Ett engagerande övningsfält

Ett engagerande övningsfält Bengt Ulin Den projektiva geometrin har sin grund i det perspektivmåleri som utvecklades i Europa under renässansen. En teoretisk grund lades av den franske arkitekten Gerard Desargues på 1600-talet. Den projektiva geometrin ger nya och spännande ingångar till geometriämnet och visar på möjligheter till samverkan mellan matematik och de sköna konsterna. Konstruktioner, kreativitet och logiskt tänkande kännetecknar den projektiva geometrin, dvs problemlösning när den är som bäst. Häromdagen slog jag upp Bra Böckers lexikon för att utöka min kunskap om geologi och hamnade då först på ett angränsande uppslag som presenterade ämnet geometri. Artikeln är inte lång men den är koncis och historiskt intressant. Desto mer utrymme upptar två färgade faktarutor. Den ena visar med text och instruktiva figurer fem exempel på geometriska satser. De redogör för triangelns vinkelsumma, Pythagoras sats, parabeln som ljussamlare eller strålkastare samt Pascals och Desargues satser. Det gläder mig att den projektiva geometrin är representerad i två av de fem exemplen (Pascals och Desargues satser, fig 1). I samma förtjänstfulla stil visar den andra rutan sju geometriska konstruktioner med passare och linjal (inklusive bevis!): fyra grundkonstruktioner och tre tilllämpningar. Vid en kommande revision av den svenska skolmatematikens kursplan borde man beakta de tyngdpunkter som Bra Böcker (enligt medarbetarförteckningen professor Carl-Erik Fröberg) valt i sin presentation av matematikgrenen geometri. Innnan vi går in på projektiv geometri kan det vara av intresse att se några årtionden bakåt i fråga om svensk skolgeometri. Fig 1a Två trianglar ABC och A B C är perspektiviska med avseende på en punkt (O), om och endast om de har en Desargues-linje (d) Fig 1b För varje godtyckligt val av ett hexagram 123456, inskrivet i ett kägelsnitt, ligger punkterna 12x45, 23x56 och 34x61 på en rät linje (p) Bengt Ulin är välkänd från biennnaler, artiklar och några böcker. Han har varit lektor vid Lärarhögskolan i Stockholm och Kristofferskolan i Bromma. Nämnaren nr 3, 2000 Beteckning: krysset, x, innebär skärning. AB x CD anger skärningspunkten mellan linjerna AB och CD. 43

Den blev starkt beskuren vid tiden för grundskolans genomförande. I praktiken var den på väg att helt försvinna ur skolan, speciellt från gymnasieskolan, skriver Wiggo Kilborn i del 3 av Didaktisk ämnesteori i matematik [3]. Försök att införa avbildningsgeometri rann ut i sanden. Avbildningsgeometrin knyter nära an till geometriska konstruktioner, som enligt min mening är hjärtpunkten i den klassiska geometri som grekerna utvecklade i bokverket Elementa. Geometriundervisningen är sedan länge betänkligt enbent: den allra mesta tiden ägnas åt kvantitativa beräkningar. Visst är sådana värdefulla men det behövs mer av kvalitativa problem. Konstruktioner med passare och linjal erbjuder ett stimulerande övningsfält i grundskolan, ett utrymme för såväl kreativitet som logiskt tänkande, kort sagt: problemlösning när den är som bäst. Studiet kan fortsättas i gymnasiet men bör på denna nivå även omfatta projektiv geometri. Vad är då projektiv geometri och varför erbjuder denna ett så utvecklingsfrämjande kunskaps- och övningsfält? Ordet projicera härrör från latinet och betyder kasta. En skugga på en vägg utgör en projektion av ett föremål. Vi säger som bekant att föremålet kastar skugga på väggen. De centrala frågorna i projektiv geometri handlar om vad som bevaras vid s k central projektion, dvs projektion utifrån en punktformig källa. Att projektiv geometri är så fruktbar i skolan beror till stor del på ämnets egna kvaliteter: man kan bygga upp en omfattande ren icke-metrisk geometri, i vilken operationerna sammanbindning och skärning är centrala. Dessutom är ämnets historia fascinerande. Erfarenheter sedan 1960 med över 1000 elever i årskurs 11 12 i Kristofferskolan (en 12-årig waldorfskola i Bromma) har visat mig att projektiv geometri engagerar praktiskt taget alla elever. Eftersom kursen börjar på gräsrotsnivå känner sig alla motiverade och de upplever mer arbetsglädje än på flertalet andra matematikområden. Kursen genomförs som periodundervisning med en omfattning av ca 30 klocktimmar. Därav läggs ca 20 klocktimmar i årskurs 11 på grundläggande begrepp och övningar. När perspektivmåleriet kom i förgrunden under 1400- och 1500-talen var detta ett tecken på en tilltagande medvetenhet om rummets alla dimensioner i Västerlandet. Den franske arkitekten Gerard Desargues lade en grund för den nya geometrin på 1640-talet och Blaise Pascal upptäckte som 16-åring en viktig karakterisering av kägelsnitten. Efter en lång törnrosasömn återuppväcktes projektiv geometri främst av Victor Poncelet, då han under ett och ett halvt år vistades som utblottad krigsfånge i Saratov vid nedre Volga. Återkommen till Frankrike gav han geometrin en solid grundval och publicerade ett standardverk 1822. Det stod då klart att projektiv geometri rymmer vackra dualiteter, både i rummet och i planet, på linjen och i punkten. Fig 2 illustrerar detta. Fig 2 De vågräta dubbelpilarna visar dualitet i planet, på linjen och i punkten. Kryssdiagonalerna visar dualiteter i rummet, där punkt och plan är dels duala element, dels duala totaliteter (bärare av linjer och plan resp linjer och punkter. Exempelvis utgör punkt och plan duala element i rummet, medan linje och plan är duala element om man väljer punkten som scenario för en geometri. 44 Nämnaren nr 3, 2000

I planet är punkt och linje, punktkurva och linjekurva duala element. Fig 3 Linjeellips formad av tangenter. I gängse undervisning ses planet som ett punktfält och kurvor som en mängd av punkter. Ser man däremot planet som ett linjefält formas kurvorna av linjer. Fig 3 visar en linjeellips. Eleverna får nya, intressanta perspektiv, bl a på kägelsnitten. Dessa framstår som slutna kurvor: parabeln är ett kägelsnitt som tangerar planets oändligt-avlägsna linje; hyperbeln är ett kägelsnitt med två oändligt-avlägsna punkter, i vilka kurvan tangerar asymtoterna (fig 4). De oändligt-avlägsna elementen introduceras inte ad hoc som fallna från himlen utan på ett osökt sätt för att göra Desargues sats om perspektiviska trianglar allmängiltig. Efter en trevande första bekantskap med dessa icke-åskådliga element erfar eleverna alltmer hur de fungerar. Denna process, att gradvis växa in i nya begrepp, är en värdefull övning. Hälften av kursen i 11:e klass ägnas åt en mycket flexibel problemlösning kring Desargues sats. Under den återstående delen av kursen (år 11-12) löser vi problem rörande dualitet. Att bygga upp och studera dualiteter innebär att betrakta ting och problem ur motsatta aspekter en övning i flexibilitet och omdömesbildning av värde långt utöver skoltiden. Waldorfskolans arbetssätt, som bl a innebär att varje elev utformar en periodredogörelse, ger eleverna extra möjligheter att uppleva skönhet i geometrin, t ex funktionell symmetri som erhållits ur en asymmetrisk utgångsfigur (fig 5). Fig 4 Hyperbeln som ett slutet konvext kägelsnitt med två oändligt avlägsna punkter. Fig 5 Kägelsnitt som linjekurva, erhållen ur en asymmetrisk utgångsfigur. I gymnasieskolan domineras geometrin av analytisk geometri. Den är ett viktigt och effektivt verktyg vid vissa problemtyper: Nämnaren nr 3, 2000 45

man löser problemen med algebraisk metod och översätter resultat till geometri. Icke-analytisk projektiv geometri erbjuder däremot en alltigenom geometrisk aktivitet och det är överraskande att man kan komma mycket långt utan att införa en metrik (en längdenhet), dvs genom att studera sammanhang mellan punkter, linjer och plan utan måttbestämningar. Projektiv geometri inrymmer faktiskt alla andra geometriska system. ( Projective geometry is all geometry, yttrade den engelske matematikern Arthur Cayley.) Låt oss gå till ett problemexempel för att kvaliteten i projektiv geometri ska bli mer konkret. Vi får här ta Desargues sats som en given baskunskap. Som ytterligare förutsättning för problembehandlingen fungerar några valda grundregler för perspektivisk avbildning på ett lodrätt bildplan: (1) Vågräta parallella linjer som bildar vinkel med bildplanet möts i en gemensam punkt på bildens horisont (som vi låter vara horisontell) (2) Vågräta linjer som är parallella med bildplanet avbildas som paralleller till bildhorisonten (3) Lodräta linjer avbildas som lodräta linjer Fig 6 illustrerar dessa regler. den projektiva linjen är identisk med den euklidiska linjen, utökad med en oändligt-avlägsen punkt I plan projektiv geometri har således två linjer alltid en gemensam punkt. Problemet blir nu att undersöka om de nyss formulerade grundreglerna håller måttet vid perspektivritning av ett hus med form av ett rätblock. Vi tänker oss detta placerat på ett vågrätt plan under ögonhöjd och så att husets lodräta kanter har olika avstånd till bildplanet. Husets väggar bildar alltså vinkel med bildplanet. AA väljs som den vertikala kant som är närmast bildplanet. Linjerna AV och A V är paralleller som går till en gränspunkt V; linjerna AH och A H är paralleller som går till en gränspunkt H (regel 1). Se fig 7. Fig 7. På AV, A V och AH, A H väljs hörnpunkter B, B resp D och D så att kanterna BB och DD blir vertikala (regel 3). Se fig 8. Fig 6. Innan vi formulerar problemet bekantar vi oss med några begrepp av fundamental vikt i projektiv geometri: varje riktning bestämmer en oändligtavlägsen punkt och vice versa parallella linjer har en gemensam punkt: en ändligt-avlägsen skärningspunkt Fig 8 Nu dras linjerna DV, D V, BH och B H. Därmed erhåller vi husets återstående två hörn C = DV x BH och C = D V x B H. Se fig 9. 46 Nämnaren nr 3, 2000

Fig 9. Fråga: Blir husets fjärde knut, CC, lodrät i bilden? (F) Kan vi garantera att kanten CC blir lodrät? Vi formulerar om frågan till den ekvivalenta frågan: Blir kanten CC parallell med kanten AA (och därmed per konstruktion även med BB och DD )? Fig 9 innehåller inte mindre än 13 linjer (horisonten plus husets 12 kanter) och 11 punkter. Ja, 11 punkter, eftersom de tre lodräta parallellerna AA, BB och DD möts i en oändligt-avlägsen punkt. Räknar vi linjer och punkter i Desargues-figuren (fig 1), finner vi 10 linjer och 10 punkter. De är förknippade med varandra på så vis att 3 punkter ligger på varje linje och 3 linjer går genom varje punkt. (Figuren sägs vara självdual.) Det gäller tydligen att förenkla fig 9 på något sätt så att vi lättare kan tillämpa Desargues sats. I fig 8 är antalet linjer 8 och antalet punkter 9 (av vilka en är oändligt-avlägsen i lodrät riktning). Det vore önskvärt med ytterligare två linjer och en punkt! Man kan här göra en upptäckt: det går att testa perspektivreglerna redan med fig 8, om vi bara bygger ut den på lämpligt sätt. De linjer vi ska tillfoga är de två diagonalerna d = DB och d = D B. De är vågräta paralleller i huset och bildar vinkel med bildplanet. Alltså ska de enligt regel (1) mötas på horisonten. Vi kommer kanske att ha nytta av att besvara följande förberedande fråga: Möts d och d på horisonten? Fig 10. Det förefaller naturligt att i fig 10 utgå från trianglarna ABD och A B D. De är nämligen perspektiviska med avseende på den oändligt-avlägsna punkten O i lodrät riktning. Vilka är Desargues-punkterna? Svar: V = AB x A B, H = AD x A D och d x d. Eftersom V och H bestämmer Desargues-linjen och denna sammanfaller med horisonten, måste den tredje Desargues-punkten, d x d, ligga på horisonten. Så långt står sig perspektivreglerna, åtminstone. Nu åter till fig 9 och huvudfrågan (F). Utrustade med det nyss vunna resultatet är det frestande att denna gång utgå från trianglarna BCD och B C D. Det gäller att visa att CC är lodrät, dvs går genom den oändligt-avlägsna punkten BB x DD. Vi kan tydligen ta bort linjen AA. Med denna linje stryks även punkterna A och A samt linjerna AB, A B, AD och A D. Medräknat diagonalerna d och d och deras skärningspunkt (S) på horisonten uppvisar den renodlade figuren, fig 11, faktiskt 10 linjer (av vilka en är den heta linjen CC ) och 10 punkter (av vilka BB x DD ska visas tillhöra CC ). Fig 11. Trianglarna BCD och B C D har en Desargues-linje med punkterna S, V och H. Således är trianglarna enligt Desargues perspektiviska. Deras perspektivitets-centrum är punkten BB x CC x DD. Därmed Nämnaren nr 3, 2000 47

är visat att CC går lodrätt, dvs är parallell med de tre övriga kanterna. Vi har samtidigt funnit att de tre perspektivreglerna fungerar vid konstruktionen av husets perspektivbild. Detta får illustrera att projektiv geometri bildar grundvalen för den perspektivlära som utvecklats och som var vaggan för detta område av geometri. Jag skulle helst se att alla gymnasieelever kunde få en delkurs i projektiv geometri. De skulle bli engagerade och kursen skulle bidra till en mer positiv atmosfär kring skolmatematiken. (Vem är inte bedrövad över de ensidiga reportage och diskussioner kring den tråkiga matematiken som media då och då ställer fram?) I en problemsamling för projektiv geometri på gymnasienivå kan svårighetsgraden variera mellan mycket enkla problem till mer komplicerade (i stil med det nyss behandlade perspektivproblemet). Dessutom kan snarlika problem varieras på ett flexibelt sätt så att repetitionsövningar blir intressanta och tillför eleverna nya erfarenheter. På senare tid har projektiv geometri i ökande grad utnyttjats i datorgrafik. I skolan ligger dess värde främst i att den på ett så fruktbart sätt utvecklar förmågor av skilda slag hos eleverna. Att ämnet högaktas även av namnkunniga matematiker framgår av det slutord som jag här ger åt amerikanen Morris Kline, författare till en rad värdefulla böcker om matematik: Det är naturligtvis sant att andra områden inom matematiken, framför allt differentialekvationerna, har betytt mer för vetenskapens utveckling än den projektiva geometrin. Men ingen del av matematiken kan tävla med den projektiva geometrin i fråga om originalitet i idéer, samordningen av intuition vid upptäckterna med stränghet i bevis, renhet i tanke, logisk fulländning, elegans i bevis och begreppens omfångsrikedom. Den vetenskap som föddes ur konsten visade sig även tillhöra konsten. Referenser Coxeter, H. S. M. (1994) Projective Geometry. Springer. Coxeter, H. S. M. (1955). The Real Projective Plane. Cambridge Univ Press. Kilborn, W. (1992). Didaktisk ämnesteori i matematik, del 3. Almqvist & Wiksell Hermods 1992. Kline, M. (1977). Projektiv geometri. SIGMA, band 4. Bonniers. Kline, M. (1977). Matematiken i den västerländska kulturen, kap 11. Måleri och perspektiv. Prisma 1968. Ulin, B. (1998). Klassisk geometri. Ekelunds. Ulin, B. (2000). Projektiv geometri. Ekelunds. Winroth, H. (1999). Dynamic Projective Geometry. KTH. Projektiv geometri en åskådlig introduktion Bengt Ulin Geometri har haft en aktad ställning som vetenskap under fyra årtusenden, i vår tid kanske framförallt området analytisk geometri. Till skillnad från detta område så har dock den projektiva geometrin trots sin vidd och skönhet inte fått något nämnvärt utrymme i svenskt skolväsende. I sin bok Projektiv geometri en åskådlig introduktion visar Bengt Ulin just på denna vidd och skönhet. Titeln har en dubbel innebörd, dels kan den projektiva geometrin ses som en introduktion till övrig geometri, dels är Ulins egen framställning i hög grad en åskådlig introduktion med många intressanta figurer och bilder. Den projektiva geometrin har sina rötter i 1400-talets perspektivmåleri, och Ulin visar på intressanta samband mellan matematik och renässansens målarkonst. Ulin påpekar också möjligheten att utnyttja datorkraft, så att man med hjälp av ritprogram kan variera givna data och på så sätt ge den projektiva geometrin en dynamisk karaktär. Boken vänder sig till alla vänner av geometri och erbjuder såväl en ny ingång till geometrin som en vidgad matematisk allmänbildning. ISBN 91-646-1331-3, Ekelunds Förlag AB 48 Nämnaren nr 3, 2000