SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

Relevanta dokument
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.

Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E

SF1914/SF1916: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.

Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet

Grundläggande matematisk statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi

Matematisk statistik - Slumpens matematik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik

Kombinatorik och sannolikhetslära

TAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp

Föreläsning 1, Matematisk statistik för M

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse

Grundläggande matematisk statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

Kap 2: Några grundläggande begrepp

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

Sannolikhetsbegreppet

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5

3 Grundläggande sannolikhetsteori

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Finansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten

TMS136. Föreläsning 1

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

TMS136. Föreläsning 1

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

TMS136. Föreläsning 2

4 Diskret stokastisk variabel

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Reliability analysis in engineering applications

Matematisk statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer

TMS136. Föreläsning 2

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3

Grundläggande matematisk statistik

Föreläsning 1. Grundläggande begrepp

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Introföreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori

Introföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

Föreläsning G70 Statistik A

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar

SF1911: Statistik för bioteknik

Välkommen till Matematik 3 för lärare!

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel.

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

Anna: Bertil: Cecilia:

Finansiell statistik, vt-05. Bayes sats. Bayes sats; forts. F3 Sannolikhetsteori. Exempel: antag att vi har tre skålar P( ) = 0 P( ) = 2/5 P( ) = 4/5

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018

Grundläggande matematisk statistik

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära

{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}

Transkript:

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016

SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket är en experiment som kan upprepas om och om igen och där resultatet inte kan på förhand avgöras. Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas för utfall, betecknas med ω. Mängden av möjliga utfall kallas utfallsrum, bet. med Ω, det gäller att ω Ω. Händelse är uppsättning intressanta utfall. Bet. med A, B, C,.... För en händelse A gäller det att A Ω, dvs A är delmängd av Ω. Sedan presentarades några viktiga händelser, Venndiagram samt operationer från grundläggande mängdlära.

KOLMOGOROVS AXIOMSYSTEM (REP.) Sannolikhetsmått P(A) för varje A Ω. Axiomatiska uppbygnaden av sannolikhetslära. Grundbegriffe, (1933) av A.N. Kolmogorov. Sannolikhetsmåttet P ska uppfylla förljande axiom Ax. 1: För varje händelse A gäller det att 0 P(A) 1. Ax. 2: För hela Ω gäller att P(Ω) = 1 Ax. 3: Om A 1, A 2,..., är en följd av av parvis oförenliga händelser så gäller att P (A 1 A 2... ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + Överensstämmer med frekvenstolkningen av P(A). Masstolkning av P(A): lägg ut massan av 1 på Ω. Då är P(A) = massan på A.

LIKFORMIG SANNOLIKHETSFÖRDELNING (REP.) Ω består av m stycken lika möjliga utfall (utfallsrummet är diskret), Ω = {ω 1, ω 2,..., ω m }, dvs. p i = P(ω i ) = 1/m för alla i = 1,..., m och enl. Ax. 3 får vi den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Betrakta A Ω som innehåller g utfall. Då gäller 1 ant. för A gynsamma utfall P(A) = P(ω i ) = = = g m ant. möjliga utfall m. ω i A ω i A

GRUNDLÄGGANDE KOMBINATORIK (REP.) Sats (Multiplikationsprincipen). Antag att åtgärd i kan utföras på a i olika sätt där i = 1, 2,..., n, dvs n st olika åtgärd föreligger. I så fall finns det totalt a 1 a 2 a 3 a n sätt att utföra de n åtgärdena. Med hjälp av multiplikationsprincipen kan man bestämma antalet sätt att välja ut k st element bland n distinkta. Sats: Med återläggn.(må) Utan återläggn.(uå) Med ordningshänsyn (Mo) n k n! (n k)! Utan ordningshänsyn (Uo) ( n+k 1 k ) ( n k ) = n! k!(n k)! Urnmodeller. Ex på tavla.

GRUNDLÄGGANDE KOMBINATORIK (REP.) FIGUR : En klassisk unmodell är ett av statistikerns favoritobjekt som används för sannolikhetsberäkningar. I samband med likformiga sannolikhetsfördelningar finns många praktiska problem som kan lösas genom att återföra problemen till dragning av föremål från urnor.

GRUNDLÄGGANDE KOMBINATORIK (REP.) I en urna finns s svarta och v vita kulor. Man drar slumpmässigt n kulor ur urnan. Hur stor är sannolikhet att k vita kulor errhålls vid dragningen? Antag att dragning är utan återläggning. Då blir det sökta sannolikhet (see Blom, avsn, 2.5, del a)) ( v k )( s n k ) ( v+s n ) Antag nu att dragning var med återläggning. Nu får vi (see Blom, avsn, 2.5, del b)) ( ) ( ) n v k ( ) s n k. k v + s v + s

BETINGAD SANNOLIKHET Hur påverkar information om att en händelse inträffar sannolikheterna för att andra händelser gör det? Antag att vi vet att B har inträffat. Vad är sannolikhet av någon annan händelse A giver att B har inträffat? Bet. P(A B). Ex. på tavla: spamfiltrering. Definition. Låt A och B vara två händelser, P(B) > 0. Uttrycket P(A B) = P(A B) P(B) kallas den betingade sannolikheten för A givet att B hat inträffat.

NYTTIGA SATSER OM BETINGADE SANNOLIKHETER Sats: Lagen om total sannolikhet. Betrakta händelserna H 1,..., H n som är parvis oförenliga och n i=1 H i = Ω. Då gäller för varje händelse A att P(A) = n P (A H i )P (H i ). i=1 Exempel på tavla.

NYTTIGA SATSER OM BETINGADE SANNOLIKHETER Bayes formel. Konsten att vända en betingad sannolikhet.. Hur kan man beräkna P(B A) om man känner P(A B)? Ur definitionen för betingning får vi att sannolikheten för snitthändelsen kan beräknas på två sätt: P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A). Från detta får man P(B A) = P(A B)P(B). P(A) Om vi i formeln ovan låter B = H i och använder lagen om total sannolikhet på P(A) erhålls följande Sats: Bayes Sats. Under samma villkor som i lagen om total sannolikhet gäller att P(H i A) = P(A H i )P(H i ) n j=1 P(A H j )P(H j ) för i = 1,..., n.

BAYES SATS FIGUR : Thomas Bayes ( 1702 1761) var en engelsk matematiker, statistiker och presbyteriansk präst. Han är mest känd för att ha beskrivit ett matematiskt samband som senare av Richard Price formulerades om till Bayes sats. För en viss typ av statistisk slutledningsprincip är Bayes sats fundamental vilket även antyds as dess namn bayesiansk statistik. Denna statistiska princip, som fått enormt uppsving sedan slutet av 1900-talet i och med datorernas ökade beräkningskapacitet, beskrivs i Blom bok, avsn. 11. s. 277.

EXEMPEL: TBC-TEST. Förekomsten av TBC-smitta i en viss delbefolkning är 20%. Låt S + beteckna händelse att personen verkligen är smittad, dvs P(S + ) = 0.2 och P(S ) = 0.8. Det snabbtest man kan utföra för att resta förekomst av TBC-smitta är inte perfekt. Låt T + beteckna händelsen att personen testar positivt och T, pss negativt Givet är P(en smittad person ger ett positivt test) = P(T + S + ) = 0.9 (och 0.1 att det blir negativt uttslag), P(en icke-smittad person ger ett negativt test) = P(T S ) = 0.7 (och 0.3 att det blir positivt uttslag).

EXEMPEL: TBC-TEST (FORTS.) Fråga 1: Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald person ger ett positivt test? Svar: med hälp av lagen om total sannolikhet får vi Obs! P(T + ) = P(T + S + )P(S + ) + P(T + S )P(S ) = 0.9 0.2 + 0.3 0.8 = 0.42. Betingade sannolikheter också uppfyller kriterierna för att vara sannolikhetsmått, t ex P(T S + ) = 1 P(T + S + ) = 0.1.

EXEMPEL: TBC-TEST (FORTS.) Fråga 2: Vad är sannolikheten att en person som testar positivt verkligen är smittad? Svar: med hälp av Bayes sats får vi Tolkning: P(S + T + ) = P(T + S + )P(S + ) P(T + S + )P(S + ) + P(T + S )P(S ) = 0.9 0.2 0.9 0.2 + 0.3 0.8 0.429. Det är ca 43% sannolikhet att man verkligen är sjuk om testet givit positivt utfall.

OBEROENDE HÄNDELSER Om händelsen B inte påverkar sannolikheten för att A inträffar så får vi P(A B) = P(A) och pss P(B A) = P(B). Uttryckt med hjälp av def. av betingade sannolikheter P(A) = P(A B) = Detta leder till definition: P(A B) P(B) P(A B) = P(A)P(B). Om P(A B) = P(A)P(B) sägs A och B vara oberoende. Obs! Oförenliga händelser är ej oberoende! På tavlan i mån av tid.

OBEROENDE HÄNDELSER (FORTS.) Om A och B är oberoende är även A och B, A och B, samt A och B oberoende: P(A B ) = P(A) P(A B) = P(A) P(A)P(B) = P(A)(1 P(B)) = P(A)P(B ). Alla, ingen och någon. Utvidgning till fler än två händelser. På tavlan i i mån av tid.