Övning 8 Diraktion och uppösning Diraktionsbegränsade system Om man tittar på ett objekt genom ett perekt (aberrationsritt) optiskt system avgörs hur små saker man kan se av diraktionen i insen. n θ mi Då gäer Rayeighkriteriet: sin θ min 1.22λ För små vinkar θ min < 20 gäer att sin θ min θ min i radianer. Minsta uppösta objektavstånd (avstånd mean två objekt) bir då: 1.22λ Ett iknande uttryck kan stäas upp ör minsta uppösta bidavstånd: h min 1.22λ n D Punktspridningsunktionen (ps) En punkt avbidas inte ti en punkt p.g.a. diraktion i optiken. I stäet ser vi en Airy Disk:
Vinkeörstoring Vikenörstoringen är kvoten mean synvinken med synhjäpmede och synvinken utan hjäpmede. M α w med Lupp För en upp gäer att vikenörstoringen är en järdede av insens styrka M α F 4 Bändarta Bändartaet är kvoten mean okaängd och aperturens diameter. Bändartaet betecknas: # D Om bändartaet är t.ex. 10 gäer att 10 D 10 Beysning (repetition) E v Φ v A
46.) En TV-bid är uppbyggd av 625 horisontea injer. På en 29 TV är bidrutan ca 42 cm hög. Hur ångt rån en sådan TV måste man sitta ör att sippa se injerna? Antag rimiga värden. Metod: Det handar om uppösning, så vi använder Rayeighkriteriet. n sin θ min 1.22λ θ mi Givet: Bid med 625 injer på 42 cm. Från detta kan vi å Sökt: Minsta betraktningsavstånd när injerna inte kan uppösas,. Avståndet mean injerna Det år pats 625 injer på höjden 42 cm, avståndet mean injerna bir då 42 0.067 cm 625 Antag värden ör ej givna parametrar D är pupidiametern hos personen som tittar på skärmen. Vi antar D 3 mm. Etersom det handar om synigt jus antar vi som vanigt att λ 550 nm. Det hea utspear sig i ut, så n 1. Avståndet då vi precis kan särskija injerna nd 1.22λ 1 0.003 6.7 10 4 1.22 550 10 9 3.0 m Vi kan precis särskija injerna på 3 m avstånd. Är vi ängre bort ser vi inte skinad på dem!
47.) Ögats uppösningsörmåga är begränsad. För att kunna urskija små detajer behöver vi oika synhjäpmede. Beräkna den minsta styrka som en upp måste ha ör att vi ska kunna särskija detajer med 0.01 mm avstånd rån varandra. Pupiens diameter är 2 mm. Systemet är aberrationsritt. Givet: 0.01 mm, D 2 mm Sökt: Viken styrka, F, måste en upp ha ör att vi ska kunna uppösa ett så itet? Uppösningskriteriet Ögats uppösningsörmåga begränsas av diraktionen i ögats pupi. n sin θ min 1.22λ θ mi Med vårt vaniga antagande λ 550 nm och med n 1 år vi att den minsta vinke som ögat kan uppösa är θ min sin θ min 1.22λ 1.22 550 10 9 1 2 10 3 0.33 mrad Synvinke utan upp För att synvinken utan upp,, ska bi så stor som möjigt (och vi ska ha en chans att uppösa små saker) vi man håa öremået så nära ögat som möjigt. Vi håer därör objektet i närpunkten. 0.01 mm 0.01 250 250 mm (närpunkten) 0.04 mrad Utan upp år vi en synvinke på endast 0.04 mrad. Det är mycket mindre än uppösningskriteriets minimigräns på θ min 0.33 mrad och vi kan därör inte särskija punkterna.
Luppens örstoring och styrka För en upp ges vinkeörstoringen av: M α F 4 w med För att vi ska kunna särskija punkterna måste synvinken med upp vara åtminstone vad vi år av uppösnigsngsvikoret, w med θ min. Sätter vi in w med θ min år vi en örstoring på M α F 4 w med θ min 0.33 mrad 0.04 mrad 8.25 Om vi istäet beräknar uppens styrka år vi M α F 4 F 4M α 4 8.25 33 D Extra om uppen: Häredning av M α F 4 För att se objektet med avsappnat öga paceras det i uppens okapan så att biden hamnar i oändigheten. Vad bir vinkeörstoringen? Med synhjäpmede: w med w med Utan synhjäpmede: 250 mm (närpunkten) 0.250 M α w med hmin hmin 0.250 1 4 1 F 4
48.) Ett diraktionsbegränsat kameraobjektiv används ör att avbida en avägsen stjärna (ett punktobjekt). Om bändartaet ändras rån /11 ti /5.5, med viken aktor ändras då: (a) bidstoreken (area)? (b) jusödet som träar imen? (c) beysningen på imen? Vad är bändarta? Kvoten mean okaängd och aperturens diameter. # 11 resp. 5.5 D Bändartaet haveras atså, och etersom okaängden ör insen knappast ändras, är det aperturens diameter som har ördubbats. (a) Hur ändras bidstoreken? När vi avbidar ett punktobjekt avgörs storeken på biden av diraktionen. Etersom objektet är oändigt ångt bort är inkommande stråar paraea och biden hamnar i okapanet. r Airy Disk Hur stor är Airy Disk? D θ min r Airy Disk sin θ min 1.22λ n D r Airy Disk, r Airy Disk 1.22λ n D 2 Om D ördubbas, haveras r Airy Disk. Etersom bidarean A πr Airy Disk radien att arean minskar med en aktor 4. betyder en havering av
(b) Hur ändras jusödet som träar imen? När aperturens diameter ördubbas, bir dess area 4 gånger större. (A D 2 ) Det innebär att 4 gånger mer jus kommer igenom systemet, ti kamerans im. (c) Hur ändras beysningen på imen? Beysning ges av jusöde per beyst area. Vi vet ju redan hur de har ändrats rån (a) och (b)! Bidens area har minskat rån A 1 ti A 2 A 1 /4. Födet har ökat rån Φ v,1 ti Φ v,2 4Φ v,1. Från början hade vi: E v,1 Φ v,1 A 1 Eter örändringen har vi: E v,2 Φ v,2 A 2 4Φ v,1 A 1 /4 16E v,1 Beysningen på imen bir 16 gånger större.