Kära dataelev på Björnekullaskolan!

Kära dataelev på Björnekullaskolan! fig 1. Blomma plockad från djupet av gränsen till mandelbrotmängden. Kort repetition av hur det funkar Under första lektionen har jag försökt förklara den enklaste trollformel man kan göra fraktaler av: z -> z 2 + c Vad säger nu denna trollformel? Den säger att vi har en variabel z som vi kvadrerar (multiplicerar med sig själv) och därefter lägger till en konstant (parameter) c. Resultatet blir sedan ett nytt z som vi kvadrerar och lägger till konstanten c etc. Både variabeln z och parametern c är s k komplexa tal, se faktarutan sidan 3. Varje varv man kör i formeln kallas för en iteration. Den följd av tal man får för ett visst startvärde på z, kallas detta startvärdes orbit. Färgerna i bilden sätts efter antalet iterationer man måste göra innan variabeln z eventuellt börjar rusa mot oändligheten, vilket den gör när den passerat en radie på 2 från dynamikplanets centrum. För juliamängder representerar bildpunkterna (pixlarna) olika startvärden på z, medan för 1

Generering av juliamängder z imag Pixlar c imag z reell c reell Varje pixel representerar ett startvärde på z. z -> z 2 + c = Parameter som styr utseendet på juliamängden. Nytt z Generering av mandelbrotmängden Dynamikplanet Parameterplanet Dynamikplanet Parameterplanet z imag c imag Pixlar z reell c reell z = 0 är startvärde. z -> z 2 + c = Varje pixel representerar ett parametervärde på c. Nytt z 2

mandelbrotmängden bildpunkterna representerar olika värden på parametern c medan variabeln z har startvärdet 0. Schemat på föregående sida visar hur det funkar. För dom som vill veta mer rekommenderar jag mitt stora kompendium: Vägen till mandelbrotmängden. Introduktion till matematiken bakom julia- och mandelbrot-fraktalerna för folk med grundskolekompetens i matematik. Drygt 40-sidigt kompendium som beskriver det matematiska och figurmässiga sambandet mellan juliamängderna och mandelbrotmängden. Innehåller ett 30-tal illustrationer. Ett måste för alla som är nyfikna på fraktaler, men som saknar förkunskaper. Alla konstiga ord som iteration, orbit, komplexa tal etc förklaras utförligt. Kompendiet kan laddas ner som en pdf-fil från min hemsida: klippan.seths.se/ik/ik Dispositionen är gjord för dubbelsidig utskrift. Håll till godo! Beträffande bilderna i detta häfte är figur 1-3 samt 9-16 förstoringar i (gränsen till) mandelbrotmängden. Figur 9-14 är en demonstration av hur färgerna sätts. Faktaruta : Komplexa talplanet 3i -1+2i 2i i -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 -i 3-i -2i Det finns inget tal på tallinjen som multiplicerat med sig själv blir -1, eller något annat negativt tal heller. Därför har matematikerna uppfunnit de imaginära talen, i, 2i 3i, etc där i är definierat så att i 2 = -1. Dessa imaginära tal bildar en egen tallinje som ligger vinkelrät mot den vanliga reella tallinjen. På så vis bildas det komplexa talplanet (komplex = sammansatt). Figuren ovan visar hur dom båda komplexa talen 3-i och -1+2i ligger i det komplexa talplanet. 3

fig 2 & 3. Dessa motiv, liksom figur 1, är jättedjupa förstoringar i gränsen till mandelbrotmängden gjorda med fractal extreme. 4

fig 4 (ovan). Anfall från fjärde dimensionen. fig 5 (nedan). Vild dans. 5

fig 6. En av det kubiska monstrets otaliga drakkäftar som bara väntar på att slita er rätlinjiga uppfattning om världen i stycken. Chaotic Series År 2001-2002 skrev jag en illustrerad artikelserie för ett par mejlgrupper på nätet. Dessa har jag nu (äntligen) laddat upp på en egen sida. Enda förkunskapskravet för den matematiska delen är kännedom om vad komplexa tal är. Men ni var väl vakna under föredraget, så det skall inte vara några problem. Exempel på titlar är, The complete Lesbian Mystery, Cracks, where do they come from, The reason why the Trolls burst etc. Direktadressen till artikelserien är: http://klippan.seths.se/fractals/articles Ett par av artiklarna handlar om hur mönstrerna i mandelbrotfiguren är uppbyggda, något som jag ska berätta lite om sist i andra föredraget. Från article 16 och ett antal artiklar framåt, introduceras den fulla motsvarigheten till mandelbrotmängden för kubiska polynom. Om trollformeln för mandelbrotmängden (se sidan 10), relaterad till andragrads eller kvadratiska polynom, är: z -> z 2 + c där mandelbrotmängden residerar på c- (parameter-) planet och utgörs av de komplexa parametrar (= #pixlar) c för vilken den kritiska punkten z = 0 har en begränsad orbit (inte rusar mot oändligheten), lyder trollformeln för den fulla motsvarigheten till mandelbrotmängden för kubiska polynom: z -> z 3-3a 2 z + b 6

där denna "fulla motsvarighet" utgörs av de komplexa parametrar, a och b, för vilka båda dom kritiska punkterna z = +a och z = -a har begränsade orbits. Vidare innebär det faktum att vi här har två komplexa parametrar, a och b, att vi inte har ett parameterplan utan en parameter- rymd med utsträckning i fyra dimensioner, alltså en dimension mer än rummet. Om högt ärade dataelev kunde röra sig ut i en fjärde dimensionen en lagom sträcka skulle ni se alla inoch ut-sidor samtidigt av det hus ni nu troligen befinner er i. Alla rum och dolda utrymmen skulle ligga vidöppna för er, inbegripet att ni skulle se alla inälvor hos folk och fä som befann sig i huset. Förutsatt att ni hade ert förstånd i behåll, skulle ni sedan kunna tömma skolans elevskåp utan att öppna låset eller lämna några som helst spår efter er. En fotboll skulle ni, genom att ta ut den i fjärde dimensionen, kunna vända ut och in utan att skada den och sedan återföra den till rummet. Eftersom vi människor inte ens kan fantisera om fler än tre dimensioner, får detta monstrum därför studeras i tre- eller tvådimensionella genomskärningar (vilket man gör genom att fixera värdet längs en eller två av axlarna och låta datorn plotta de övriga). Matematiken har däremot inga som helst fördomar om hur många dimensioner det finns. I detta häfte är fig 4 & 5 två olika 3D-snitt och fig 6-8 inzomningar av olika 2D-snitt av detta fyrdimensionella monster. Figur 4-6 är körda med avseende på båda dom kritiska punkterna. En väldigt instruktiv sajt om fjärde dimensionen, som i sig inte har med fraktaler att göra, är: http://www.mds.mdh.se/~mas95jed/dim/ Filtyper i fraktalprogram Alla fraktalprogram som är något att ha har dels interna filtyper, d v s filer som öppnas i programmet, samt externa filtyper, t ex bmp och jpg, avsedda att exporteras till andra program. Dessa senare behandlas under kapitlet Publicering av bilder (nedan). Om interna filtyper: 1) Fraktalfil. Hela den uppkörda bilden laddas tillbaka i fraktalprogrammet och man kan fortsätta att zooma, ändra färgskala etc. Denna filtyp saknas i Fractal Explorer. 2) Parameterfil. Den sparade bilden körs upp på nytt varefter man, precis som ovan, kan fortsätta att zooma, ändra färgskala etc. Fördelen med en parameterfil jämfört med en fraktalfil är att den tar väldigt lite plats, endast 1-3 kb. Tala om informationskomprimering! Nackdelen är att datorn måste räkna fram bilden på nytt när den laddas, vilket ibland kan ta lite tid. 3) Färgskalefil. En fil som innehåller endast färgskalan för en bild. Vitsen med att spara endast färgskalan hos en bild är att man sen kan ladda in den i en annan bild. Färgskalan ingår alltid i en parameterfil. Publicering av bilder, anti-aliasing Ju högre upplösning man kör upp en fraktalbild i, desto bättre blir den. Om ni ska publicera en sådan på nätet eller i tryck räcker det inte att köra upp den i skärmupplösningen (oftast 1024x768) om den ska bli bra. Därför kör man upp 7

bilden i ett par gånger högre upplösning och krymper den sedan i ett grafiskt program, t ex Paint Shop Pro eller Photoshop. När bilden krymps utförs s k anti-aliasing vilket innebär att varje bildpunkt i den krympta bilden visar ett slags färgmedelvärde för bildpunkterna den representerar i den större bilden. På detta vis får man en mycket mindre blurrig och mer tydlig bild. Många fraktalprogram har möjligheter till intern anti-aliasing, men jag rekommenderar starkt denna externa metod, man har bättre koll bl a. Om du vill göra en bakgrundsbild på 1024x768 pixlar med extern anti-aliasing, gör enligt följande: 1) öka upplösningen till åtminstone 3600x2700. Själv kör jag nuförtiden ofta upp dom till 6400x4800. 2) Spara den som bmp, inte som jpg. 3) Ladda in den i Paint Shop Pro eller Photoshop. 4) Krymp den till, i detta fall, 1024x768. 5) Om bilden blivit fadd kan man lägga på lite oskarp mask. 6) Spara bilden som jpg med lämplig komprimeringsfaktor Proceduren är densamma om man ska skriva ut den, men då bör ni inte spara den som jpg. OBS! Ska ni skriva ut eller trycka den hos en reprofirma, bör ni leverera den i sin ursprungliga höga upplösning och ej som jpg-fil. Dom gör själva det grafiska arbetet med att ändra storlek etc. Fraktaler på Internet Under nedanstående länk finns ett stort antal fraktalprogram att ladda hem http://home.att.net/~paul.n.lee/fractal_software.html Bilderna i detta häfte är gjorda med två olika program. Djupförstoringarna i mandelbrotmängden, fig 1-3, är gjorda med fractal extreme. Med detta program kan man zooma långt bortom gränsen för s k dubbel precision. Detta har att göra med hur långa flyttal mattechipset kan räkna med. Bortom denna gräns används inte detta chips utan programmet får använda sig av hemmasnickrade rutiner. Resten av bilderna är gjorda med kultprogrammet Ultra Fractal. Till detta kan man skriva egna plugins. En mycket duktig plugin-programmerare är min gode vän Stig Pettersson. Det är han som skrivit modulen som jag gjort dom "kubiska" bilderna i detta lilla häfte med. Om du söker på sökorden fraktaler, fractals, Mandelbrot, på t ex Google, får du en halv oändlighet av träffar. På min egen hemsida (sist i häftet) hittar du länkar till andra sajter med fraktaler, bl a till ovan nämnde Stig Pettersson. Det finns många bildsajter där man kan lägga upp sina fraktaler på, t ex http://www.deviantart.com som har en särskild avdelning under Digital art som heter Fractal art. Själv har jag ett konto där med fler än 350 bakgrunder. Direktadressen till mitt konto är: http://fractalmonster.deviantart.com Detta var kort fraktaler. Har ni några frågor, hör gärna av er till er lärare i matte/data/bild, eller till mig. 8

fig 7 (ovan). Ikebana (förstoring av övre vänstra partiet i nästa bild). fig 8 (nedan). Silverhammare. 9

Färgerna runt mandelbrotmängden I en fraktal av mandel & julia typ, befinner sig en punkt endera innanför eller utanför mängden. Ta nu mandelbrotmängden som exempel. I en datorbild av mandelbrotmängden (eller en del av den) är skärmen uppbyggd av ett antal bildelement (pixlar) som representerar olika c i iterations formeln z -> z 2 + c med start z = 0. När vi nu itererar kommer variabeln z antingen efter ett antal iterationer att börja rusa mot oändligheten, vilket den gör om den kommer utanför radien 2, eller att för evigt vara fångad inom en radie av 2 sett från z- planets centrum. I det första fallet tillhör korresponderande c inte mandelbrotmängden, medan den tillhör mandelbrotmängden i det andra fallet. Men detta har behandlats på dom första sidorna av detta häfte samt under föredraget. Nedan följer en serie på sex bilder (fig 9-14) som alla visar samma utsnitt av mandelbrotmängden. Dom 5 första är rent svartvita medan den sjätte är i gråskala. Låt oss titta på den första (fig 9). Det framgår väldigt tydligt vad jag talar om. Den svarta delen är en del av mandelbrotmängden, den vita är det inte. Men stopp ett ögonblick. I denna bild ger programmet upp efter 100 iterationer. Med det menas att om inte variabeln z, för ett visst värde på c = #pixel, nått utanför en radie på minst 2, ger programmet upp och färgar den pixel svart som motsvarar detta värde på c. Men om vi höjer det maximala iterationstalet till 250? Resultatet visas i figur 10. Den delen av bilden som tillhör mandelbrotmängden har nu krympt. I figur 11-13 har antalet iterationer ökats ytterligare till respektive 500, 1000, och 50 000. Ytterligare höjning av max iterationstalet ger ingen skillnad för detta motiv. De partier som fortfarande är svarta är dom som VERKLIGEN tillhör mandelbrotmängden. Det är dom större och mindre cirklarna samt kopiorna av mandelbrotmängden som till synes flyter omkring för sig själva. Det var så här Benoit Mandelbrot först såg delar av sin mängd. En fråga som nu dyker upp är följande: Är dessa minikopior isolerade öar, eller är dom förbundna med kontinenten med tunna trådar, för tunna att upptäckas av datorns raster? Det var i början av 80-talet som matematikern John Hamal Hubbard (som inte alls ska förväxlas med Ron Hubbard, Scientologins grundare) på matematiskt väg visade att mandelbrotmängden är sammanhängande. I själva verket utgörs dom tunna trådarna i sin helhet av en oändlig hierarki minikopior av olika storlekar! Betrakta nu figur 14. Precis som i figur 13 ger programmet upp efter 50 000 iterationer. Observera att dom svarta partierna är exakt dom samma. Men utanför mängden har nyanserna av gråskala (för dyrt att göra kompendier i färg) satts efter antalet iterationer (upp till 49 999) som programmet gjort innan orbiten (följden av olika z ) passerat escape-radien, som måste vara minst 2 (i mina bilder här är den 10). Detta är det enklaste och mest pedagogiska sättet att sätta färg på denna typ av fraktalbilder. Grånyanserna (som lika gärna kunde vara färger) i figur 14 är som avlagringarna längs en kust som visar hur den svarta kontinenten dragit sig tillbaka, en historia om den iterativa processen. Med en smart färskala bildar färgerna en aura som gör det möjligt att se grenverken där mängden för det mesta är för tunn för att synas. Nära mängden bör färg (eller i vårt fall) gråskalan vara töjd så att det inte är ett enda stort blurr runt grenverken, utan att grenarna syns så pass så man räkna armarna i stjärnorna (om dom inte är för många). 10

fig 9. Max iterationer = 100. fig 10. Max iterationer = 250. fig 11. Max iterationer = 500. 11

fig 12. Max iterationer = 1000. fig 13. Max iterationer = 50000. fig 14. Max iterationer = 50000. Gråskalan anger iterations- historien. Dom vitaste färgerna anger dom c för vilka variabeln z sist har börjat rusa mot oändligheten. 12

Enkelhet och komplexitet Mandelbrotfraktalen har sitt ursprung i den mest enkla icke-linjära funktion man överhuvudtaget kan iterera, z 2 + c, d v s en variabel i kvadrat plus en konstant (parameter). Trots att gränsen till mandelbrotmängden är en oändligt invecklad fraktal, är receptet för alstrandet av den mycket enkel. För dom som lär sig programmera är ett enkelt mandelbrotprogram ren nybörjarprogrammering. Komplexiteten hos resultatet har alltså inget samband med hur komplicerad receptet eller algoritmen är. Folk som kan programmera säger att algoritmen för mandelbrotmängden kräver färre programrader än algoritmen för den oändligt mycket enklare von Koch snöflinga som jag visade i början av föredraget. Detta skulle kunna sammanfattas med följande: 1) Algoritmen (receptet) för att generera mandelbrotmängden och detaljer av denna är mycket enkel (z -> z 2 + c, där z = 0 i utgångsläget, "c varierar med bildpunkterna, och färgerna sätts efter hur många iterationer man måste göra innan z eventuellt börjar rusa mot oändligheten). 2) Beräkningarna för att ta fram en bild av densamma är dock så omfattande att, i praktiken endast en dator kan göra det. För varje bildpunkt på skärmen måste beräkningsloopen snurra kanske upp emot ett antal tusen gånger. Det gör miljoner eller kanske miljarder multiplikationer med långa decimaltal för en förhoppningsfullt vacker fraktalbild. 3) Förklaringen till att krusidullerna i dom på enkla grunder empiriskt framräknade bilderna ser ut som dom gör är dock en fråga för elitmatematikerna. Jag har för mig (när det gäller mandelbrotmängden) att det på deras rotvälska lyder något i stil med bla bla bla bla fundamentalgruppen av ensidigt tvåskift bla bla bla. 4) Tvåskift är nära knutet till den matematiska leken: Jag är ett bråk mellan 0 och 1, dubbla mig gång på gång, men blir jag större än 1 dra ifrån 1 (t ex 1/6 -> 2/6 = 1/3 -> 2/3 -> 4/3 1 = 4/3 3/3 = 1/3 etc). Man kan se bråken som delar av ett helt varv och leken som vinkelfördubblingar. I vidstående exempel får vi alltså orbiten: 1/6 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 etc. När man roterat till 4/3 varv är man i själva verket tillbaka till 1/3 varv, man har sugits in i en 2-periodisk cykel. Ärade läsare kan själva se vad som händer om man kör denna lek med andra bråk mellan 0 och 1. Prova t ex 1/7 eller 3/7! M a o ur yttersta enkelhet växer via ändlösa beräkningar oändlig komplexitet fram, vars förklaringar på mycket hög nivå återigen snubblar över yttersta enkelhet. Eftersom fler och fler former dyker upp i all oändlighet, måste det innebära att vi till slut har att göra med mönster som överträffar varje jordisk struktur inklusive den mänskliga hjärnan. Man har t o m på skämt ställts sig frågan om mandelbrotmängden innehåller intelligent liv!!! Frågan är inte fullt så vrickad som den först kan tyckas. Kanske är det en dold fraktal ordning som gör att en cell kan innehålla all information om en människa? Strukturen framträder mer och mer efterhand som den iterativa processen, i detta fall celldelningen, fortsätter. 13

fig 15 (ovan). Metallic Medusa. fig 16 (nedan). Spirallabytrint (spiralen belägen ca kl 8 i föregående bild). 14

"Hur stor är mandelbrotmängden?" Efter ett populärföredrag inkluderande en videoshow fick jag vid ett tillfälle en knivig fråga av ett ljushuvud om "hur stor mandelbrotfiguren är". Eftersom frågan berör lite av kärnan i begreppet fraktaler återger jag nedan en fingerad version av diskussionen jag hade med vederbörande: - Hur stor är mandelbrotmängden? - Längst den reella talaxeln ligger spetsen av "spiken" på -2, huvudet är centrerat kring -1 och skrevet ligger på +0,25. Längden längs utmed den reella axeln, från skrevet till spetsen av spiken är alltså 2,25 längdenheter. - Ja men hur stort är mandelbrotmängden egentligen? - Mitt svar är kort och gott: Mandelbrotfiguren är precis så stor som du låter ditt datorprogram göra den! - Varav detta diffusa svar? - Mitt svar härpå blir: Betrakta tallinjen. Hur långt är det mellan två heltal, t ex mellan 1 och 2 (en matematisk enhet)? Det bestämmer den som ritar tallinjen. Det hela beror på skala. Vill du se tiondelarna också på ditt kanske rutade papper har du förmodligen större avstånd än om du bara vill se heltalen (se figur 17 nederst på sidan som exempel). Mandelbrotfiguren har en längd mellan spjutspets och skrev på 2,25 matematiska enheter (koordinaterna är -2+0i respektive +0,25+0i). Sedan är det upp till DIG om du vill låta dessa enheter representera centimetrar, metrar, mil, eller ljusår. Eftersosm en fraktal har detaljer hur mycket du än förstorar den, måste du låta datorprogrammet göra förändringar av skalan för att kunna se fler detaljer. När man med sitt datorprogram zoomar i (gränsen av) mandelbrotmängden, fixerar man en viss punkt och förändrar skalan (avståndet mellan varje bildpunkt på skärmen representerar kortare och kortare sträcka) så att fler och fler detaljer framträder. Observera dock att detta endast är förändringar i skala som INTE förändrar mandelbrotfigurens storlek mätt i matematiska enheter. Längden längs den reella talaxeln på 2,25 matematiska enheter är evigt oförändrad. Beträffande dom tre djupförstoringarna i (gränsen till) mandelbrotfiguren i början av detta häfte (fig 1-3), är förstoringen i den sista är så stor att hela mandelbrotfiguren skulle sträcka sig mer än tusen gånger utanför det kända universums gränser! -2-1 0 1 2-0,2-0,1 0 0,1 0,2 fig 17. Tio gångers inzoomning runt nollan på tallinjen. 15

Engelsk läsövning Till sist ett utdrag ur en betraktelse av Jim Muth. Varje dag (nästan) publicerar han sin Fractal of the Day tillsammans med några funderingar. Länk finns på den fraktala delen av min hemsida (se nedan). I have always had a desire to explore the unknown regions, but found myself frustrated because the unknown parts of this world have already been explored and the vast unknown places of other worlds are yet to be reached. The world of fractals fulfilled that desire. To me, fractals are mystical things, objects of a world neither real nor unreal. I am fascinated by them, by the tremendous enigma of their existence, by the way they go on and on forever infinity reduced to the size of a computer screen. I am fascinated by the simplicity of the mathematics behind them, as well as by the incredible pictures they make. But I am fascinated most of all by their philosophical aspect. As I work with them, I constantly wonder what they are, and what do their beautiful patterns mean. What is a fractal? The question is simple; the simple answer is, the mapping of a recursive function to the screen. But stop a moment to consider the Mandelbrot set, one of the simplest fractals. How many Mandelbrot sets exist, one or many? If the Mandelbrot set is merely the image that appears on the computer screen when the formula z -> z 2 + c is reiterated, then thousands of identical Mandelbrot sets are constantly coming into existence and vanishing as thousands of computers are switched on and off worldwide. If these images are separate entities, then why are they identical? Apparently, a unity lies behind the separate images. But if the Mandelbrot set is a single object that has an existence beyond the ephemeral images that flicker on the worlds computer screens, then the question arises, what type of existence does this type of this archetypal Mandelbrot set possess? The question sounds almost comical until one thinks about it. One might also ask, did the Mandelbrot set exist before the computers were invented? Questions such as these are not so easily answered. In some way the Mandelbrot set is no more than an idea, a potentiality like sub-atomic particles, which according to certain interpretation of quantum theory, don't come into existence until they are actually observed. Klippan 2008-01-28 Många Hälsningar Ingvar Kullberg tel 0435-224 83 ik@klippan.seths.se klippan.seths.se/ik/ik 16