Debatt Debatt Debatt Debatt Debatt Debatt Debatt Elever har rätt att få lära sig matematik Bengt Johansson tar i Nämnaren nr 1 2006 upp frågan om standardalgoritmernas roll i matematikundervisningen. Jag har själv sysslat en hel del med forskning kring frågan om elevernas egna räknemetoder. Bland annat har jag följt en klass från skolår 2 till och med skolår 5, en klass som var helt hänvisad till att använda sina egna beräkningsmetoder för de fyra räknesätten, eftersom standardalgoritmerna över huvud taget inte lärdes ut. Därför vill jag gärna svara på Bengts inlägg. Bengt ger först en intressant historisk exposé över divisionsalgoritmen. Man kan ju inte annat än förundras över att man lagt ned så mycket möda på att diskutera utformandet av denna algoritm. Men det hände ju innan den situation som är rådande i dag inträffat, att snart sagt varje elev har en miniräknare på sin mobiltelefon. Bengt visar också på hur våra kursplaner förändrats från Lgr 80:s krav på att alla elever skulle behärska algoritmerna upp till en viss svårighetsgrad till Lpo 94:s användning av termen skriftliga räknemetoder. Matematik eller räkning Jag tycker dock att Bengt i sin artikel försummar att ta ställning i den vitala frågan vad det är som våra elever ska lära sig under matematiktimmarna, är det matematik eller är det räkning. Jag håller med Bengt om att problemet med algoritmerna inte är den matematik som finns i dem utan hur undervisningen läggs upp. Men det är just här som problemen dyker upp. Om läraren direkt börjar undervisa om standardalgoritmerna tror jag det är svårt för eleverna att få den taluppfattning som är nödvändig för att förstå algoritmernas uppbyggnad. Om man däremot låter eleverna börja med att använda sina egna metoder kommer de, som min forskning visar, att mer eller mindre spontant använda sig av positionssystemet, de adderar ofta hundratalen för sig, tiotalen för sig och entalen för sig. De utnyttjar också distributiva lagen vid multiplikation, 3 26 räknas till exempel som 3 20 + 3 6. Jag skulle kunna fortsätta och räkna upp andra metoder som jag sett komma till användning och som visar på att eleverna under arbetet med sina egna beräkningsmetoder skaffar sig och tränar upp en god taluppfattning. Men jag avstår från detta och hänvisar i stället till en artikel i Nämnaren (Hedrén, 1999) och till min sammanfattande rapport kring min forskning (Hedrén, 2000). I det sammanhanget bör det givetvis påpekas att inte alla elever kan förväntas komma på alla idéer på egen hand. Diskussioner i smågrupper eller i helklass gör att eleverna kan dela med sig tankar och strategier till varandra. Men även tips och stöttning från läraren som bygger vidare på de idéer som eleverna redan har, kan hjälpa eleverna att förbättra sina beräkningsmetoder. Ett tillvägagångssätt vill jag dock uttryckligen varna för. Det kan inte vara någon fördel att läraren eller läroboken ger en mängd alternativa beräkningsmetoder som eleverna får välja bland. I sådant fall har hon/han ju bara prackat på sina elever en eller flera metoder, som förmodligen är sämre än standardalgoritmerna och som de sannolikt förstår lika litet av. Att eleverna själva får välja 52 Nämnaren nr 2 2006
gör inte saken så mycket bättre. Mångfalden av metoder ska, som jag redan nämnt, komma från eleverna och inte uppifrån från en auktoritet. Huvudräkning, överslagsräkning och skriftliga räknemetoder När jag här talar om elevernas egna räknemetoder tänker jag både på dem som de använder vid ren huvudräkning och dem där de gör skriftliga anteckningar. I det senare fallet kan det röra sig om allt från bilder av gängse mynt och sedlar till långa uppställningar eller till korta noteringar av mellanresultat. Det intressanta är emellertid, vilket bland annat min forskning visar, att när eleverna får hitta på sina egna metoder kommer även de skriftliga räknemetoderna att i mycket stor utsträckning överensstämma med de metoder som används vid huvudräkning. Jag ser det onekligen som en extra fördel att eleverna inte behöver tänka på ett sätt vid huvudräkning och på ett helt annat sätt vid skriftlig beräkning. Det är ju för övrigt ägnat att förvåna att vi alltid uppmuntrat våra elever att tänka på sitt eget sätt vid huvudräkning men givit dem strikta regler att följa när uträkningen ska ske med papper och penna. Att en del elever ändå försöker tänka i standardalgoritmer vid huvudräkning gör definitivt inte saken bättre, det brukar sällan leda till ett bra resultat. Motsvarande resonemang som ovan kan också tillämpas på överslagsräkning, elevernas egna skriftliga beräkningsmetoder ligger normalt mycket närmare dem som vi använder vid överslagsräkning. Vill man till exempel räkna ut 97/4, gör man ju snabbt ett överslag som 100/4. Vill man nödvändigtvis ha ett exakt värde, kompenserar man genom att dra ifrån 3/4 = 0,75 från 25. Någon klarar kanske detta i huvudet, någon annan skriver ned ett mellanresultat. Miniräknaren Jag har redan nämnt att miniräknaren blivit snart sagt varje människas egendom. Trots detta vill jag inte gå så långt som att säga att det är helt onödigt för eleverna att lära sig skriftliga räknemetoder. Det kan ju trots allt finnas tillfällen när man inte har en miniräknare med sig. Men jag tycker att kravet på effektiva beräkningsmetoder, vilket ju onekligen standardalgoritmerna är, har minskat betydligt. Det kan ju också tilläggas att överslagsräkning bör vara ett inslag i all förnuftig användning av miniräknare, och som jag redan nämnt ligger överslagsräkning mycket nära de metoder som eleverna använder sig av, när de själva får bestämma tillvägagångssätt. Ska standardalgoritmerna över huvud taget läras ut? Den här frågan tycker jag är den allra viktigaste i sammanhanget. Jag måste erkänna att jag blev måttligt imponerad av Bengts historia från klassrummet. Förmodligen hade eleverna arbetat så mycket med sina egna räknemetoder i division att de hade förmågan att genomskåda hur algoritmen liggande stolen fungerar. Då är de ju bara att gratulera, och då är det givetvis endast en fördel att eleverna får se algoritmen. Jag har ingenting emot att algoritmerna lärs ut i senare skolår och brukar uttrycka mig ungefär så här. Om man väntar så länge med att lära ut standardalgoritmerna att eleverna själva, när de ser dem, säger: Varför har vi inte fått lära oss de här algoritmerna tidigare, det är mycket lättare att räkna på det här sättet?, då har algoritmerna kommit in vid rätt tidpunkt. Då har eleverna fått en så god taluppfattning att det mekaniska räknandet med algoritmer inte gör någon skada. Visst är standardalgoritmerna bra att kunna, men en god taluppfattning är enligt mitt förmenande viktigare. Här ligger enligt min åsikt skillnaden mellan att lära sig räkna och att lära sig matematik. Rolf Hedrén Litteratur Hedrén, R. (1999). Kan elever hitta på egna skriftliga räknemetoder? Nämnaren 26 (4), 8 15. (tillgänglig på namnaren.ncm.gu.se) Hedrén, R. (2000). Social konstruktivism i elementär aritmetik. Kan elever i år 2 5 göra skriftliga beräkningar utan de traditionella uppställningarna? Högskolan Dalarna: Kultur och Lärande. Rapport 2000:1. Nämnaren nr 2 2006 53
Ska man lära sig algoritmerna? Ja visst, det är ju ett smart sätt att förenkla numeriska uträkningar. Men vänta nu när kan det vara lämpligt att ta till en algoritm för uträkning? I Undervisningsplanen för rikets folkskolor 1919 står det: Räkning med särskild skriftlig uppställning bör icke införas förrän den är behövlig för besparing av tid... Ett huvudsyfte vid räkneundervisningen bör vara att lärljungarna erhålla färdigheter i huvudräkning, som bör komma till användning i så stor utsträckning som möjligt. Huvudräkningsövningarna bör avse att inlära lämpliga sätt för uppgifternas övning. På den tiden fanns inga miniräknare som i dag är ett naturligt alternativ när talen blir så många eller stora att det skulle vara onödigt tidsödande att ställa upp och räkna ut. Men ska man behöva använda algoritm eller miniräknare för att räkna ut 70,2 30,5? Det är ofta problem för eleverna att låna, eller växla, över nollor i en algoritm. Miniräknaren kräver en god taluppfattning för att bedöma om svaret är rimligt. Elever som förstått metoden skriftlig huvudräkning, där man skriver ett mellanled som förenklar, skriver snabbt och säkert: 70,2 30,5 = 40 0,3 = 39,7. Varje talsort för sig först tiotalen, sedan tiondelarna. Detta sätt att förenkla uträkningar lärde jag mig av mina elever på mellanstadiet när jag sent omsider insåg att algoritmräkningen, som tog så mycket tid och plats i min matematikundervisning, varken ledde till lust för matte eller till särskilt goda resultat. Jag insåg att den myckna algoritmräkningen, där alla siffror räknas som ental, gjorde att den goda taluppfattning, som barnen har när de börjar skolan, inte togs tillvara och utvecklades. När en femåring räknade ut 18 + 18, sa han först tar jag tiorna, det är 20, sedan tar jag åttorna, det är 16, så det blir 36. Han såg talen, inte siffrorna. Hade han lärt sig hur man kan skriva och hur man kan använda likhetstecknet hade det blivit så här: 18 + 18 = 20 + 16 = 36. Jämför det med en uppställning, där man först räknar åttorna och sedan ettorna, däremellan skriver minnessiffran på rätt ställe, ibland med hylla dessutom! Elevernas förslag Eftersom jag inte hade någon färdig uträkningsmetod som skulle kunna ersätta algoritm erna, fick jag förlita mig på att mina elever kunde komma med förslag. Det fanns några villkor: alla uträkningar måste först tecknas, mina elever skulle titta på talen och tecknet, börja med den största talsorten och använda likhetstecknet för att skriva ett mellanled som visade hur de tänkte. Vi började med addition, som då blev så här: 67 + 75 = 130 + 12 = 142. Det kan tyckas enkelt, med det krävs både förståelse för positionssystemet (67 = 60 + 7) och goda tabellkunskaper när det gäller andra talsorter än ental (60 + 70 = 130). Inget av det hade eleverna behövt träna i algoritmräkningen. Inte heller hade de tränat hur man använder likhetstecknet det viktigaste tecknet i mate matiken! 54 Nämnaren nr 2 2006
När man låter eleverna tänka själva och hitta sina egna lösningar finns motivationen för att utnyttja matematikens lagar och möjligheter. Det var vad som hände när vi skulle lösa subtraktionen 65 27. Jag bad mina elever skriva ner alla tänkbara mellanled så att vi sedan skulle kunna diskutera för- och nackdelar med olika tankegångar. Vi skulle komma fram till det enklaste. Ju enklare, desto roligare och desto mera rätt. Så här såg deras förslag ut: 65 27 = 40 2 = 38 = 68 30 = 38 = 60 22 = 38 = 3 + 35 = 38 = 65 30 + 3 = 35 + 3 = 38 = 65 25 2 = 40 2 = 38 Med mellanleden kom språket in i matematiken, eleverna måste förklara sina tankegångar så att alla kunde förstå. Det fanns en tankegång som slog ut alla andra mellanled, nämligen den översta, varje talsort för sig. Visst kunde man skriva andra mellanled, men man skulle ju göra det så enkelt som möjligt. Den sista lösningen var min. Då fick jag höra det som ofta var kommentaren vid mina förslag: Vad du krånglar till det, Birgitta! Kanske är det så att vi färdiga lärare har svårt att se okonventionella och nya tankegångar, som är så naturliga för barn när de får tänka själva? När vi så småningom skulle addera och subtrahera tal i bråkform var jag glad att jag inte hade hunnit lära ut det jag hade lärt mig i min gamla skola. Med varje talsort för sig kan man lösa alla uppgifter i alla räknesätt, men när det gäller flersiffriga tal finns andra förenklingar att göra, till exempel: 93,7 29,8 = 93,9 30 = 63,9 (man ökar varje term med 0,2) och 91,2 89,7 = 0,3 + 1,2 = 1,5 (när skillnaden mellan talen är så liten kan man tänka från det minsta talet till det största, som på tallinjen). Vid alla räknesätt diskuterade vi olika tankegångar. Att komma fram till det enklaste mellanledet var målet. Eleverna var inte bundna av några regler som man måste lära sig utantill. Det enda villkoret var att hålla sig inom räknelagarna. Och det verkar som om räknelagarnas logik är på elevernas sida! God färdighet i överslagsräkning, som av någon anledning inte är direkt uttryckt i mål att uppnå i slutet av femte skolåret, blev en naturlig följd av arbetssättet. När ska man då använda algoritmerna? Min erfarenhet efter att ha arbetat i många år med skriftlig huvudräkning är att elever som har fått träna nödvändiga förkunskaper så långt som möjligt försöker att räkna ut numeriska beräkningar med metoden skriftlig huvudräkning. Men det hindrar inte att de också vill lära sig hur man räknar ut med hjälp av algoritmer. Har man i grunden en god taluppfattning är det inte svårt att förstå tekniken vid algoritmräkning. Problemet är i stället att de inte så gärna räknar ut med vare sig algoritm eller miniräknare båda sätten är lika tråkiga och fantasilösa för elever som så gärna vill tänka ut lösningar på egen hand. Divisionsalgoritmen har ju genom åren bytt utseende flera gånger. Ofta har uträkningarna varit så omständliga och svåra att själva begreppet divison, både som innehålls- och delningssdivision, kommit i andra hand. Som tur var läste jag i kommentarmaterialet till dåvarande läroplan, Lgr 80, att på mellanstadiet kan divisionsuppställningen undvaras, men alla elever bör tränas på s k kort division. En förkortad algoritm som innebär att inga subtraktioner behöver göras eftersom man kan tänka med utfyllnad (plus) och att man ser divisionsuttrycket och svaret. Decimaltecknets placering avgörs efter talens storlek och inte efter regeln rakt ovanför, som knappast utvecklar elevens taluppfattning. Nämnaren nr 2 2006 55
Mina elever, som hade hört talas om liggande stolen, ville gärna lära sig den också. Men även om jag visade den utan växlingar och onödiga nollor så var det någon som undrade vem som hade hittat på något så krångligt. De fortsatte med kort division även om nämnaren var tvåsiffrig eller om divisionen inte gick jämnt ut. Det blev enkelt att avrunda när hela uträkningen gjordes vågrätt. Den korta divisionen ledde också till kort multiplikation (en förkortad algoritm) som mina elever lärde mig. Kan man räkna ut med kort division, så kan man också räkna ut med kort multiplikation, förklarade de. Algoritmerna är ett redskap bland många. Ju fler redskap en elev har och förstår, desto större är friheten och möjligheten att välja det som bäst lämpar sig vid en given uppgift. Algoritmerna är också en del av vårt kulturarv, som även dagens elever bör få tillgång till. Vem av oss vuxna skulle vilja vara utan kunskapen om hur algoritmerna fungerar? Men inlärningen av algoritmerna bör inte handla om några utantill inlärda regler om var siffror och kommatecken ska placeras utan bygga på förståelse och en god taluppfattning. Dessutom borde algoritmerna förenklas så långt som möjligt, de är ju inte ett mål i undervisningen utan ett hjälpmedel i vissa fall. När uträkningar får bygga på elevens logiska, analytiska och kreativa förmåga som är fallet vid skriftlig huvudräkning, då ökar deras matematiska förmåga även i andra moment, som tidsberäkningar, procent räkning, geometri, ekvationslösning och algebra. Jag har många gånger förvånats och förundrats över hur mycket mina elever kan när det gäller matematiskt tänkande. Jag har också lärt mig mycket av mina elever som ser på matematiska problem med friska och oförstörda ögon inte så konventionellt och formelbundet som vi vuxna ofta gör. Jag tror att om man ger eleverna tankeväckande impulser och redskap som bygger på förståelse och ger dem tid att tänka själva, så blir matematiken intressant och spännande. En elev som förstår matematikens lagar och möjligheter känner självförtroende och får lust att lära sig mera. Birgitta Rockström Litteratur Rockström,B. (2000) Skriftlig huvudräkning Metodbok. Bonnier Utbildning Delta i diskussionen I förra numret skrev Bengt Johansson under rubriken Eleverna har rätt att få lära sig räkna och uppmanade läsarna att bidra i debatten om algoritmer. I detta nummer kommer två läsare till tals och ett inlägg finns också att läsa på Nämnarens webbplats: namnaren.ncm.gu.se 56 Nämnaren nr 2 2006