Första ordningens logik

Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att ta del av en kopia av licensen besök följande http://creativecommons.org/licenses/ by-nc-nd/3.0/deed.sv.

Förord Det finns ett stort antal introduktionsböcker till mer eller mindre formell logik. Det finns dock få sådana på svenska och det finns knappast någon introducerande text på svenska som tränger djupare in i ämnet. Det finns också få böcker, även på engelska, som presenterar de formella grunderna för första ordningens logik, utan att antingen förutsätta att läsaren är eller har varit matematikstuderande eller nöjer sig med en skissartad framställning av logik utöver elementär satslogik. Tanken är alltså att föreliggande text skall fylla ett tomrum; den förutsätter inga faktakunskaper över gymnasienivå och den presenterar på ett rigoröst sätt första ordningens logik, inklusive en del metateorem som Gödels fullständighetssats, kompakthetssatsen och Gödels ofullständighetssatser. Den tänkte läsaren kan ha sitt huvudintresse inom lingvistik, matematik, datavetenskap eller filosofi, eller ha ett allmänt intresse av en introduktion till formella språk och teoribildning. Texten har följande uppläggning: Efter ett inledande kapitel presenteras i kapitlen 2 och 3 grundläggande syntax för första ordningens logik, formalisering och en intuitiv semantik. Kapitlen 4 och 5 behandlar den formella semantiken, inklusive begreppen logisk sanning och logisk konsekvens, via Tarskis definition av satisfiering. I kapitel 6 introduceras ett formellt härledningssystem i form av ett naturligt deduktionssystem först introducerat av Benson Mates. Här presenteras också satslogiken som ett formellt system. I kapitel 7 bevisas Gödels fullständighetssats och kompakthetssatsen och begreppet avgörbarhet diskuteras. Kapitel 8 är ägnat åt andra logiker än första ordningens logik; dels i form av fragment till predikatlogiken, dels i form av utvidgningar av predikatlogiken och alternativa logiker. I kapitel 9 ges ett antal exempel på teorier formaliserade främst i första ordningens logik. I anslutning till exemplen diskuteras begrepp som fullständighet, avgörbarhet och axiomatiserbarhet. Bland annat ges här en ingående re-

ii Första ordningens logik dogörelse för Gödels ofullständighetssatser. Slutligen utgör kapitel 10 närmast ett appendix till den övriga texten i form av en kort introduktion till elementär mängdteori. Detta kapitel avslutas med en presentation av Zermelo-Fraenkels mängdteori ZFC. Bortsett från enstaka exempel och övningar krävs inga egentliga förkunskaper. Detta innebär å andra sidan inte att texten nödvändigtvis är lättillgänglig, även om jag parallellt med formella definitioner och bevis, informellt presenterar idéer och begrepp bland annat via ett stort antal exempel. Logik är ett synnerligen abstrakt ämne och kräver att varje nytt avsnitt studeras aktivt och med stor omsorg. Devisen Träning ger färdighet är i högsta grad relevant och kan här kompletteras med Färdighet ger insikt. Det är med andra ord viktigt att läsaren successivt ägnar tid åt de övningar som finns insprängda i texten och i separata övningsavsnitt. De få exempel eller övningar som kräver förkunskaper inom något område, det kan vara matematik, mängdlära eller lingvistik, är försedda med en asterisk och dessa kan man naturligtvis hoppa över utan att förståelsen av texten i övrigt blir lidande. Alla texter har en historia så även denna. Utgångspunkten för boken är ett kompendium i logik, det blå, författat av Björn Haglund och Dag Westerståhl i Göteborg för oändligt länge sedan. Detta skrevs sedan om av Christian Bennet, Björn Haglund och Dag Westerståhl och utökades väsentligt till ytterligare ett kompendium, det gula, i mitten av 1980-talet. I slutet av 1990-talet gjordes ännu en omarbetning, nu av Cecilia Sönströd. Och under alla dessa år har kompendierna troget tjänat som litteratur till inledningskurser i logik vid Göteborgs och Lunds universitet, för logikstudenter, datalingvister och systemvetare. Föreliggande bok är i sin tur en väsentligt omarbetad och utökad version av det gula kompendiet. Björn Haglund och Dag Westerståhl har alltså en stor del i förarbetet till den här boken och dem vill jag förstås tacka alldeles särskilt. Jag vill också rikta ett varmt tack till Åsa Wedberg, Martin Kaså och Jörgen Sjögren för hjälp med korrekturläsning och sund kritik, men också till Alan Turing, John von Neumann och Donald E. Knuth utan vars hjälp denna bok aldrig hade blivit skriven. I denna upplaga har rättelser införts i februari 2013. Tack Rasmus Blanck och tack Martin, igen. Tack också till anonyma studenter och kollegor som föreslagit rättelser av olika slag.

Innehåll Förord........................... i Innehåll.......................... iii Kapitel 1: Inledning.................... 1 Kapitel 2: Grundläggande syntax............... 7 2.1: Basala syntaktiska kategorier............ 7 2.2: Fler kategorier................... 9 2.3: Övningar..................... 11 Kapitel 3: Formalisering.................. 13 3.1: Atomära satser.................. 13 3.2: Sanningsfunktionella operatorer........... 16 3.3: Kvantifikatoruttryck................ 21 3.4: Fler kvantifikatoruttryck.............. 24 3.5: Övningar..................... 26 Kapitel 4: Grundläggande semantik............. 29 4.1: Lite mer syntax.................. 29 4.2: Strukturer och sanningsvillkor............ 32 4.3: Satisfiering.................... 35 4.4: Några metateorem................. 38 Kapitel 5: Sanning och konsekvens.............. 43 5.1: Definitionerna................... 43 5.2: Ytterligare några metateorem............ 47 5.3: Övningar..................... 50 Kapitel 6: Härledningar................... 53 6.1: Några första exempel................ 53 6.2: Satslogiken som formellt system........... 57 6.3: Predikatlogiken som formellt system......... 62 6.4: Övningar..................... 68 Kapitel 7: Metalogik.................... 71 7.1: Uppvärmning................... 71

iv Första ordningens logik 7.2: Fullständighet................... 74 7.3: Kompakthet.................... 81 7.4: Avgörbarhet.................... 83 Kapitel 8: Andra logiker.................. 85 8.1: Monadisk logik................... 85 8.2: Nya kvantifikatoruttryck.............. 87 8.3: Andra ordningens logik............... 88 8.4: Intensional logik.................. 90 8.5: Intuitionistisk logik................. 97 8.6: Övningar.................... 101 Kapitel 9: Första ordningens teorier............ 103 9.1: Geometrier................... 104 9.2: Grupper.................... 108 9.3: De komplexa talen................ 109 9.4: Elementär aritmetik............... 112 Kapitel 10: Mängder................... 121 10.1: Naiv mängdteori och Russells paradox....... 121 10.2: Några grundläggande begrepp.......... 124 10.3: Strukturerade mängder............. 126 10.4: Binära relationer................ 130 10.5: Om oändliga mängder.............. 133 10.6: Mängdteorin som teori.............. 138 Tips och lösningar.................... 143 Vidare läsning...................... 163 Det grekiska alfabetet................... 167 Index.......................... 169

1 Inledning Logik är studiet av formella språk, ungefär som lingvistik är studiet av naturliga språk. Med naturliga språk menar vi då språk som svenska eller japanska, medan formella språk kan vara dataspråk eller de formalismer i vilka matematik eller naturvetenskapliga teorier ofta uttrycks. Till skillnad från de naturliga språken har de formella språken en väldefinierad syntax och semantik. Detta innebär att det är välbestämt precis vilka uttryck som är meningsbärande, dvs vilka symbolsekvenser som tillhör språket, och vilken betydelse som tilldelas de olika språkliga uttrycken. Det senare sker via en formell sanningsdefinition som bland annat eliminerar vaghet och flertydighet. Det finns flera anledningar till att studiet av formella språk är intressant, men låt oss här bara helt kort illlustrera en sådan. En vetenskapsman som vill beskriva en del av verkligheten gör ofta det genom att formulera en teori. Exempelvis är Newtons mekanik en teori som är tänkt att beskriva kroppars rörelse i det fysiska universum. Med hjälp av teorin kan man besvara frågor av typen När inträffar nästa totala solförmörkelse i Göteborg? och kan alltså få veta saker som inte direkt kan observeras. Avsikten med en teori är att så bra som möjligt beskriva den del av världen som man för tillfället intresserar sig för, exempelvis för att kunna göra förutsägelser. Om vi kallar denna del av världen för V och teorin för T, vill vi att ett godtyckligt påstående φ skall följa ur teorin om och endast om φ är sann i V. Som vetenskapsfilosof, och kanske också som vetenskapsman, är det naturligtvis av intresse att i enskilda fall ta reda på om detta resultat har uppnåtts, eller om det ens kan uppnås. Givet V och T, vill vi alltså kunna svara på frågor som Är φ sann i V om och endast om φ följer ur T?. Ibland kanske vi, givet V, frågar oss om det överhuvudtaget finns en teori som beskriver V. Skall dessa frågor göras precisa, krävs förstås att de ingående begrep-

2 Första ordningens logik pen preciseras. Vi måste alltså definiera begrepp som följer ur, teori, påstående etcetera, något som i sin tur kräver att vi definierar vad ett formellt språk är. Utan att ännu gå in i detaljer, tänker vi oss att ett språk ges en väldefinierad syntax, dvs vi preciserar vilka symboler som får användas, hur uttryck och satser bildas etc. Vi definierar också en semantik för språket, dvs vi bestämmer exakt vad det innebär att en väldefinierad sats är sann i en väldefinierad värld eller struktur. Slutligen definierar vi vad det innebär att en sats φ följer ur en uppsättning premisser T. Tanken är här att φ följer ur T när φ är sann i varje struktur i vilken premisserna i T är sanna. Ett av de enklaste exemplen på ett formellt språk i den här meningen är satslogiken. Intressantare exempel är klassen av första ordningens språk, dvs de språk som används i de allra flesta matematiska och naturvetenskapliga discipliner, olika extensioner till dessa språk och olika så kallade intensionala språk, som modal satslogik eller tidslogik. En fördel med just första ordningens språk är att de har stor uttryckskraft kombinerat med att det finns en metod för att påvisa när en sats följer ur en viss teori. Denna metod är rent mekanisk till sin natur och benämns ofta att härleda eller att bevisa. Till klassen av första ordningens språk finns alltså ett begrepp härledning eller bevis. Kurt Gödel bevisade 1929 att ett system med bevisregler, som David Hilbert definierat, är fullständigt, dvs för första ordningens språk gäller att en sats följer ur en uppsättning premisser om och endast om satsen är härledbar ur samma premisser. Detta innebär bland annat att, om man vet vilka axiom man utgår från och man håller sig till första ordningens språk och en viss sats faktiskt följer ur premisserna så kan detta alltid påvisas genom att man hittar ett bevis för satsen. Matematikerns metod att försöka bevisa satser från givna antaganden är med andra ord heltäckande i den meningen att varje konsekvens faktiskt går att bevisa, åtminstone i princip. Därmed inte sagt att det är enkelt att hitta bevis. Tvärtom finns det många exempel i historien på problem som fått vänta länge på en lösning. Det senaste i raden är kanske att det tog flera hundra år att bevisa Fermats sats, att x n + y n = z n saknar heltalslösning för n > 2, trots att många matematiker försökte. Problemet härrör från 1630-talet men satsen bevisades först 1994. Ett annat sådant exempel är Goldbachs hypotes, att alla jämna tal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal, som ännu ingen har lyckats bevisa. I det fallet vet man ännu inte heller om hypotesen verkligen är sann eller om den, även om den vore sann, följer ur de axiom man utgår från i talteorin. Längre fram i texten ger vi flera exempel på

1 Inledning 3 teorier formulerade i olika formella språk och på hur intressanta problem kan formuleras och lösas med hjälp av den formalism vi definierar. Av vad vi hittills sagt torde det framgå att begreppet logisk följd är ett i sammanhanget centralt begrepp. Detta begrepp är också intressant ur en något annan aspekt, nämligen när vi vill klassificera slutledningar. Ända sedan antiken har man inom retoriken intresserat sig för vad som utmärker övertygande argumentation. Steget är då inte långt till att försöka skilja ut logiskt bindande argumentation från argumentation som, även om den kanske kan vara övertygande, inte är bindande i en mer absolut mening. Betrakta exempelvis följande slutledningar: Om det regnar eller blåser så vantrivs humlorna Det regnar Alltså: Humlorna vantrivs Inget primtal är delbart med 57 9373 är ett primtal Alltså: 9373 är inte delbart med 57 De flesta människor tycker om musik Totte är en människa Alltså: Totte tycker om musik Alla skulle här hålla med om att de första två av dessa slutledningar är korrekta eller bindande i den meningen att det knappast går att bejaka premisserna utan att samtidigt bejaka slutsatsen. Detta gäller däremot inte den sista slutledningen; det kan mycket väl vara så att de flesta människor tycker om musik samtidigt som Totte, som är människa, inte tycker om musik. I själva verket är nästan alla människor synnerligen bra på att klassificera slutledningar, även betydligt mer komplexa sådana än de ovan, som korrekta respektive inkorrekta. Däremot är det inte helt enkelt att beskriva precis vilken egenskap hos en slutledning som gör den korrekt eller inkorrekt. Tittar vi på den mellersta slutledningen ovan, är det lätt att se att vissa saker inte är relevanta. Exempelvis är det inte relevant att veta om premisserna är sanna eller inte. Vi ser att slutledningen är korrekt utan att först behöva avgöra om 9373 är ett primtal eller ej, ja, utan att ens behöva fundera över vad ett primtal är eller vad det innebär att ett tal är delbart med ett annat. Det verkar alltså snarare vara den form slutledningen har, än betydelsen hos de ingående begreppen, som spelar roll för huruvida slutledningen är giltig. Å andra sidan är det förstås av betydelse vad exempelvis Inget i den första premissen betyder. Vi skulle känna igen samma form hos slutledningen

4 Första ordningens logik Ingen hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns men inte hos Någon hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns. Betydelsen hos vissa uttryck, som primtal, 9 373 eller Måns, är alltså irrelevant i sammanhanget, medan betydelsen hos andra, som Ingen eller Någon, i högsta grad är relevant. Betraktar vi det första exemplet ovan är det igen klart att betydelsen hos uttryck som om... så och eller är relevant för om slutledningen är korrekt eller ej, medan det inte verkar spela någon roll vad exempelvis Det regnar eller Humlorna vantrivs betyder. Snarare är alla slutledningar på formen Om A eller B så C A Alltså: C i en intuitiv mening logiskt giltiga; det kan helt enkelt inte vara så att premisserna är sanna utan att slutsatsen också är sann. Ett sätt att bringa reda i precis vad vi menar med en slutlednings form ovan, är nu att översätta vårt naturliga språk till ett formellt språk, eller en logik, i vilken vi skiljer mellan logiska respektive ickelogiska symboler. Dessa begrepp kommer att definieras senare, men avsikten är att de logiska symbolerna är de uttryck vars betydelse bestäms i en sanningsdefinition, medan de ickelogiska symbolernas betydelse tillåts att variera från fall till fall inom ramen för en rent syntaktisk kategorisering. Vi kan till exempel införa två symboler och för eller och om... så samtidigt som vi låter A, B och C stå för vilka påståenden som helst och definiera en syntax som ger slutledningen ovan formen A B C A Alltså: C. Sedan kan vi definiera ett formellt begrepp logisk följd och bevisa att slutsatsen ovan formellt följer ur de två premisserna. Begreppet logisk följd blir då beroende av vilka uttryck vi väljer att betrakta som logiska och vilka vi väljer att betrakta som ickelogiska.

1 Inledning 5 I själva verket är det precis så vi skall gå till väga. Vi kommer att välja ut en naturlig uppsättning logiska begrepp och basera ett formellt språk, eller snarare en klass av sådana språk, på detta val. Dessa språk går under benämningen första ordningens språk eller predikatlogik. Som ett fragment av predikatlogiken urskiljer vi satslogiken som har färre logiska begrepp, men vi kommer också att ge exempel på extensioner till första ordningens logik med fler logiska begrepp. Dessutom kommer vi att ge exempel på andra typer av formella språk, exempelvis modallogik och intuitionistisk logik. Det säger sig självt att de begrepp vi inför måste ges språkliga definitioner, dvs att de definieras i termer av andra begrepp. Men den begreppshierarki som då uppstår måste på något sätt bottnas i en grundläggande, intuitivt klar begreppsapparat som inte i sin tur behöver någon ytterligare precisering. Det är då brukligt att låta mängdbegreppet spela rollen av sådant grundbegrepp. Även här kommer vi alltså ytterst att definiera alla begrepp inom en mängdteoretisk ram. Särskilt påtagligt blir detta när vi skall definiera semantiken för första ordningens språk, där begreppet godtycklig struktur spelar en central roll. En viss grundläggande mängdteoretisk begreppsapparat är också praktisk att använda när vi diskuterar exempelvis relationer och funktioner. Därför finns i slutet av boken ett särskilt kapitel som behandlar grundläggande mängdteori och som vi kommer att hänvisa till vid behov. Mängdteorin kommer också i ett avslutande avsnitt att användas som exempel på en formell första ordningens teori.

6 Första ordningens logik

2 Grundläggande syntax 2.1 Basala syntaktiska kategorier Att definiera ett språks syntax består till att börja med i att bestämma vilka symboler som får användas. Varje symbol är här av endera av tre typer: logiska symboler, ickelogiska symboler och markörer. Generellt kommer de logiska symbolerna att ges en fix betydelse med hjälp av en sanningsdefinition medan de ickelogiska symbolernas betydelse kan variera inom de gränser som bestäms av deras respektive syntaktiska kategori. Exempelvis kan vissa symboler bara beteckna objekt, andra bara relationer etc. Markörernas huvudsakliga roll är, med ett undantag, att öka läsbarheten hos formler. Informellt är det förstås ingenting som hindrar att man använder vilka symboler som helst inom respektive kategori, så länge man bara själv är klar över vilken formalism man väljer. Här skall vi dock, för varje syntaktisk kategori, bestämma en begränsad uppsättning tillåtna symboler, vilket i hög grad förenklar våra formella definitioner. Vi börjar med att räkna upp de ickelogiska symboler som kan förekomma i ett första ordningens språk: Satssymboler A 0, A 1, A 2,... Individkonstanter c 0, c 1, c 2,... Funktionssymboler f n 0, f n 1, f n 2,..., för varje heltal n > 0 Predikatsymboler P n 0, P n 1, P n 2,..., för varje heltal n > 0. Avsikten är att satssymboler svarar mot hela satser på svenska, individkonstanter svarar mot egennamn och betecknar alltså enskilda objekt, funktionssymboler betecknar funktioner och predikatsymboler betecknar

8 Första ordningens logik egenskaper och relationer. När det gäller funktions- och predikatsymboler har dessa en ställighet i form av ett heltal större än 0. Ställigheten hos en funktionssymbol svarar då mot ställigheten hos den funktion den betecknar, dvs antalet argument funktionen har, och ställigheten hos en predikatsymbol svarar mot ställigheten hos den relation den betecknar. Exempelvis är addition en tvåställig funktion, <-relationen är en tvåställig relation och relationen x ligger mellan y och z är en treställig relation. Egenskaper betraktas som enställiga relationer. Informellt kommer vi, när detta inte kan missförstås, också att använda andra symboler än de som är strikt formellt tillåtna. Om vi exempelvis skall beskriva de naturliga talen, 0, 1, 2,..., är det naturligt att använda vanliga matematiska symboler som +, och <, snarare än att introducera nya symboler som f 2 0, f 2 1 och P 2 5 för att beteckna addition, multiplikation och <-relationen. De logiska symboler som är tillåtna i första ordningens språk är följande: Syntaktisk kategori symbol tänkt betydelse Konnektiver negation: inte konjunktion: och, samt disjunktion: eller implikation: om... så... ekvivalens: om och endast om Kvantifikatorer { allkvantifikator: för alla existenskvantifikator: det finns Identitetssymbol = identitet Slutligen har vi tre sorters markörer: Individvariabler x 0, x 1, x 2,... Parenteser ), ( Kommatecken, Här är parenteser och kommatecken bara till för att strukturera våra formler så att läsbarheten ökar, medan variablerna har en central roll i kombination med kvantifikatorerna, något vi återkommer till så småningom. Lägg också märke till att, även om vi redan nu informellt

2 Grundläggande syntax 9 ger de olika symbolerna en betydelse, så är kategoriseringen ovan rent syntaktisk. Definition 1.1: Ett lexikon är en mängd av ickelogiska symboler. Ett lexikon är relationellt om det inte innehåller några funktionssymboler. Så småningom blir det nödvändigt att precisera mängdbegreppet, men här använder vi mängd synonymt med ord som uppsättning eller klass. Redan nu kommer vi dock att använda oss av vissa enkla beteckningar hämtade från mängdläran och hänvisar den läsare som så behöver till de första avsnitten i kapitel 10. Tanken är att vi väljer lexikon efter den del av verkligheten vi vill beskriva. Lexikonet kan då innehålla individkonstanter för de objekt vi vill benämna, predikatsymboler för de egenskaper och relationer vi är intresserade av och funktionssymboler för de funktionella samband vi vill kunna tala om. Eventuellt inkluderar vi också satssymboler i lexikonet om vi enkelt vill kunna beskriva vissa satslogiska samband. Detta lexikon bestämmer sedan, som vi strax kommer till, entydigt ett första ordningens språk. Observera alltså att alla första ordningens språk använder markörerna och de logiska symbolerna utan att dessa inkluderas i lexikonet. Generellt använder vi L, L, L 1 etc för att beteckna lexikon. Exempel 1.2: Antag att vi vill skapa en teori för att bedriva aritmetik, dvs vi vill ha ett språk i vilket vi kan uttrycka påståenden om de naturliga talen med avseende på storlek, addition, multiplikation osv. Vi kan då låta vårt lexikon vara L = {P0 2, f0 2, f1 2, c 0, c 1, c 2,...}, där P 0 skall beteckna <-relationen, f 0 addition, f 1 multiplikation och där varje c i skall beteckna talet i. En annan, och mer välbekant, variant är att vi i stället använder matematiska symboler, låter L = {<, +,, 0, 1, 2,...} och ger varje symbol sin vanliga betydelse. Övning 1.3: (a) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de olika relationer som råder mellan dig och dina släktingar. (b) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de reella talen. 2.2 Fler kategorier Vi skall nu definiera ytterligare två syntaktiska kategorier: termer och formler. Särskilt i matematiska sammanhang är det vanligt att referera till enskilda tal med hjälp av komplexa uttryck som är uppbyggda med hjälp av siffror, dvs individkonstanter, och funktionssymboler: 3 (5 + 7),

10 Första ordningens logik (9+23) ((8 + 32) (7 + 29)), osv. Alla sådana uttryck kallas för termer och vi ger nu en generell syntaktisk definition av detta begrepp. Av skäl som kommer att framgå senare tillåter vi inte bara individkonstanter utan även individvariabler i termer. Definition 2.1: Givet ett lexikon L definierar vi mängden av L-termer enligt följande: (a) Alla individvariabler är L-termer (b) Alla individkonstanter i L är L-termer (c) Om t 1,..., t n är L-termer och f är en n-ställig funktionssymbol i L så är f(t 1,..., t n ) en L-term. Detta är ett exempel på en induktiv definition, något som vi kommer att använda oss av ett flertal gånger framöver. Till skillnad från en explicit definition där man direkt anger karaktäristikum för det begrepp som definieras, anger vi här hur mängden av termer byggs upp från enkla termer, angivna i (a) och (b) ovan, med hjälp av upprepade tillämpningar av en regel. Formellt går det att bevisa att definitionen ovan entydigt bestämmer en minsta mängd som innehåller alla individvariabler och alla individkonstanter i L och som är sluten under den regel som beskrivs i (c). Detta är mängden av alla L-termer. Exempel 2.2: Låt L = {f 1 0, f 3 5, c 3 }. Då är följande symbolsekvenser L- termer: c 3, x 0, f 0 (c 3 ), f 0 (f 0 (c 3 )), f 5 (x 3, f 0 (c 3 ), f 5 (x 3, f 0 (x 1 ), c 3 )). Exempel 2.3: Låt, åter med viss brist på formalism, L = {0, 1, 2, +, }. Låt oss vidare skriva (a + b) i stället för +(a, b) och a b i stället för (a, b). Då är följande välbekanta uttryck exempel på L-termer: (x 0 + 1), (x 0 + 1) (2 + (x 3 + 0)). När en funktionssymbol förekommer i en term är det klart att man kan utläsa vilken ställighet symbolen har. Vi kommer därför, närhelst detta inte ger upphov till flertydighet, att utelämna övre index på funktionssymboler. Vi kommer också att informellt använda oss av vanligt matematiskt språkbruk i analogi med exemplet ovan. Nu är vi redo att definiera begreppet L-formel. Tanken här är väsentligen att L-formler är de uttryck i våra formella språk som motsvarar påståenden eller villkor formulerade på svenska. Igen är definitionen induktiv:

Definition 2.4: Låt L vara ett godtyckligt lexikon. (1) Följande uttryck är atomära L-formler: (a) (b) (c) varje satssymbol i L t 1 = t 2, där t 1 och t 2 är L-termer 2 Grundläggande syntax 11 P (t 1,..., t n ), där P är en n-ställig predikatsymbol i L och t 1,..., t n är L-termer. (2) Vidare definieras L-formel enligt: (a) (b) (c) (d) Varje atomär L-formel är en L-formel Om φ är en L-formel så är φ en L-formel Om φ och ψ är L-formler så är följande uttryck L-formler: (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) Om φ är en L-formel och x en variabel så är xφ och xφ L-formler. Vi identifierar sedan formelmängder med språk, dvs ett första ordningens språk är mängden av L-formler för ett godtyckligt lexikon L. Än så länge har vi förstås bara definierat syntaxen för dessa språk. I nästa kapitel skall vi dock föregå den formellt definierade semantiken, som presenteras i kapitel 4, och ge uttryck i första ordningens språk en informell betydelse. 2.3 Övningar Övning 3.1: Låt L = {P 1 1, P 3 2, f 1 0, f 2 2, c 0, c 1, A 0, A 3 }. Avgör om följande uttryck är L-termer, L-formler eller ingetdera: (a) P(x 7 ) (e) (A 0 x 3 P2 3 (c 1, x 3, c 0 )) (b) P 3 2(c 0, c 0 ) (f) x 8 x 0 P3 3 (x 0, x 8, c 1 ) (c) P 3 2(c 0, c 0, f0 1 (c 1 )) (g) x 5 A 3 (d) f 2 2(f0 1 (c 1 ), f2 2 (c 1, f0 1 (c 0 ))) (h) (f 1 0(x 0 ) = c 1 f2 2 (x 0, c 1 )). Övning 3.2: Definitionen av ett lexikon L tillåter att L är tom. Vilka är då L-termerna respektive L-formlerna? I följande övning, liksom i resten av boken är omm en förkortning för om och endast om.

12 Första ordningens logik Övning 3.3: För den mängdteoretiska terminologin i den här övningen hänvisar vi till kapitel 10. Låt F ml L vara mängden av L-formler. Visa att (a) L L omm F ml L F ml L, (b) F ml L F ml L F ml L L (c) F ml L F ml L = F ml L L. (d) Kan likhet råda i (b)? *Övning 3.4: Ange, för ett fixt ändligt lexikon L, en kontextfri grammatik som genererar (a) Mängden av L-termer (b) Mängden av L-formler.

3 Formalisering Många satser i naturligt såväl som vetenskapligt språk kan översättas till första ordningens språk med lämpliga lexikon. Här ger vi exempel på hur detta går till och förklarar samtidigt informellt betydelsen hos de olika logiska symbolerna. Detta hjälper oss att hitta en logisk struktur i språket vid sidan av språkets grammatiska struktur. Det är sedan med hjälp av den logiska strukturen som vi definierar begrepp som logiskt giltig slutledning eller logiskt sann sats. Den formella sanningsdefinitionen sparar vi till kapitel 4. I stället för termen översättning använder vi här den i sammanhanget mer vanliga termen formalisering. Vi kommer också redan nu att genomgående slopa alla index på exempelvis predikat- och funktionssymboler, närhelst detta är möjligt. Vi kommer också att tillåta oss att använda andra symboler än de som formellt är tillåtna. Exempelvis använder vi c, d och e som individkonstanter, P, Q och R som predikatsymboler, f, g och h som funktionssymboler, A, B och C som satssymboler och x, y och z som variabler. Ibland sätter vi även index eller prim på dem. Däremot håller vi oss, när det gäller de logiska symbolerna, strikt till den angivna formalismen. 3.1 Atomära satser Enligt det sätt vi nu skall betrakta vårt naturliga språk, är de enklaste satserna, de atomära, de satser som saknar motsvarigheten till våra logiska symboler, förutom möjligen identitetssymbolen. Exempel på sådana satser är enkla subjekt-predikat-satser av typen (a) Pelle hostar (b) Lisa springer

14 Första ordningens logik (c) 2 är ett primtal. Men även satser som innehåller objekt kan vara logiskt atomära: (d) Pelle älskar Lisa (e) Olle är bror till Lisa (f) 7 > 3. Alla dessa satser kan, med lämpligt val av lexikon formaliseras med hjälp av atomära satser: (a*) P (c) (d*) R(c, d) (b*) Q(d) (e*) R (e, d) (c*) P (c 0 ) (f*) 7 > 3. Här betecknar c Pelle, d Lisa, e Olle, c 0 talet 2, P egenskapen att hosta, Q egenskapen att springa, P egenskapen att vara ett primtal, R relationen x älskar y och R relationen x är bror till y. I den sista formaliseringen har vi helt enkelt låtit de vanliga matematiska symbolerna ingå i vårt lexikon och betraktar (f*) som en förkortning av formeln > (7, 3). Observera att valet av ickelogiska symboler är godtyckligt, så länge vi håller oss inom rätt syntaktisk kategori. Det finns alltså inget formellt skäl att beteckna Lisa med samma individkonstant i (a*) och (d*), även om det kanske är praktiskt i vissa sammanhang. Valet av ickelogiska konstanter beror alltså helt av kontexten. Exempelvis är (c*) en lika korrekt formalisering av (a) som (a*) är och (f*) är en tillåten formalisering av (d). Det är oftast lätt att hitta lämpliga syntaktiska kategorier när man formaliserar, men det kan vara värt att påpeka att individkonstanterna inte alltid svarar mot egennamn, utan även andra uttryck kan användas på svenska för att benämna enskilda individer och ting. Betrakta satserna (g) Lisa ser Pelle i spegeln (h) Lisa ser sig i spegeln. Den första av dessa kan formalisera som (g*) R(c, d) där R är relationen x ser y i spegeln, c är Lisa och d är Pelle, och den andra formaliseras då rimligen (h*) R(c, c). Pronomen fungerar dock på flera olika sätt. Satsen

(i) Lisa slår sig 3 Formalisering 15 har sällan samma logiska form som (h), även om detta naturligtvis är möjligt i vissa kontexter, utan formaliseras naturligt med ett enställigt predikat: (i*) P (c). Funktionssymboler används sällan i allmänspråkliga sammanhang, men desto oftare i exempelvis matematisk text och det är också främst då som identitetssymbolen kommer till användning. Satser som 3 + 8 = 11 eller 16 = 4 kan förstås mer eller mindre betraktas som formaliserade. Men också en sats som e π + 1 + π 3 = sin π 3 + cos π 2 5 π 2 1 kan, utan alltför stort besvär, betraktas som en atomär formel i ett lämpligt första ordningens språk. Avslutningsvis poängterar vi bara att ett atomärt uttryck på svenska inte måste vara grammatiskt enkelt. Exempelvis kan satsen Vi anser nog att de flesta studenter som har läst så här långt rimligen bör ha kommit till slutsatsen att det är nödvändigt med många timmars färdighetsträning om man skall få en god förståelse för den grundläggande logiska strukturen hos ett naturligt språk. knappast formaliseras på annat sätt än med en satssymbol, A. Satsbokstäver kommer alltså väl till pass när man inte kan, eller vill, hitta en lämplig inre struktur hos de satser man formaliserar. Övning 1.1: Formalisera följande satser med hjälp av lämpliga lexikon. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Det regnar Lisa åker tåg från Göteborg till Oslo Pompe skäller på Måns Ingen skäller på Måns Pompe skäller på brevbäraren Göteborg ligger mellan Lund och Oslo Lisa är gift med Olle