CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

Relevanta dokument
--x T Kx. Ka = f. K( a a i. = f f i. r i. = a a i. Ke i. a i 1. p i. Ka i. p i Kai α i

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Projekt Finit Element-lösare

Föreläsning 5. Approximationsteori

Omtentamen i DV & TDV

FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.

Omtentamen i DV & TDV

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

Introduktion till PDE med Comsol

Ordinära differentialekvationer,

1. Låt u 0 och v 0 vara tvåvektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt. Antag att följande relation gäller mellan längder av vektorer: u = 2 v = 2 3

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Introduktion till PDE med Comsol

Matrismetod för analys av stångbärverk

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

TMA226 datorlaboration

3 differensekvationer med konstanta koefficienter.

9.3. Egenvärdesproblem

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.

Konvergens för iterativa metoder

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

BT4003/MA6007 Finita elementmetoden, 7.5hp,

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Partiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

) + γy = 0, y(0) = 1,

Sammanfattning (Nummedelen)

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

FYSIKENS MATEMATISKA METODER

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

Icke-linjära ekvationer

Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:

Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012

1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Finita Elementmetoden

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II vt 06 Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod

Något om Taylors formel och Mathematica

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Projekt om Finita Elementmetoden i kursen PDE F, TMA690, HT 2012

FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Övning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

Linjär algebra på några minuter

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Användarmanual till Maple

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Iterativa metoder för linjära ekvationssystem

Vektorgeometri för gymnasister

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Transkript:

Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig riktning kan beräknas. 2: Formulera divergensteoremet och redogör för ingående storheter. Visa hur Green Gauss teorem kan härledas från divergensteoremet. 3: Lös något enklare problem, som kräver att man utnyttjar en funktions gradient, divergensteoremet, och/eller Green Gauss. 4: Skalära randvärdesproblem i D och 2D: div( D u) = f( x, y) D a: Variationsformulera en 2a ordningens differentialekvation (t.ex i 2D:, där är symmetrisk och positivt definit) med givna randvillkor. Ange speciellt vilka krav som måste ställas på inblandade funktioner. b: Vad menas med naturliga (Neumann) respektive väsentliga (Dirichlet) randvillkor? Hur påverkar respektive typ variationsformuleringen? B e D B e c: FE formulera problemet och visa hur matrisen ser ut. Visa hur elementstyvhetsmatrisen (för ett element) beräknas i termer av den konstitutiva matrisen och matrisen, då viktsfunktioner väljs enligt Galerkin. d: Vad menas med Galerkins metod? Visa att Galerkins metod ger en symmetrisk styvhetsmatris. K e: Visa att styvhetsmatrisen blir singulär innan väsentliga randvillkor införs. Visa att styvhetsmatrisen blir positivt definit efter det att väsentliga randvillkor införts. f: Hur påverkar konvektiva randvillkor variationsformuleringen? Räkna ut bidraget till styvhetsmatrisen från ett 2D element med lineära basfunktioner längs en elementsida som ligger på en konvektiv rand. f g: Hur hanteras icke homogena väsentliga randvillkor ( ) i praktiken, dvs. i en FE beräkning? Hur påverkas lastvektorn? u = g 0 på Γ g h: Vad menas med lumpad lastvektor?

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för teknisk mekanik 5: Elasticitetsproblemet i 2 och 3D: a: Givet elasticitetsekvationerna, beskriv i ord hur den svaga formen (variationsproblemet/virtuella arbetets princip) härleds. b: Givet virtuella arbetets princip: FE formulera problemet. Visa hur de obekanta funktionerna approximeras och redogör för hur testfunktionerna väljs enligt Galerkin, så att tillräckligt många ekvationer för att lösa nodvariablerna erhålls. c: Givet FE formuleringen: härled uttrycket för elementstyvhetsmatrisen ( K e ( B e ) T DB e da ). d: Ge en fysikalisk tolkning av de villkor som måste vara uppfyllda för att en elementapproximation ska vara komplett. = A e 0 6: Beskriv assembleringsprocessen. Givet ett FE nät med numrering av nodvariablerna, visa vilka positioner i styvhetsmatrisen som nödvändigtvis kommer att innehålla or och vilka positioner som kan innehålla styvhetstermer. K 0 7: Elementapproximationer: a: Vad menas med kompletta och kompatibla element för ett 2a respektive 4e ordningens problem? Vilket av kraven (kompletthet eller kompatibilitet) måste ovillkorligen vara uppfyllt? b: Vad menas med konforma respektive icke konforma element? C 0 C c: Vad menas med och kontinuitet? d: Ange den allra enklaste ansatts för FE approximationen u h som kan användas då lösningen till Poissons ekvation ska approximeras. C e: Visa hur den sk. matris metoden kan användas för att ta fram basfunktionerna för en 3 nods triangel med raka sidor, men med godtyckligt val av nodkoordinater (matrisen C behöver inte explicit inverteras). 2

8: Redogör för avbildningar: a: Visa hur ett område med enkel geometri i ett lokalt koordinatsystem mappas på ett område med mer allmän form i ett koordinatsystem ( x, y), med hjälp av formfunktioner. ( ξ, η) x y N i = N i ( ξ, η) b: Visa hur derivatorna med avseende på och av en basfunktion beräknas. Definiera speciellt avbildningens Jacobian och visa att derivatorna i ett allmänt fall blir rationella funktioner (då basfunktionerna och formfunktionerna är polynom). c: Visa att Jacobianens determinant måste vara positiv för att en avbildning ska fungera. Ge exempel på några avbildningar som inte ger en positiv determinant. d: Varför bör man så långt som möjligt undvika att använda kraftigt distorderade element i FE beräkningar? e: Vad menas med isoparametriska element? 9: Redogör för numerisk integration: n a: Visa hur Lagrangepolynomen l i ( r), i =, 2,, n, av grad n konstrueras. b: Visa hur f( r) dr approximeras. c: Givet integrationspunkternas läge r i, hur beräknas integrationsvikterna? d: Hur väljs integrationspunkterna i Newton Cotes kvadratur? Vilken nogrannhet har Newton Cote med integrationspunkter? n e: Hur beräknas integrationspunkterna i Gauss kvadratur? Beräkna Gauss punkternas läge för något enklare schema (t.ex 3 punkts integration). Vilken nogrannhet har Gauss med n integrationspunkter? 0: Hur många integrationspunkter (Gauss) krävs för exakt integration av elementstyvhetsmatrisen för ett a: bilineärt 4 nods element med rektangulär geometri respektive allmän 4 siding? b: 8 nods Serendipity element med rektangulär geometri respektive allmän 4 siding med krökta sidor? : Vad menas med reducerad integration? Varför kan reducerad integration vara fördelaktigt (i FE beräkningar) och vilka risker finns? 3

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för teknisk mekanik 2: Euler Bernoulli elastiska linjens ekvation a: Givet elastiska linjen ekvation (med randvillkor): härled den svaga formuleringen och tolka resultatet som ett virtuellt arbete. Vad är naturliga respektive väsentliga randvillkor för problemet? Hur påverkar respektive typ variationsformuleringen? b: Vad krävs för att ett balkelement ska vara komplett respektive kompatibelt? Givet de kubiska basfunktionerna (ekv. 7.62): visa att balkelement är komplett och kompatibelt? 3: Abstrakt formulering: a: Givet vänsterledet i en svag form av ett randvärdesproblem: visa att är symmetrisk och lineär i båda argumenten. a( u, v) a( u, v) u b: Visa att lösningen till variationsproblemet gör funktionalen stationär. Visa att den stationära punkten är ett minimum. Π( v) = --a ( v, v) ( v, f) 2 c: Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som variationsproblemet och visa att det bara finns ett minimum (dvs att lösningen är entydig). d: Visa att potentiella energin i en konform FE approximation inte kan vara lägre än energin i den exakta lösningen. Förklara varför energin i en icke konform FE approximation kan vara lägre än i den exakta, trots att den senare minimerar energin. e = u u h 4: Visa Galerkin ortogonalitet, dvs. att felet i FE approximationen är ortogonalt i energi mot FE rummet V h. Gör en geometriskt tolkning av resultatet. Använd Galerkin ortogonalitet för att visa att energin i a( e, e) = a( u, u) a( u h, u h ) felet är lika med felet i energi:. 5: Konvergens: a: Vad menas med konvergens? Vad krävs av elementapproximationen för att konvergens säkert ska fås (2a och 4e ordningens problem)? Vilket krav kan man släppa på och kanske ändå erhålla konvergens? b: Redogör för konvergenshastigheten hos några vanliga elementtyper under antagande att den exakta lösningen är analytisk. Vad menas med parasitterm? Hur inverkar sigulariteter på konvergenshastigheten? c: Visa att felet i FE approximationen inte kan approximeras med de basfunktioner som använts för att ansätta ; (dvs om vi approximerar, så fås bara ). 6: Redogör för, och metoderna. Vad menas med hierarkisk förfining? Redogör för några fördelar med hierarkisk teknik. e = u u h u h e e h r h p = e i N i e i = 0 4

7: Redogör för den principiella uppbyggnaden av ett adaptivt FE program och ange speciellt vad som skiljer det från ett konventionellt program. Visa hur felet, mätt i energi, kan approximeras med hjälp av hierarkiska basfunktioner. Vilken typ av fel är det man försöker minska med adaptivitet? Vilka andra typer av fel uppträder i allmänhet vid datorberäkningar för att lösa fysiska problem? Ge exempel på de olika typerna. 8: Iterativ lösning av lineära ekvationssystem K a Ka = f = --a T Ka a T f. 2 a: Visa att om är symmetrisk och positivt definit, så minimerar lösningen till funktionen f( a) b: Om a ( i) är en approximativ lösning till ekvationssystemet, så kan en förbättrad lösning fås genom a ( i + ) a i + där är steglängden och en sökriktning. Visa hur optimal steglängd beräknas = ( ) α i d i α i d i i gradient och konjugerad gradientmetod. I vilken mening är den beräknade steglängden optimal? c: Visa hur sökriktningen bestäms i gradient metod respektive konjugerad gradient metod. 5