Periodiska signaler, frekvens, filter, överföringsfunktion Ville Jalkanen illämpad fysik och elektronik, UmU ville.jalkanen@umu.se 1
Informationsbärare Signal Fysikalisk storhet som varierar pga annan storhet (ofta tiden eller rummet (spatiellt) t.ex. Avstånd/läge) Signaler i naturen omvandlas av en sensor till en elektrisk storhet Elektrisk signal: Spänning/ström som funktion av tiden ville.jalkanen@umu.se 2
Periodisk signal Spänningen u(t) har ett värde vid varje tidpunkt och det värdet är återkommande i tiden på ett regelbundet sätt upprepas med periodtiden, Exempel: sinusformad växelspänning (AC) u(t) har ett värde vid varje tidpunkt, dvs ett momentanvärde. Detta värde upprepas efter multiplar av periodtiden. u t = u t + n n heltal u(t) En period Växelspänningen antar både positiva och negativa värden 0 tid re perioder ville.jalkanen@umu.se 3
DC-nivå Vanliga periodiska signaler Sinusformad spänning med likspänningskomponent AC+DC (sinus förkjuten vertikalt) DC-nivå Pulserande likspänning Växelspänning med fyrkantform (fyrkantvåg) Växelspänning med triangelform (triangelvåg) Pulsbreddmodulerad växelspänning (serie av pulser) t.ex. För effektivare styrning av motor ville.jalkanen@umu.se 4
Frekvens Oscillationshastighet, dvs antalet svängningar per tidsenhet Frekvens (f) = Antal perioder per sekund enheten Hertz (Hz) Exempel: Sinus-våg Svarta signalen har en period på 1 s, f = 1/1 = 1Hz Blåa signalen har två perioder på 1 s, f = 2/1 = 2Hz (eller en period på 0.5 s, f = 1/0.5 = 2 Hz) 1 sekund Röda signalen har tio perioder på 1 s, f = 10/1 = 10Hz (eller en period på 0.1 s, f = 1/0.1 = 10 Hz) Frekvens = en period per periodtid (i sekunder) Ovan: = 1/f = 1/1 = 1 s = 1/f = 1/2 = 0.5 s = 1/f = 1/10 = 0.1 s f = 1 ville.jalkanen@umu.se 5
Amplitud, topp-värde, topp-till-topp (peak-to-peak) Symmetrisk sinus-signal (kring noll-linjen) (ren växelspänning (AC) dvs ingen DC-del) Amplitud (max-avstånd från noll-linjen) opp-värde (maxvärdet) = amplitud opp-till-topp (avståndet mellan topparna) = 2*amplitud (max - min) Osymmterisk sinus-signal (AC+DC-del): opp-värde är signalens maxvärde opp-till-topp (avståndet mellan topparna) (rena AC-delen har fortfarande en amplitud relativt symmetrilinjen (signalens noll-linje)) ville.jalkanen@umu.se 6
Sinus-signalens matematiska form Matematiska (tids-)formen för sinus-signalen, dvs sinus-växelspänningen (AC) A u(t) u t u t = A sin ωt = A sin ωt + θ A är amplituden θ är fasvinkeln i radianer, rad ω är vinkelfrekvensen i rad/s t (s) ω = 2πf t = θ ω Sinus-spänning (AC) med en likspännings-komponent (DC) u(t) u t = U DC + A sin ωt + θ U DC t (s) ville.jalkanen@umu.se 7
Fyrkantvågens frekvens f = 1 är fyrkantvågens grundfrekvens (grundton), men inte dess hela frekvensinnehåll! f och 3f f, 3f, 5f f, 3f, 5f, 7f f, 3f, 5f, 7f, 9f Fyrkantvågen består av en summa av sinus-vågor med grundfrekvensen (f) och udda multiplar av grundfrekvensen, dvs övertoner 3f, 5f, 7f,... Amplituden hos övertonerna minskar med ökad frekvens. Denna serie av sinus-vågor kallas fyrkantvågens Fourier-serie. Summerar man oändligt många av sådana sinus-vågor får man en fyrkantvåg f, 3f, 5f, 7f, 9f, 11f ville.jalkanen@umu.se 8
Fyrkantvågens amplitud, topp-till-topp Symmetrisk fyrkantvåg (kring nollan) (ren växelspänning (AC) dvs ingen DC-del) Amplitud (max-avstånd från noll-linjen) opp-till-topp (avståndet mellan topparna) = 2*amplitud Osymmterisk signal (AC+DC-del): opp-värde är signalens maxvärde opp-till-topp (avståndet mellan topparna) (rena AC-delen har fortfarande en amplitud relativt symmetrilinjen (signalens noll-linje)) DC ville.jalkanen@umu.se 9
Fyrkantvågens matematiska form u(t) Fyrkantvågen betraktas som en styckvis funktion (piecewise function) A -A 2 t (s) u t = A 0 t 2 A 2 t Enkelt att räkna med integraler! Fyrkantvåg med en likspännings-komponent, U DC u(t) A U DC t (s) u t = A + U DC 0 t 2 A + U DC 2 t -A 2 ville.jalkanen@umu.se 10
Olika mått på signalens storlek Amplitud, topp-till-topp (peak to peak) Medelvärde = medelamplitud under en period Effektivvärde, rms-värde Likriktat medelvärde (Beloppsmedelvärde/absolutbelopp) ville.jalkanen@umu.se 11
Medelvärde Medelamplitud under en period och definieras som: Sinus-signal: u = 1 u t dt 0 Summerar momentanvärden under en period och delar med periodtiden U DC A u t = U DC + A sin ωt u = 1 0 U DC + A sin ωt dt = = U DC För en ren AC-signal (dvs DC = 0 V) blir medelvärdet = 0V, dvs symmetrisk kring noll-linjen. Fyrkant-signal: U DC A Obs! Lika pulsbredd t (s) u t = A + U DC 0 t 2 A + U DC 2 t u = 1 0 2 A + U DC dt + A + U DC dt 2 = = U DC Medelvärdet är likspänningskomponenten, dvs den anger noll-linjen för växelspänning. ville.jalkanen@umu.se 12
Effektivvärde (rms-värde) Vanligt sätt att ange storleken på växelspänning/ström. Kallas kvadratiskt medelvärde. Effektivvärdet (för AC) är samma värde som likspänning (DC) ska ha för att ge samma effekt i en resistor R. U eff = U rms = 1 u t 2 dt 0 rms = root-mean-square För ren sinus-spänning (utan DC-komponent, dvs medelvärde = 0V): u t = A sin ωt U rms = 1 0 A sin ωt 2 dt = A2 0 1 2 1 cos 2ωt dt = = A 2 ville.jalkanen@umu.se 13
Effektivvärde för fyrkantvågen För den rena fyrkant-spänningen (utan DC): u t = A 0 t 2 A 2 t Obs! Lika bredd U rms = 1 0 2 A 2 dt + 2 A 2 dt = 1 A 2 2 0 + A2 A 2 2 = A 2 = A Fyrkantvåg med en DC-komponent, U DC u t = A + U DC 0 t 2 A + U DC 2 t U rms = 1 0 2 A + U 2 DC dt + A + U DC 2 dt 2 = 1 A + U DC 2 2 0 + A + U DC 2 A + U DC 2 2 = = U DC 2 + A 2 Rms för rena fyrkantvågen ville.jalkanen@umu.se 14
Mer om effektivvärde Enligt definitionen gäller att en signals U rms är lika med den likspänning som ger samma effektutveckling över en resistans som signalen ger. Därför måste även en eventuell DC-komponent i växelspänningen bidra till det totala effektivvärdet, U true rms. Mätinstrument: Vissa kan mäta true rms (sant effektivvärde) dvs andra vågformer än sinus. Mäter även DC-komponentens bidrag (dock inte alltid). Normalt mäts endast AC-delens effektivvärde (AC-kopplat, dvs relativt signalens noll-linje). DC-komponentens bidrag får mätas separat, dvs: Bestäm det totala effektivvärdet genom att mäta både: 1. DC-komponentens medelvärde (i läge DC dvs DC-kopplat) och 2. AC-komponentens effektivvärde (i läge AC dvs AC-kopplat) U total rms = U DC 2 + U rms(ac) 2 För AC-spänning med DC-komponent, utnyttja detta! Enklare beräkningar. ville.jalkanen@umu.se 15
Likriktat medelvärde Kallas beloppsmedelvärde eller absolutbelopp (eng. Rectified mean value). u = 1 0 u t dt Belopps-tecknet betyder att man likriktar signalen, Alla negativa värden blir positiva. För AC-kopplad mätning räknar man relativt signalens noll-linje. För en ren sinus-formad signal (utan DC dvs medelvärde = 0) blir: u = 2 amplitud π ville.jalkanen@umu.se 16
Formfaktor Formfaktor Kvoten mellan effektivvärdet och likriktade medelvärdet ξ = U rms u Formfaktorn använd främst vid mätningar med instrument som bara kan mäta likriktat medelvärde. Multiplicera uppmätt värde med formfaktorn, så får man effektivvärdet. Formfaktorn varierar med vilken form signalen har. För ren sinus (utan DC dvs medelvärde = 0): ξ = π 2 2 1.11 ville.jalkanen@umu.se 17
Crestfaktor Crestfaktor (toppfaktor) Kvoten mellan toppvärde (maxvärde) och effektivvärdet. Anger hur extrema toppar (maxvärden) signalen har. Ett mått på voltmeterns prestanda (mäta signaler som skiljer sig från ren sinus (true rms)) λ = U topp U rms För ren likspänning blir λ = 1 För ren sinus (utan DC, dvs medel = 0): λ = 2 1.414 ville.jalkanen@umu.se 18
Sinus-signalen matematiskt ids-representation u 1 t = A sin ωt A u(t) u 2 t = A sin ωt + θ 0 t (s) tidsaxel θ ω id och fas (fasförkjutning = tidsförskjutning) A α = ωt 1 0 ωt (rad) α = ωt 1 fasaxel (Motsvarar en tidsförflyttning) Varje punkt i signalen kan representeras med en vektor med längden A och en fasvinkel ωt. vektor-representationen / visardiagram ville.jalkanen@umu.se 19
Vid t = 0 s u 1 t = A sin ωt u 2 t = A sin ωt + θ A θ 0 ωt (rad) θ Vid t = t 1 A θ ωt 1 ω θ ωt 1 ωt (rad) Signalen u 2 t ligger vinkeln θ före u 1 t..ex. u 2 t når värdet A före u 1 t. Vektorerna roterar med vinkelfrekvensen ω. Vektor-representationen för signalerna innehåller Amplitud och Fas (relativt 0) vid en specifik frekvens. ville.jalkanen@umu.se 20
Vektorer och komplexa tal Komplexa tal används för att representera vektorerna i visardiagrammet. Betrakta det komplexa talplanet: b Im r θ a z Re Rektangulär form z kan representeras av dess realdel a och dess imaginärdel b: z = a + jb Polär form z kan också representeras av en vektor med längden r och vinkeln θ (relativt Re-axeln): z = r θ j = 1 Samband: r = a 2 + b 2 θ = tan 1 b a a = r cos θ b = r sin θ z = a + jb = r cos θ + j sin θ e jθ ville.jalkanen@umu.se 21
Spänning, ström, impedans på vektorform Sinus-formad växelspänning/ström kan representeras som vektorer i det komplexa talplanet. Om u t = U sin ωt + α U = U α Om i t = I sin ωt + β I = I β (polär form) De har storlek och riktning och kan skrivas på polär form eller rektangulär form. R, C, L i växelströmskretsar kan betraktas som komplexa impedanser (enhet Ω ) dvs de ger en fasvridning. ω 0 ω Resistorn R: R R R R Kondensatorn C: Z C = 1 jωc = j 1 ωc Spolen L: Z L = jωl j 1 ωc (avbrott) jωl 0 (kortslutning) 0 (kortslutning) (avbrott) Ohms lag gäller: U = Z I Frekvensberoende! ville.jalkanen@umu.se 22
Exempel: RC-krets R = 1kΩ u in C = 0.16μF u ut u in t = 1 sin ωt U in = 1 0 Spänningsdelning ger U ut U ut = Z C R + Z C U in = 1 jωc R + 1 U in = jωc 1 1 + jωrc U in Sätt in R, C och ω = 2πf f = 100 Hz U ut = 0.99 + j0.10 1 0 = 0.995 5.7 f = 1000 Hz U ut = 0.50 + j0.50 1 0 = 0.705 45.2 f = 10000 Hz U ut = 0.01 + j0.10 1 0 = 0.10 84.3 Frekvensen påverkas inte! Amplituden och fasen påverkas! ville.jalkanen@umu.se 23
Slutsatser av exemplet * ill kretsen skickar vi en signal med en amplitud, fas, och frekvens * Ut från kretsen får vi en signal med samma frekvens men med förändrad amplitud och fas * Förändringen i amplitud och fas beror på vald frekvens hos insignalen. Filter! * Vilken typ av filter? En signal med relativt låg frekvens släpps igenom relativt oförändrad. En signal med relativt hög frekvens förändras kraftigt. Dämpas och fasvrids. (dvs amplituden minskar vid ökad frekvens) Detta är ett lågpass (LP)-filter eftersom lågfrekventa signaler släpps igenom filtret. ville.jalkanen@umu.se 24
Byt plats på R och C C = 0.16μF u in R = 1kΩ u ut u in t = 1 sin ωt U in = 1 0 Spänningsdelning ger U ut U ut = R R + Z C U in = R R + 1 jωc U in = jωrc 1 + jωrc U in Sätt in R, C och ω = 2πf f = 100 Hz U ut = 0.01 + j0.10 1 0 = 0.10 84.3 f = 1000 Hz U ut = 0.50 + j0.50 1 0 = 0.709 44.8 f = 10000 Hz U ut = 0.99 + j0.10 1 0 = 0.995 5.7 Positivt fasvridning värtom Högpass (HP)-filter ville.jalkanen@umu.se 25
Filter En krets med uppgift att släppa igenom signaler med önskad frekvens och stoppa (dämpa) signaler med övriga frekvenser. Vilka frekvenser ska dämpas/släppas igenom? hur kan vi kontrollera detta? Överföringsfunktion, gränsfrekvens ville.jalkanen@umu.se 26
Överföringsfunktion Ett matematiskt samband som beskriver ett systems frekvensberoende egenskaper.ex. Filter, förstärkare Sambandet beskriver hur amplituden och fasvinkeln förändras då en sinusformad insignal (med viss frekvens) passerar systemet Insignal X ω H ω utsignal Y ω H ω = Y ω X ω Ett samband mellan sinus-formad insignal och utsignal (spänning) för variabeln frekvens, dvs H = Uut/Uin (förstärkning, dämpning) ville.jalkanen@umu.se 27
Exempel: överföringsfunktionen för LP- och HP-filter Lågpass-filter R u in C u ut U ut = Z C R + Z C U in = 1 jωc R + 1 U in = jωc 1 1 + jωrc U in H = U ut 1 = U in 1 + jωrc Högpass-filter C u in R u ut U ut = R R + Z C U in = R R + 1 jωc U in = jωrc 1 + jωrc U in H = U ut = jωrc U in 1 + jωrc ville.jalkanen@umu.se 28
Överföringsfunktion: amplitud och fas Överföringsfunktionen (H(ω)) beskriver hur amplituden och fasvinkeln förändras då en sinus-formad signal passerar systemet H är ett komplext tal. För varje frekvens, betrakta den som en vektor med storlek och riktning. Beloppet av H: H ω = Re H 2 + Im H 2 beskriver amplitudförhållandet mellan in- och utsignal. Fasvinkeln (dvs argumentet) för H: (förstärkningen/dämpningen) φ ω = arg H ω = tan 1 Im H ω Re H ω beskriver fasförskjutningen mellan in- och utsignal. H ω = H ω φ ω ville.jalkanen@umu.se 29
Gränsfrekvens Definition: Den frekvens där en sinusformad spänning minskat till 1 2 av dess ursprungliga storlek efter passage genom den frekvensberoende kretsen (t.ex. filter). Fås ur överföringsfunktionens amplitudinformation, dvs ur belopps-funktionen. H ω g = 1 2 0.707 ω g = 2πf g är gräns(vinkel)frekvensen Kallas också brytfrekvens. På engelska cutoff frequency ville.jalkanen@umu.se 30
Gränsfrekvensen för LP-filtret Lågpass-filter R H = U ut 1 = U in 1 + jωrc u in C u ut H ω g = U ut U in = 1 1 + jω g RC = 1 1 2 + ω g RC 2 = 1 2 1 + ω g RC 2 = 2 ω g = 1 RC f g = 1 2πRC Gränsfrekvensen bestäms av komponenterna R och C som vi kan välja! Den sätter gränsen då en signals frekvens betraktas som relativt låg eller relativt hög. t.ex. 10f g är en hög frekvens medan 0.1f g är en låg frekvens från filtrets perspektiv ville.jalkanen@umu.se 31
Exempel: LP-filtret och dess gränsfrekvens u in R = 1kΩ C = 0.16μF u ut H = U ut 1 = U in 1 + jωrc H ω = H ω φ ω u in t = 1 sin ωt f = 100 Hz U ut U in = 0.99 + j0.10 = 0.995 5.7 f = 1000 Hz U ut U in = 0.50 + j0.50 = 0.705 45.2 Notera! H ω g = 1 2 0.707 gränsfrekvens f g = 1 = 1000 Hz 2πRC f = 10000 Hz U ut U in = 0.01 + j0.10 = 0.10 84.3 ville.jalkanen@umu.se 32
Gränsfrekvensen för HP-filtret Högpass-filter u in C R u ut H ω g H = U ut = jωrc U in 1 + jωrc = U ut = jω ω grc g RC U in 1 + jω g RC = = 1 2 + ω g RC 2 2 1 2 1 + ω g RC 2 = 2 ω g RC 2 ω g = 1 RC f g = 1 2πRC Gränsfrekvensen bestäms på samma sätt som för LP-filtret! ville.jalkanen@umu.se 33
Exempel: HP-filtret och dess gränsfrekvens C = 0.16μF u in t = 1 sin ωt u in R = 1kΩ u ut H = U ut = jωrc U in 1 + jωrc f = 100 Hz U ut U in = 0.01 + j0.10 = 0.10 84.3 f = 1000 Hz U ut U in = 0.50 + j0.50 = 0.709 44.8 H ω g = 1 2 0.707 Gränsfrekvensen! f g = 1 = 1000 Hz 2πRC f = 10000 Hz U ut U in = 0.99 + j0.10 = 0.995 5.7 ville.jalkanen@umu.se 34
Rita överföringsfunktionen Eftersom H(ω) är frekvensberoende så är det praktiskt att rita H mot ω. Men H är komplex. Bode-diagram H ω = H ω φ ω Ger snabb överblick över systemets (filtrets) frekvensegenskaper ville.jalkanen@umu.se 35
Bode diagram Den frekvensberende överföringsfunktionen med beloppet H ω och fasvinkeln φ ω kan presenteras med Bode-diagram. Beloppet graderas ofta i decibel (logaritmisk). Fasen graderas i grader. Båda mot en logaritmisk frekvensskala. H db = 20 log 10 H Överföringsfunktionen H = Uut/Uin förstärkningen H ω φ ω ville.jalkanen@umu.se 36
R = 1kΩ Bodediagram: exempel LP-filtret Belopp & fas mot frekvens H ω = H ω φ ω u in C = 0.16μF u ut Obs! Logaritmisk skala på belopp (ej db) och frekvens f = 100 Hz U ut U in = 0.995 5.7 f = 10000 Hz U ut U in = 0.10 84.3 Gränsfrekvensen i exemplet f = 1000 Hz U ut U in = 0.705 45.2 Inte snyggt! Vi kan bättre! ville.jalkanen@umu.se 37
För några fler frekvenser får vi bättre översikt över LP-filtrets egenskaper Obs! Log-skala Lutningen ( roll off ) passband stoppband 100, 1000, 10000 Hz från tidigare f g = 1000 Hz i exemplet ville.jalkanen@umu.se 38
Linjär-, log-, db-skala Jämförelse mellan linjär-, log-, och decibel-skala för beloppet för LP-filter exemplet. linjär Omvandla till decibel H db = 20 log 10 H 10 H db 20 = H 20 log 10 1 = 0 db 20 log 10 0.707 3 db 20 log 10 0.5 6 db 20 log 10 0.1 = 20 db 20 log 10 0.05 26 db 20 log 10 0.01 = 40 db 20 log 10 0.001 = 60 db Log/dB-skala visar samma avstånd mellan varje dekad skalstreck log 10 -skala decibel-skala Lutningen -20 db/dekad ville.jalkanen@umu.se 39
Bodediagram: exemplet HP-filtret C = 0.16μF u in R = 1kΩ u ut f = 100 Hz U ut U in = 0.10 84.3 f = 1000 Hz U ut U in = 0.709 44.8 f = 10000 Hz U ut U in = 0.995 5.7 ville.jalkanen@umu.se 40
Skissa Bode-diagram Hur får vi fram Bode-diagrammet ur H(ω)? Simulera med programvara Skissa för hand genom att titta på beloppet då ω 0 och då ω. Skissa för hand om överföringsfunktionen är på Bode s normalform, dvs uttnyttja kurvor för deluttryck. I senare kurs. ville.jalkanen@umu.se 41
Frekvensanalys Sinus Om signalen istället är: vå sinus med olika frekvenser (sammansatt) Fyrkantvåg Sinus med brus annat Finns det metoder att ta reda på en signals frekvensinnehåll? Ja! Matematiskt (men utanför kursen) Fouriertransform, DF, FF tid frekvens ville.jalkanen@umu.se 42