Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55, 21, 42, 39, 45, 23, 46, 29, 58, 12, 48, 36, 35, 23, 47, 62, 40, 27, 32, 29 (a) Gör ett stam-bladdiagram över materialet. (b) Välj en lämplig klassindelning och gör en frekvenstabell. (c) Rita ett histogram som beskriver materialet. (d) Rita ett låddiagram som beskriver materialet. 2. (a) Gör ett linjediagram som beskriver befolkningsutvecklingen i Sverige enligt stolpdiagrammet nedan. (b) Beräkna de procentuella ökningar i folkmängd som har skett vart 25:e år mellan 1750 och 1950. 3. Vi kastar en välgjord tärning två gånger. (a) Vad är sannolikheten att få summan 2? (b) Vad är sannolikheten att få summan 7 eller 8? (c) Vad är sannolikheten att vi på det andra kastet får fler antal prickar på tärningen än vid det första kastet?
(d) Vad är sannolikheten att produkten mellan antalet prickar på tärningen vid det första kastet och antalet prickar vid det andra kastet är 12? (e) Vad är sannolikheten att produkten mellan antalet prickar på tärningen vid det första kastet och antalet prickar vid det andra kastet är 6 eller 7? 4. En låda innehåller 2 vita kulor, 3 röda kulor och en svart kula. (a) Vad är sannolikheten att ta upp en svart kula? (b) Vad är sannolikheten att ta upp en grön kula? (c) Vad är oddset för att ta upp en grön kula? (d) Vad är oddset mot att ta upp en grön kula? (e) My sticker ner handen och tar upp två kulor på en gång. Vad är sannolikheten att båda kulorna är röda? (f) Asta sticker ner handen och tar upp två kulor på en gång. Vad är sannolikheten att ingen av kulorna är röd? (g) Selim sticker ner handen och tar upp två kulor på en gång. Vad är sannolikheten att åtminstone en av kulorna är röd? (h) Anna sticker ner handen och tar upp tre kulor på en gång. Vad är sannolikheten att två av kulorna är röda och en är vit? (i) Aino sticker ner handen och tar upp tre kulor på en gång. En av kulorna är vit. Vad är sannolikheten att de övriga två är röda? (j) Jon tar upp en kula ur lådan, tittar på den och lägger sedan tillbaka den i lådan. Därefter tar han upp en kula till. Vad är sannolikheten att båda kulorna är röda? (k) Ronja tar upp en kula ur lådan, tittar på den och lägger sedan tillbaka den i lådan. Därefter tar han upp en kula till. Vad är sannolikheten att ingen av kulorna är röd? (l) Elias tar upp en kula ur lådan, tittar på den och lägger sedan tillbaka den i lådan. Därefter tar han upp en kula till. Vad är sannolikheten att åtminstone en av kulorna är röd? (m) Elin tar upp en kula ur lådan, tittar på den och lägger sedan tillbaka den i lådan. Därefter tar han upp en kula till. Vad är sannolikheten att båda kulorna har samma färg? 5. Sannolikheten att vinna 1000 kr, 500 kr, 200 kr eller 20 kr på ett lotteri är 0,5%, 0,8%, 1% resp 20%. Varje lott kostar 20 kr. Hur mycket kan man förväntas vinna tillbaka om man köper lotter för 5000 kr? 6. För att uppskatta hur många laxar det fanns i en damm lät man fånga 40 st och sätta ett märke i stjärtfenan innan man släppte tillbaka dem i dammen. Efter någon dag tog man åter upp 40 laxar ur dammen. Det visade sig att 8 av dessa var märkta. Uppskatta hur många laxar det fanns i dammen. 7. Vad är sannolikheten att en slumpvis vald person är född i augusti och på en fredag?
8. Vad är sannolikheten att två slumpvist utvalda personer är födda på samma veckodag? 9. Vi har två lådor. Båda lådorna innehåller två gröna, tre vita och en blå kula. (a) En slumpvis vald kula i den ena lådan flyttas över till den andra. Ur denna låda dras sedan en kula. Hur stor är sannolikheten att den är grön? (b) Två slumpvis valda kulor i den ena lådan flyttas över till den andra. Ur denna låda dras sedan en kula. Hur stor är sannolikheten att den är grön? Vad är oddset emot att den är grön? 10. I en låda finns bokstäverna A A E I K M M T T. Boksäverna dras en och en på måfå ur lådan och läggs på rad från vänster till höger. Vad är då sannolikheten att ordet MATEMATIK bildas? Konstruktionsövningar Till alla konstruktionsövningar skall tydliga bilder och beskrivningar av varje steg bifogas. Förklaring ska också ges varför konstruktionen fungerar. 11. Konstruera med passare och linjal bisektrisen till en vinkel. 12. Konstruera med passare och linjal en liksidig triangel. 13. Konstruera med passare och linjal en vinkel som är 30. 14. Konstruera med passare och linjal en vinkel som är 15. 15. Konstruera med passare och linjal en vinkel som är lika stor som en given vinkel. 16. Konstruerna en normal till en linje. 17. Konstruera med passare och linjal en vinkel som är 75. 18. Konstruera med passare och linjal en vinkel som är 82,5. 19. Konstruera med passare och linjal den omskrivna cirkeln till en triangel. 20. Konstruera med passare och linjal den inskrivna cirkeln till en triangel. 21. Konstruera med passare och linjal en triangel som är kongruent till en given triangel. 22. Konstruera med passare och linjal en normal till en linje som går igenom en given punkt på linjen. 23. Konstruera med passare och linjal en romb. 24. Konstruera med passare och linjal en fyrhörning som inte är en parallellogram och är kongruent med en annan fyrhörning.
25. Konstruera med passare och linjal en kvadrat som är inskriven i en given cirkel. 26. Konstruera med passare och linjal en kvadrat som är omskriven kring en given cirkel. 27. Konstruera med passare och linjal alla tre höjder till en trubbvinklig triangel. 28. Konstruera med passare och linjal en rätvinklig, likbent triangel. 29. Konstruera med passare och linjal två cirklar som tangerar varandra, dvs bara möter varandra i en punkt. 30. Konstruera med passare och linjal en cirkel som har fyra gånger så stor area som en given cirkel. Geometri 31. Bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180. 32. Beskriv följande vinkelbegrepp: vertikalvinklar, supplementvinklar, komplementvinklar, yttervinkel, likbelägna vinklar, alternatvinklar. 33. Gör ett problem som, i problemställning eller lösning, innehåller åtminstone två av de begrepp vi sett i förra uppgiften. Lös sedan uppgiften. 34. Vinkelsumman i en n-hörning är 2700. Bestäm n. 35. Konstruera en regelbunden sex-hörning med en 10 mm lång sida. Hur stor är en innervinkel i denna? 36. Visa att diagonalerna i en parallellogram delar varandra mittitu. 37. Beskriv de tre kongruensfall för trianglar som är beskrivna i vår kurslitteratur. 38. Fyra vinklar i en femhörning är 30, 60, 90 och 120. Hur stor är den femte vinkeln? 39. En kvadrat är inskriven i en cirkel med radien 2 cm. Beräkna kvadratens area och omkrets. 40. En kvadrat omskriver en cirkel med radien 2 cm. Beräkna kvadratens area och omkrets. 41. Bevisa Pythagoras sats på ett åskådligt sätt. 42. I en rätvinklig triangel är kateterna 21 cm och 28 cm. I en annan triangel, som är likformig med den första, är hypotenusan 105 cm. Hur långa är de övriga sidorna? 43. En kvadrat är inskriven i en rätvinklig triangel så att två av kvadratens sidor ligger längs med triangelns kateter och det fjärde hörnet ligger på hypotenusan. Kateterna är 15 cm och 36 cm långa. Beräkna kvadratens area.
44. En rätvinklig triangel har en vinkel som är 60. Längden av kateten som står mot denna vinkel är 20 cm. Från hörnet vid räta vinkeln ritas en höjd. Hur lång är höjden? 45. Hur många kanter, sidor och hörn har ett prisma med en 7-hörning som basyta. 46. Hur många kanter, sidor och hörn har en pyramid med en 7-hörning som basyta. 47. Gör ett problem om likformighet som beskriver en triangel med en transversal parallell med en av dess sidor. Lös sedan problemet. Vad heter den sats du (kanske) har använt och hur lyder den? 48. Bestäm arean och omkrets för (a) en liksidig triangel med sidan 3 cm. (b) en romb med sidan 4 cm vars längsta diagonal är 6 cm. (c) en halvcirkel med diametern 6 cm. (d) en regelbunden sexhörning med sidan 4 cm. 49. Rita linjerna y = 3x 2, y = 3x och y = 2 3x i ett koordinatsystem. 50. Bestäm ekvationen för, och rita in i ett koordinatsystem grafen till, den linje som går igenom punkterna (a) (2, 6) och (6, 2) (b) ( 2, 6) och (6, 2) (c) (2, 6) och ( 2, 6) (d) (2, 6) och (2, 6) 51. Lös ekvationssystemet { x y = 4 x + y = 4 både grafiskt och algebraiskt. 52. Lös ekvationssystemet { 2x y = 6 x + 2y = 3 både grafiskt och algebraiskt. 53. Lös ekvationssystemet { 3x 4y = 6 6x 8y = 12 både grafiskt och algebraiskt. 54. Bestäm avståndet mellan linjerna y = 3x 2 och y = 3x + 2. 55. En linje som går igenom punkten ( 3, 2) är parallell med linjen y = 2x + 3. Bestäm ekvationen för den först nämnda linjen. 56. En kvartscirkel har arean 52 cm 2. Hur lång är dess omkrets?
57. En silo är uppbyggd av en cylinder med en hatt i form av en halv sfär. Silons höjd är 10 m. Cylinderns mantelyta är 100 m 2. Hur stor volym har silon? 58. Gör egna problem där ni bestämmer volymer av kroppar i rummet som klot, pyramider och prismor. Lös problemen. Ole