Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation

Relevanta dokument
TANA19 NUMERISKA METODER

LAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M

Numeriska metoder för ODE: Teori

a = a a a a a a ± ± ± ±500

Numeriska metoder för ODE: Teori

Fel- och störningsanalys

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Fel- och störningsanalys

7 november 2014 Sida 1 / 21

Konvergens för iterativa metoder

Absolutstabilitet. Bakåt Euler Framåt Euler

Datoraritmetik. Från labben. Från labben. Några exempel

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

n Kap 4.1, 4.2, (4.3), 4.4, 4.5 n Numerisk beräkning av derivata med n Felen kan t ex vara avrundningsfel eller mätfel n Felet kan mätas

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Kort om mätosäkerhet

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Numeriska metoder för ODE: Teori

2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Approximation av funktioner

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Tentamen i Envariabelanalys 2

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Övning log, algebra, potenser med mera

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Subtraktion. Räkneregler

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

I punkten x = 1 fås speciellt. Taylorpolynomet blir. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)

10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer

Linjära ekvationssystem

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Något om Taylors formel och Mathematica

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Lågrangsapproximation exempel. Singulärvärden och tillämpningar

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

Egenvärden och egenvektorer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 27 oktober 2015 Sida 1 / 31

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Linjära ekvationssystem

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

Ordinära differentialekvationer,

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Lösningsförslag envariabelanalys

Sammanfattningar Matematikboken Y

Kapitel 3. Approximation av funktioner

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser

Lösningsanvisningar till vissa av de icke obligatoriska workout-uppgifterna i Beräkningsvetenskap II

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 1: Avrundning och populationsmodellering

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Complex numbers. William Sandqvist

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Olinjära system (11, 12.1)

TAL OCH RÄKNING HELTAL

f (a) sin

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

Transkript:

Linköpings Universitet Kompletterande material Matematiska institutionen/beräkningsmatematik 5 februari 203 Ingegerd Skoglund IT Termin 6 Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar Beräkningsfelsanalys När vi gör beräkningar i dator/räknedosa sker avrundningar av resultatet efter varje beräkning. Vi vet att när vi lagrar ett tal får vi ett relativt fel som µ, där µ är avrundningsenheten för vårt räkneverktyg, se Sats 2.5. i boken. Det samma gäller då vi gör en beräkning. Det relativa felet efter en beräkning addition, subtraktion, multiplikation, division eller upphöjt blir också µ, se Sats 2.6.. Beräkning av standardfunktioner ska också ge ett resultat så att relativa felet är mindre än µ. I dubbel precision är värdet på µ. 0 6. Om vi antar att avrundningsfelen som uppstår under beräkningarna är oberoende av varandra, kan vi använda maximalfelsuppskattningen för uppskatta en övre gräns för felet från alla beräkningarna i ett uttryck. Låt oss titta på ett exempel.. Uttryck med kancellation Vi vill, för till beloppet små värden på x, beräkna uttrycket +x f =. x Här måste vi börja med att beräkna +x, dra roten ur det värdet, subtrahera och slutligen dividera med x.vid beräkning av andra uttryck går det ibland att göra beräkningarna i olika ordning och beräkningsfelsanalysen ska då göras på det sätt som beräkningarna görs. Om vi inför variabelnamn på varje beräkning får vi a = +x, b = a, c = b+ och d = c/x, alltså c {}}{ b {}}{ f = +x /x. a d och vi kan uttrycka f som f = a x = b x = c x = d. Som sagts ovan vet vi att det gäller för felet efter varje beräkning att a a µ och därmed a µ a

och på samma sätt för b, c och d. Dessa beräkningsfel fortplantar sig till f med hjälp av maximalfelsuppskattningen: f < f a a + f b b + f c c + f d d Med hjälp av är det lätt att utföra de partiella deriveringarna och vi får f < 2 ax a + x b + x c + d. Stoppa nu in att a µ a, b µ b, osv. f < 2 ax µa + x µb + x µc + µd. Nu ska vi göra en uppskattning av storleken på detta fel. Hur man går vidare kan variera från fall till fall men varje term ska uppskattas var för sig. Här kan vi notera i tredje termen att c/x = d och få f < 2 ax µa + x µb + 2 µd. I andra fall utnyttjar man direkt att ett litet x kan försummas då det adderas till något stort, t.ex. +x +x +x 2 2+x 2 sinx x eftersom sinx = x x3 +Ox 5 3! cosx eftersom cosx = x2 +Ox 4 2! Vi approximerar f < 2 x µ + x µ + 2 µd =.5 x µ + 2 µd. Vi behöver också veta ett ungefärligt värde på d, eller f som ju är samma sak, och det kan ofta vara svårare att se direkt. Att använda approximationen +x skulle ge d /x 0 men d 0.5, se nedan. Om vi däremot använder två termer i serieutvecklingen +x = +0.5x+Ox 2 blir uppskattningen korrekt. Ett annat ofta enklare sätt är att göra en omskrivning av uttrycket. Genom att förlänga med konjugatet ser vi att ett matematiskt ekvivalent uttryck är g = +x +x+ x +x+ = +x x +x+ = +x+. 2 Då x kan vi approximera +x och få f = g + f <.5 x µ + 2 µ 0.5. 2 = 0.5 och

Om vi nu jämför storleken på de två termerna har vi återigen en mycket stor term den första och en mycket liten term den andra. Den lilla termen kan därför försummas och uppskattningen av felet från beräkningarna blir R B = f <.5 x µ. Vi ser att beräkningsfelet växer då x minskar. Eftersom värdet på f blir ungefär 0.5 för alla små x så kommer resultatet av beräkningen att få ett stort relativt fel. Detta var förväntat eftersom det är kancellation i uttrycket för f. Vi kan uppskatta det relativa beräkningsfelet R B f = f f <.5 x µ 0.5 = 3 x µ. Man måste komma ihåg att relatera det absoluta felet till närmevärdet. Om vi hade haft R B < µ och f x så skulle det relativa felet växa och visa att f får dålig noggrannhet då x..2 Uttryck utan kancellation Omskrivningen i 2 medför att kancellationen i f försvinner. En beräkningsfelsanalys borde visa att uttrycket g ger ett bättre resultat. g = +x + a b c } d, g = a+ = b+ = c = d. g < g a a + g b b + g c c + g d d < 2 a a+ 2µa + b+ 2µb + c µc + µd 2 Approximera a, b, c 2, d 0.5 och vi får R B g = g < µ 2 + 2 + + 2 + 2 2 + 0.5 =.375µ. 2 Det relativa beräkningsfelet R B g g = g g <.375 µ 0.5 = 2.75 µ håller sig konstant, oberoende av x. Eftersom varje beräkning kan ge ett relativt fel som är högst µ så får vi god noggrannhet i värden beräknade med g-utrycket. 3

2 Fel vid beräkning av en serie N Låt S = a n vara en konvergent serie som approximeras med S N = a n. Hur trunkeringsfelet, R T, eller resttermen, R N, R T = R N = n=n+ uppskattas beror på om termerna är positiva eller har alternerande tecken. Detta finns i N boken, sid 44-48. Vi ska här titta på hur fel från beräkningen av S N = a n kan påverka resultatet. Trunkeringsfelet antas då vara mycket litet. a n 2. Beräkning av summan Vi ska beräkna S N = N a n = a 0 +a +a 2 +a 3 + +a N +a N och något förenklat kan vi tänka oss att termerna, a n, beräknas och avrundas och får då ett relativt fel som är högst µ. Jag kallar detta R B,term. När termerna adderas ihop kommer vi att få ett fel vid summeringarna, R B,sum. 2.2 Beräkningsfel från avrundning av termerna Om varje term får ett relativt fel µ gäller a n a n µ och a n < µ a n. Vid summering gäller att de absoluta felet adderas och det ger R B,term = S N a 0 + a + a 2 + + a N µ a 0 + a + a 2 + + a N Om termerna är positiva kan beloppstecknen i sista ledet tas bort och vi får R B,term = µ S N, alltså ett relativt fel µ. Om serien har alternerande tecken kan man få ett betydligt större relativt fel eftersom det är beloppen av termerna som ska adderas i feluppskattningen. 4

2.3 Beräkningsfel från additionerna En beräkningsfelsanalys på summeringen, +a 2 S N = a 0 +a +a 3 + +a N +a N s } {{} } s 2 {{ } s N på samma sätt som i avsnitt, ger R B,sum = S < S s = s + S s 2 = s +a 2 + +a N = s 2 +a 3 + +a N = s 2 + + S s N = s N. Varje delsumma, s n, beräknas med ett relativt fel som är högst µ så vi får R B,sum < s + s 2 + + s N µs + µs 2 + + µs N och R B,sum a 0 +a + a 0 +a +a 2 + + a 0 +a +a 2 + +a N µ. Triangelolikheten ger R B,sum a 0 + a + a 0 + a + a 2 + + a 0 + a + a 2 + + a N µ = N a 0 +N a +N a 2 +N 2 a 3 + +2 a N + a N µ. Vi ser att att det det lämpligt att låta a 0 och a vara de minsta värdena, dvs addera termerna i växande ordning för att minimera beräkningsfelet. Anm. : Om termerna har alternerande tecken går det att härleda en mindre övre gräns för R B,sum. Anm. 2: Ungefär samma resultat fås i boken sid. 34, fast härlett på ett annat sätt. 5

3 Differentialekvationer: stabilitet för system För testproblemet y = λy, y0 = finns stabilitetsvillkoren för Eulers metod och trapetsmetoden härledda på sid 330-33 i boken. Här ska vi titta på y = Ay där vi låter A vara en 2 2-matris med negativa egenvärden. Eulers metod ger y n+ = E +hay n E är enhetsmatrisen och vi får efter n steg y n = E +ha n y 0. Egenvärdesfaktorisera A = XΣX, där Σ = λ λ 2 och X = x x 2. Här är λ,λ 2 egenvärdena och x,x 2 är egenvektorerna kolumnvektorer. Vi får E +ha = E +hxσx = XE +hσx och y n = E +ha n y 0 = XE +hσx} {{ X} E +hσx XE +hσx y 0 = E n XE+hΣ n X +hλ y 0 =X X +hλ +hλ y 0 = X n 2 +hλ 2 n X y 0 Om y 0 = ȳ 0 +ǫ får vi en lösning med två komponenter: +hλ y n = X n +hλ 2 n X +hλ ȳ 0 +X n dvs den rätta lösningen samt en parasitlösning. +hλ 2 n X ǫ, Lösningen måste vara begränsad parasit-lösningen får inte växa så för stabilitet krävs att +hλ i <, i =,2 dvs h < 2 λ min. Vi får så eftersom +hλ i < innebär att < +hλ i <. Vänstra olikheten ger 2 < hλ i och h < 2 λ i. Högra olikheten ger hλ i < 0 och h > 0. 6