Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35 Uppgift nr 9 Lös ekvationssstemet eakt + 6 = 20-5 + 5 = 10 Uppgift nr 3 Lös ekvationssstemet eakt + = 3 3 + 2 = -1 Uppgift nr 10 Uppgift nr Lös ekvationssstemet eakt 3 + = 17 5 - = 7 Uppgift nr 5 Lös ekvationssstemet eakt 13 - = -10-5 = -6 Uppgift nr 6 Lös ekvationssstemet eakt 5 + 11 = 29 5 + 13 = 37 Uppgift nr 7 Lös ekvationssstemet eakt 10-13 = 63 11-2 = -21 Här visas linjerna (graferna) till ekvationerna 3-2 = 2 och + = -6 A/ Avläs punkten, som ligger på båda linjerna. B/ Ange lösningen till ekvationssstemet 3-2 = 2 + = -6 med hjälp av koordinatsstemet. Sid 1
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 11 Uppgift nr 13 Mamma Gun gick med fra barn på museum. Totalt kostade det 110 kr. För dagisfröknarna Cia, Fred, Jane och Per med tio barn blev avgiften 335 kr. Hur stor var entréavgiften för en vuen och hur stor för ett barn? Skall lösas med ekvationssstem. Här visas linjerna (graferna) till ekvationerna - = 3 och 3 + = 16 A/ Avläs punkten, som ligger på båda linjerna. B/ Ange lösningen till ekvationssstemet - = 3 3 + = 16 med hjälp av koordinatsstemet. Uppgift nr 12 Lös ekvationssstemet grafiskt = 3-1 = -2 + 6,5 Uppgift nr 1 Pricka in följande punkter i ett koordinatsstem (3,), (-5,5), (-3,-5) och (1,0) Uppgift nr 15 Du har följande ekvation (med både - och -termer) = 3-3 Beräkna värdena på, dels om = 0 och dels om = 3. Uppgift nr 16 Lös ut ur ekvationen 0 = 5-15 - 20 Uppgift nr 17 Lös ut ur ekvationen 0 = -15 + 9 + 3 Uppgift nr 18 Lös ut ur ekvationen 2-10 + 6 = 0 Sid 2
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 19 Rita grafen till ekvationen = -0,5-3 Uppgift nr 25 Uppgift nr 20 Rita grafen till ekvationen = 1,5-1 Uppgift nr 21 Rita grafen till ekvationen = -1,5 + 2 Uppgift nr 22 Rita grafen till ekvationen = -0,5 + 2 Uppgift nr 23 Undersök utan att använda koordinatstem om punkten (-3,2) ligger på linjen = -6-3 Uppskatta denna linjes lutning. Uppgift nr 26 Uppgift nr 2 Vad menas med en linjes lutning? Uppskatta denna linjes lutning. Sid 3
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 27 Uppgift nr 32 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (16,10) och (1,2) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 33 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (-6,9) och (3,-2) med hjälp av k-formeln. Uppskatta denna linjes lutning. Uppgift nr 28 Rita på rutigt papper en linje med lutningen 5 med trappmetoden. Uppgift nr 29 Rita på rutigt papper en linje med lutningen - 5 8 med trappmetoden. Uppgift nr 30 Rita en linje med k = 1 med trappmetoden. Uppgift nr 31 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (8,12) och (,5) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 3 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (-2,) och (6,-9) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 35 Beräkna var linjen = 6 + skär -aeln. Uppgift nr 36 Beräkna var linjen 3-12 - = 0 skär -aeln. Uppgift nr 37 Ekvationen för en linje är given = -0,5 + 1 A/ Var skär linjen -aeln. B/ Ange linjens lutning. Uppgift nr 38 En linje skär -aeln i punkten (0,-3) och har lutningen -1,5. Skriv linjens ekvation i k-form. Sid
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 39 Ange lutningen k för linjen = - Uppgift nr 2 Uppgift nr 0 Vilken lutning har linjen som ges av följande ekvation? 0 = -16 + - Uppgift nr 1 Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Uppgift nr 3 Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Sid 5
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr Är linjerna = -5,5 + 0,5 och = 5,5 + 1 parallella? Motivera ditt svar. Uppgift nr 5 Är linjerna = 6 + 0,5 och = -6-0,5 parallella? Motivera ditt svar. Uppgift nr 6 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (-3,6) och (,-2). Uppgift nr 7 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (-3,-2) och (1,-1). Uppgift nr 8 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (2,5) och (7,). Uppgift nr 50 Ge ekvationen för en linje, som är parallell med linjen = + 1 och som går genom punkten (8,6). Uppgift nr 51 Rita på rutigt papper en linje med lutningen - 3 5 och en linje med lutningen 5 3. A/ Hur stor blir vinkeln mellan linjerna? B/ Vad blir produkten, om man multiplicerar linjernas k-värden? Uppgift nr 52 En linje har lutningen 1 3. Vilken lutning har en linje, som är vinkelrät mot den? Uppgift nr 53 Ange ekvationen för en linje, som är vinkelrät mot linjen = + 6 och går genom punkten (,5). Uppgift nr 9 Ge ekvationen för en linje, som är parallell med linjen = 5 + 3 och som går genom punkten (3,). Sid 6
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 [Första ekvationen visar att har samma värde som 3.] i andra ekvationen ersätts (substitueras) med 3. [Då fås en ekvation, som kan lösas, eftersom den bara innehåller variabeln ] + 3 = 28 = 28 = 7 = 7 insättes i = 3 [eller i andra ekvationen om man tcker det är lättare] Svar: = 7 och = 21 Uppgift nr 2 [Första ekvationen visar att har samma värde som (5-15).] i andra ekvationen bts mot (5-15) + (5-15) = 3 + 5-15 = 3 + 5 = 3 + 15 9 = 18 = 2 insättes te i första ekvationen = 5 2-15 Svar: = 2 och = -5 Uppgift nr 3 I första ekvationen är det lätt att lösa ut = 3 -...(A) i andra ekvationen ersätts med (3 - ). 3(3 - ) + 2 = -1 9-12 + 2 = -1-12 + 2 = -1-9 -10 = -10 = 1 insättes i ekvationen (A) = 3-1 = 3 - Svar: = -1 och = 1 Uppgift nr [Värden söks på och så att 3 + blir 17 och 5 - blir 7, Det innebär att (3 + ) + (5 - ) skall bli 17 + 7] Ekvationerna adderas [I ekvationen] (3 + ) + (5 - ) = 17 + 7 [tar -termerna ut varandra] 3 + 5 = 17 + 7 8 = 2 = 3 insättes (te) i första ekvationen 3 3 + = 17 = 17-9 = 8 Svar: = 3 och = 2 Uppgift nr 5 [-termerna tar ut varandra om] ekvationerna adderas (13 - ) + ( - 5) = -10-6 13-5 = -10-6 8 = -16 = -2 insättes i (te) andra ekvationen - 5 (-2) = -6 + 10 = -6 = -16 Svar: = och = -2 Uppgift nr 6 En ekvation multipliceras med -1 (alla termer bter tecken) 5 + 11 = 29-5 - 13 = -37 Ekvationerna adderas 11-13 = 29-37 -2 = -8 = insättes i (TEX) första ekvationen 5 + 11 = 29 5 + = 29 5 = -15 Svar: = -3 och = Sid 1
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 7 Andra ekvationen multipliceras med 5 10-13 = 63 55-10 = -105 Ekvationerna adderas -13 + 55 = 63-105 2 = 2 = -1 insättes (te) i andra ekvationen 11 (-1) - 2 = -21-11 - 2 = -21-2 = -10 Svar: = 5 och = -1 Uppgift nr 8 Första ekv. mult. med 5 och andra med 6 5-30 = -35 30 + 66 = -210 Ekvationerna adderas (-termerna ut varandra) 5 + 66 = -35-210 111 = -555 = -5 insättes i (te) första ekvationen 9 (-5) - 6 = -69 5-6 = -69-6 = -2 Svar: = och = -5 Uppgift nr 9 Multiplicera första ekv. med 5 och andra med. -20 + 30 = 100-20 + 20 = 0 En ekvation multipliceras med -1 (alla termer bter tecken). -20 + 30 = 100 20-20 = 0 Ekvationerna adderas 30-20 = 100-0 10 = 60 = 6 insättes i (te) första ekv. + 6 6 = 20 = 20-36 = -16 Svar: = och = 6 Uppgift nr 10 Svar: A/ Punkten (-2,) ser ut att ligga på båda linjerna. B/ -2 och (Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna gör dessa värden att båda ekvationerna stämmer eakt eller nästan eakt om de sätts in i stället för och i ekvationerna. OBSERVERA att avläsningar ALDRIG kan vara EXAKTA! Värdena måste prövas i båda ekvationerna innan man får ange ifall värdena är eakta.) Uppgift nr 11 Svar: A/ Punkten (,1) ser ut att ligga på båda linjerna. B/ och 1 (Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna gör dessa värden att båda ekvationerna stämmer eakt eller nästan eakt om de sätts in i stället för och i ekvationerna. OBSERVERA att avläsningar ALDRIG kan vara EXAKTA! Värdena måste prövas i båda ekvationerna innan man får ange ifall värdena är eakta.) Uppgift nr 12 (Ta ut talpar till ekvationerna. Rita linjerna. Läs av skärningspunkten.) Svar: 1,5 och 3,5 Sid 2
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 13 Antag att avgiften var kr för vuen och kr för barn. Ekvationssstem + = 110 + 10 = 335 Första ekvationen ger = 110 -...(A) i andra ekvationen bts mot 110 - (110 - ) + 10 = 335 0-16 + 10 = 335-16 + 10 = 335-0 -6 = -105 = 17,5 insättes i ekvation (A). Svar: Entréavgifterna var för vuna 0 kr och barn 17,50 kr. Uppgift nr 1 (-5,5) (-3,-5) (1,0) De fra punkternas lägen (3,) Uppgift nr 15 ( = 3-3 0) Svar: = 3 om = 0 och ( = 3-3 3) Svar: = -6 om = 3 [Av ekvationen har vi fått två par av tal. TALPAREN skrivs kortare (0,3) och (3,-6) Alltid -värdet först i parentesen.] Uppgift nr 16 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) -5 = -15-20 [Om du vill så bt först tecken på alla termer, dvs mult ekv med -1 5 = 15 + 20] (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = 3 + Uppgift nr 17 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) -3 = -15 + 9 [Om du vill så bt först tecken på alla termer, dvs mult ekv med -1 3 = 15-9] (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = 5-3 Uppgift nr 18 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) 2 = -6 + 10 (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = -3 + 5 Uppgift nr 19 Eempel på punkter (-6,0), (-5;-0,5), (,-1), (-3;-1,5), (-2,-2), (-1;-2,5), (0,-3), (1;-3,5), (2,), (3;,5), (,-5), (5;-5,5) och (6,-6) Uppgift nr 20 Eempel på punkter (-3;-5,5), (-2,), (-1;-2,5), (0,-1), (1;0,5), (2,2), (3;3,5) och (,5) Sid 3
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 21 Eempel på punkter (-2,5), (-1;3,5), (0,2), (1;0,5), (2,-1), (3;-2,5), (,) och (5;-5,5) Uppgift nr 22 Uppgift nr 23 Vänstra ledet = (-3) = -12 Högra ledet -6-3 = -6-3 2 = -6-6 = -12 Leden får lika värden. Svar: Punkten ligger på linjen. Uppgift nr 2 Svar: Om man går från en punkt på linjen till en annan, menas med lutningen talet man får, om man dividerar förflttningen i höjdled med förflttningen i sidled. Flttning nedåt eller åt vänster anges negativ. Linjens lutning betecknas med bokstaven k. Uppgift nr 25 B [Räknar man rutor te från punkt A ned till B så blir det 5 rutor nedåt (dvs -5 i täljaren) och 3 rutor vänster (dvs -3 i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger -5-3 Svar: k = 1 2 3 Uppgift nr 26 A A Eempel på punkter (-6,5), (-5;,5), (,), (-3;3,5), (-2,3), (-1;2,5), (0,2), (1;1,5), (2,1), (3;0,5), (,0), (5;-0,5) och (6,-1) B [Räknar man rutor te från punkt A ned till B så blir det 5 rutor nedåt (dvs -5 i täljaren) och 9 rutor vänster (dvs -9 i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger -5-9 Svar: k = 5 9 Sid
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 27 Uppgift nr 29 Uppgift nr 30 B A A B k = 1 [Räknar man rutor te från punkt A upp till B så blir det 6 rutor uppåt (dvs 6 i täljaren) och rutor vänster (dvs i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger 6 Svar: k = - 1 1 2 ( = -1,5) Uppgift nr 28 A B - 5 8 skrivs antingen -5 8 eller 5-8 [Fltta från en punkt A, 5 rutor NEDÅT (täljare -5) och sedan 8 rutor HÖGER (nämnare +8) Eller: Fltta från en punkt B, 5 rutor UPPÅT (täljare +5) och sedan 8 rutor VÄNSTER (nämnare -8) ger samma lutning på linjen.] (Heltalet görs till ett bråk.) 1 skrivs 1 1 (en hel). [Med trappmetoden gå från en punkt en ruta uppåt och en ruta åt höger, för att komma till en n punkt på linjen med denna lutning.] Uppgift nr 31 k-formeln 2-1 2-1 ger k = 12-5 8 - = 7 (Eller med andra punkten först i formeln k = 5-12 - 8 = -7 = 7 ) Svar: k = 7 [Markera ett hörn på papperet (A). Fltta steg UPPÅT (täljaren är + ). Därifrån 5 steg HÖGER (nämnaren är +5). Markera var du hamnat (B). Dra linjen.] Uppgift nr 32 k-formeln 2-1 2-1 ger k = 10-2 16-1 = 8 15 (Eller med andra punkten först i formeln k = 2-10 1-16 = -8-15 = 8 15 ) Svar: k = 8 15 Sid 5
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 33 k-formeln 2-1 2-1 ger k = 9 - (-2) -6-3 = 9 + 2-6 - 3 = 11-9 Svar: k = - 11 9 Uppgift nr 3 Uppgift nr 37 (Linjen är skriven i k-form dvs man har löst ut.) A/ Linjen skär -aeln i (0,1) (talet sist i ekvationen m = 1). B/ Lutningen k = -0,5 (talet framför ). Uppgift nr 1 k-formeln 2-1 2-1 ger k = - (-9) -2-6 = + 9-2 - 6 = 13-8 Svar: k = - 13 8 Uppgift nr 35 (Alla punkter på -aeln har -koordinaten = 0.) Sätt = 0 i linjens ekvation = (med lösningen) = -1 Svar: Linjen skär -aeln i (-1,0). (En kurvas skärning med -aeln kallas NOLLSTÄLLE.) Uppgift nr 36 (Alla punkter på -aeln har -koordinaten = 0.) Sätt = 0 i linjens ekvation 3-12 = 0 (med lösningen) = Svar: Linjen skär -aeln i (0,). (I matematiken brukar en linjes skärning med -aeln betecknas med bokstaven m. Här är alltså m =.) Uppgift nr 38 Svar: Linjens ekvation blir = -1,5-3 Uppgift nr 39 [Lutningen är talet framför -termen, när ekvationen som här är skriven på k-form (dvs börjar =...). Ettor skrivs inte ut.] Svar: k = 1 Uppgift nr 0 (Ekvationen skrivs på k-form dvs löses ut. ) = -16 + = + 1 (Lutningen är talet framför när man löst ut.) Svar: Lutningen är (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = 2 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = 2 + 1 Sid 6
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 Uppgift nr 5 Båda linjernas ekvationer är skrivna på k-formen ( har lösts ut). Lutningen är talet framför. Första linjen har k = 6 och den andra k = -6. Svar: Nej linjerna är inte parallella. (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = -1 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = - + 3 (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = -0,5 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = -0,5 - Uppgift nr Båda linjernas ekvationer är skrivna på k-formen ( har lösts ut). Lutningen är talet framför. Första linjen har k = -5,5 och den andra k = 5,5. Svar: Nej linjerna är inte parallella. Uppgift nr 6 k-formeln ger k = -2-6 - (-3) = -2-6 + 3 = -8-1 = 8 Insättning av k = 8, = -3 och = 6 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m 6 = 8 (-3) + m 6 = -2 + m -m = -2-6 -m = -30 m = 30 Svar: = 8 + 30 Uppgift nr 7 k-formeln ger -1 - (-2) k = 1 - (-3) = -1 + 2 1 + 3 = 1 = 0,25 Insättning av k = 0,25, = -3 och = -2 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m -2 = 0,25 (-3) + m -2 = -0,75 + m -m = -0,75 + 2 -m = 1,25 m = -1,25 Svar: = 0,25-1,25 Sid 7
Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 8 k-formeln ger k = - 5 7-2 = - 5 7-2 = -1 5 = -0,2 Insättning av k = -0,2, = 2 och = 5 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m 5 = (-0,2) 2 + m 5 = -0, + m -m = -0, - 5 -m = -5, m = 5, Svar: = -0,2 + 5, Uppgift nr 9 (Givna linjen är redan skriven på k-formen.) k för sökta linjen skall alltså vara 5 för att linjerna skall vara parallella. k = 5 och punkten (3,) insättes i enpunktsformeln - = 5( - 3) - = 5-15 = 5-15 + Svar: = 5-11 Uppgift nr 50 (Givna linjen är redan skriven på k-formen.) k för sökta linjen skall alltså vara för att linjerna skall vara parallella. k = och punkten (8,6) insättes i linjens k-form 6 = 8 + m -m = 8-6 m = -32 + 6 I sökta linjens ekvation är alltså k = och m = -26. Svar: = - 26 Uppgift nr 51 (- 3 5 ) 5 3 = - 3 5 5 3 = -1 Svar: A/ Vinkeln blir 90. B/ Produkten är -1. (Produkten blir alltid -1 om linjerna bildar rät vinkel. Kan skrivas som en formel k 1 k 2 = -1) Uppgift nr 52 Kalla sökta linjens lutning. Formeln k 1 k 2 = -1 ger 1 3 = - 1 Båda leden divideras med 1 3. = (-1) / 1 3 = (-1) 3 1 = - 3 Svar: Vinkelräta linjen har lutningen - 3. Uppgift nr 53 Givna linjen har lutningen (talet framför när ekvationen för linjen är i k-form). Formeln k 1 k 2 = -1 ger sökta linjens k-värde. k = (-1) / k = -0,25 (k-värdet och punktens koordinater i) = k + m ger linjens m-värde. 5 = (-0,25) + m -m = -1-5 m = 6 Svar: Vinkelräta linjen har ekvationen = -0,25 + 6. Sid 8