Normer och approximation

1 Normer och approximation 1.1 Inledning Funktionalanalys är ett abstrakt område, och för att förstå innebörden av begrepp, satser och metoder krävs en hel del arbete med konkreta exempel. Huvudsakligen får man arbeta med papper och penna, men i en hel del fall kan matematikprogram som Maple och Matlab öka förståelsen. Vid användning av funktionalanalytiska metoder på praktiska problem är man också förr eller senare tvungen att gripa till numeriska beräkningar. Använd Matlab för att lösa nedanstående uppgifter. Om du ser ett Matlabkommando som du inte känner igen så använd den inbyggda hjälpen (help kommando). Jag har genomgående försökt använda formelkursiv, t ex f, i analytiska formler och skrivmaskinsstil, alltså f, för motsvarande Matlabuttryck. De färdiga Matlabskript som används nedan finns att hämta på kursens vävsida: http://www.maths.lth.se/matematiklth/valfria/funkharm/fh99.html Känn dig inte bunden till förslagen nedan utan använd din fantasi för fler experiment. 1.2 Normer Avsikten med detta avsnitt är att ge ett intuitivt begrepp om normerna p, främst p = 1, 2 och, med hjälp av Matlab. För enkelhetens skull arbetar vi främst på 1

2 Datorövningar i funktionalanalys intervallet I = [,1]. Normerna definieras då av f 1 = f (x) dx, ( 1 f 2 = f (x) dx) 2 2, ( 1 f p = f (x) dx) p p, (1 p < ) f = max x 1 f (x). I Matlab representerar vi funktionerna f med vektorer, erhållna genom sampling. Kommandot x=:steg:1 ger x värdet av en vektor med ekvidistanta element[ steg 2*steg... 1] om steg är definierat innan (den sista 1-an är i regel en approximation). Funktionen f (x) = sin(x), x 1 representeras då av vektorn f=sin(x). Hur väl funktionen f av en kontinuerlig variabel kan representeras av den diskreta vektorn f behandlar vi på ett annat ställe, men ibland måste man tänka för att tolka Matlabfigurerna på rätt sätt. L p -normerna av funktioner är definierade med hjälp av integraler. Diskret motsvaras dessa av summor,varvid man måste ta hänsyn till steglängden vid samplingen. Om antalet element i vektorn f är n så sätter vi normk(x,1) = sum(abs(x))/n normk(x,2) = (sum(abs(x).^2)/n).^(1/2) normk(x,p) = (sum(abs(x).^p)/n).^(1/p) normk(x,inf) = max(abs(x)) Det bifogade Matlabskriptet normk.m utför dessa beräkningar (i något allmännare form). Det finns ett inbyggt Matlabkommando norm, men det skiljer sig på en skalfaktor (ej delat med n) från normk. Uppgift 1.1 I skriptet initnorm.m finns några lämpliga variabler och funktioner definierade. Kör det (med Matlabkommandot initnorm) och se efter vilka variabler du har (med whos). Rita upp funktionen f med plot(x,f). Uppgift 1.2 Läs skriptet normk.m (med type normk) och tag reda på vad det gör, så bra att du kan förklara det för någon annan. Vi skall nu först se på maximumnormen. Uppgift 1.3 Olikheten f g ε kan också skrivas ε f (x) g(x) ε för alla x eller ekvivalent f (x) ε g(x) f (x) + ε för alla x.

5 oktober 1999 3 Tolka denna olikhet geometriskt och rita upp motsvarande figur med kommandot plot(x,f,x,f+epsilon,x,f-epsilon) för något lämpligt valt epsilon. (Obs! Matlabs eps är fixerat och kan ej ändras: help eps.) Vi skall nu se hur funktioner som bara skiljer sig lite i olika normer kan se ut. Uppgift 1.4 Bilda (i Matlab) en»liten» regelbunden och analytiskt definierad funktion h, t ex h(x) =.1cos(5x). Sätt g = f + h. Rita upp f och g i samma figur med plot(x,f,x,g). Rita sedan även upp gränser i maximumnormen, med plot(x,f,x,g,x,f+normk(f-g,inf),x,f-normk(f-g,inf)) Tag sedan en mera oregelbunden funktion med Matlabkommandot (randn bildar normalfördelade slumptal) h=.1*randn(size(x)). Gör om figurerna med detta h. Vi skall nu se lite på L p -normer. Uppgift 1.5 Definiera funktioner genom ha = ones(size(x)) hb = (x>.1)-(x>.11) hc = cos(3*x) hd = randn(size(x)) Rita upp dem. Jämför deras 1-, 2- och -normer genom att beräkna kvoterna h 1 h 2, h 1 h och h 2 h På vilka funktioner märks det mest att normerna inte är ekvivalenta? Uppgift 1.6 Normering av en funktion f innebär att den ersätts med f / f. Normera funktionerna i föregående uppgift med avseende på -normen och rita upp dem i samma figur: plot(x,ha/normk(ha,inf),...,x,hd(normk(hd,inf)) Gör sedan om samma sak med L 2 och L 1 -normerna. Lägg märke till hur olika det ser ut. Olika normer tar fasta på olika egenskaper hos funktionerna. Uppgift 1.7 Beteckningen kanske förbryllar någon. Vi skall nu motivera den experimentellt. Beräkna för funktionerna h=ha,hb,hc,hd ovan normk(h,p) med större och större p och jämför med normk(h,inf). (Tar man alltför stora p så blir det dock problem med flyttalen.) Gissa vad gränsvärdet kan vara! (För kontinuerliga f finns det en allmän formel. Om intervallängden inte är 1 så måste man dock kompensera för denna på ett lämpligt ställe.)

4 Datorövningar i funktionalanalys Uppgift 1.8 Det Matlab arbetar med är ju följder (element i R n ), och där vet vi att alla normer är ekvivalenta, speciellt även 1-, 2- och -normerna. Hur går detta ihop med att funktionsnormerna inte är ekvivalenta? Ledning: En sak att tänka på är vad som händer med konstanterna i olikheterna t ex a f 1 f b då n blir stort. Vilka vektorer f maximerar respektive minimerar kvoten i olikheten? Grovt talat kan man säga att den praktiska gränsen mellan ändligt och oändligt är ganska flytande och beror bland annat på den precision man räknar med.

2 Kontraherande avbildningar 2.1 Kontraktion och Lipschitzkonstanter Om f är en funktion på M så definieras Lipschitzkonstanten för f genom f (x) f (y) Lip( f ) = sup x y M x y Om detta supremum är ändligt så sägs f vara Lipschitzkontinuerlig. Om Lip( f ) < 1 så sägs f vara kontraherande. Detta är samma sak som att f (x) f (y) r x y, r < 1 för alla x M (och Lipschitzkonstanten är det minsta r som duger i olikheten). Vi skall nu undersöka differenskvoter med hjälp av Matlab. Sätt q f (x,y) = f (x) f (y). x y För att få fram en sådan differenskvotsfunktion i Matlab (och allmännare funktioner av två variabler (x,y)) krävs ett knep. Detta återfinns i skriptet xxyy.m. Variablerna x och y representeras med matriser xx resp yy som varierar längs rader respektive kolonner. Uppgift 2.1 Sätt steg=.2 och kör xxyy. Titta på de bildade variablerna xx och yy, dels direkt och dels genom plottning, surf(xx) resp surf(yy). Det senare ritar upp ytorna z = x resp z = y. Sätt nu steg=.1 och kör åter xxyy. 5

6 Datorövningar i funktionalanalys Uppgift 2.2 Plotta ytorna z = x 2 + y 2 och z = sin(xy). Bilda först z=xx.^2+yy.^2 och visa sedan upp den med surf(z). Gör sedan samma med z=sin(xx.*yy). Uppgift 2.3 Skriv ett skript diffkvot.m som givet en funktionsvektor f beräknar den diskreta motsvarigheten till differenskvoten q f. Gör beräkningen genom ettor = ones(x); fxx = ettor'*f; fyy = f'*ettor; diffkvot=(fxx-fyy)./(xx-yy); Använd det på funktionerna sin(2 x) och e x. Beräkna också Lipschitzkonstanten för dessa funktioner (i intervallet x 1, genom att bestämma maximum och minimum av differenskvoterna. (Gör du på rätt sätt så stör inte de odefinierade diagonalelementen.) Jämför med de Lipschitzkonstanter som du beräknar analytiskt. 2.2 Fixpunkter för skalära funktioner Om funktionen f är kontraherande på ett intervall I, så konvergerar iterationen x n+1 = f (x n ) mot den entydigt bestämda fixpunkten. Uppgift 2.4 Funktionen f (x) =.5 cos(x) är säkert kontraherande på hela R. Använd Matlab för att lösa ekvationen x =.5 cos(x). En treraders lösning, med illustration av konvergensen, är x=; u=; for k=1:1, u(k)=x; x=cos(x)/2; end plot(u) Uppgift 2.5 Funktionen f (x) = cos x är inte kontraherande på R (varför ej?) men iterationen konvergerar i alla fall för alla begynnelsevärden. Rita upp f (x) och förklara varför. Beräkna lösningen till f (x) = cos x. Uppgift 2.6 Försök samma sak med f (x) = λcos(x), med λ = 1.2 och λ = 1.4. Genom att rita upp funktionerna cos(x) och x/λ i samma diagram övertygar man sig lätt om att i bägge fallen finns bara en fixpunkt. Vilken är skillnaden? 2.3 Lineära avbildningar Vi skall nu se på lineära avbildningar i R n. Här finns tre olika normer värda att nämna, 1, 2 och. Som bekant definieras 1-operatornormen av en matris genom A 1 = max x Ax 1 x 1

5 oktober 1999 7 och är alltså det minsta talet med egenskapen Ax 1 x 1 för alla x i R n och motsvarande för de andra normerna.om f (x) = Ax + b där b är en fix vektor, så är ju f (x) f (y) = A(x y) och operatornormen är precis Lipschitzkonstanten för f. I Matlab finns en funktion norm som beräknar 1-, 2- och inf-normerna för matriser. Se matristeorin för exakta formler i dessa fall. Uppgift 2.7 Låt [.1.7 A =.1.8 ] Beräkna de tre operatornormerna för A. Kan du hitta någon vektor med Ax = A x i de tre fallen? Uppgift 2.8 Låt A vara matrisen i föregående uppgift och sätt f (x) = Ax + b med b = [1 2] T. Är f kontraherande i någon av dess normer? Vilken slutsats kan dras om konvergens av iterationen x n+1 = f (x n )? Testa iterationen numeriskt i Matlab. Uppgift 2.9 Ersätt A i föregående uppgifter med [ ].1.1 A =.7.8 och gör samma räkningar. 2.4 Fixpunkter för operatorer Fixpunktsiteration i en variabel är förhållandevis enkel att analysera. I R n blir det svårare, om man har olineära ekvationer. För exempel på detta hänvisas till Olineära dynamiska system. Här går vi direkt på ett ännu svårare fall, nämligen fixpunktsiteration i funktionsrum (fast Matlab tvingar oss att approximera med R n, med n 1 till 2. Vi skall syssla med olineära differentialekvationsproblem. Randvärdesproblemet d2 u dx 2 = F(u), u() = = u(1) uppträder i olika praktiska sammanhang. Ett besläktat lineärt problem d2 u dx 2 = f (x), u() = = u(1)

8 Datorövningar i funktionalanalys löses som bekant av integraloperatorn u(x) = k(x,y) f (y)dy där k är Greens funktion för problemet, { x(1 y), x y k(x,y) = = min(x(1 y),y(1 x)) y(1 x), y x 1 där det senare uttrycket kan vara praktiskt vid programmering. Den olineära ekvationen u = F(u) kan alltså överföras i den olineära integralekvationen u(x) = k(x, y)f(u(y)) dy. Detta är en form som kan lämpa sig för numerisk iteration. Vi ser nu först på det lineära problemet. Uppgift 2.1 Skriv ett Matlabskript som beräknar en approximation till integraloperatorn T f (x) = k(x,y) f (y)dy. Representera funktioner med (kolonn)vektorer som tidigare och k(x, y) med en matris K, som med tidigare beteckningar erhålls i Matlab med K = min(xx.*(-yy+1),yy.*(-xx+1))/n där n är antalet element i vektorerna (och 1/n svarar mot dy i integralen). Beräkna K*f, där f svarar mot den konstanta funktionen 1, och jämför med den exakta lösningen till u = 1, u() = = u(1). Uppgift 2.11 Beräkna de tre operatornormerna för K (vilka är numeriska approximationer till operatornormerna för operatorn T ). För vilka värden på λ är operatorn F(u) = λtu kontraherande, enligt dessa beräkningar? (Svar: λ < k ). Jag avbryter nu Matlab med lite teori. Vi kan nu försöka lösa randvärdesproblemet på följande sätt. Skriv om den som u = λu + f (x), u() = u(1) = u = T (λu) + T f = λtu + T f

5 oktober 1999 9 och iterera. Detta fungerar garanterat om operatorn är kontraherande. Då har ekvationen en entydig lösning, som kan erhållas med iteration. Ett specialfall är intressant. Att randvärdesproblemet u = λu, u() = u(1) = har lösning u är ju detsamma som att motsvarande differentialoperator har ett egenvärde λ. Vi ser alltså att det minsta egenvärdet är 1/ T. Men just för detta problem är ju minsta egenvärdet = π 2. Vilken numerisk olikhet för π 2 ger våra räkningar? Uppgift 2.12 Lös ekvationen u = λu + 1, u() = = u(1) med t ex λ = ±.2 numeriskt genom att iterera utgående från en godtycklig startfunktion. Jämför gärna med motsvarande exakta lösning. Vi skall nu se på ett riktigt olineärt problem. Låt F(u) = λsin(u) och se på ekvationen u = λsin(u), Den kan överföras till integralekvationen u(x) = λ u() = = u(1). k(x, y) sin(u(y)) dy. Eftersom sin(u) sin(v) u v för alla u och v så är integraloperatorn på höger sida kontraherande om λ k < 1. Vi vet t ex att k 1 = 1/8. Uppgift 2.13 Försök att lösa integralekvationen u(x) = λ k(x, y) sin(u(y)) dy. genom iteration med något begynnelsevärde. Försök med olika värden på λ från till 1. Rita upp iterationerna. Vad händer? Jämför med det lineära fallet. Att öka värdet av λ är betyder i den mekaniska tolkningen att öka trycket, och lösningarna u betyder möjliga jämviktslägen. I det lineära fallet har integralekvationen u(x) = λ k(x, y)u(y) dy bara lösningen u = för λ < π 2, medan det för λ = π 2 finns oändligt många lösningar, storleken på utböjningen är obestämd. För λ > π 2 (och < 4π 2 ) finns återigen bara en lösning. Detta är ju mekaniskt ganska orimligt. Den olineära modellen ger här vettigare resultat. För λ > π 2 (men inte alltför stort) finns det tre jämviktslösningar. En av dessa är naturligtvis u =. Den är instabil. De två andra är utböjda och spegelbilder till varandra.

1 Datorövningar i funktionalanalys Uppgift 2.14 Sätt λ = 1 och iterera med begynnelsevärde u = 1 (till exempel). Rita upp varje iteration. Vad sker? Uppgift 2.15 Automatisera iterationerna. Använd till exempel följande skript: f=ett; for k=1:1 end u=lambda*green*sin(f); f=u; plot(x,f) drawnow Det går också bra att skriva in detta på en kommandorad. Testa vad som händer för olika λ-värden över och under π 2. Nära gränsen λ = π 2 blir konvergensen mycket långsam (ty kontraktionsfaktorn är nära 1). Öka då antalet iterationer från 1. Vill man få en överblick över vad som händer för olika λ kan det vara tydligare att bara spara t ex maximum av jämviktsutböjningen (eller någon annan norm), och rita upp den som funktion av λ. Uppgift 2.16 Följande skript ritar upp maximumvärdet av den stabila jämviktslösningen som funktion av λ: lambdaintervall=6:1:15; r=1; for lambda=lambdaintervall f = ett for k=1:1 end u=lambda*green*sin(f)/1; f=u; normer(r)=normk(u,inf); r=r+1; end plot(lambdaintervall,normer) Kör det och titta på resultatet. Var verkar instabiliteten av nollösningen uppträda? Uppgift 2.17 Ändra λ-intervallet i skriptet till ett kortare med tätare delningspunkter för att få bättre uppfattning om stabilitetsgränsen. Öka sedan antalet iterationer, om du har en tillräckligt snabb dator. Hur skiljer sig utseendet? Vad kan det bero på? Som överkurs kan man sedan följa de stabila utböjda lösningarna för allt större λ-värden. Här inträder ett nytt fenomen.

5 oktober 1999 11 Uppgift 2.18 Tag λ ungefär = 25. Kör ett antal iterationer för hand och titta på funktionerna. Vad sker? Det som händer är följande. Det finns för detta λ-värde inte längre någon stabil jämviktslösning. I stället konvergerar iterationerna mot en stabil 2-cykel, vilket innebär att vi har två funktioner u 1 och u 2 sådana att u 2 = T (u 1 ) och u 1 = T (u 2 ), och iterationerna växlar mellan dessa två. Hitta på ett lämpligt sätt att illustrera detta fenomen i ett diagram liknande det du gjort i de två föregående uppgifterna.