På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. TENTAMEN Tillämpad systemanalys 5hp Tid: 2010-12-10, 08.00-11.00. Plats: Gimogatan 4, Sal 1 Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 073-6308467. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 09.30. Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet, miniräknare och matematisk formelsamling (Mathematics handbook eller Physics handbook). Preliminära betygsgränser: 3:[30, 38[, 4:[38, 45[, 5:[45, 50 = maxpoäng] Uppgift Antal poäng 1 6 2 12 3 15 4 9 5 8 Total 50 OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv din kod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade. Lycka till & God jul!
Uppgift 1 Ledningen för flera av riksdagspartierna partiet är mycket bekymrade. Efter ett katastrofalt val finns ingen tendens till förbättringar i opinionssiffrorna. Den här situationen stämmer in på flera partier, och vi funderar lite närmare på ett av dessa, partiet X. Nu diskuterar man inom partiet vad som behöver göras för att förbättra opinionsläget för partiet. Det finns olika fraktioner inom partiet. En del hävdar att ledarskapet är det viktigaste, men andra menar att det är idéerna som är det primära. Partiledaren hade redan före valet ganska dåliga förtroendesiffror i olika undersökningar, och samtidigt har de politiska skillnaderna mellan partierna blivit alltmer otydligt med åren. Frågan är nu vilket som är bäst för partiet, att A byta partiledare (kostnad 5 Mkr), B satsa 10 Mkr på en marknadsföringskampanj för att få ut sitt politiska budskap till svenska folket, eller C göra en opinionsundersökning (kostnad 7 Mkr) där man tar reda på vad folket tycker om viktiga frågor och sedan rätta politiken efter det. Vi antar att partiets mål är att öka sina väljarandel med minst 5 procentenheter, och det vill man åstadkomma till minsta möjliga kostnad. Om man skulle misslyckas att nå målet, så räknar man med att prestigeförlusten är 20 Mkr. Sannolikheten att uppnå målet är för A 90%, B 80% och för C 75%. (a) Hjälp partiledningen att strukturera problemet genom att rita upp ett beslutsträd. Trädet ska innehålla sannolikheter och kostnad för alla möjliga utfall. (4p) (b) Vilket är det rationella beslutet för partiledningen att fatta i den här situationen, om man alltså bara bryr sig om att minimera den förväntade kostnaden. (2p) Uppgift 2 (a) Lantbrukare Gröda står i begrepp att bestämma hur han ska använda sina åkrar under nästa år. Hans syfte är att maximera vinsten. Han har tre åkertäppor, Sörlyckan (2 ha), Norrlyckan (6 ha) och Västergärdet (8 ha). Han väljer mellan att odla vete, havre, och potatis, och detta kan väljas oberoende för varje åker. Åkrarna kan också vid behov delas upp i mindre bitar med olika grödor. Sörlyckan har annan typ av jord än de andra åkrarna. Det är mycket sand i jorden här, vilket gör den särskilt lämplig för potatisodling. Boniteten ([mängd skörd]/[mängd sättpotatis]) är 20 för Sörlyckan och 10 för de andra åkrarna. För havre och vete ger alla åkrar 10 gånger mängden utsäde. Gröda kan köpa in utsäde (vete och havre) för 4 kr/kg. Sättpotatisen kostar 2 kr/kg Åtgången per hektar är 1 ton potatis, och 500 1
kg säd/hektar. Vid försäljningen av skörden får Gröda 2 kr/kg för vete, 2.20 kr/kg för havre, och 1 kr/kg för potatisen. Formulera problemet som ett linjärprogrammeringsproblem på standardform! Du ska inte lösa problemet. (6p) (b) Lös problemet nedan med simplexmetoden (andra lösningsmetoder godkänns inte). under bivillkoren maximimera x 1,x 2,x 3 f = x 1 + x 2 + 2x 3 x 1 + 2x 2 x 3 20 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 60 2x 1 + 3x 2 + x 3 50 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (6p) Uppgift 3 Forskarna Bologna och Flores beskriver i artikeln A simple mathematical model of society collapse applied to Easter Island 1 hur en enkel modell kan beskriva den kollaps som skedde på Påskön mellan år 1400-1600. Bologna och Flores ställer upp en dynamisk modell för en population människors beroende av naturtillgånger. I deras modell ingår flera befolkningsgrupper och flera typer ressurser. För enkelhetens skull betraktar vi här den enklaste varianten, med én befolkningsgrupp och én ressurs. Den fundamentala ressurs i fråga är den skog av stora palmträd som täckte ön när de första individerna kom till ön kring år 400. Vi har alltså en population N(t) och en ressurs (biomassa skog) R(t). Modellen beror på följande antaganden Den naturliga tillväxten (skillnaden mellan antal födsler och dödsfall per tidsenhet och individ) i befolkningsgruppen när ingen ressurs är begränsande ges av konstanten r > 0. En viktig faktor i systemet är ressursens kapacitet att bära en befolkning. Denna kapacitet ( bärkraft, eng. carrying capacity), N c, antas vara proportional mot storleken på skogen, N c = βr. Kvoten mellan befolkningens storlek och ressurens (skogens) bärkraft N ger en βr dimensionslös storlek som beskriver befolkningstrycket. Befolkningens beroende av ressursen R beskrivs genom att tillväxten i befolkningen ändras med en faktor 1 N. βr 1 Europhysics letters, 81 (2008) doi:10.1209/0295-5075/81/48006 2
Skogen har en tillväxtfaktor r > 0 med samma betydelse som r har för befolkningen. Tillväxten i skogen begränsas dock av att ön har en begränsad kapacitet. Denna kapacitet att bära skogen antas vara konstant, Rc. Tillväxten ändras med en faktor 1 R R c. Skog avverkas i en takt som är proportional mot produkten av befolkningen och storleken på skogen. Proportionalitetskonstanten är α > 0, och är en faktor som beror dels på den teknologi befolkningen har tillgänglig och dels på hur ivrig befolkningen är på att (över)utnyttja ressursen. (a) Förklara hur man utgående ifrån antaganden ovan kommer fram till följande differentialekvation för storleken på befolkningen ( Ṅ = rn 1 N ) βr (b) Ta fram motsvarande differentialekvation för R. (2p) (3p) (c) Rita en modell av systemet med hjälp av powersim- eller simulinkelement. Var så explicit som möjlig i din modell. Dvs. dölj inte sambanden i generella funktionsblock / funktionssymboler. (4p) (d) Vilka jämviktspunkter finns? (3p) (e) Det finns en kritisk, minsta befolkningsmängd N min, så att om populationen vid någon tidpunkt understiger denna, så dör befolkningen ut, även om modellen i sig inte beskriver detta förloppet. Utgå från att den jämviktspunkt där N > 0 du kommer fram till i (d) är stabil. Ta fram ett villkor på faktorn α så att vid jämvikt, N > N min. (2p) (f) Ge en kort tolkning av svaret i (e) genom att diskutera inverkan av olika parametrar i uttrycket. (1p) Uppgift 4 Många befolkningsmodeller beskrivs med tillståndsvariabler som är kontinuerliga. Fördelen med detta är att dynamiken kan beskrivas med ordinära differentialekvationer, och för att analysera dessa finns det bra matematiska verktyg att tillgå. Modellerna förutsätter dock ett relativt stort antal individer i populationen, så att händelser så som födsler och dödsfall, som i grunden är enskilda stokastiska händelser, blir såpass många att man kan beskriva dom som deterministiska, kontinuerliga flöden. Om en population är liten kan man inte länger bortse från slumpmässigheten i dödsfall, födsler, och möten mellan rovdjur och bytesdjur. En mer lämplig modell i detta fallet är en såkallade markovkedja, som har liknande dynamik som en kömodell. 3
Du har fått till uppgift att ta fram en skattning av sannolikheten för att en population vargar i mellan-sverige inom de närmsta 10 åren sjunker under ett minsta antal individer N min, givet att stammen för nuvarande har N 0 individer. Efter lite fundering kommer du fram till att detta enkla system lar sig väl modellera och simulera med händelsestyrd simulering. Man antar att födsler i gruppen sker enligt en Poisson-process där intensiteten är proportional mot antalet individer i populationen, λ = an. Med andra ord så är tiden mellan födsler en exponentialfördelad slumpvariabel med väntevärdet t f = 1/λ = 1. Dödsfall sker enligt en Poisson-process, och an även för denna beror intensiteten av antalet individer: µ = c + bn. Tiden mellan dödsfall har altså väntevärdet t d = 1. c+bn (a) I figur 1 ser du början på ett flödesschema för händelsstyrd simulering av systemet. Gör klart schemat. (3p) (b) Nedanför återges händelselistan för någon tidpunkt t i en simulering. Tid t + 0.3 t + 0.5 Händelse Varg föds Varg dör Vid denna tidpunkten är det 21 vargar i populationen. De två nästa framslumpade födslerna sker med tiderna 1 och 1.8 imellan och de två nästa dödsfallen med tiderna 1.3 och 0.2 imellan. Förklara kort hur simuleringen går till, och simulera därefter för hand fram till tiden t + 2. Redovisa simuleringen genom att 1. fortsätta den påbörjade plotten i figur 2 som visar N(t) 2. återge hur händelselistan ser ut för varje ändring i händelselistan under simuleringens gång. (6p) Uppgift 5 På sjukvårdsupplysningen arbetar en grupp sjuksköterskor med att ge råd på telefon. Man har organiserad verksamheten så att det finns en pool med sköterskor som antingen arbetar med att ta emot samtal, eller med andra sysslor, inkluderad vila. Hur många som till varje tidpunkt svarar på samtal varierar. På så sätt försöker man hålla en jämn kvalité på tjänsten (väntetid i telefonkön), samtidigt som de anställda får lite variation i sin arbetsdag. Systemet fungerar så att varje gång ett nytt samtal kommer in, så kollas antal samtal i kön. Är det fler än N add samtal i kö, så läggs en sköterska till i den gruppen som svarar på samtalen, givet att det finns flera sköterskor att flytta över. Det är en fördröjning på två minuter innan den nya sköterskan är på plats. När en sköterska är klar med sitt samtal kollar han antal väntande 4
Vilken är nästa händelse i händelselistan? "Varg föds" Lägg till varg i populationen N := N+1 Slumpa fram tid för nästa födsel Tf ~ exp( 1/(aN) ) Lägg till händelse "Varg föds" vid tidpunkt T+Tf i händelselistan Figur 1: Uppgift 4 (a) Flödesschema 23 22 21 N 20 19 18 t t+0.3 Tid Figur 2: Uppgift 4 (b) Populationsstorleken 5
samtal. Är det färre än N sub, så går han över till den gruppen som gör annat. Det sker momentant. Det är alltid åtminstone en person som svarar i telefon. Samtal ankommer till tjänsten med en tid T a imellan som är exponentialfördelad med väntevärdet t a. Tiden varje samtal tar är slumpmässig och beskrivs med en Erlang-fördelning med formparameter k = 4 och väntevärde t s. (a) Rita flödesscheman för en pseudo-parallell simulering av systemet. Ledning: Utöver kön för samtalen behövs två köer (Q s : svarar i telefon, Q a : gör annat ) för att hantera sköterska-processerna. (8p) 6
Lösningar Uppgift 1 (a) (b) Förväntade utfall: A 5 + 0, 9 0 + 0, 1 20 = 7 Mkr B 10 + 0, 8 0 + 0, 2 20 = 14 Mkr C 7 + 0, 75 0 + 0, 25 20 = 12 Mkr Rationellt beslut (lägsta förväntade kostnad): A (byt partiledare). Kostnad: 7 Mkr. Uppgift 2 (a) Vi inför följande variabler: V areal odlad med vete (hektar=10000 m2) H areal odlad med havre (hektar) P s areal odlad med potatis på Sörlyckan (hektar) annan areal odlad med potatis (hektar) P a Vi behöver två variabler för potatis, eftersom vi har olika förutsättningar beroende på var vi odlar potatisen. Vi får följande kriteriefunktion (som ska maximeras): f = (2.00 10 500 4.00 500)V + (2.20 10 500 4.00 500)H + (1.00 20 1000 2.00 1000)P s + (1.00 10 1000 2.00 1000)P a = 8000V + 9000H + 18000P s + 8000P a 1
Som bivillkor gäller att vi maximalt kan odla 2 ha på Sörlyckan, totalt kan vi inte odla mer än 16 ha: P s 2 V + H + P s + P a 16 V, H, P s, P a 0 (b) Simplextablå med slackvariablerna s 1, s 2, s 3. Markerad cell motsvarar den variabel som ger mest i kriteriefunktionen, och alltså ska in i basen, och den nuvarande basvariabel som först begränsar ökningen av f. Bas f x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 hl f 1 1-1 -2 0 0 0 0 s 1 0 1 2-1 1 0 0 20 s 2 0-2 4 2 0 1 0 60 s 3 0 2 3 1 0 0 1 50 f 1-1 3 0 0 1 0 60 s 1 0 0 4 0 1 1/2 0 50 x 3 0-1 2 1 0 1/2 0 30 s 3 0 3 1 0 0-1/2 1 20 f 1 0 10/3 0 0 5/6 1/3 200/3 s 1 0 0 4 0 1 1/2 0 50 x 3 0 0 7/3 1 0 1/3 1/3 110/3 x 1 0 1 1/3 0 0-1/6 1/3 20/3 Svar: f max = 200/3, då x 1 = 20/3, x 2 = 0, x 3 = 110/3. Uppgift 3 (a) Den exponentiella tillväxten i frånvaro av begränsningar ges av diffekvationen Ṅ = rn, enligt det första antagandet. Tillväxten begränsas på grund av skogens ändliga bärkraft med en faktor 1 N vilket ger diffekvationen βr ( Ṅ = rn 1 N ) βr (b) Motivationen är den samma för skogens diffekvation. Vi har givet att utan begränsning och utan avverkning så växer skogen exponentiellt enligt Ṙ = r R. Den begränsade bärkraften till ön ger en begränsning i tillväxten så att Ṙ = r R(1 R R c ). Utöver detta så avverkas skog. Enligt antagandet är avverkningen αn R, så vi får diffektationen Ṙ = rr (1 R ) αnr R c 2
(c) Simulink-modell: x r 1/s N + - / 1 + - x r' + - 1/Rc 1/s b R x a Powersim-modell: N r-nr a / b R r' 1/Rc (d) Jämviktspunkter. Sätt ( 0 = rn 1 N ) (1) βr 0 = r R (1 R ) αnr (2) R c Det finns en trivial jämviktspunkt N = 0, R = 0. Bortser vi från denna och 3
delar ekvation (1) med N och ekvation (2) med R fås, efter rätt fram algebra N = βr αβ + r /R c R = r αβ + r /R c (e) Villkor på α så att N = βr αβ + r /R c > N min αβ + r /R c < βr N min ( 1 α < r 1 ) N min βr c (f) Tolkning av uttrycket för α: α ökar när r ökar, altså kan vi avverka mer ju bättre återväxten av skogen är. Rimligt. Om N min > βr c vilket betyder att den minsta acceptabla befolkningsstorleken är större än den bärkraft skogen har när skogens storlek är precis den som kan bäras av ön så kan vi inte avverka någon skog alls, utan skulle behöva plantera skog istället. Uppgift 4 (a) Vilken är nästa händelse i händelselistan? "Varg föds" "Varg dör" Lägg till varg i populationen N := N+1 Ta bort varg ur populationen N := N-1 Slumpa fram tid för nästa födsel Tf ~ exp( 1/(aN) ) Slumpa fram tid för nästa dödsfall Td ~ exp( 1/(c + bn) ) Lägg till händelse "Varg föds" vid tidpunkt T+Tf i händelselistan Lägg till händelse "Varg dör" vid tidpunkt T+Td i händelselistan 4
(b) Simuleringstiden T stegas fram till första händelsen i listan. Vi går igenom flödesschemat för denna händelsen och uppdaterar händelselistan som följd. När detta är klart, så stegas tiden vidare, och så fortsätter det. Vargpopulationen som funktion av tiden: 23 22 21 N 20 19 18 t t+0.3 t+0.5 t+1.3 t+1.8 t+2.0 Tid Händelselistan: Tid t + 0.3 t + 0.5 t + 0.5 t + 1.3 t + 1.3 t + 1.8 t + 1.8 t + 3.1 t + 2 t + 3.1 Händelse Varg föds Varg dör Varg dör Varg föds Varg föds Varg dör Varg dör Varg föds Varg dör Varg föds Uppgift 5 Här är ett lösningsförslag, men det går att få till samma logik på fler sätt. 5
Samtal Start In i Samtalskö (aktiverar sköterska) Samtal i kö >Nadd? ja Qa > 0? ja Aktivera första sköterska i Qa (aktiverar sköterska) nej nej Aktivera sköterska i Qs ja Första sköterska i Qs passiv? nej Passivera (blir aktiverad) Slut 6
Sköterska Start In i Qa (blir aktiverad) Passivera Ut ur Qa Vänta 2 (hold) In i Qs Ut ur Qs ja Samtal i kö <Nsub? ja Qs>0? nej Samtal i kö >0? nej Passivera nej ja (blir aktiverad) Ta ut första samtal Aktivera (aktiverar samtal) Vänta Ts ~ Erlang(4,ts) (hold) Samtalsgenerator Start Vänta Ta ~ exp(ta) (hold) Skapa och aktivera nytt samtal (aktiverar samtal) 7