detta 16 tiotal: 8 6 1 : 7 = 1-7 1 6 7 i 16 ger 2 och 2 7 = 14. Vi drar dessa från 16. 16 14 = 2. Tillsammans med 1 ental ger detta 21 ental: 8 6 1 : 7 = 1 2-7 1 6-1 4 2 1 7 i 21 ger 3 och 3 7 = 21. Vi drar 21 från 21, vilket ger och divisionen är klar. Kvoten blev 123 (Kilborn, 1992): 8 6 1 : 7 = 1 2 3-7 1 6-1 4 2 1-2 1 Vid multiplikation med decimaltal, får produkter lika många decimaler som faktorerna har tillsammans (Kvist m.fl., 1987): 7, 5 faktorerna har tillsammans en decimal, produkten 3 1 får då en decimal 2 2, 5 4,7 = 2,8 faktorerna har tillsammans en decimal. Produkten får då en decimal 2, 4 =,8 Vid division tänker du så här : 3 i 2 går gånger 3 decimaltecken 3 i 24 går 8 gånger, 42 =, 7 tänk så här : 6 i går gånger decimaltecken 6-6 i 4 går gånger 6 i 42 går 7 gånger Skriftlig huvudräkning med multiplikation kan skrivas som upprepad addition, lösningen kan se ut så här: 14

2 37 = 37 + 37 = 3 + 3 + 7 + 7 = 6 + 14 = 74 Här kan man upptäcka den distributiva lagen; varje talsort för sig. Den kan användas vid alla multiplikationer: 6 295 = 6 2 + 6 9 + 6 5 = 12 + 54 + 3 = 177 Ett annat sätt är att dela upp ett tal i två faktorer och tillämpa den associativa lagen: 4 35 = 2 2 35 = 2 7 = 14 5 624 = 5 2 312 = 1 312 = 312 Det första mellan ledet kan utelämnas när förståelsen ökat. Eleven tänker hälften dubbelt eller dubbelt hälften : 12 53 = 6 16 = 636 12/2 = 6 53 3 = 16 5 862 = 1 431 = 431 5 2 = 1 862/2 = 431 Vid skriftlig huvudräkning med division kan täljaren delas upp i lämpliga tal som man hittar i divisionstabellen: 81 / 3 = 75 / 3 + 6 / 3 = 25 + 2 = 27 eller 82 / 3 = 6 / 3 + 21 / 3 = 2 + 7 = 27 Ibland kan divisionen leda till subtraktion: 57 / 3 = 6 / 3 3 / 3 = 2-1 = 19 Det är enklare att dividera när nämnare är ett ensiffrigt tal. Ofta går det att få ensiffrig nämnare genom att förkorta eller förlänga uttrycket. Vid förkortning divideras både täljare och nämnare med samma tal. Vid förlängning multipliceras både täljare och nämnare med samma tal: 126 = 126 / 2 = 63 förkortning med 2 14 14 / 2 7 435 = 435 2 = 87 förlängning med två 5 5 2 1 När eleven har ökat förståelse för divisionsbegreppet och vet hur man kan förenkla ett divisionsuttryck genom förkortning eller förlängning, kan kort division introduceras. Den korta divisionen är lättare jämfört med andra algoritmer. Fördelen med kort division är att eleven tydligt ser divisionsuttrycket, använder likhetstecknet och får svaret på rätt ställe. Det är också möjligt att rimlighetsbedöma svaret genom att multiplicera kvoten med nämnare. Vid skriftlig huvudräkning med tal i decimalform vid multiplikation följer man samma mönster som vid multiplikation med hela tal: 4,5 12 = 9 6 = 54 dela upp 12 i 2 6 multiplicera först 4,5 2 3,6,75 = 1,8 1,5 =,9 3 = 2,7 hälften dubbelt,7 41 = 7 41 = 287,7 tio gånger större 41 tio gånger mindre 15

,5 246 = 123 hälften av 246 Om nämnaren är ett decimaltal förlänger man med lämpligt tal för att få ett heltal: 14 = 28 = 4 dubbelt dubbelt 3,5 7 5 = 5 = 25 förlängning med 1,2 2 2 = 2 = 5 förlängning med 1,4 4 (Rockström, 2) 3.5 Feltekniker och svårigheter Räkneuppställningen för addition är den minst svårfattliga, i svårighetsordning följer subtraktion, multiplikation och division. Man menar att i själva verket är både multiplikationens och divisionens uppställning alltför komplexa för elever med allvarliga inlärningssvårigheter. Fel och feltekniker är något som Olof Magne (1998) diskuterar. Rockström (2) gör ett mindre inlägg om en vanlig feltyp vid decimaltal. 3.5.1 Addition och subtraktion Uppställd addition har tre viktiga grundpelare. Eleven måste nästan till hundra procent behärska de ensiffriga tabellkombinationerna, ha säker kunskap om platsvärde i uppställningen och tiosystemet samt säkerhet och flexibilitet i uppställningens användning. Addition kan de svaga eleverna lättast träna in, även om de inte förstår dess logik. Många elever tränar tyvärr mekaniskt. I så fall uppkommer förvirring eller olämpliga egna metoder med inbyggda felrisker. Här följer några vanliga feltyper vid additionsuppställning (enligt den algoritm vi presenterat tidigare): Fel platsvärde Minnessiffran är inte nedräknad Minnessiffran har noterats i summan Bara minnessiffran har noterats i summan Additionen är oavslutad Räkning från vänster Vid uppställning av subtraktion finner man liknande feltyper. Här följer några vanliga feltyper vid subtraktionsuppställning (enligt den algoritm vi presenterat tidigare) Otillåten räkning, genom att 5 6 = 1 Lån från hundratal istället för från tiotalet 16

Lån från noll beaktas inte Lånet glömdes bort Addition istället för subtraktion Oavslutad beräkning (Magne, 1998) Vid räkning av decimaltal, är det lätt att gå i fällan och tro att,65 +,5 =,7 om man inte är säker på decimalernas värde (Rockström, 2). 3.5.2 Multiplikation och division Multiplikations- och divisionsuppställningarna är svårfattliga för svaga elever. Kravet på logisk stränghet är stort. Själva uppställningarna är fulla av variationer och svåra att lära in. Svårigheterna att behärska multiplikation består bland annat av att eleven måste ha kunskaper om att räkna med flersiffrig andra faktor enligt distributiva lagen. Eleven måste veta hur operationer med tiotal, hundratal etc. ska utföras. Om tabellkunskapen är svag och kombinationerna utsägs osäkra kan svårigheter förekomma. Att kunna utföra uppställningens många varianter logiskt är nödvändigt. Vanliga multiplikationsfel är bland annat följande: Multiplikation från vänster Tabellfel Additionsfel i slutprodukten Nollan inte medtagen vid beräkningen Minnessiffrefel, vilken siffra ska stå på minnesplatsen Divisionsuppställningen ställer ännu hårdare krav på räknare att hålla reda på alla räknestegen än multiplikation. Till division hör bland annat förutsättningar som en god behärskning av multiplikationstabellen, skicklighet i att skatta kvotsiffror, särskilt i uppgifter med flersiffrig nämnare. Eleven måste ha klar insikt i division med rest och fördjupad kunskap om tiosystemet. En absolut felfri subtraktionsfärdighet krävs precis som fullständig behärskning av nollans roll i uppställningen. Eleven bör ha mycket god färdighet i att kombinera och korrekt konstruera delkvoter. Vanliga divisionsfel är bland annat följande i lång division: Ofullständig division Nolla i täljaren försummad Inte nolla i kvoten Division siffra för siffra, utan att ta hänsyn till rest Subtraktionsfel 17

Restsiffran felaktigt nedflyttad För många steg att hålla reda på Vanliga divisionsfel är bland annat följande i kort division: Krånglig, om den de första deldivisionerna inte går jämt upp (Magne, 1998) 18

4 Metod 4.1 Metodisk ansats Vi kommer att bygga vårt resultat på en kvalitativ metod som består av ett test (se bilaga 1) och två kompletterande intervjuer (se bilaga 2). Testet kommer att ge oss ett överskådligt resultat av elevernas räknefärdigheter i de fyra räknesätten, medan intervjuerna kommer att gå närmare in på elevens metoder, kunskaper, svårigheter och begreppsbildning. Testet är konstruerat utifrån vårt syfte. Vi har anpassat uppgifterna så att elevernas metoder och feltyper i de fyra räknesätten ska kunna härledas. Vi gjorde även ett förtydligande innan testet delades ut, att vi är intresserade av deras metoder och lösningsförslag inte bara av svaren. Bo Johansson och Per Olov Svedner (21) betonar vikten av kvalitativ intervju. De menar att det är den primära metoden för att få fram den information man vanligen söker vid examensarbeten. Den ger den information som gör det möjligt att förstå elevens/barnets attityder, förkunskaper, värderingar och intressen (Johansson & Svedner, 2 1:24). Vi anser att vår studie lämpar sig kvalitativa intervjuer bäst. För att förstå en elevs tankesätt krävs en språklig kommunikation och en dialog. Författarna Johansson och Svedner (21) poängterar att syftet med en kvalitativ intervjun är att få den som blir intervjuad att ge så fullständiga svar som möjligt. Vidare understryker de att frågorna bör anpassas till intervjupersonen, så att han/hon får möjlighet att ta upp allt den vill säga. Detta har vi beaktat i intervjuguiden eftersom hänsyn har tagits till elevernas ålder och frågorna och uppgifterna har anpassats så att eleverna får möjlighet att uttrycka sina tankar. Intervjuguiden har konstruerats utifrån testet som behandlar de fyra räknesätten med naturliga tal och decimaltal. Intervjuguiden innehåller både frågor som testar elevens förstålelse för begreppen och uppgifter där ren räknefärdighet prövas. I intervjuguiden finns även utrymme för diskussioner. Vi har gjort individuella intervjuer eftersom vi ansåg att eleverna kan känna sig mest bekväma då. En annan orsak till detta är att eleverna inte blir påverkade av varandra. Det är lättare att föra en diskussion, dialog och få fram det vi vill om det är individuellt. 19

4.2 Urval Vi har genomfört ett test (se bilaga 1) i en nionde klass på en kommunal skola i Växjö. Uppgifterna i testet har utformats för att få ett så heltäckande svar på våra frågeställningar som möjligt. Testet var utgångspunkten för intervjuguiden, där vi tog med liknande uppgifter som behandlade våra delmoment inom de fyra räknesätten. Varför vi valt klass nio beror främst på vår utgångspunkt ur styrdokumenten. Eleverna skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att beskriva och hantera situationer samt att lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle i slutet av nionde skolåret. Vi fann det därför lämpligt att undersöka elevernas räknefärdigheter i de fyra räknesätten i klass nio, eftersom vi anser att matematiken bygger på de fyra räknesätten. Eleverna som blev intervjuade valde vi utifrån testet. Vi beslöt oss för att själva välja ut eleverna, utan att ta reda på elevernas bakgrundskunskaper. Vi tog alltså ingen hjälp av deras lärare för att välja ut dessa elever. Vi har gjort en jämförande studie mellan en elev som visade kunskaper och en elev som visade svårigheter på testet. Kopplingen mellan resultaten i intervjuerna ser vi som intressant att undersöka, för att förstå elevernas olika färdigheter i de fyra räknesätten. 4.2.1 Presentation av de intervjuade eleverna Elev nummer 1 (pojke) valde vi efter hans utmärkta resultat på testet. Eleven visade goda räknefärdigheter och använde metoder som verkade vara väl förankrade som kunskaper. Eleven hade prydliga uträkningar, mestadels löstes uppgifterna med skriftlig huvudräkning. På fråga två på testet: När använder du dig av addition, subtraktion, multiplikation och division om du inte är i skolan? OBS Ge konkreta exempel. gav eleven tydliga och konkreta förslag på när man använder sig av de fyra räknesätten i vardagen. Det visade sig att eleven var en god informant, han hade en väl utvecklad begreppsförståelse och hade lätt för att kommunicera. Elev nummer 2 (flicka) valde vi efter ett olyckligt resultat på testet. Eleven visade mycket stora svårigheter på testet. Hon hade vissa metoder, men felräkning efter felräkning redovisades. Det som var utmärkande var överkladdningar och felskrivningar av siffror. På fråga två på testet (bilaga 1) hade eleven svårtydliga förklaringar och ett bristande skriftligt språk. Det visade sig att eleven hade betydligt mer kunskaper än vad vi förväntat oss. Hon led av en svår synskada vilket diskuteras i analysen. Informanten var god och trevlig och intervjun fick ett oväntat resultat. 2

4.3 Genomförande och bearbetning I det praktiska genomförandet tog vi först kontakt med en matematiklärare på en kommunal högstadieskola i Växjö kommun. Vi fick tillåtelse att göra vår studie i en nionde klass. Vi började med att dela ut ett test, som genomfördes på en matematiklektion på 4 min. Eleverna blev informerade om syftet med vår studie och villkoren som gäller för deras eget deltagande. Vi upplyste eleverna om att deltagandet är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan. Alla elever valde att medverka. Insamlingen av testen gjordes och bearbetningen började. Vi valde att göra ett lättövergripligt resultat i form av diagram där antalet korrekta/felaktiga lösningar redovisades samt vilka metoder och feltyper som erhölls. Vid intervjuerna som gjordes en vecka efter testet, utgick vi ifrån en intervjuguide (se bilaga 2). Vi satt en intervjuare och en informant i en tyst lokal. Intervjun med eleven som hade svårigheter tog längst tid, ca 35 minuter. En viktig förutsättning för ärliga och uppriktiga svar är att den som blir intervjuad känner tillit till den som intervjuar. Utifrån det kan den intervjuade våga visa sin synsätt, även om den är medveten om att det strider mot intervjuarens (Johansson & Svedner, 2 1). När man gör intervjuer så är det viktigt att man blir bekant med eleven innan intervjun sker. Anledningen till detta tror vi är att eleverna vågar öppna sig och prata mer om de känner sig trygga tillsammans med oss. Det är även viktigt att tänka på miljön som intervjun görs i, eleven måste även här känna sig trygg för att kunna/våga öppna sig. Vi började därför med att berätta lite kortfattat om oss själva, dels för att få en bra kontakt och dels för att avdramatisera det hela. Vi beskrev även syftet med intervjun och frågade om personen hade någon fråga. Under intervjun var vi etiskt medvetna och försökte göra personen medveten om att svaren kommer att behandlas konfidentiellt. Johansson och Svedner (21) skriver att intervjuerna oftast bör spelas in, med anledning att pauser, tonfall och avbrutna meningar kan vara betydelsefulla för att förstå vad som sägs Vid våra intervjuer gjordes därför ljudupptagning och anteckningar. Alan Bryman (22) menar att kvalitativa intervjuer vanligen spelas in på band och skrivs ut närhelst så är möjligt (Bryman, 22:31). Innan dokumentationen av intervjuerna förklarades anonymiteten hos elevernas svar. Eftersom eleverna är över 15 år behövdes ingen underskrift från föräldrarna. Då vi använder bandupptagningen tillsammans med skriftligt material till intervjuerna är dessa nu eliminerade, även de 23 elevernas svar från testet. 21

4.4 Etiska överväganden Vetenskapsrådet (22) betonar vikten av följande punkter vid en intervju: Forskaren skall informera deltagarna om uppgiften och villkoren som gäller för deras deltagande. Upplys även om att deltagandet är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan. Deltagaren i undersökningen har rätt att själva bestämma över sin medverkan. De har rätt att självständigt bestämma om, hur länge och på vilka villkor de skall deltaga. Viktigt att deltagaren kan avbryta sin medverkan utan att detta medför följder för dem. Uppgifterna som är insamlade om enskilda personer får enbart användas för forskningsändamål. Uppgifterna om personer som ingår i undersökningen skall förvaras på ett sådant sätt att obehöriga inte kan komma åt dem och uppgifter om alla i en undersökning ingående personer skall ges största möjliga konfidentialitet. Vi har lagt stor vikt vid dessa punkter. För oss är det viktigt att beakta detta, allt för att deltagaren skall känna sig så trygg som möjligt. 22

5 Resultat I detta avsnitt redovisas resultatet av vår kvalitativa undersökning. Vi har valt att dela upp det i två huvuddelar. I första delen behandlar vi resultatet av testet. Vi har valt att dela upp resultatet från testet i följande områden: Uppgiften från testet Korrekt/felaktig lösning Elevernas olika metoder vid korrekt lösning Elevernas felaktiga lösningar Efter denna presentation kommer vi att belysa elevernas inställning till de fyra räknesätten i vardagen som kan kopplas till fråga två på testet (se bilaga 1). I andra delen behandlas resultatet av intervjuerna. 5.1 Resultat av elevernas räknefärdigheter i addition 5.1.1 Addition med heltal Uppgift: 1895 + 24 korrekt/felaktig lösning Korrekt lösning erhölls av 22 elever Felaktig lösning erhölls av en elev 25 2 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: A. Uppställning (15 st) B. Varje talsort för sig (3 st) C. Endast svar (2 st ) D. Flyttat över ental från den ena termen till den andra (2 st) 16 14 12 1 8 6 4 2 Elevernas val av metod vid korrekt lösning A B C D Vid felaktig lösning påträffade vi en feltyp, som innebar att eleven helt saknade en metod för addition. 23

5.1.2 Addition med decimaltal Uppgift: 47, 5 + 86,7 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 16 elever Felaktig lösning erhölls av 7 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Uppställning (1 st) B. Varje talsort för sig (5 st) C. Endast svar (1 st) 12 1 8 6 4 2 A B C Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Räknat rätt addition, men glömt decimaltecknet på slutet (2 st) B. Saknar en metod (2 st) C. Skrivit varje talsort för sig, men adderat fel (1 st) D. Räknat varje talsort för sig men fel vid addition med decimaltalen (1 st) E. Har ökat båda termerna med 2, 5 (1 st) Feltyper 3 2 1 A B C D E 24

5.2 Resultat av elevernas räknefärdigheter i subtraktion 5.2.1 Subtraktion med heltal Uppgift: 241-118 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 18 elever Felaktig lösning erhölls av 5 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Uppställning (12 st) B. Varje talsort för sig ( 4 st) C. Endast svar (2 st) 14 12 1 8 6 4 2 A B C Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Har lånat rätt, men slarvat vid uträkningen (2 st) B. Otillåten räkning (1 st) C. Minskat den ena termen med 1 och ökat den andra termen med 1 (1 st) D. Inget svar (1 st) Feltyper 3 2 1 A B C D 25

5.2.2 Subtraktion med heltal och decimaltal Uppgift: 82 36,5 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 16 elever Felaktig lösning erhölls av 7 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Uppställning (9 st) B. Varje talsort för sig (4 st) C. Endast svar (3 st) 1 8 6 4 2 A B C Vid felaktig lösning påträffades följande feltyper: A. Inget svar (2 st) B. Otillåten räkning (2 st) C. Lånat till decimaltal, men glömdes bort (2 st) D. Har glömt att räkna decimalen, utförde subtraktionen på heltalen (1 st) Feltyper 3 2 1 A B C D 26

5.2.3 Subtraktion med decimaltal Uppgift: 2,5 1,65 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 18 elever Felaktig lösning erhölls av 5 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Uppställning (12 st) B. Endast svar (5 st) C. Minskat båda talen lika mycket (1 st) 14 12 1 8 6 4 2 A B C Vid felaktig lösning påträffades följande feltyper: A. Ökat det ena talet och minskat det andra talet med lika mycket (4 st) B. Räknat heltalsdelen och decimaldelen för sig, men fel räkning vid decimaldelen (1 st) Feltyper 5 4 3 2 1 A B 27

5.3 Resultat av elevernas räknefärdigheter i multiplikation 5.3.1 Multiplikation med heltal (1-siffrig faktor och 2-siffrig faktor) Uppgift: 4 27 Korrekt/felaktig lösning Korrekt lösning erhölls av 21 elever Felaktig lösning erhölls av 2 elever 25 2 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: A. Uppställning (11 st) Elevernas val av metod vid korrekt lösning B. Varje talsort för sig (5 st) C. Endast svar (3 st) D. Faktorisering (2 st) 12 1 8 6 4 2 A B C D Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Multiplicera varje talsort för sig, men slarvfel (1 st) B. Ingen lösningsmetod, endast fel svar (1 st) Elevernas val av metod vid korrekt lösning 2 1 A B 28

5.3.2 Multiplikation med heltal (2-siffrig faktor och 3-siffrig faktor) Uppgift: 68 72 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 6 elever Felaktig lösning erhölls av 17 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Uppställning (5 st) 6 B. Varje talsort för sig (1 st) 4 2 A B Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Räknat varje talsort för sig (5 st) B. Ingen metod (4 st) C. Minnessifferfel (3 st) D. Ställt upp, börjat multiplicera rätt med entalsdelen, men fastnat på tiotalsdelen (2 st) E. Omvandlat till närmaste tiotal och hundratal (1 st) F. Slarvfel (1 st) G. Upprepad addition, minnessiffran är inte nedräknad (1 st) Feltyper 6 5 4 3 2 1 A B C D E F G 29

5.3.3 Multiplikation med decimaltal Uppgift: 7 2,4 Korrekt/felaktig lösning Korrekt lösning erhölls av 16 elever Felaktig lösning erhölls av 7 elever 2 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande räknemetoder: Val av metod vid korrekt lösning A. Varje talsort för sig (8 st) B. Uppställning (5 st) C. Upprepad addition (2 st) D. Endast svar (1 st) 1 8 6 4 2 A B C D Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Utelämnat decimaltecknet (2 st) B. Inget svar (2 st) C. Inga metod (1 st) D. Minnessiffrefel (1 st) E. Varje talsort för sig, men multiplicerat decimaldelen fel (1 st) Feltyper 3 2 1 A B C D E 3

5.4 Resultat av elevernas räknefärdigheter i division 5.4.1 Division med heltal (1-siffrig nämnare) Uppgift: 784 / 4 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 19 elever Felaktig lösning erhölls av 4 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande metoder: A. Kort division (14 st) B. Varje talsort för sig och adderar ihop (2 st) C. Halvera två gånger (2 st) D. Användning av multiplikation kompletterat med division (1 st) 16 14 12 1 8 6 4 2 Elevernas val av metode vid korrekt lösning A B C D Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Kort division, tabellfel (2 st) B. Ingen metod (1 st) C. Minnessiffrefel (1 st) Feltyper 3 2 1 A B C 31

5.4.2 Division med heltal (2-siffrig nämnare) Uppgift: 576 / 24 Korrekt/felaktig lösning Korrekt lösning erhölls av 9 elever Felaktig lösning erhölls av 14 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande metoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning A. Kort division (7 st) B. Endast svar (2 st) 8 6 4 2 A B Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Inget svar (7 st) B. Kort division, felsvar (4 st) C. Kort division, endast felaktigt svar (2 st) D. Ingen metod (1 st) Feltyper 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D 32

5.4.3 Division med decimaltal Uppgift:,45 /,5 Korrekt/felaktig lösning 2 Korrekt lösning erhölls av 7 elever Felaktig lösning erhölls av 16 elever 15 1 5 Korrekt lösning Felaktig lösning Vid korrekt lösning påträffade vi följande metoder: Elevernas val av metod vid korrekt lösning 6 A. Endast svar (5 st) B. Förlängning med 2 och 1 (2 st) 5 4 3 2 1 A B Vid felaktig lösning påträffade vi följande feltyper: A. Inget svar (5 st) B. Multiplikation istället för division (4 st) C. Endast felaktigt svar (4 st) D. Kort division (2 st) E. Förlängning, men ej avslutad (1 st) Feltyper 5 4 3 2 1 A B C D E 33

5.5 De fyra räknesätten i vardagssituationer 5.5.1 Addition och Subtraktion På fråga två på testet: När använder du dig av addition, subtraktion, multiplikation och division om du inte är i skolan? OBS Ge konkreta exempel. fann vi att eleverna var väl medvetna om när de använder addition och subtraktion i vardagssituationer. De kunde se en klar koppling mellan vardagsmatematiken och skolmatematiken. Motivering till addition var bland annat affärsverksamhet och shopping, matlagning, hela tiden eller som vissa svarat lägga till. Till subtraktion motiverades bland annat affärsverksamhet och shopping, bilresa och även här hela tiden. A. Motivering till addition i vardagen erhölls av 18 elever B. Ingen motivering erhölls av 5 elever Addition 2 15 1 5 A B Motivering/Ingen motivering A. Motivering till subtraktion i vardagen erhölls av 17 elever B. Ingen motivering erhölls av 6 elever Subtraktion 2 15 1 5 A B Motivering/Ingen motivering 34