Framtidens kompetensutveckling för matematiklärare: Från snabba lösningar till strukturellt stöd för att utveckla lärares kärnverksamhet 1
Professor i matematikdidaktik på Mälardalens högskola (MDH) och Gästprofessor på Umeå universitet 2012-2015. Forskargrupp M-TERM: 1 professor, 1 docent, 2 post-docs, 12 doktorander 2
Verksamhet MDH: Matematikdidaktik Lärarutbildning på MDH: Förskola- Gymnasiet Vidareutbildning av verksamma lärare Lärarlyftet. Utbildningsdepartementet- Skolverket-Universitet/Högskolor. Matematiklyftet: Fortbildning av alla Sveriges lärare som undervisar matematik. Forskningsprogram: Räkna med Västerås samt Sverige/Finland. 3
Översikt 1. Vad ska eleverna lära sig? 2. Vad är högkvalitativ klassrumsundervisning? 3. Vad är bra kompetensutveckling av/för/med lärare? 4. Har vi för mycket fokus på lärare? 5. Räkna med Västerås! 4
Matematikkunskaper och läget i Sverige 5
Choklad och Nobelpris? 6
Kunskap i matematik i svenska styrdokument 1. Delar av matematik: rationella tal, algebra, trianglar, sannolikhetlära, linjära funktioner 2. Kompetenser/förmågor/processmål: problemlösningsförmåga, resonemangsförmåga, procedurförmåga, begreppsförståelse, kommunikationsförmåga 7
Styrdokumenten i Sverige influerade av: 1. Kilpatrick, Swaffold, & Findell (2001) Adding it up 2. NCTM Standards (2000) 3. Niss och Jensen (2002) -PISA 8
Matematikresultat och klassrumsundervisning TIMSS 2007 (Skolverket, 2008), TIMSS 2011 (Skolverket, 2012); PISA 2009 (Skolverket, 2010), Skolinspektionen (2010). 1) Sverige störst nedgång av alla länder mellan 1995-2011. 2) Lite fokus på olika förmågor. 3) Elever sitter och räknar själva i boken. 9
Rik/Effektiv/Högkvalitativ klassrumsundervisning i matematik. 10
Vad är högkvalitativ undervisning i matematik? I USA och Japan: Arbeta med Cognitively demanding task Stödja/uppmuntra/betona att elever ska förklara på vilket sätt de tänker Att elever och lärare kopplar lösningar och sätt att tänka till andra elevers sätt att tänka och till matematiska idéer. Att helklassdiskussioner utgår från elevers sätt att resonera men samtidigt strävar mot att göra matematiken rättvis. 11
Skaka hand Det är fest. Alla gäster minglar och skakar hand med varandra. Alla skakar hand med alla. Hur många handskakningar blir det totalt om det är följande antal personer på festen: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10 f) 100 g) p h) Om det görs 300 handskakningar på en fest, hur många gäster är det då på festen? i) Skapa ett eget liknande problem och lös det. 12
Typiskt klassrumsupplägg 1. Lärare väljer och introducera problemet. 2. Elever jobbar enskilt 3. Elever jobbar i grupp. Läraren snappar lösningsstrategier och representationsformer samt guidar. 4. Problemet diskuteras i helklass. 13
Skaka hand På rad Den första skakar hand med alla utom sig själv, den andra med alla utom två, den tredje med alla utom tre o.s.v. 5 personer gör 4 + 3 + 2 + 1 = 10 handskakningar. 14
Skaka hand Drop-in En och en anländer till festen. 5 personer gör 1 + 2 + 3 + 4 = 10 handskakningar. 15
Skaka hand Var och en Varje person skakar hand med alla utom sig själv. För att inte få med dubbelt upp av handskakningar måste vi dividera med 2. 5 personer gör 5 4/2 = 10 handskakningar. 16 16
Uttrycksformer K L A G K: Konkret L: Logisk/språklig A: Algebraisk/aritmetisk G: Grafisk/geometrisk Hagland, Hedrén & Taflin (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. 17
Vanliga utmaningar för lärare - Problemlösning 1. Läraren hjälper eleverna så att problemet blir en uppgift. 2. Eleverna är vana att matematik bara är lösning av rutinuppgifter som tar högst någon minut. 3. Problemlösning blir roliga timmen bortkopplad från den vanliga matematikundervisningen. 4. Eleverna presenterar olika lösningar på tavlan men den viktiga matematiken kommer inte fram. 5. Läraren måste ta många svåra beslut i stunden. 6. Läromedel stöttar inte detta arbetssätt i Sverige. 18
Effektiv fortbildning av matematiklärare 1. Fokus på (a) routines of practice (Stein et al., 2008) and (b) routines of interaction (Coburn & Russell, 2008) 2. Fokus kring praktiknära verktyg t ex: matematiska problem (Carpenter et al., 1996); läromedel (Clements et al., 2011), videofilmer (Ball & Lampert, 1998; Borko et al., 2009) 3. Återkommande träffar under längre tid (Borko, 2004) 4. Kollegialt lärande 5. Fokus på lärares vardagsfrågor (Cobb & Jackson, 2012) 6. Inspel från olika aktörer med olika kompetens 19
1a. Routines of practice för lärare Smith & Stein (2011) problemlösning: 1. Förutsäga innan lektionen 2. Överblicka under lektionen 3. Välja elevlösningar 4. Ordna elevlösningar 5. Koppla och analysera matematiska idéer 20
21
1b Routines of interaction för lärarutbildare och mentorer Lärarutbildare, mentorer och handledare tar ansvar för och press (Coburn & Russell, 2008) lärare och lärarstudenter på nyckelaspekter av undervisning: matematiska idéer och begrepp kopplade problem; förutse möjliga elevlösningar och svårigheter; vad är målet med lektionen? Hur ser det ut i Sverige? Bergwall, Hemmi, Knutsson, & Ryve, (in press) VFU i Sverige och Finland. Hegender (2010). 22
2. Praktiknära verktyg Utbildning och fortbildning med fokus på matematikproblem, läromedel, videoinspelningar osv. Verktyg som enbart används i utbildning; videoinspelningar från klassrum Verktyg som kan användas i klassrum av (1) elever och (2) lärare. Sverige och Finland Lektionsplaneringar: VFU-samtal (Bergwall, et al., in press) Lärarhandledningar (Hemmi, Koljonen, Ahl, Hoelgaard, & Ryve, in press) 23
3. Återkommande träffar Matematiklyftet Learning studies kring teman. Räkna med Västerås. Arbetar genom verksamhetschefer och rektorer för att säkerställa att lärare får möjlighet till återkommande träffar (minst 16 st på ett läsår á 2h). 24
4. Kollegialt lärande I Sverige relativt ovanligt att lärare som undervisar matematik får träffas som grupp. Tydligt fokus i pågående satsningar att grupper av lärare planerar, genomför och reflekterar över klassrumsundervisning. 25
5. Fokus på vardagsfrågor Enligt tidigare, mycket fokus på klassrumsundervisning i svenska fortbildningar av lärare. Hur stöttar läromedel planering och genomförande av undervisning? Hur ställer jag som lärare frågor under lektion för att lyfta resonemang, uppmuntra eleverna att diskutera med varandra, för att koppla ihop olika delar av matematiken? 26
6. Inspel från olika aktörer Viktigt att det finns lärare som redan är bekanta och skillful i att genomföra högkvalitativ undervisning. Det är enligt ovan också viktigt att någon tar ansvaret för att fördjupa diskussionerna bland kollegor. 27
En sjunde aspekt av vikt för Sverige? Fokus på vad lärarna gör i klassrummet! Krävs för att elever ska utveckla matematiska förmågor (cf. work of Cobb, Mercer, Bartolini Bussi, Wertsch.) Lärarhandledningar i Sverige och Finland (Hemmi et al., in press). Jämför material utvecklat i förhållande till NCTM Standards. Effektiv undervisning i Sverige och Finland (Hemmi & Ryve, submitted). 28
Lägger vi för stort ansvar på lärarna? Supporting artefacts like curriculum materials and frameworks guiding teachers in establishing productive routines are crucial for changing classroom practice (Cobb & Jackson, 2012; Franke, Kazemi, & Battey, 2007). However, studies also show that large-scale improvements focused solely on teachers rarely lead to sustainable changes of classroom practices (McLaughlin, 2006). 29
Räkna med Västerås 30
Viktiga utgångspunkter Kombinerat utvecklings- och forskningsprojekt (2012-2015, 16Mkr på MDH) i samarbete mellan Västerås stad och Mälardalens Högskola Jobbar tillsammans med lärare, rektorer, matematikpiloter, mentorer, verksamhetschefer 1. Kunna genomföra projektet 2. Projektet lever kvar 3. Olika aktörer har olika kunskaper Kollegial kompetensutveckling 1. Möjlighet att träffas 2. Produktiva verktyg och rutiner för samtal. Syftar till att utveckla matematikundervisning i klassrummen. 31
Tre huvudspår Pilot/Fokusskolor Nyckelpraktiker Läromedel Ämnesföreträdare Nyckelpraktiker Läromedel Rektorer Pedagogiskt ledarskap Identifiera och diskutera rik matematik 32
Nyckelpraktiker för lärare Matematik genom problemlösning & Formativ undervisning: Matematiska förmågor Att konstruera års- och lektionsplaner. Effektiva grupparbeten Att leda helklassdiskussioner Att välja och använda läromedel Individualisera undervisning 33
Matematik genom problemlösning Räkna med Västerås 34
Grundidéer: Matematik genom problemlösning Elever ska få tänka och resonera kring begreppsliga aspekter av matematik. Undervisningen bygger på en balans mellan att utgå från elevers resonemang och att tydliggöra grundläggande matematiska idéer. 35
Vanliga fallgropar 1. Gruppernas presentationer på tavlan jämförs inte och viktiga matematiska idéer lyfts inte fram. Show-and-tell. 2. Läraren hjälper för mycket så problemen blir uppgifter. 3. Läraren planerar alldeles för lite så att det blir alldeles för många in-themoment beslut. 36
Vad kan lärarna göra vid problemlösningsundervisning och vilket stöd ger forskningen? 37
Smith & Stein (2011) 6 praktiker 1. Formulera mål för varje lektion och välja problem i samband med det. 2. Förutse innan lektionen 3. Introducera och Överblicka under lektionen 4. Välja elevlösningar 5. Ordna elevlösningar 6. Koppla och analysera matematiska idéer 38
1. Sätt upp mål och välja problem Fundera över divisionen 4/(1/2) Ska kunna dividera heltal med bråk enligt proceduren skapa två bråk och flytta längst ned längst upp och mitten till varandra. Ska kunna resonera varför 4/(1/2)=8 utifrån hur många ½ får plats i fyra och kontrastera med 6/2 och resonemanget Dela upp 6 saker i två högar. Kunna reflektera över och jämföra olika tankesätt kring division: Begreppsförståelse. 39
2. Förutse 1. Vilka olika lösningar (strategier och representationsformer) kommer eleverna att producera? 2. Vilka missuppfattningar och fel är troliga? 3. Hur ska jag handskas och förhålla mig till 1 och 2? 4. Vilka lösningar är produktiva att utgå ifrån för att uppnå lektionens mål? 40
3a. Introducera problemet Se till att alla förstår vad problemet går ut på! Behövs det en diskussion om det ickematematiska innehållet. Vad är kulglass? Vad är cocktailparty? Vad då lägga plattor? 41
3b. Överblicka - grupparbete 1. Läraren är uppmärksam på vad eleverna säger och gör i gruppen. 2. Läraren håller reda på vilka olika typer av lösningar som kommer upp. 3. Identifierar vilka lösningar som är speciellt användbara i förhållande till målsättningar och helklassdiskussion. 4. Ställer frågor som hjälper elever att komma vidare i det matematiska arbetet. 42
3b. Överblicka - grupparbete Alla i gruppen ska både förväntas förklara sina lösningar och lyssna till andras förklaringar. Stöd diskussion när något försöker förklara hur de tänker! Lyft fram passiva elevers lösningar och tankar gruppen! Undvik att bekräfta om eleverna har rätt eller fel! 43
3b. Överblicka - grupparbete Har du hittat alla möjliga kombinationer? Hur vet du det? Kan du se ett mönster? Stämmer det alltid? Hur kan du veta säkert? Hur blir det om? Hur kan det bli så? Kan du göra på något annat sätt? 44
Frågor för tänkande och diskussion 3 Utforska matematiska betydelser och samband 4 Få elever att förklara sina tankar 5 Skapa diskussion Pekar på underliggande matematiska samband och betydelser. Gör kopplingar mellan matematiska idéer och representationer. Klargör elevers tankar. Ger elever möjlighet att arbeta igenom sina tankar för sin egen och klassens skull. Möjliggör för andra i klassen/gruppen att bidra och kommentera idéer som diskuteras. Var finns det här x:et i grafen? Vad betyder sannolikhet? Hur fick du det till tio? Kan du förklara din idé? Finns det andra åsikter om detta? Vad sa du, Ella? 45
4-5. Välja och ordna Från vänster till höger : 1. Felaktiga och korrekta lösningar 2. Lätta och svåra lösningar 3. Konkreta och abstrakta lösningar 4. Vanliga och ovanliga lösningar 5. Specifika och generella lösningar 6. Ofullständiga och fullständiga lösningar 46
6. Att göra kopplingar - Helklassdiskussion 1. Elever och lärare lyfter fram och analyserar lösningar tillsammans med eleverna. 2. Fokuserar på strategier och representationer i olika lösningar och kopplar dessa till andra lösningar och de matematiska målen med lektionen. 3. Fokus på att argumentera och förklara varför lösningarna är rätt och hur man tänkte. 47
6. Att göra kopplingar - Helklassdiskussion Att göra matematiska kopplingar handlar både om att visa på kopplingar till centrala matematiska idéer (begrepp och metoder) och om att göra kopplingar mellan olika elevlösningar (strategier och uttrycksformer). Vilka matematiska begrepp och metoder relaterar lösningarna till? Hur relaterar dessa sätt att tänka till målsättningarna med lektionen? Vilka strategier används? Vilka fördelar och nackdelar finns med olika strategier? Vilka uttrycksformer används? Styrkor och svagheter? 48
Undervisningsstrategier 1. Locka fram elevers matematiska tänkande 2. Stödja elevers matematiska tänkande 3. Utvidga elevers matematiska tänkande 49
Undervisningsstrategier för tänkande! Användbara strategier för att locka fram elevers matematiska tänkande: Se till att många olika lösningsmetoder tas upp Uppmuntra eleverna att utveckla sina lösningar Ha en accepterande attityd gentemot elevernas fel. Det är dock alltid läraren som avgör vilka metoder som ska diskuteras i klassen. 50
Undervisningsstrategier för tänkande! Stödja elevers matematiska tänkande. Hjälpa eleverna att klargöra sina egna lösningsmetoder för att stöda elevernas tänkande. En mycket viktig sak som läraren kan göra är även att be andra elever att förklara hur en viss elev kan ha tänkt. 51
Undervisningsstrategier för tänkande! Utvidga elevers matematiska tänkande. Ha höga förväntningar på alla elever Ge dem utmanande problem och diskutera kopplingar mellan begrepp Uppmuntra eleverna att prova alternativa lösningsmetoder och främja användandet av mer effektiva. 52
Moves i undervisningen Läraren upprepar eller omformulerar det en elev har sagt. Läraren ber en annan elev att återberätta en elevs resonemang. Läraren ber elever att tillämpa sitt eget resonemang på en annan elevs resonemang. Läraren försöker få elever att delta ytterligare. Läraren använder väntetid för att ge eleverna tid att tänka. Kommentar Det är viktigt att läraren inte ändrar elevens idé och att eleven får uttala sig om huruvida det läraren säger stämmer. Markerar att resonemanget är särskilt viktigt. Det ger resten av eleverna en andra chans att förstå resonemanget. Det signalerar också att eleverna alltid behöver lyssna noga på varandra eftersom de kan bli tillfrågade att återberätta nästa gång. När elever jämför sina resonemang är lärarens viktigaste uppgift att få eleverna att förklara varför de håller med eller inte håller med varandra. Läraren kan bjuda in fler elever i diskussionen för att få fler idéer och för att få mer detaljerade förklaringar. En fråga kan t.ex. vara Har någon några andra tankar eller kommenterar till det här?. Signalerar att tänkande tar tid och etablerar normen att djupt tänkande värdesätts. En tumregel kan vara att läraren väntar i minst 10 sekunder när en fråga har ställts innan någon elev får ordet. Fler elever ges då möjlighet att räcka upp handen och delta i diskussionen. Det är också viktigt att läraren väntar när en viss elev har fått ordet. 53
Formativ undervisning 54
Definiera formativ bedömning/undervisning Bedömning för lärande eller formativ bedömning? Bedömning för lärande syftar på bedömningar som konstruerats för att främja elevernas lärande Denna typ av bedömning blir formativ först när bevisen av elevernas lärande används för att anpassa undervisningen till lärandebehoven. (Wiliam, 2007) Dylan Wiliam (2013, s.58) definierar formativ bedömning på följande sätt Bedömning fungerar formativt när bevis för elevernas prestation tas fram, tolkas och används av lärare, elever eller deras kamrater för att besluta om nästa steg i undervisningen som förmodligen blir bättre, eller bättre grundade, än de beslut de skulle ha fattat om bevis inte hade funnits. 55
Sex undervisningsstrategier för formativ undervisning: 1. Tydliggöra och dela avsikten med lärandet och kriterier för framgång 2. Skapa effektiva klassrumsdiskussioner, aktiviteter och lärandesituationer som frambringar bevis på lärande 3. Ge feedback som för lärandet framåt 4. Aktivera elever som resurser för varandra i lärandet 5. Aktivera elever som ägare av sitt eget lärande 6. Reflektera över dina insatser, förklaringsmodeller, aktiviteter m.m. och justera din planering 56
Skapa effektiva klassrumsdiskussioner Vilket av följande påståenden är rätt och varför? A. 0,33 är större än 1/3 B. 0,33 är mindre än 1/3 C. 0,33 är lika mycket som 1/3 D. Du behöver mer information för att vara säker 57
Frågetyp Beskrivning Exempel 1 Samla information, Vill ha direkt svar, oftast fel eller rätt. Vilket värde har x i den här ekvationen? hitta en metod, leda Repeterar kända fakta eller procedurer. elever genom en Hur skulle du rita den punkten? metod Ger elever möjlighet att ange fakta eller procedurer. 2 Använda terminologi Gör att korrekt matematiskt språk används när man talar om de idéer som diskuteras. Vad kallas detta i matematik? Hur skriver vi detta korrekt matematiskt? 3 Utforska matematiska betydelser och samband 4 Få elever att förklara sina tankar Pekar på underliggande matematiska samband och betydelser. Gör kopplingar mellan matematiska idéer och representationer. Klargör elevers tankar. Ger elever möjlighet att arbeta igenom sina tankar för sin egen och klassens skull. 5 Skapa diskussion Möjliggör för andra i klassen att bidra och kommentera idéer som diskuteras. 6 Koppla och tillämpa Pekar på samband mellan matematiska idéer samt mellan matematik och andra områden i skolan och livet. Var finns det här x:et i diagrammet? Vad betyder sannolikhet? Hur fick du det till tio? Kan du förklara din idé? Finns det andra åsikter om detta? Vad sa du, Justin? I vilka andra situationer kan du tillämpa detta? Var annars har vi använt detta? 7 Utvidga tänkande Utvidgar situationen som diskuteras, till där liknande idéer kan användas. 8 Rikta och fokusera Hjälper elever att fokusera på de viktiga aspekterna i situationen för att möjliggöra problemlösning. 9 Bilda sammanhang Talar om frågor utanför matematiken för att kopplingar till matematiken ska kunna göras senare. Skulle detta fungera med andra tal? Vad frågar man efter i problemet? Vad är viktigt i detta? Vad är oddset? Hur gammal måste du vara för att få spela? 58
Arbete med andra aktörer i kommunen 59
Ämnesföreträdare i matematik på varje skola Tryckt på vikten av att ha en lärare i matematik på varje skola som tar extra ansvar. Genomför nu ett kompetensutvecklingsprogram Att leda grupper, coacha kollegor och arbeta för kollegialt lärande Problemlösning Formativ undervisning 60
Arbete tillsammans med rektorer Organisatoriskt kring ämnesträffar och ämnesansvariga. Pedagogiskt ledarskap Artefakter (Stöd vid lektionsbesök, exempel på årsplaner) Kompetensutveckling (Vad är bra matematikundervisning? Vilket stöd behöver lärare?) 61
Läromedel i matematik Sverige vs Finland/USA Läromedel designade för att elever ska kunna sitta själv och räkna Läromedel designande för att stötta lärare att bedriva rik matematikundervisning 62
Vad finns kvar när projekten är slut? Kompetens hos olika aktörer Stolthet - Driv Verktyg (Guide för konstruktion av lektionsplanering, matematikproblem, ) Rutiner (årsplanering i aug., begreppsliga helklassdiskussioner varje vecka, resultatdiskussion med rektor, ) Positioner (Ämnesföreträdare, mentorer, ) Organisatoriska lösningar (Styrgrupp, ansvarig för fortsatt kompetensutveckling ). 63
Vägen framåt! 1. Rik matematikundervisning i klassrummet: 1. Matematik genom problemlösning 2. Formativ undervisning 2. Utveckla bra stöttande artefakter för lärare: läromedel, NYP för kärnverksamhet, dokumentkamera, problembanker med lösningar, ramverk med typer av frågor 3. Skapa rutiner i och för rik matematikundervisning på alla nivåer i kommuner. 4. Stora samproducerande projekt mellan kommuner och lärosäten 64
Tack! andreas.ryve@mdh.se 65