Projekt Spektralanalys med hjälp av den diskreta Fouriertransformen Marcus Björk Doktorand i Signalbehandling, Systemteknik (IT)
Vad är spektralanalys? Analys av frekvensinnehållet i en tidsserie/signal. Vad innebär Analys av frekvensinnehållet? Vad är en tidsserie/signal? Tidsserie: mätning av någon storhet under tid, t.ex. börskurs, ljud, ljusstyrka hos en avlägsen stjärna, antalet personer i det här rummet. Signal: mer generellt uttryck och måste inte vara en mätning över tid. Frekvensinnehåll: Hur effekten eller energin i signalen är fördelad över olika frekvenser. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 2
Ljudexempel Vi lyssnar på lite vitt brus (innehåller alla frekvenser), även låg- och högpassfiltrerat. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 3
Enkelt exempel Antalet solfläckar Topp för f 0.09 cykler per år => Period = 11 år Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 4
Ytterligare spektralanalys MRI Exoplaneter Spektroskopi Radar/Sonar Empirisk Modellering (W5) & Reglerteknik (nästa period)! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 5
Frekvensinnehåll Fouriertransform: X c Spektrum: Φ c ( ) ( t) e dt Parsevals/Plancherels formel: x x ( ) X ( ) c (t) 2 dt c c 1 2 it 2 Φ ( ) d c Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 6
Problem: Kan ej mäta en signal kontinuerligt! Måste sampla! Samplingsfrekvens: f s = 1/T s Samplad (tidsdiskret) signal: t=nt s ger: x[n] = x c (nt s ) n = 0, ±1, ±2, Normaliserad frekvens: f t 2 ft 2 fnts 2 f s n Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 7
Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 8 D e p t. o f I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y, D i v i s i o n o f S y s t e m s a n d C o n t r o l Tidsdiskreta Fouriertransformen (DTFT) DTFT: Periodisk funktion (pga att n är heltal ovan) då Spektrum: Parsevals/Plancherels formel: n s n i f f e n x X 2, ] [ ) ( 2 ) ( ) ( X Φ )d ( 2 1 ] [ 2 Φ n x n Z m X m X ), ( ) 2 (
Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 9 D e p t. o f I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y, D i v i s i o n o f S y s t e m s a n d C o n t r o l Tolkning av Fourier Signalen representeras i frekvensdomän En sinus ger en topp i spektrum Med flera sinusar kan vi bygga upp ett mer avancerat spektrum. Fourierserier säger att vi kan beskriva alla (periodiskt utvidgade) signaler som en summa av sin och cos. Transformen som en projektion på e -iω. Analogt med linjär algebra för R n. Skalärprodukt 1 0 1) ( ] [ ) ( 1, 1] [ [0] N n n i N i i i i T e n x p e b N x x a a b b a b a p
Diskreta Fouriertransformen (DFT) Problem: Kan ej mäta oändligt länge! Vi använder de mätningar vi har (fönster): X ( ) N 1 n0 x[ n] e i n Kan ej evaluera funtionen för alla frekvenser! Använd L punkter, uniformt utspridda öven en period: k 2 k, k 0,1,..., L 1 L Normalt sätter vi N=L, vilket ger DFTn: X[ k] N 1 n0 x[ n] e k i2 n N Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 10
Zeropadding Om nu L N så kan vi skriva: X[ k] L 1 n0 x[ n] e k i2 n L Då vi definierar x[n]=0 för n N Vi får s.k. Zeropadding. Fler punkter på frekvensaxeln. Ingen ny information läggs till. Men kan bli visuellt tydligare. Det är signalens längd i tid (NT s ) som bestämmer den maximala upplösningen! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 11
Periodogrammet Skattning av spektrum i praktiken Φˆ[ k] 1 N N 1 n0 x[ n] e k i2 N n 2 k 0,, N 1 Kan göras mycket snabbt: O(N log 2 N) istället för O(N 2 ), m.h.a. the Fast Fourier Transform, FFT. Signalvektor x av längd N. Diskreta Fouriertransformen i N frekvenspunkter ges av MATLAB genom: X = fft(x); Med zero-padding L>N: X = fft(x,l); ger transformen i L frekvenspunkter. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 12
Bartletts metod Mycket mätbrus (hög varians på mätbruset) i kombination med relativt få sampel, ger ett fladdrigt spektrum. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 13
Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 14 D e p t. o f I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y, D i v i s i o n o f S y s t e m s a n d C o n t r o l Bartletts metod (2) Enkel metod: Bartletts metod. Dela upp tidsserien i P = N/M delar: Räkna ut spektrumet för varje del och medelvärdesbilda: P p M m m M p x m x p, 1 1, 0, ], 1) [( ] [ 2 1 0 2 ] [ 1 ] [ ˆ M m m N k i p p e m x M k Φ P p p B k Φ P k Φ 1 ] [ ˆ 1 ] [ ˆ
Bartletts metod (3) Exempel: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 15
Projektets utförande Allt material finns på hemsidan (inklusive dessa slides). http://www.it.uu.se/katalog/marbj996/transformmetoder2011 Projektbeskrivningen beskriver uppgifterna. Del III innehåller det ni behöver kunna om MATLAB. Det finns ett teorikompendie som beskriver den teori ni behöver för projektet och anknyter till kursen i övrigt. Syfte: Få se några tillämpningar av Transformmetoder-kursen. Lära sig om den diskreta Fouriertransformen som används i praktiken. Använda och lära sig lite mer om MATLAB. Få övning i teknisk rapportskrivning. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 16
Redovisning Kortfattad, men korrekt skriven, rapport på svenska eller engelska. Ni behöver inte beskriva metoderna ni använder er av särskilt noga. Lägg krutet på hur ni gjort och era resultat och slutsatser! Det finns en checklista för rapporten på hemsidan. Mer utförlig instruktion för rapportskrivning finns i Att skriva en teknisk rapport en kort instruktion. Skriv så att någon som läst kursen men inte gjort projektet kan förstå vad ni gjort (utan tillgång till instruktionen). Rapporten och eventuella rester skall mailas som en pdf. Deadline: sön 15/1 2012, kl 24:00. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 17
Sammanfattning Spektralanalys med hjälp av den diskreta Fouriertransformen Omfattning: 1hp Hemsida med allt material: http://www.it.uu.se/katalog/marbj996/transformmetoder2011 Deadline: sön 15/1, kl 24:00. Arbeta i grupper om 4 personer (högst). Ni väljer själva. Det finns ett schemalagt tillfälle för frågor i datorsal 6/12, kl 15:15. I övrigt löses uppgifterna på egen hand. Kontakta mig via email vid frågor etc: marcus.bjork@it.uu.se Rapporten mailas som pdf-fil in till: transformproj.it.w.frist@gmail.com Det finns flera roliga kurser på Systemteknik (IT) som tillämpar transformmetoder: Reglerteknik, Empirisk modellering etc. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 18
Projektet Består av 4 uppgifter: 1) Enkelt inledande exempel: Undersök vilka frekvenser som bygger upp en signal ni får av mig (från hemsidan) med hjälp av periodogrammet. Vad är fördelen med att titta på denna signal i frekvensdomänen? 2) Studera upplösningen hos periodogrammet (med och utan zeropadding). Varför och när bör man använda zeropadding? Hur bra är upplösningen? 3) Studera variansen hos periodogrammet. Barletts metod kontra periodogrammet. Vad händer med upplösningen och variansen för olika försterbredder M? 4) Valbar uppgift. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 19
Uppgift 4 (valbar) Välj en av följande: a) Spela någon ton från ett instrument (blockflöjt, stämgaffel el.dyl.) och gör spektralanalys på den. b) Studera data från TNT för att bestämma var bomben finns (datat laddas ned från hemsidan). c) Studera data från MR-skann av hjärnan för att se vilka ämnen som finns (datat laddas ned från hemsidan). d) Studera statistik över Sveriges elförbrukning under 2008 (datat laddas ned från hemsidan). Baseras på det ni lärt er i uppgifterna 1-3. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 20
Uppgift 4a) Sampla någon sekund från ett musikinstrument, stämgaffel, visselpipa, vissling e.dyl. Använd ljudinspelaren i din dator. Lagra filen som.wav-fil. Läs in filen i Matlab med wavread-kommandot. Mer information i projektbeskrivningen. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 21
Uppgift 4b) I vilket dataset finns bomben? Mätning från King s College London på TNT m.h.a. NQRteknik. I ena datasetet finns bara brus och interferens, i det andra finns även tydliga indikationer på närvaro av TNT. NQR-spektrum av TNT: 4 toppar, läget beror på temperaturen, men på ett känt vis. Leta efter topparna! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 22
Uppgift 4c) Magnetresonansspektroskopi (MRS). Simulerat data från skann av hjärnan. Excitation av fosfor. Ladda ned MRS-dataserien och gör spektralanalys på den för att se vilka fosforbaserade ämnen som syns på skannen. Jfr. med tabell 1 i projektbeskrivningen. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 23
Uppgift 4d) Statistik över Sveriges elförbrukning under 2008, hämtat från Svenska Kraftnäts hemsida (http://www.svk.se/energimarknaden/el/statistik/rad2/). Datat är samplat varje timme så att man kan följa dygnsvariationerna. Fundera först lite över vilka periodiciteter ni tror ni borde se, gör sedan spektralanalys, både av hela datat samt för några månader i taget. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 24
MATLAB Numeriskt beräkningsverktyg och programmeringsspråk. Ej symboliskt! (Finns även en symbolisk del som inte skall användas) MATLAB använder vektorer och matriser. Innehåller massor av färdiga funktioner, som ex. FFT(x). Skriv egna funktioner och script i m-filer (filnamn.m). Koden behöver inte kompileras. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 25
MATLAB Variabler (hamnar i workspace): Skapas då de tilldelas ett värde (inga deklarationer) x=1 En skalär (eg. en matris med ett element) x=[1 2 3] En radvektor x=[1;2;3] En kolonnvektor A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] En matris A(1,:) Första raden i A A(:,1) Första kolonnen i A t=0:1:10 Radvektorn [0 1 2... 10] Operationer: Rätt dimension på variablerna krävs C=A+(-)B Elementvis addition (subtraktion) C=A*B Matrisprodukt C=A Transponat och komplexkonjugering x=a\b Löser ekvationssystemet Ax=b (LS om överbest) Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 26
MATLAB Elementvisa opertationer: C=A.*B Produkt C=A./B Division C=A. Transponat (ej konjugering!) C=A.^k Exponent Funktioner: y=abs(x) Absolutbelopp (elementvis) y=length(x) Ger längden av en vektor x y=sin(t) Räknar ut sinus av en vektor t (elementvis) y=randn(k) Vektor av längd k med normalfördelade slumptal y=fft(x) Beräknar diskreta Fouriertransformen av x C=inv(A) Beräknar inversen av den kvadratiska matrisen A y=linspace(a,b,n) Skapar en vektor från a till b i N punkter. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 27
MATLAB Grafik: plot(y) Plottar vektorn y (mot dess index). plot(x,y) Plottar y mot x. figure Öppnar ett tomt figurfönster. hold on Nästkommande plottar hamnar i samma figur. legend( graf1,... ) Namnger kurvorna i din figur. title(... ) Sätter en titel på grafen. xlabel(...') Sätter namn på en x-axeln (ylabel för y-axeln). Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 28
MATLAB I m-filer kan man spara kod man skrivit. Filen kan sedan köras genom att dess namn skrivs i kommandoraden (om du är i rätt mapp) save filnamn Spara alla variabler i workspace save filnamn A x b Sparar bara variablerna A, x och b. load filnamn Laddar in alla variablerna i MATLAB clear Raderar alla variabler clear A Tar bort variabeln A ur workspace. Det går även att skriva satser med if, for, while etc. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 29
MATLAB Om ni känner er osäkra: Sitt med Del III av projektinstruktionen och testa lite MATLAB. Det är ganska enkelt då man bara förstått tänket med vektorer och att det INTE är symboliskt. Det viktigaste: ANVÄND HJÄLPEN! help kommando Fråga mig om ni fastnar på något. Skriver ut en massa hjälp om det aktuella kommandot (Mycket går att göra utan att använda kommandoraden också, hjälp i menyn osv.) Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 30
Jag sitter i rum P2337 om ni behöver fråga något. E-post: marcus.bjork@it.uu.se Frågor? Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 31