Värme- och masstransport II, 5p Ronny Östin vt-006 FEMLAB INLÄMNINGSUPPGIFTER 1
Inledning Innan du börjar bearbeta simuleringsuppgifterna i detta kompendium bör du ha genomfört de rekommenderade övningsexemplen, som finns på kurshemsidan. Detta ger en god introduktion i själva arbetsprocessen med FEMLAB, dvs hantering av modell-navigatorn, ritfunktioner (Draw mode), specifikation av randvillkor (Boundary mode), specifikation av materialparametrar och initialvillkor (Subdomain mode), finit element indelning (Mesh mode), själva problemlösaren (Solve) och resultatbehandling (Postprocessing). Uppgifterna i detta kompendium skall redovisas individuellt och i form av en skriftlig resultatsammanställning. Här avses inte en komplett rapport, utan snarare att resultaten presenteras i illustrativa figurer med tillhörande beskrivningar och sammanfattande kommentarer. Nyttjade indata, var i Femlab dessa inmatats (boundary eller subdomain mode) och antalet finita element, som simuleringsresultaten är baserade på skall sammanställas i tabellform. För resultatredovisning i figurform, använd med fördel klipp och klistra mellan FEMLAB och WORD!
MODELLERING AV -D VÄRMETRANSPORT Uppgift 1: Avkylningsförlopp i en stålplatta Vid tillverkningsprocessen av stålämnen (längder över 5 m) med materialdata enligt följande: densitet 7850 kg/m 3, specifik värmekapacitet 445 J/kgK, värmeledningsförmåga 16 W/mK, termisk diffusivitet 4,58x10-6 m /s ingår att stålet, som har en temperatur på 600 C, nedsänks i en stor vattenbassäng. Bassängen har en konstant vattentemperatur på 0 C. Varje stålämne har en tvärsnittsyta med måtten, tjocklek 0,03 m och höjd 1 m. Värmeutbytet mellan stålämnet och omgivande vatten kan förenklat beskrivas av en konstant värmeövergångskoefficient på 300 W/m K. Ange i en tabell använda FEMLAB-inställningar, dvs boundary settings, subdomain settings och 1.1. Åskådliggör i ett diagram betydelsen av antalet finita beräkningselement (använd Refine Mesh) för simuleringsresultatet av centrumtemperaturens tidsberoende under 15-0 sekunder. Kommentera vilket antal element som kan anses vara tillräckligt! 1.. Via i ett diagram hur temperaturen i plattans centrum varierar från det att hela plattan nedsänkts i vattenbadet och förvarats där under minuter och jämför motsvarande för en punkt närmare den vertikala ytan och kommentera varför temperaturförloppen ser olika ut! 1.3. Jämför simulerad centrumtemperatur med motsvarande beräknad enligt nedan generella analytiska samband för tiden, t=50 sekunder. Redovisa din tillämpning av den analytiska lösningen. Visa även grafiskt i samma diagram hur avvikelsen mellan analytiskt- och simulerat temperaturförlopp ser ut för tidsintervallet, 0 till 50 sekunder. Kommentera eventuella avvikelser! 1.4. Simulera ett avsvalningsförlopp under tex 1 minut. Analysera simuleringsresultaten och motivera huruvida detta problem kan approximeras som ett termiskt problem i en eller två dimensioner? 1.5. I simuleringarnas värld är det enkelt att studera inverkan från olika parametrar. Analysera avsvalningsförloppet, under ca minuter, om du laborerar med materialparametrarna (tex halverar, dubblerar) i jämförelse med de ursprungliga värdena. Kommentera resultaten, som du illustrerar i diagram, angående rimlighet och orsak! Generell analytisk lösning (se t.ex. Incropera och DeWitt Fundamentals of Heat and mass transfer, Bejan Heat Transfer eller Y. A Cengel Heat Transfer a Practical Approach): x Θ( x t) = * *, An exp ( λ n Fo) cos( λn x ) där x = n= 1 L 3
Uppgift : Uppvärmningsförlopp i en elkabel I en cirkulär strömkabel flödar en konstant ström på 10 A. Kabelns elektriska ledare utgörs av koppar med diametern 0,001 m, vidare ett yttre isolerskikt av polyvinylklorid (PVC) vars diameter är 0,003 m. Kabeln omges av luft med temperaturen 0 C och det kan antas att den konvektiva värmeövergångskoefficienten är 16 W/m K. Materialparametrar och erforderliga termiska data hämtas ur tabell eller lämplig litteratur. Vid simuleringen kan man bortse från resistivitetens temperaturberoende. Analytiskt;.1 Använd nedan ekvation för att härleda det analytiska sambandet för temperaturfördelningen genom själva isolerskiktet vid stationärt tillstånd. Det framtagna sambandet skall alltså beskriva hur temperaturfördelningen i skiktet varierar map omgivningstemperatur, ström och resistans i ledaren. Med FEMLAB;. Bestäm temperaturfördelningen, från gränsskiktet kopparledare/isolering till utvändig yta på isolerskiktet, vid termisk jämvikt. Jämför simulerad temperaturfördelning med analytiskt beräknad temperaturfördelning enligt uppgift.1..3 Bestäm värmeflödet (W/m ) mellan elkabel och omgivning, vid stationärt tillstånd, och jämför med tillförd effekt enligt givna förutsättningar, kommentarer!.4 Åskådliggör uppvärmningsförloppet, från det att strömmen slås på till dess att maximal temperatur i ledaren erhålls, kommentarer!.5 Om hänsyn tas till värmestrålningsförluster från elkabeln (anta tex att omgivande ytor har 5 C lägre temperatur än lufttemperaturen), hur ser då uppvärmningsförloppet ut i jämförelse med resultatet enligt uppgift.4. Energiekvationen Med konstant värmeledningsförmåga gäller generellt i cylindriska koordinater; 1 T T + r r r 1 T + r θ T + z + q k ρc = k P T t 4
Uppgift 3: Frysrisk i vattenledning En vattenledning av polyetylen, 3 mm diameter och godstjocklek 4 mm, ligger på ett markdjup av 0.5 meter. Vattenledningen förser en sommarstuga med dricksvatten. Övrig tid på året är vattnet stillastående i ledningen. Fastighetsägaren har funderingar på att installera en värmekabel i vattenledningen för att vid behov även kunna nyttja dricksvatten under vintertid. Ägaren har ett visst energitekniskt intresse och funderar bla på hur lång tid det tar innan vattnet i nuvarande ledning fryser, dels om marken är belagd av snö eller inte och vidare vilken effekt en värmekabel (förlagd i slangen) bör ha för att motverka frysning. Ytterligare en fundering är hur lång tid det tar, med frusen vattenledning, från det att strömmen kopplas på till värmekabeln tills det att vattnet är tinat och vattenpumpen kan startas. Samtliga beräkningar kan göras med antagande om en konstant utomhustemperatur på -13 C, normalt snödjup för aktuell ort är 0,3 meter. Ingen hänsyn tas till isbildningsvärmet! Materialparametrar och erforderliga termiska data hämtas ur tabell eller lämplig litteratur. 3.1 Åskådliggör i en figur temperaturändringen i vattnet, med respektive utan snötäcke på marken. Hur lång tid krävs för respektive fall för att frysrisk skall uppstå och vilken temperaturhöjning innebär det aktuella snödjupet vid stationärt tillstånd? 3. Uppskatta effekten, i W/m, som en värmekabel skulle behöva dimensioneras för om man vill motverka frysning utan snötäcke, om man betraktar samma tidsintervall som krävdes för fallet med snötäcke? Illustrera med en figur och kommentera resultatet! 3.3 Vilken värmeeffekt (i W/m) skulle krävas för fallet utan snö, för att garantera att frysning aldrig inträffar? Vilken maximal vattentemperatur i ledningen (med påslagen värmekabel) skulle denna värmeeffekt innebära för fallet med snötäcke på marken? Åskådliggör temperaturförloppen i en figur! 3.4 Om värmeeffekten enligt uppgift 3.3 installeras i vattenledningen, hur lång tid skulle det då krävas innan vattnet upptinas för de aktuella typfallen (anta att vattenledning och dess omgivning har samma initiala temperatur)? Kommentera dina resultat, som du redovisar i en figur! 3.5 Simulera andra rimliga åtgärder (minst två) för att undvika frysning under 8 veckor, utan hjälp av en värmekabel. Beskriv simulerade åtgärder och redovisa resultaten i figurform! 5
Uppgift 4: Kylbana för framställning av stålbalkar Vid framställning av stålbalkar, tvärsnitt 0.1 x 0. m, används en kontinuerlig valsprocess, dvs smält stål (1400 C) tillförs kontinuerligt till en kylbana som transporterar den blivande stålbalken (ρ = 7800 kg/m 3, c = 0.7 KJ/kgK, k = 30 W/mK) med en hastighet av 0.015 m/s. Själva kylbanan har en mängd vattendysor som kyler samtliga sidor av den blivande balken. Den omgivande lufttemperatur är uppmätt mitt 50 C och eftersom det kylande mediet är vatten räknar man med en värmeövergångskoefficient på kw/m K. Med avseende på efterföljande bearbetningsprocess får inte någon av balkens ytor överstiga 105 C, hur lång måste kylbanan vara för att garantera denna temperatur? Ange i en tabell använda FEMLAB-inställningar, boundary settings, subdomain settings, antalet element samt erforderliga beräkningar och resultat som är avgörande för bestämning av kylbanans längd. 6
MODELLERING AV 3-D VÄRMETRANSPORT Uppgift 5: Värmeflöden i ett granitblock Ett block, x = 0.3 m (bredd), y = 0. m (höjd), z = 0. m (längd), av granit utsätts för olika termiska villkor, vid en omgivande lufttemperatur på 0 C, enligt följande, se även skiss nedan; ytorna xy vid z 0, xz vid y 0 och xz vid y 0. : konvektiv värmeövergångskoeff. = 10 W/m K ytan xy vid z 0. : värmeflöde 1500 W/m ytan yz vid x 0 : 350 K ytan yz vid x 0.3 : 93 K 5.1 Bestäm jämviktstemperaturen i centrum av blocket. 5. Ange den yta som lokalt innehåller det högsta värmeflödet. 5.3 Simulera, med utgångspunkt från initialtemperaturen 0 C i hela blocket, och ange hur lång tid det tar innan temperaturen i centrum ändras med 0,1 C. Ange vidare temperaturen i centrum efter timmar och slutligen hur lång tid det tar innan termisk jämvikt kan anses råda! Samtliga uppgifter skall redovisas i väl illustrerade figurer! 7
Uppgift 6: Värmeförluster i en balkongkonstruktion Denna uppgift handlar om termiska konsekvenser (temperaturer och värmeförluster) för olika konstruktionsutföranden, skiss nedan, av balkonger i ett flervåningshus. Med olika konstruktionslösningar avses om balkonggolvet är det samma som golvet inomhus, varmed balkonggolvet därmed kan misstänkas utgöra en kylande fläns. Eller om balkonggolvet är separerat, dvs distanserad från ytterväggen. Materialdata; Balkonggolvet: 00 kg/m 3, 0.88 kj/kgk och W/mK. Tjocklek 0. m. Ytterväggen: 1000 kg/m 3, 0.8 kj/kgk och 1 W/mK. Väggtjocklek 0. m. Övriga förutsättningar; alla utvändiga ytor har den totala värmeövergångskoefficienten 5 W/m K och alla invändiga ytor har 8 W/m K, i båda fallen inklusive värmekonvektion och -strålning. Utomhustemperaturen kan förutsättas konstant, -5 C, och inomhustemperaturen 0 C. 6.1 Bestäm värmeflödet genom väggen vid termisk jämvikt, för de olika balkonglösningarna. Kommentera särskilt vilka delar som har 3-dimensionellt värmeflöde! 6. Med antagandet att utomhustemperaturen ändras från stationärt 5 C till stationärt -5 C, beräkna och redovisa i diagram inomhusgolvets yttemperatur, 0 till 0.5 m från väggen, efter 1, och 5 timmar för det olika balkongkonstruktionerna. Kommentarer? 6.3 Förfina modellen så att t.ex. ytterväggen består av materialskikt, liknande en mer verklig yttervägg, och undersök på nytt yttemperaturer, enligt uppgift 6.. 8
MULTIFYSIKALISKA PROBLEM Uppgift 7: Påtvingad fri konvektion, laminär strömning För grundläggande teori, se Incropera, DeWitt Fundamentals of Heat and mass transfer (kap 6 och 7), Bejan Heat Transfer (kap 5) eller Cengel Heat Transfer A Practical Approach (kap 6 och 7). Allmän problembeskrivning En fluid med temperaturen 0 C strömmar ovan en yta som i fall A har en konstant yttemperatur på 80 C och i fall B har en konstant värmeeffekt på 3 kw/m. När en fluid strömmar ovan en plan slät yta, i detta fall med längden 0,1 m, utvecklas gränsskikt med avseende på såväl hastighet (se figur nedan) som temperatur. Det senare förutsätter att fluidens och ytans temperatur är olika. I denna simuleringsuppgift skall två fluider, vatten och luft, undersökas. Värden på erforderliga fluidparametrar tas vid filmtemperaturen, kan förenklat få gälla även i fall B. Anpassa den ostörda inloppshastigheten (at the leading edge) då fluiden utgörs av vatten så att hastighetsgränsskiktets tjocklek vid ytans ändkant, dvs vid x=0,1, blir ca -4 mm. Använd samma hastighet (för typfall A och B) även då fluiden utgörs av luft. Tips för modellering Rita en rektangel och ange erforderliga randvillkor och fluidparametrar. Gör inte rektangeln alltför smal map ovan nämnda tjocklek på hastighetsgränsskiktet. Eftersom intresset är fokuserat på gränsskikten (dvs vari allt händer) måste antalet finita elementen (vid randen närmast gränsskiktet) ökas. Detta görs genom att i menyn Mesh välja Parameters och vid Maximum element size ange tex: 1e-4 (se Mesh elements i User s Guide). 9
7.1 Ange gällande PDE för problemsimuleringen! 7. Redovisa på lämpligt sätt hastighets- och termiskt gränsskikt om fluiden är vatten respektive luft. Kommentera resultatet med utgångspunkt från teorin! Fall A; 7.3 Variationen i vatten- och lufttemperaturen i gränsskiktet, 0,001 m ovan den plana ytan, från in- till utloppet. 7.4 Variationen i den lokala värmeövergångskoefficienten, h(x), från in- till utloppet om fluiden utgörs av vatten respektive luft. 7.5 Jämför erhållna värden för de lokala värmeövergångskoefficienterna med motsvarande beräknade mha gällande samband för Nusselts tal. Ange Nusselts samband och kommentera orsaker till eventuella avvikelser! Fall B; 7.6 Variationen av yttemperaturen, från in- till utloppet, hos den plana ytan om fluiden utgörs av vatten respektive luft. 7.7 Variationen i den lokala värmeövergångskoefficienten, h(x), från in- till utloppet om fluiden utgörs av vatten respektive luft. 7.8 Jämför erhållna värden för de lokala värmeövergångskoefficienterna med motsvarande beräknade mha gällande samband för Nusselts tal. Ange Nusselts samband och kommentera eventuella avvikelser! 10
Uppgift 8: Alternativ 1 Hitta på ett eget simuleringsproblem Konstruera ett eget problem, som kräver femlabs lösningskapacitet. Formulera problembeskrivning, analysera och redovisa lösningsresultaten med tillhörande kommentarer. Använd gärna den i Femlab inbyggda rapport-generatorn för sammanställning. Alternativ - Värmefolie Nedfallande istappar från tak och hängrännor utgör på våra breddgrader ett stort problem. Ofta används elektriska värmekablar för att hålla hängrännor isfria. En värmekabel är dock inte optimal map den värmeöverförande ytan. En uppfinnare har därför en idé som baseras på en värmefolie försedd med lågspänd dc, enligt följande schematiska utformning; Polyvinylklorid (PVC) Elektriskt ledande band Den elektriska ledaren utgörs av kopparband med bredden 10 mm och tjockleken mm. Dessa ledningsband är ingjutna i PVC vars tjocklek är 6 mm. En komplett värmefolie föreslås innehåller 6 ledningsband, vara 10 mm bred och ha en längd av 0. m. Flera värmefolier kan enkelt kopplas ihop för att åstadkomma olika längder. En elektrisk likspänning läggs på i respektive bands längdriktning. Tips för simulering I detta fall är geometrin ett problem, dvs tjockleken är betydligt mindre än både längd och bredd. Med standardinställning för Meshning resulterar detta i onödigt många frihetsgrader, vilket betyder orimligt tidskrävande beräkningar. En smart lösning på problemet finns på http://www.comsol.com/support/knowledgebase/. Din uppgift är att göra erforderliga antaganden för att simulera temperaturfördelning och effektbehov och därmed uppskatta vad som krävs för att motverka isbildning över hela värmefoliens yta. Undersök också hur snabbt värmefolien uppvärms. Du har full frihet att föreslå och simulera modifieringar som reducerar effektbehovet för att undvika isbildning. Redovisa en klargörande beskrivning med antaganden, resultat och rekommendationer till uppfinnaren! 11