6.1 Process capability σ LSL µ USL Kapabiliteten eller dugligheten jämför förmågan hos en process (med väntevärde µ och standardavvikelse σ) med de krav vi har på den i form av givna specifikationsgränser (LSL, USL).
Det är vanligtvis nödvändigt att få information om kapabiliteten för en process då den är under kontroll. Anta att vi har en normalfördelad population med väntevärde µ och standardavvikelse σ. För en sådan population är sannolikheten att få ett värde större än µ + 3σ eller mindre än µ - 3σ cirka 0.0027.
Vi säger att de naturliga toleransgränserna är: NUTL= µ + 3σ NLTL= µ - 3σ Dvs. för en process som är under kontroll bör 99.73% av observationerna hamna innanför de naturliga toleransgränserna.
Två saker kan noteras: 1. 0.27% utanför dessa gränser låter lite men utgör 2700 felaktiga per 1 miljon tillverkade. 2. Om processen inte är normalfördelad kan andelen utanför gränserna skilja sig mycket från 0.27% Om vi har många observationer är histogrammet tillsammans med medelvärdet och standardavvikelsen för observationerna ett utmärkt sätt att uppskatta de naturliga toleransgränserna µ ± 3σ.
Längder i mm hos 20 stickprov om vardera 5 kamaxlar, från två olika leverantörer (supp1 och supp2). Specifikationsgränser: 600 ± 2 mm, dvs LSL = 598, USL = 602 Xbar-S Chart of Supp1 600.5 UC L=600.321 Sample Mean 600.0 599.5 _ X=599.548 599.0 LC L=598.775 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 20 UC L=1.132 1.00 Sample StDev 0.75 0.50 0.25 _ S=0.542 0.00 LC L=0 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 20 (Minitab. Dataset: Camshaft2.mtw)
Summary for Supp1 A nderson-darling Normality Test A -Squared 0.84 P-V alue 0.029 Mean 599.55 StDev 0.62 V ariance 0.38 Skew ness -0.082566 Kurtosis 0.745102 N 100 597.75 598.50 599.25 600.00 600.75 Minimum 597.80 1st Q uartile 599.20 Median 599.60 3rd Q uartile 600.00 Maximum 601.20 95% C onfidence Interv al for Mean 599.43 599.67 95% C onfidence Interv al for Median 599.40 599.60 Mean 95% Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev 0.54 0.72 Median 599.40 599.45 599.50 599.55 599.60 599.65 599.70 Histogrammet och testet av normalitet stöder inte att kamaxellängderna från leverantör 1 är normalfördelade (p-värde = 0.029). Vi kan inte säkert påstå att 99,73% av längderna kommer att ligga inom 6σ. (Minitab. Dataset: Camshaft2.mtw)
Man skiljer på två typer av standardavvikelser; overall resp within. Processens within-standardavvikelse kan uppskattas på många sätt: Medelstandardavvikelse 601.5 Run Chart of Supp1 Pooled standardavvikelse 601.0 Medel- range 600.5 600.0 Supp1 599.5 Overall-standardavvikelsen baseras på s uträknad med alla observationerna. 599.0 598.5 598.0 2 4 6 8 10 12 Sample 14 16 18 20 (Minitab. Dataset: Camshaft2.mtw)
Processens within-standardavvikelse beräknas här med pooled standardavvikelse. Process Capability of Supp1 P rocess Data LSL 598.00000 Target * U SL 602.00000 Sample M ean 599.54800 Sample N 100 StDev (Within) 0.57643 StDev (O v erall) 0.62086 LSL USL Within Ov erall P otential (Within) C apability C p 1.16 C PL 0.90 C PU 1.42 C pk 0.90 C C pk 1.16 O v erall C apability Pp 1.07 PPL 0.83 PPU 1.32 Ppk 0.83 C pm * 597.75 598.50 599.25 600.00 600.75 601.50 O bserv ed Performance PPM < LSL 10000.00 PPM > USL 0.00 PPM Total 10000.00 Exp. Within P erformance PPM < LSL 3621.06 PPM > USL 10.51 PPM Total 3631.57 Exp. O v erall Performance PPM < LSL 6328.16 PPM > USL 39.19 PPM Total 6367.35 Stat Quality Tools Capability Analysis Normal
Beroende på hur vi väljer att skatta standardavvikelsen σ kan vi nu uppskatta de naturliga toleransgränserna. Vi kan antingen använda 599.548 ± 3 0.6209 = (597.69, 601.41) eller 599.548 ± 3 0.5764 = (597.81, 601.28). Detta kan jämföras med de i exemplet givna specifikationsgränserna 598 respektive 602. Vi kan notera att vi har en produktion som ligger lägre i värde än vad som avses. (Här kan man fråga sig om börvärdet µ = 600 eller om µ är närmare 599.5)
Ett mått på processens kapabilitet (duglighet) är kvoten USL LSL Cp = 6σ där USL och LSL är specifikationsgränserna. Eftersom σ oftast är okänd ersätts den av en skattning av σ (antingen within eller overall standardavvikelsen). Används overall -skattningen betecknas kvoten Pp i MINITAB.
Cp och Pp (potentiell kapabilitetskvot) är mått på förmågan hos processen att tillverka produkter som uppfyller specifikationerna. Toleransområdets bredd (6σ) bör inte vara större än specifikationsviddens bredd (USL-LSL). (1/Cp) 100 anger hur stor procentuell andel av specifikationsvidden som används av processen.
Cp > 1 innebär att de flesta enheterna uppfyller toleransgränserna (om processen är centrerat runt önskat väntevärde µ). Cp 1 innebär att cirka 99.73% av enheterna uppfyller toleransgränserna (om processen är centrerat runt önskat väntevärde µ). Cp < 1 innebär att en lägre andel av enheterna uppfyller toleransgränserna.
Tumregel (enligt MINITAB) Cp > 1.33. I exemplet blir Cp = (602-598)/(6 0.5764) = 1.157 (within) Pp = (602-598)/(6 0.6208) = 1.074 (overall)
Cp (Pp) tar inte hänsyn till var processens medelvärde är lokaliserat i förhållande till specifikationsgränserna. Cp mäter endast utbredningen av specifikationerna i förhållande till 6- sigma utbredningen i processen. Om processen har ett medelvärde som avviker från centrum av specifikationen kommer den aktuella kapabiliteten att vara lägre än Cp (den potentiella kapabiliteten).
Ett mått på den aktuella kapabiliteten är USL µ µ LSL Cpk = min, 3σ 3σ vilken skattas med CPU = min 3σ USL X X LSL min, 3ˆ σ 3ˆ σ CPL, 3σ I exemplet får vi med within -skattningen Cpk = min[(602 599.548)/(3 0.5764), (599.548-598)/(3 0.5764) = min[1.42, 0.90] = 0.90
Om vi istället använder overall -skattningen får vi motsvarande mått Ppk = min[(602 599.548)/(3 0.6208), (599.548-598)/(3 0.6208)] = = min[1.32, 0.83] = 0.83
Ett annat mått på den aktuella kapabiliteten som MINITAB ger är där CCpk = USL ˆ µ ˆ µ LSL min, 3σ 3σ ˆ µ = target (USL - LSL)/2 x om target anges om USL och LSL är angivet men ej target annars
MINITAB anger också kapabilitetsmåttet Cpm som tar hänsyn till hur långt bort man ligger i förhållande till target när standardavvikelsen beräknas. Target specificeras under options. 2 StDev = ( xi target) /( n 1)
Process Capability of Supp1 P rocess Data LS L 598.00000 Target 600.00000 USL 602.00000 S ample M ean 599.54800 Sample N 100 S tdev (Within) 0.57643 S tdev (O v erall) 0.62086 LSL Target USL Within Ov erall P otential (Within) C apability C p 1.16 C PL 0.90 C PU 1.42 C pk 0.90 C C pk 1.16 O v erall C apability Pp 1.07 PPL 0.83 PPU 1.32 Ppk 0.83 C pm 0.87 597.75 598.50 599.25 600.00 600.75 601.50 O bserv ed Performance PPM < LSL 10000.00 PPM > USL 0.00 PPM Total 10000.00 E xp. Within P erformance PPM < LSL 3621.06 PPM > USL 10.51 PPM Total 3631.57 Exp. O v erall Performance PPM < LSL 6328.16 PPM > USL 39.19 PPM Total 6367.35 Under options är target satt till 600.
Betraktar vi datamaterialet finner man att en observation var lägre än LSL medan ingen var större än USL. Vi observerade 1 på 100 som var mindre än LSL, dvs. 10000 ppm (parts per million) Vi fann också att 0 ppm var större än USL. Totalt: 10000 ppm var utanför toleransgränserna (Minitab. Dataset: Camshaft2.mtw)
Eftersom vi antar att observationerna är normalfördelade kan vi bestämma sannolikheterna att en observation skall hamna utanför toleransgränserna. P(Obs < LSL) = 0.0036211 Vi förväntar oss i genomsnitt att finna 3621.1 av en miljon observationer nedanför LSL. Räknar vi med StDev (Overall) = 0.6208 får vi att P(Obs < LSL) = 0.0063299 (Minitab. Dataset: Camshaft2.mtw)
Process Capability Sixpack of Supp1 Xbar Chart Capability Histogram UCL=600.321 Sample Mean 600.0 599.5 599.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 _ X=599.548 LCL=598.775 598.0 598.5 599.0 599.5 600.0 600.5 601.0 3.0 R Chart UCL=2.835 Normal Prob Plot A D: 0.844, P: 0.029 Sample Range 1.5 0.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 _ R=1.341 LCL=0 598 600 602 Values 601.5 600.0 598.5 Last 2 0 Subgroups Within S tdev 0.57643 C p 1.16 C pk 0.90 C C pk 1.16 Capability Plot Within Overall O v erall S tdev 0.62086 Pp 1.07 Ppk 0.83 C pm 0.87 5 10 Sample 15 20 Specs Stat Quality Tools Capability Sixpack Normal