Institutionen för matematik Läsanvisningar och matematisk statistik Matematiska verktyg Umeå universitet Benny Avelin 26 augusti 2011 Elementär algebra, kap. 0: Något om matematisk metodik 0.1: Dialoger om satser, bevis och definitioner Innebörden av begreppen Sats (Teorem), Bevis, Definition, Axiom. 0.2: Dialoger om det matematiska språket Symboler och språkbruk för de logiska konnektiven: implikation ( ), ekvivalens ( ), och ( ), eller ( ), icke ( ), enligt femte och sjätte samtalet. Se»Tecken och symboler«. Innebörden av och skillnaden mellan och, se femte samtalet. Innebörden av,, och, enligt sjätte samtalet. Observera att eller i matematiken alltid logiskt betyder och/eller (till skillnad från antingen/eller). Innebörden av»för alla«( ) och»det finns«( ), enligt sjunde samtalet. Kunna reglerna ( x: P(x)) x: ( P(x)) och ( x: P(x)) x: ( p(x)). Begreppen existens och entydighet, enligt åttonde samtalet. Elementär algebra, kap. 1: Logik 1.2: De grundläggande satslogiska konnektiven Begreppen sats (utsaga), atomär sats (atom), sammansatt sats (molekyl), konnektiv. Parentesregler inom satslogiken, prioritetsregler för konnektiv. Se Ex 1.6. Kunna analysera en sats logiskt, huvudkonnektiv,»top-down-metoden«. 1.3: Sanningsvärden De två principerna för sanningsvärdet av en sats. Definiera de fem konnektiven m.h.a. sanningsvärdestabeller. Ex 1.10. 1.4: Begreppet logisk sanning i satslogiken Definiera vad som menas med att en sammansatt sats är satslogiskt sann (tautologi) respektive satslogiskt falsk (kontradiktion). Begreppet satslogisk konsekvens. Se Ex 1.11 och Ex 1.12. Begreppet satslogisk ekvivalens. Se Ex 1.13 (de Morgans lag), Ex 1.14 (kontraposition), Ex 1.15 (distributiv lag). Bevisa Teorem 1.1 m.h.a. sanningstabeller. Vad är det för skillnad mellan skrivsätten A B och A B? Vad är det för skillnad mellan skrivsätten A B och A B?
Elementär algebra, kap. 2: Mängder 2.2: Grundläggande begrepp Du ska kunna alla symboler och deras betydelse (se»tecken och symboler«) Veta vad som menas med en mängd A och skrivsätten x A resp y / A (s96). Definiera vad som menas med A = B (s97). Definiera vad som menas med delmängd A B resp äkta delmängd A B, samt kunna åskådliggöra i Venndiagram (s98). Observera anmärkningen s98 99. Varför gäller alltid /0 A? Beteckningen A (s99), definiera potensmängd P(A) (s99), definiera produktmängd A B (s100), samt ge konkreta exempel som illustrerar dessa begrepp, se Ex 2.4 och Ex 2.5. 2.3: Mängdoperationer Definiera: union A B, snitt A B, mängddifferens A \ B (alt. beteckning A B), komplementet Γ A (alt. A, om Γ är given), samt kunna åskådliggöra dessa begrepp i ett Venndiagram med en given grundmängd Γ (s101 103). Definitionen av begreppet disjunkt. Hur definierar man att mängderna A 1,A 2,...,A n är parvis disjunkta? Kunna innebörden av skrivsätten n n A k resp. A k (s44). OBS! Begreppen disjunktiv och konjunktiv normalform (s109 110) ingår ej. 2.4: Standardtalmängder k=1 Beteckningarna N, Z, Q, R, C, samt delmängder med enbart positiva eller negativa tal, t.ex. Z +. Elementär algebra, kap. 3: Funktioner och relationer 3.1: Inledning Läs igenom denna historiska översikt över funktionsbegreppet. 3.2: Funktioner Funktionsbegreppet definieras på s118 119. En funktion är en avbildning från en mängd A till en mängd B sådan att varje element x A avbildas på exakt ett element y B (observera orden i kursiv stil!). Detta skrivs ofta f : A B, eller y = f (x). Mängden A kallas definitionsmängd (eng. domain) för f och skrivs (i denna bok) D f, d.v.s. D f = A gäller alltid. Mängden B kallas funktionens målmängd, och mängden V f = {y B : y = f (x) för något x A} kallas för funktionens värdemängd (eng. range). Observera att allmänt gäller V f B. I konkreta fall kan det mycket väl vara så att V f B (äkta delmängd), som t.ex om f : R R är funktionen y = x 2, där ju V f = (0, ) R. Observera att definitionen egentligen inte föreskriver att det finns en regel given med vilken man kan beräkna y = f (x) för ett givet x (se Ex 3.5). Oftast finns dock en sådan regel, t.ex. y = 3x + 1, som ju motsvarar en linje. En viktig färdighet är att kunna ange D f och V f för en given funktion. D f är enklast, här gäller principen att D f är detsamma som mängden av alla x för vilka funktionen har ett värde (kallas i Adams för Domain convention). V f kan vara betydligt knepigare att beräkna, men är ibland enkelt som t.ex. i fallet f (x) = sin x. k=1
Vissa grafer är inte grafer till en funktion. Ett exempel är enhetscirkeln x 2 + y 2 = 1. Om man dock inskränker sig till t.ex. övre halvcirkeln så är denna del en graf till en funktion, nämligen y = 1 x 2. Särskilt viktigt i detta avsnitt är begreppen omvändbar och invers. Se Ex 3.6 och definitionen på s121 för begreppet omvändbar, se även Ex 3.5 som illustrerar en funktion som ej är omvändbar. Se Ex 3.7 3.8 och definitionen på s122 för begreppet invers, och hur man kan gå tillväga för att bestämma inversen till en omvändbar funktion. Om f och g är två funktioner så definieras sammansättningen (eng. composition) f g enligt ( f g)(x) = f (g(x)), se längst ned s124 och Ex 3.11 s125. Elementär algebra, kap. 4: Talteori 4.2: Delare och primtal Definiera vad som menas med att ett heltal a delar ett heltal b, betecknas: a b (s145). Definiera begreppen äkta delare, triviala delare och primtal (s145). Bevisa Teorem 4.1 (som är existensdelen av Aritmetikens fundamentalsats, Teorem 4.12), med utvidgad induktion (Se exempel 5.11). Bevisa delbarhetslagarna i Teorem 4.2 (se Ex 4.3). Bevisa att det finns oändligt många primtal (Teorem 4.3). 4.3: Divisionsalgoritmen och restklasser Kunna formulera Divisionsalgoritmen (Teorem 4.4), samt definiera begreppen kvot och rest (s150), se Ex 4.4 4.6. Definitionen av a b (mod n) och den ekvivalenta formuleringen i delbarhet enligt Teorem 4.5 (s153). Kunna lagarna för kongruensräkning i Teorem 4.6, och tillämpa dessa i kongruensräkning. Känna till Fermats lilla sats (s155), se Ex 4.8. 4.4: Största gemensamma delare och Euklides algoritm Definiera begreppet största gemensamma delare till två heltal a och b (betecknas sgd(a, b) eller gcd(a,b)), se Ex 4.10 och texten s157. Begreppet relativt prima. Kunna tillämpa Euklides algoritm (Teorem 4.7) för att bestämma sgd(a,b), se Ex 4.11. Hur kan man alternativt bestämma sgd(a,b) m.h.a. primtal? (se Ex 4.10). Elementär algebra, kap. 5: Induktion 5.2: Induktion och rekursion Kunna använda summatecknet (se Appendix s403 408). Kunna begreppet rekursiv talföljd (se Ex 5.2 5.4). Kunna Fibonaccis talföljd, se Ex 5.10.
Formulera induktionsaxiomet (s186). Kunna begreppen aritmetisk och geometrisk summa (Ex 5.5). Kunna tillämpa induktionsaxiomet i problemlösning/bevisföring. Läs noga igenom exemplen! 5.3: Utvidgad induktion Kunna välordningsprincipen Kunna tillämpa den utvidgade induktionsprincipen i problemlösning/bevisföring. Bevisa att den utvidgade induktionsprincipen följer från välordningsaxiomet. Elementär algebra, kap. 6: Kombinatorik och Binomialteoremet 6.1: Inledning Läs igenom inledningen. 6.2: Permutationer och kombinationer Kunna multiplikationsprincipen (s211). Kunna fakultetsbegreppet, n! (s212). Definiera begreppet permutation av k element ur en mängd med n element, beteckningen P(n, k) Kunna Teorem 6.1: P(n,k) = n(n 1) (n k + 1) = n! (n k)!. Se Ex 6.3. Kunna Teorem 6.2, se Ex 6.4. Definiera begreppet kombination av k element ur en mängd med n element, beteckningen ( ) n k (läs:»n över k«eller»n välj k«) eller alternativt C(n,k). Dessa tal kallas också binomialkoefficienter. Kunna Teorem 6.3: ( ) n k = n!. Se Ex 6.7 6.8. k!(n k)! 6.3: Binomialteoremet Bevisa Binomialteoremet (Teorem 6.4): (x + y) n = n ( n ) k x n k y k. Se också Ex 6.10 6.12. k=0 Kunna Pascals triangel (s229) över binomialkoefficienterna i Binomialteoremet, se Teorem 6.5. Elementär algebra, kap. 7: Komplexa tal 7.1: Inledning Definiera den imaginära enheten i, och ange dess historiska bakgrund. 7.2: Grundläggande definitioner och räkneregler Definiera vad som menas med ett komplext tal, dess realdel och imaginärdel (s253). Ange räknereglerna (addition, subtraktion, multiplikation) för komplexa tal (s250 251). Känna till Teorem 7.1 (kommutativ, associativ, distributiv). Definiera vad som menas med konjugatet z till ett komplext tal z.
Kunna Teorem 7.2, definitionen av z, samt egenskapen z 2 = zz Känna till Teoremen 7.4 och 7.5 7.3: Geometrisk tolkning av räkning med komplexa tal Tolkningen av addition och subtraktion som vektoraddition (figurer s261 262). Geometrisk tolkning av absolutbeloppet av ett komplext tal, se Ex 7.7 7.9. Bevisa (algebraiskt, se s266) Triangelolikheten (Teorem 7.6). Definiera vad som menas med argumentet ϕ för ett komplext tal (se fig s267). Kunna skriva om från rektangulär form till polär form (potensform) och vice versa, Ex 7.10 7.11. Kunna Teorem 7.8 (multiplikation (i) och division (ii) på polär form). Kunna de Moivres formel (Teorem 7.9), samt tillämpa den, se Ex 7.13. 7.4: Andragradsekvationer Kunna lösa allmänna andragradsekvationer (d.v.s. med komplexa koefficienter), se Ex 7.14 7.15. Elementär algebra, kap. 8: Polynom och algebraiska ekvationer 8.1: Inledning Läs igenom Inledningen som ger en översikt över teorin för algebraiska ekvationer. 8.2: Polynom. Grundläggande definitioner och egenskaper Definiera vad ett polynom är (s291). Vad menas med ett reellt polynom? Definiera gradtalet för ett polynom (s292). Kunna innebörden av Teorem 8.1, se Ex 8.2 8.3. Definiera begreppet delare till ett polynom (s298). Notera begreppen trivial delare och primpolynom (=irreducibelt polynom) (s299). Se Ex 8.5 där skillnaden mellan irreducibla polynom över R resp. C diskuteras. Observera att teorin i kap 8.2 för delare till polynom är analog med teorin för delare till heltal. Exempelvis gäller delbarhetssatserna på s300 både för polynom och heltal. Kunna Divisionslagoritmen för polynom (Teorem 8.3), inkl begreppen kvot och rest. Kunna utföra polynomdivision, som är Divisionsalgoritmen itererad ett antal gånger, se Ex 8.6. Jämför också division av heltal, och uppställningen i den s.k. liggande stolen (eller alt. trappan). Begreppet sgd(p,q) för polynom (s306) och Euklides algoritm (se Ex 8.8) är helt analogt med motsvarande för heltal. 8.3: Faktorsatsen och Algebrans Fundamentalsats Teorin i kap. 8.2 leder fram till de centrala satserna i detta avsnitt, nämligen Faktorsatsen och Algebrans fundamentalsats. Läs noga igenom s308 310. Observera också skillnaden mellan begreppen nollställe och rot!
Bevisa Faktorsatsen (Teorem 8.4). Se Ex 8.9. Kunna innebörden av Algebrans fundamentalsats (Teorem 8.5). Observera hur denna sats kombineras med Faktorsatsen för att ge det välbekanta resultatet att en algebraisk ekvation har lika många rötter som sitt gradtal (om man räknar in komplexa rötter och multipelrötter, se s313 314). Kunna använda sambandet mellan koefficienter och nollställen till polynom (eller ekvivalent uttryckt; sambandet mellan koefficienter till ett polynom och rötterna till motsvarande algebraiska ekvation), se fallen n = 2 och n = 3 på s314 315. Särskilt användbart är sambandet vid prövning av rötter. Kunna använda Euklides algoritm för att bestämma alla gemensamma nollställen till två polynom f och g, och därefter lösa de algebraiska ekvationerna f (x) = 0 och g(x) = 0 fullständigt, se Ex 8.11. 8.4: Polynom med reella koefficienter Bevisa satsen om komplexkonjugerade nollställen till reella polynom (Teorem 8.7). Se också korollariet på s322. Kunna tillämpa Teorem 8.7 i ekvationslösning, se Ex 8.14 8.15. Läsanvisningar till Preliminaries i Calculus, Adams. P1 Detta avsnitt handlar i stort om tre saker: Reella talsystemet: Kunna definiera talområdena N, Z och Q, samt förstå inklusionerna N Z Q R. Kunna motivera varför det finns tal på tallinjen som är irrationella, d.v.s. varför R\Q /0. Detta görs genom att motivera/bevisa att Q = {periodiska decimaltal} (enligt föreläsning och Ex 1), och inse att det finns icke-periodiska decimaltal (ett exempel på ett sådant är 2). Mängden av alla tal på tallinjen kallas för det reella talsystemet R. Observera att varje tal på tallinjen (reellt tal) är ett decimaltal, antingen med periodisk eller icke-periodisk decimalutveckling. Kunna skriva ett givet periodiskt decimaltal på rationell form (se Ex 1). Olikheter: Kunna och tillämpa reglerna (1 6) för olikheter i rutan, s4 (observera särskilt regel 6). Intervallbeteckningarna, s5. Kunna lösa linjära, kvadratiska och dubbla olikheter (Ex 2 5). Fullständighet Kunna termerna, övre gräns, minsta övre gräns och definitionen av supremum (sup), respektive nedre gräns osv. Definiera vad som menas med att de reella talen är fullständiga. Absolutbelopp:
Definiera absolutbeloppsfunktionen f (x) = x, samt rita dess graf. Egenskaperna (1 3) för absolutbelopp rutan, s8. Bevisa triangelolikheten för reella tal (=regel 3, s8). Detta är ett specialfall av triangelolikheten för komplexa tal. Kunna lösa ekvationer/olikheter med absolutbelopp, enligt Ex 7 9. Observera särskilt Ex 8 och övning 41, som båda enklast löses via geometrisk tolkning (avstånd). P2 Analytisk geometri: Koordinatsystemet R R (=xy-systemet), avstånd, linjer, cirkeln. Indelningen av R R i kvadranter enligt fig. P.10, s11. Avståndsformeln rutan s12, se Ex 2 och Ex 3. Beteckningarna x och y, se Ex 1. Behärska följande varianter av linjens ekvation: y = mx + b (m=lutningen, b= skärning med y-axeln), y = m(x a) (m=lutningen, a= skärning med x-axeln) resp y = m(x x 1 ) + y 1 (där (x 1,y 1 ) är en given punkt på linjen). Känna till att om m 1 och m 2 är lutningarna (slope) till två vinkelräta linjer så gäller att m 1 m 2 = 1 (se fig. P.17, s14). Kunna ekvationen för en cirkel med radien r och medelpunkt i origo. P3 Grafer (=lösningsmängd) till kvadratiska ekvationer: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f. Kunna allmänna ekvationen för en cirkel: (x h) 2 + (y k) 2 = a 2 (s18, a = radie, (h,k) = medelpunkt). Kunna rita lösningsmängden till en kvadratisk olikhet, se Ex 4 (det inre kallas cirkelskiva). Parabelns ekvation (ej härledning) och graf: y = k(x x 0 ) 2 + y 0 (eller x = k(y y 0 ) 2 + x 0 ), se Ex 6 9 och tillhörande figurer. Observera skalning (beror på k, se fig. P.28) och skiftning (beror på x 0 och y 0, se fig. P.10. Reflektionsegenskapen enligt fig. P.26. Ellipsens ekvation och graf: (x x 0) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1, se Ex 12 och fig. P.31 (där x 0 = y 0 = 0). Skiftning: x 0 och y 0. Excentricitet: Förhållandet mellan a och b. Observera specialfallet a = b, som ger en cirkel. Hyperbelns ekvation och graf i fallet: x2 a 2 y2 = 1, observera minustecknet. Begreppet asymptot, se fig. b2 P.33. Genom kvadratkompletteringar m.a.p. x och y kunna identifiera grafen till en kvadratisk ekvation, se Ex 3, Ex 11, samt övning 7 och 15. P6 Detta avsnitt är repetition av kap. 8.3 i Elementär algebra.
P7 Trigonometriska funktioner. Definition 6 av begreppet radian, se fig. P.64. Se också Ex 1. Definition 7 av sin(t) och cos(t), se fig. P.66. Alla trigonometriska samband som finns i rutor s46 50 ska kunnas, särskilt viktigt är additionsformlerna i Theorem 2, s49 (som dock inte behöver kunna bevisas). Det är centralt att kunna använda sig av enhetscirkeln för att motivera symmetriegenskaper, som t.ex. att sin(π x) = sin(x). Definition 8 av funktionerna tan, cot, sec (sekanten) och csc (cosekanten). Graferna till sin(x), cos(x), tan(x) och cot(x) ska kunnas. Bevisa sinussatsen och cosinussatsen (Theorem 3, s54), och tillämpa dem i problemlösning, se Ex 10 11. Kunna areasatsen: T = 1 2absinC, där T är triangelarean.