Britt Holmberg & Cecilia Kilhamn Subtraktion på den tomma tallinjen Författarna visar tre olika tankemodeller för subtraktion på tallinjen. Varje modell redovisas med för- och nackdelar samt exemplifieras med autentiska elevlösningar. En mer teoretisk beskrivning av tallinjen som didaktiskt redskap finns i en artikel i Nämnaren 2014:2. I boken Constructing number sense, addition and subtraction skriver Catherine Fosnot och Maarten Dolk: Genom att representera barnens tanke modeller tillhandahåller läraren en skriftlig dokumentation av barnens aktivitet. Detta tillåter andra barn att se tankemodellen; den blir en bild som kan diskuteras. I den här artikeln visar vi tre olika tankemodeller för subtraktion på tallinjen. Alla tre utnyttjar uppdelning av tal på ett strategiskt sätt, ofta i syfte att göra del-operationer för att hamna på vänliga tal, till exempel jämna femeller tiotal. Subtraktion som avstånd på tallinjen Här ses a och b som punkter på tallinjen och c som avståndet mellan dessa punkter. Differensen, alltså resultat av subtraktionen, syns i avståndet. Modellen visar en statisk subtraktion. Fördel: Modellen är enkel när talen ligger nära varandra. Avståndet kan avläsas både genom att räkna upp och räkna ner. Nackdel: Avståndet är en längd, den har ingen riktning. Avståndet är lika långt mellan a och b som mellan b och a, det är samma avstånd både när man räknar upp och när man räknar ner och därför kan man inte se skillnaden mellan a b och b a, vilket ofta orsakar svårigheter. De två subtraktionerna 71 69 = (+2) och 69 71 = (-2) har olika differens men avståndet mellan punkterna 71 och 69 är 2 i båda fallen. Storleken på avståndet kan kallas absolutbelopp. Så länge subtraktionerna är av typen a b där a > b är det inget problem men så snart man möter en subtraktion där a < b uppstår problem. Klassrumsexempel På de två följande bilderna har Ilona och Kia i åk 5 sett subtraktionen 71 69 som avståndet mellan punkterna 71 och 69. Vi ser att avståndet blir 2 enheter långt oavsett om man räknar upp från 69 eller ner från 71. 7
Ilonas och Kias lösningar på 71 69 = 2 Ilona räknar ner från 71 till 69, ett steg i taget. Två saker är lite problematiska i Ilonas bild: dels är tallinjen felvänd så att talens värde på tallinjen inte stiger åt höger och dels blir resultatet av räkningen två minussteg. Detta skulle kunna misstolkas som att svaret är -2. Ilona behöver få syn på subtraktionen som ett avstånd utan riktning. Kia räknar upp med ett enda tankeled och löser uppgiften väldigt effektivt. Här vet vi inte om Kia ser differensen som ett avstånd som är 2 enheter långt eller om hon löser subtraktionen med inverterad addition (se nedan). Avståndet skulle kunna tydliggöras genom att avstå från att sätta ut en riktning, så här: Ett annat sätt att tydliggöra avståndet utan riktning är att arbeta med en dubbel tallinje. När det ena talet sätts ut ovanför tallinjen och det andra under tallinjen framträder skillnaden mellan dem tydligt. I en sådan illustration är alla de ingående talen avstånd på tallinjen. Subtraktion som rörelse bakåt på tallinjen Här är a en punkt, b är längden på en rörelse bakåt (subtraktionstecknet anger att rörelsens riktning är bakåt) och c är en ny punkt. Differensen syns i den punkt man hamnar på efter rörelsen. Tankemodellen visar en dynamisk subtraktion. Fördel: Det är en intuitiv tankemodell som relaterar till tanken att ta bort eller att backa de steg man redan har gått. Modellen är densamma som för en dynamisk addition x + y = z där det första talet är en punkt, det andra talet en rörelse och resultatet efter rörelsen är en ny punkt. Subtraktionerna a b och b a skildrar helt olika situationer. 8
Nackdel: a och c kan vara negativa tal, men inte b (rörelsen) eftersom det är svårt att förstå vad en negativ rörelse bakåt skulle innebära. Rörelsens riktning bakåt är redan bestämd av subtraktionstecknet. Klassrumsexempel Bilderna visar lösningar från elever i åk 5. Det är första gången de använder den tomma tallinjen. Mats lösning på 71 69 = 2 Mats löser uppgiften 71 69, som var så enkel med tankemodellen subtraktion som avstånd, på ett mindre effektivt sätt. Han börjar på det första talet 71 och ser subtraktionen som en rörelse 69 enheter bakåt på tallinjen. Uppdelningen av talet 69 görs på ett sätt som inte underlättar för huvudräkning eftersom 71 9 inte är enkelt. Här löser Liam och Amina 71 69 = 2 Liam och Amina löser också uppgiften 71 69 genom att börja på talet 71 och se subtraktionen som en rörelse 69 enheter bakåt på tallinjen, men de gör det på ett effektivt sätt genom att göra stora sammanhängande rörelser. De gör olika uppdelningar av talet 69 i antingen 60 och 9 (Liam) eller 61 och 8 (Amina). Aminas uppdelning gör att hon slipper en tiotalsövergång och utnyttjar att hon hamnar på ett jämnt tiotal. Liams tallinje är dock felvänd. 9
Här löser Eva 372 368 = 4 Eva börjar på det första talet 372 och ser subtraktionen som en rörelse 368 enheter bakåt på tallinjen. Hon väljer att röra sig i jämna hundra- och tiotalssteg på ett effektivt sätt och visar på tallinjen vilka tal hon hamnar på efter varje del-subtraktion. Kims lösning på 35 19 = 16 Kim börjar på det första talet 35 och ser subtraktionen som en rörelse 19 enheter bakåt på tallinjen. Han delar upp talet 9 i 5 och 4 för att utnyttja strategin att landa på jämna tiotal (30, 20), men har inte skrivit ut på tallinjen vilka tal han hamnar på efter del-subtraktionerna. Från 20 återstår 4 att subtrahera så han hamnar på 16. Resultatet är inte markerat exakt där rörelsen slutar men tallinjen fungerar som ett stöd för hans huvudräkning, det är en modell för tanken. På den här uppgiften hade det inte varit enklare att se subtraktionen som ett avstånd. Däremot hade man kunnat tänka sig en ännu effektivare uppdelning av tal genom att hoppa för långt: 35 20 + 1 = 16. Subtraktion som inverterad addition Om a b = c så följer att b + c = a eftersom addition och subtraktion är varandras inverser. Här ses a och b som punkter och c är en rörelse med riktning från b till a. Tankemodellen visar en dynamisk situation. Vi skriver på följande vis: a b = c b + c = a 5 3 = 2 3 + 2 = 5 5 3 = x 3 + x = 5 Tänk så här: jag vill till punkt a och har redan kommit till punkt b, vad är kvar? Alla tre talen kan vara både positiva och negativa så modellen är användbar även inom ett större talområde. Eftersom c är det tal som adderas blir en rörelse framåt en addition av ett positivt tal och en rörelse bakåt en addition av ett negativt tal. En vanlig konvention är att inte skriva ut plustecknet framför ett positivt tal, som exempelvis: 20 18 = 2 eftersom 18 + 2 = 20 18 20 = (-2) eftersom 20 + (-2) = 18 10
Fördel: Modellen liknar subtraktion som avstånd men är mer utvecklingsbar och kan användas även för subtraktioner där a < b. Modellen kopplar samman de båda räknesätten addition och subtraktion. Klassrumsexempel Här visar vi exempel på en kort lektionssekvens där subtraktion som inverterad addition på tallinjen implementeras som modell för tänkandet. Målet är att använda tankemodellen för att kunna lösa subtraktionen 2,3 1,8. Det är andra gången denna femteklass arbetar med den öppna tallinjen. Vi beskriver först undervisningsgången och visar sedan elevernas lösningar. Hela undervisningssekvensen varade ca 30 minuter. Lektionen börjar med en repetition av hur tallinjen ser ut med tallinjens riktning åt höger och av decimaltalens uppbyggnad i heltal, decimaltecken och tiondelar. Därefter visar läraren hur en elev under lektionen innan hade löst 71 69. Eleverna får frågan om samma tankemodell skulle kunna användas på andra subtraktioner och de får därefter arbeta individuellt i ca 10 minuter med den kedja av uppgifter som syns här till höger. Uppgifterna är valda för att stödja elevernas utveckling av just tankemodellen subtraktion som inverterad addition. Övningen avslutas med att var och en först visar sina lösningar för en kompis, sedan blir det uppsamling i helklass. Varje uppgift illustreras på tavlan av en elev och lösningen diskuteras. Finns det olika lösningar diskuteras även dessa. Olas lösning på 101 99 = 2 Ola använder den presenterade tankemodellen att addera 99 + 2 = 101. Elenas lösning på 302 299 = 3 Odas lösning på 302 299 = 3 11
Elena visar att avståndet mellan punkterna 302 och 299 är 3 enheter. Det går inte att se på hennes bild om hon adderar 299 + 3 = 302 eller enbart fokuserar avståndet mellan punkterna 302 och 299. Oda däremot visar tydligt att hon löser subtraktionen genom den inverterade additionen 299 + 3 = 302. Frans lösning på 5 4,5 = 0,5 Peters lösning på 5 4,5 = 0,5 Både Frans och Peter löser subtraktionen genom den inverterade additionen 4,5 + 0,5 = 5. Frans gör hoppet 0,5 i ett steg medan Peter adderar en tiondel i taget. Linas lösning på 5 4,5 = 0,5 Lina berättar när hon redovisar att hon ser likheten med talen 50 och 45 när hon ska rita 5 och 4,5 på tallinjen, så därför sätter hon först ut heltalen 4 och 5 och därefter 4,5 mitt emellan. Hon vet att det är 1,0 från 4 till 5 och alltså 0,5 från 4,5 till 5. Milis och Linas lösningar på 2,3 1,8 = 0,5 12
Både Mili och Lina löser subtraktionen genom den inverterade additionen 1,8 + 0,5 = 2,3. Mili gör det i ett steg 0,5 enheter långt medan Lina delar upp 0,5 i 0,2 och 0,3 för att göra en del-operation som landar på det jämna heltalet 2,0. Odas lösning på 2,3 1,8 = 0,5 Oda har en alternativ tankemodell. Istället för att koppla samman subtraktionen med den inverterade additionen gör hon en koppling till subtraktionen av den andra delen. Detta kan beskrivas så här: om a b = c så gäller också att a c = b. Istället för att beräkna 2,3 1,8 = x har Oda valt att beräkna 2,3 x = 1,8, vilket ritas på tallinjen som de två punkterna 2,3 och 1,8 och rörelsen -0,5 däremellan. Här ses subtraktion som rörelse bakåt men det är rörelsens längd som är det sökta talet. Liksom med modellen subtraktion som avstånd som beskrevs tidigare är svårigheten här att Oda har gjort en minuspil när hon subtraherat 0,5 medan svaret hon söker är 0,5 inte -0,5. Oda har koll på detta, men hon har visst vänt tallinjen åt fel håll. Ett par elever i klassen fortsatte att vända på tallinjens riktning. Lärarens roll I undervisning om och med den tomma tallinjen är lärarens roll att hjälpa eleven att göra en modell av sin tanke så att denna tankemodell sedan kan bli en modell för tänkandet. I den beskrivna lektionen fångade läraren upp en tankemodell för subtraktion som en elev i klassen hade använt. Läraren hjälpte till att formalisera den och presentera den för övriga elever i klassen. Därefter skapade läraren en kedja av uppgifter som fungerade bra med just den tankemodellen och som slutade i en uppgift som eleverna annars skulle funnit svår att lösa. Genom att alla arbetade med uppgiftskedjan utvecklades subtraktion som inverterad addition på tallinjen som en modell för tänkandet hos de flesta av eleverna i den här klassen. Ett mer långsiktigt mål med undervisning om och med den tomma tallinjen är att lyfta och jämföra olika tankemodeller så att eleverna utvecklar allt effektivare modeller och sin förmåga att välja den mest effektiva tankemodellen för varje uppgift. Litteratur Fosnot, C., & Dolk, M. (2001). Constructing number sense, addition and subtraction. Portsmouth: Heinemann. Kilhamn, C. (2014). Tallinjen som didaktiskt redskap. Nämnaren 2014:2. 13