Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson 2007-11-01
Inledning En interferometer är ett mycket precist verktyg för att exempelvis mäta avstånd eller skillnader i våglängder. Konstruktionen i sitt enklaste slag består av två speglar, en stråldelare, en laser och en detektor. Den ena spegeln är flyttbar och genom att variera den varierar man också den optiska vägen. Eftersom strålarna sammanfaller efter att ha gått olika lång väg inne i interferometern kommer detektorn känna av en omväxlande konstruktiv resp. destruktiv interferens allt eftersom spegeln flyttas. Om man vill mäta våglängden hos en okänd laser använder man en referenslaser och en dubbel interferometer som kan se ut så här. Här förflyttas en gemensam spegel (3) och vägskillnaden mellan stråle 1 och 2 för vardera laser är densamma. Vi skall försöka konstruera en sådan här interferometer för att bestämma våglängden av en okänd laser med en precision av 1 del på. För att göra detta måste vi första klargöra vad noggrannheter av mätningarna påverkas av. De tre största faktorerna är spegelns förflyttning, referensvåglängden och brytningsindex för luft. Vi måste alltså bestämma hur dessa påverkar för att kunna bestämma hur vi skall bygga vår interferometer. 2
Hur beror noggrannheten i mätningen på spegelns förflyttning? Under en uppmätning flyttas den gemensamma spegeln en viss sträcka. Detektorn mäter skillnader i intensitet på den inkommande strålen och kan därmed räkna hur många interferensminima, fransar, som uppkommer under mätsträckan. Den okända våglängdens antal fransar mäts upp simultant i detektor 2 och genom att jämföra förhållandet mellan antalet fransar kan man med formeln för spegelförflyttningen få fram en formel för att beräkna den okända våglängden. Där är antalet räknade fransar från referenslasern och är antalet fransar räknade från den okända lasern och är den okända våglängden vi mäter upp och är vår referensvåglängd. För att precisionen i uppmätningen ska bli så bra som möjligt behövs en väldefinierad våglängd hos referenslasern samt en viss mätsträcka. Om vi antar att detektorerna inte är känsliga nog för att mäta fraktioner av fransar så kommer vi alltid att få en osäkerhet på frans på sista siffran. För att uppnå rätt precision måste alltså antalet räknade fransar vara minst det antal siffrors noggrannhet vi vill uppnå. Man kan tänka sig att vi flyttar spegeln en sträcka så att detektorn räknar 100st fransar, osäkerheten på den sista siffran ger oss en noggrannhet på 1 del på 100. Eftersom målet är att bygga en interferometer med noggrannheten på åttonde siffran måste vi således flytta spegeln en sträcka så att talet på antalet fransar uppgår till 8 siffror, exempelvis 100 miljoner stycken. Detta ger en förflyttning av spegeln med vår referensvåglängd 632 816,03pm: Vilket kan tyckas vara en väldigt lång sträcka. Precisionen kontra storleken på interferometern blir en balansgång. Man kan tänka sig en annan lösning på spegeluppställningen för att spara plats men det går vi inte in på här. Man kan tänka sig att förflytta spegeln en sträcka så att antalet räknade fransar precis överensstämmer med antal kända siffror hos referenslasern. Detta är faktiskt den största precision vi kan uppnå, eftersom osäkerheten hos referenslaser kommer ge ett större fel i precisionen i slutändan ändå. Vi får då. Den okända våglängden ges då direkt av antalet räknade fransar av referensvåglängden så när som på på sista siffran. Vi ser också här att vi bara måste flytta spegeln ungefär 63 miljoner fransar. Vi får då att spegelförflyttningen blir följande: 3
Hur stora fel blir det på grund av osäkerheten i referenslaserns våglängd? Vi antar att vi inte har bestämt våglängden till exakt 632 816 03 utan snarare att våglängden är obestämd på sista siffran, den kan alltså vara 632 816 030 till 632 816 039. Vi räknar fortfarande upp 632 816 03 fransar för den bestämda våglängden, men låter i vår ekvation den kända våglängden variera, vi får följande: I första ekvationen får vi att våglängden är densamma som antalet uppmätta fransar, med en faktor 10. Detta betyder att vi fortfarande får på åttonde siffran på grund av att vi inte kan räkna antalet fransar exakt. Vi får dock ingen ytterligare oprecision på grund av felaktigheter i våglängden. I andra ekvationen där våglängden avviker från fransantalet får vi istället faktorn 10.000000142221429, det vill säga att vi får en ökningsfaktor med då den okända lasern är specificerad i 9 siffror. Anledningen till att vi får en specifikation i den okändas våglängd med 9 siffror är för att vi har använt 9 siffror i referenslasern. Förändringsfaktorn är dock inte tillräcklig för att vi skall få ett utslag på åttonde siffran, så den maximala oprecisionen vi kan få är en etta på åttonde siffran från osäkerheten i antalet fransar räknade och förändringsfaktorn. Vilket vi kan se här i exemplet för om den okända våglängden skulle vara exakt 700nm med oändligt många siffrors noggrannhet. Våglängden med siffran. i åttonde Våglängden med i åttonde siffran och ökat med faktorn 699 999 990 699 999 999 955 700 000 010 700 000 019 955 Vi ser alltså att maximala utslaget från den originella våglängden 700nm är en etta på åttonde siffran och en nia på nionde siffran. Vi får även då hålla i tankarna att detta är en faktorbaserad förändring, så för lägre våglängder än 700nm kommer det att ha mindre inverkan och för högre våglängder kan vi riskera att det påverkar åttonde siffran så att vi kan få en maximal oprecision på 2 på åttonde siffran. Eftersom vi inte räknar med att mäta upp våglängder större än 700nm i vårat experiment och bara vill ha en precision av 1 på åttonde siffran kan vi försumma referenslaserns obestämdhet efter åtta siffror. Vill vi däremot ha en ännu högre precision måste vi veta en siffra till i referenslasern och dessutom räkna upp en siffra till av fransar. 4
Hur påverkar variationen av brytningsindex för luft? Brytningsindex för ett material är någonting som varierar med våglängden. På grund av detta kommer vi att få olika brytningsindexvärden för luften beroende på vilka våglängder vi använder i vårt experiment. Enligt definitionen är Värden på brytningsindex för luft med olika våglängder är experimentellt framtagna och finns i tabeller. Vi kan stoppa in definitionen ovan i vår tidigare formel för att räkna fram vakuumvåglängderna, dessa är sedan oberoende av vilket ämne vi använder lasern i. Om vi vill ta hänsyn till brytningsindex så säger vi att och syftar på materialvåglängderna I denna formel. Om vi istället inför och som är vakuumvåglängderna får vi: Där är brytningsindex för luften med den okända våglängden och är brytningsindex för luften med referensvåglängden. Med den här formeln kan vi alltså korrigera våra värden på våglängderna med hänsyn till brytningsindex. Vi får då ut de korrekta vakuumvåglängderna, vilka bättre representerar vilken energi ljuset egentligen har. För att illustrera hur brytningsindex kan förändras med våglängden så tittar vi på hur förändringsfaktorn kan variera, där är tabellvärde för 300nm och 700nm. Vakuumvåglängd Brytningsindex 300nm 1000286195 700nm 100027066 632,81603nm 1000271377 Förändringsfaktorn kan alltså variera från till Vakuumvåglängden är en faktor skilt från vår uppmätta våglängd vid 300nm, vilket är den största faktorn vi kan uppnå. Skulle vi inte använda formeln med förändringsfaktorn skulle den här faktorn alltså vara en ganska stor felkälla. 5
Sammanfattning och diskussion För att vi skall kunna bygga vår interferometer behöver vi alltså göra den så att vi kan förflytta spegeln 20 meter medan vi mäter upp antalet räknade fransar. Vi behöver en referensvåglängd som är bestämd till åtta siffrors noggrannhet och vi behöver kunna kompensera med tabellvärden för brytningsindex i luft. Vi kan tydligt se att en michelsoninterferometer är ett utmärkt verktyg för att bestämma våglängder med stor noggrannhet. Men vi kan även se att säkerheten beror på en del faktorer som vi inte tar i beräkningen med våra formler. Saker som temperatur- och tryckförändringar kan variera brytningsindex för luft ganska drastiskt, ett vinddrag skulle förändra luftens täthet till exempel. Spegeln måste dessutom flyttas i en takt som matchar sensorernas registreringsfrekvens, all elektronik är nämligen begränsad på något sätt och vi kan inte flytta spegeln så snabbt att sensorn inte hinner registrera fransarna, ett ryck i spegeln eller en större vibration skulle alltså kunna resultera i att flera fransar hoppas över i beräkningen. För att undvika de flesta av dessa felkällor kan man dock sätta hela mätutrustningen i ett vakuum och förflytta spegeln på en luftbädd eller med kullager av hög precision. I vakuum kommer brytningsindex inte längre spela någon roll och vi kan uppnå ännu större precision. Slutligen kan man säga att vid bra omständigheter kommer precisionen enbart bero på längden man förflyttar spegeln och precisionen av referenslasern. För att uppnå vår önskade precision flyttade vi spegeln 20 meter, vilket redan där är en väsentligt lång sträcka. För att få en till siffras precision måste man dock flytta den 630 miljoner fransar istället för 63 miljoner, då är vi helt plötsligt uppe i att flytta den 200 meter. Vi ser att efter 8 siffrors noggrannhet blir den största begränsningen sträckan vi kan flytta spegeln. På grund av detta har det framkommit flera andra designer av interferometrar än helt vanliga raka armar. För att kunna uppnå större precision krävs att vägen för ljusstrålen förändras så att man inte behöver ha en 200 meter lång mätutrustning. Alternativt kan man använda detektorer med större upplösning så man kan mata in signalen i en dator och beräkna fraktioner av fransar. Om man t.ex. kan mäta tiondelar av en frans korrekt kan vi uppnå en siffras noggrannhet till utan att förändra mätsträckan. Alltså skulle man kunna förminska interferometern drastiskt genom att använda mer avancerad utrustning än vad vi har utgått från i våra beräkningar. Källor 1. Allmän information om experiment med michelsoninterferometer för bestämning av våglängd. http://optics.ph.unimelb.edu.au/atomopt/publications/wavemeter_amjphys_vol67_p624_1999.pdf 2. Allmän information om hur noggrannheten bestäms i laserbaserade interferometrar. http://www.springerlink.com/content/j10541010v463043/fulltext.pdf 3. Sida för framtagning av tabellvärde av brytningsindex av luft för godtycklig våglängd. http://emtoolbox.nist.gov/wavelength/ciddor.asp 4. Grundläggande information om michelsoninterferometrar, kapitel 19. "Våglära och Optik" av Göran Jönsson och Elisabeth Nilsson (fjärde upplagan) 6