Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1
Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för att kunna bedöma risken. Ett sätt är att använda sannolikheter. Två filosofiskt olika sannolikheter: Frekventistisk (long- run) sannolikhet Subjektiv (personlig) sannolikhet 11-04-07 11-05-09 Hur måttsätta osäkerheter _LO 2
All sannolikhet är betingad! Vi använder sannolikhet för att sätta mått på vår osäkerhet. Den information vi har påverkar osäkerheten! Sannolikhet är betingad av hur mycket information vi har P(A) skall alltid förstås som P(A I) Sannolikheten för A givet informationen I 11-04-07 11-05-09 Hur måttsätta osäkerheter _LO 3
Frekventistisk eller Subjektiv? Frekventisten: det finns ett sant värde på t.ex ett medelvärde, men vi kan inte bestämma det. Vi kan bara uttala oss om tillförlitligheten hos den statistiska metod vi använt Bayesianen kan göra sannolikhetsuttalanden om medelvärdet, det är en stokastisk variabel. Frekventistisk sannolikhetstolkning kan egentligen inte användas om enstaka händelser (long run-definitionen) 11-04-07 11-05-09 Hur måttsätta osäkerheter _LO 4
Vad kan dom säga? Frekventisten: Utgående enbart från provdata har jag bestämt medelvärdet till att ligga i intervallet 13-17 kpa. Jag har använt en metod att bestämma det som är sådan att i 95% av fallen ligger det sanna medelvärdet i det angivna intervallet Bayesianen: Baserat på prov och min ingenjörserfarenhet från liknande fall beskriver jag medelvärdet med denna fördelning: medelvärde m 11-04-07 11-05-09 Hur måttsätta osäkerheter _LO 5
Hur kan man beskriva sannolikheten för en händelse? Sannolikhet för en enstaka händelse beskrivs med ett tal mellan 0 och 1: Men får man säga: 0 P(A I) 1 Sannolikheten för händelsen A (baserat på den information jag har) ligger mellan 0,3 och 0,65 För en sann bayesian är det inte tillåtet, man skall alltid kunna ge sin personliga sannolikhet som ett värde. Men pragmatiskt bör vi kunna acceptera det! (Second order probabilities) 11-04-07 11-05-09 Hur måttsätta osäkerheter _LO 6
Beskriva slumphändelser Man vill beskriva hur troligt det är att en variabel har ett visst värde av alla de möjliga värden den kan få. Variabeln kan utfalla med diskreta värden (ex. antal bergsprickor per meter) eller med kontinuerliga värden inom givna gränser (ex. skjuvhållfasthet) Man använder ofta stokastiska variabler 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 7
Fördelningar Fördelningsfunktion diskret kontinuerlig Sannolikhetsfunktion (diskret) Sannolikhetstäthetsfördelning (kontinuerlig) 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 8
Diskret fördelningsfunktion F X (x) = P (X x) för alla x F (x) X 1,0 0,5 0 2 4 6 x (joints / m) 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 9
(Kumulativ) fördelningsfunktion P(X x) = F X (x) Min. värde = 0 Max. värde = 1 Kontinuerlig Inga negativa värden Aldrig avtagande 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 10
Sannolikhetsfunktion och täthetsfunktion Diskret variabel: sannolikhetsfunktion Kontinuerlig variabel: (Sannolikhets)täthetsfunktion p X (x i ) f (x) X area = P(x!X! x ) 1 2 x 1 x x x 1 2 x Man kan inte läsa sannolikheter direkt ur dessa, man måste integrera: F X (x) = P(X x) = f X (x)dx Exempel normalfördelning: 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 11
Beskriva stokastisk variabel: nyckeltal (moment) Läge = väntevärde = E(X) E(X) = x i p X (x i ) E(X) = x f X (x)dx (jfr tyngdpunkt) Spridning = varians Var(X) = (x i - µ X ) 2 p X (x i ) Var (X) = (x - µ X ) 2 f X (x)dx (jfr tröghetsmoment) Standardavvikelse s X = Var(x) Variationskoefficient CoV = σ/µ 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 12
Modellfördelningar kan härledas matematiskt och definieras genom att man anger typ och aktuella parametrar Exempel: Skjuvhållfastheten är fördelad N(15;3) betyder en Normalfördelning med parametrarna m = medelvärde = 15 s = standardavvikelse= 3 Varning! Ibland anges variansen! f X (x) = Och det är ju lättare att skriva än 1 3 2" exp * # 1 $, & + 2 % x #15 3 ' ) ( 2 - / - < x <. 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 13
Exempel på diskreta fördelningar Poissonfördelningen Binomial-fördelning.224.16 A3,302,22 B4.11,15.05,07.00 0.00 5.00 10.00,00 0 7 Parameter: n Händelser som inträffar slumpmässigt i rum eller tid Händelser inträffar sällan och med en medelintensitet n Parameter: p Upprepade, oberoende försök där varje har sannolikheten p att lyckas Ger sannolikheten för x lyckade försök 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 14
Några kontinuerliga fördelningar Normalfördelning Lognormalfördelning A3-3. 00-1. 50 0.00 1.50 3.00 Gaussfördelning Parametrar: Medelvärde och standardavvikelse Normalitet finns ofta med i statistiska antaganden Uppkommer som summa av stok.var 0.71 1.94 3.16 4.38 5.60 X är log-normal om lnx är normalfördelad Ej noll eller negativa värden Förekommer i norm (för materialegenskaper) Produkt av många händelser (geometriskt medelvärde) 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 15
Kontinuerliga fördelningar II Rektangelfördelning Triangelfördelning A3 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 3.00 4.75 6.50 8.25 10.00 Parametrar: största och minsta värde Litet informationsinnehåll Parametrar: a, b, c Onaturlig! Lätt åsätta värden (största, minsta, troligaste) 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 16
Sannolikhet underskrida ett gränsvärde Både medelvärde och spridning inverkar! 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 17
Design av en hiss Vi har fått i uppdrag att dimensionera hisswiren till dels en hiss med kapaciteten 2 personer dels en hiss med kapaciteten 12 personer Medelvikt män 82 kg, kvinnor 67 kg I vilket fall behöver vi störst säkerhetsmarginal? 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 18
Spridningen hos summor och medelvärden Vi är säkrare på medelvärdet av tyngden av ett antal passagerare än vad vi är på tyngden av en enskild passagerare, om tyngderna varierar sinsemellan och är oberoende σ µ = σ/ n 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 19
Vilken skjuvhållfasthet skall användas i glidytan? Den mothållande kraften är summan av ett antal delelement (vi förutsätter duktilt parallellsystem). Om vi jämför med hissanalogin bör spridningen hos summan vara mindre än spridningen hos elementen Observera att vi nu måste titta på glidytans verkliga utseende (fler dimensioner än en!) 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 20
Variansreduktion (de oberoende) provens standardavvikelse reduceras med faktorn G U Gäller bara fysikaliska storheter! Inte friktionsvinkel i grader, men väl tan! Bara delen som gäller naturlig variation! Den beror av hur snabbt jordens egenskaper varierar och av hur stort sträcka vi medelvärdesbildar över Rock surface level, z Autocorrelation, " 1 z(x i ) z(x j ) mean 1/e! = 1m #x Distance, x 1! #x Rock surface level, z Autocorrelation, " 1 z(x i ) z(x j )! = 5 m mean 1/e #x Distance, x 5! #x 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 21
Vad betyder 10-6? Ett ofta använt värde på tillåten årlig brottsannolikhet för en byggnadsdel är 10-6 Men hur skall man egentligen se på en sådan sannolikhet? 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 22