Matematikundervisningen i Norden under 1000 år en jämförelse över tid Thomas Lingefjärd Göteborgs Universitet Thomas.Lingefjard@ped.gu.se Lingefjärd 1 Utifrån ett internationellt perspektiv utgör de nordiska länderna Danmark, Norge och Sverige ofta en homogen enhet med avseende på kultur, social struktur, ekonomiska och politiska styrsystem och utbildning. Ländernas historiska bakgrund har varit sammanvävd under flera tusen år kultur, politik, socioekonomisk tradition, språk Lingefjärd 2 Matematik-Biennalen 2004 1
De två andra länderna i Norden, Finland och Island, är separerade såväl geografiskt (Island) som kulturellt och språkligt. I Island har språket skyddats från intrång av utländska låneord, vilket innebär att man i Island talar vad vi idag kan kalla gammalnorska. Det finländska språket har ett annat ursprung än de andra nordiska språken. Lingefjärd 3 En berättelse om matematikundervisningen i Sverige under 1000 år kan aldrig bli något annat är en berättelse om matematikundervisningen i Norden under samma tid. De nordiska ländernas utbildningshistoria är mycket tätt sammanvävd under denna tidsrymd. Vi kommer bland annat att visa att en avgörande påverkan på matematikundervisningen i de nordiska länderna kom från Island, som på vissa sätt låg närmare Europa än vad Sverige gjorde för 1000 år sedan. Lingefjärd 4 Matematik-Biennalen 2004 2
Sverige fick sin första tryckta lärobok i aritmetik drygt 100 år efter motsvarande böcker skrivna på latin eller grekiska hade börjat cirkulera i Europa. Den första tryckta läroboken i aritmetik kom från Treviso i Italien och publicerades 1478. Författaren är okänd. En engelsk översättning finns bland annat i Swetz (1987). Boken propagerade för en ny matematik, ett ersättande av det gamla romerska räknesättet med ett nytt, baserat på Hinduarabiska siffror och nya räknesätt. Detta var omvälvande och tog i många länder lång tid att genomföra. Hur såg det ut innan? Lingefjärd 5 Jag har valt en startpunkt i 800-talets klosterskolor. Klosterskolorna, eller katedralskolorna, vilande bland annat på kejserliga och påvliga dekret från 787, 789, och 827 e. Kr. och utgör ett första tecken på organiserad utbildning i norra Europa. I ett dekret från Karl den store daterat år 789, finns spår av hur kursplanen såg ut: Scholae legentium puerorum fiant; psalmos, notas, cantus, computum, grammaticam discant [Skolan skall undervisa om: psalmer, skrivning, kantater, kyrkoaritmetik, och grammatik] Computum betyder egentligen computus ecclesiasticus, det vill säga att beräkna datum för kyrkoårets högtidsdagar. Lingefjärd 6 Matematik-Biennalen 2004 3
Den första nedskrivna läroboken i matematik som vi känner till var en handskriven bok av munken Beda Venerablis (Den vördnadsvärde) som är omnämnd i åtskilliga källor (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884; Howson, 1981; McLeish, 1991). Beda var en engelsk munk (673-735 e.kr.) och författare till en bok vid namn computus, De Temporum Ratione. Denna lärobok användes i Sverige och Finland likväl som i England (Dahlbo, 1897). I denna handskrivna bok, med världens äldsta bild på romerska räkneord med fingrarna, visade Bede på en speciell form av fingerräkning tillsammans med romerska siffror. Bedas algoritm beskriver hur två tal, större än fem men mindre än tio, kan multipliceras ihop. Metoden, kallad De computo vel loquela digitorum, ("Om att räkna eller tala med fingrarna") används fortfarande i modifierad form på travbanor och börsmarknader. Lingefjärd 7 Beda var också skaparen av en systematisk version av den kristna almanackan, med bland annat metoder för hur man beräknar påsk, och med introduktion av datering relativt Kristi födelse. Så trots att han inte var någon stor matematiker, utan präst och kanske skollärare, lever Bedas namn kvar trots att många större matematiker gått förlorade i tidens glömska. Quum dicis sex, tertium nihilominus elevabis, medio duntaxat solo, qui Medicus appellatur, in medium palmae fixo. För talet sex måste du räta ut ditt mittfinger och därefter böja ringfingret, kallat Medicus, tillbaka in i handflatan. (K. Menninger: Zahlwort und Ziffer I, 1958, sid 6) Lingefjärd 8 Matematik-Biennalen 2004 4
Upptäckten av bland annat runstavar antyder att Island, Norge och Sverige hade en nästan komplett almanacka långt innan kristendomen nådde Norden (Dahlin, 1875). Almanackor skurna i trä, så kallade rimstavar, fanns på många håll men de med runtecken som dagangivelser var en rent svensk uppfinning. Trots detta, så var vid denna tid kvalitén på matematikutbildningen i de nordiska länderna relativt undermålig (Hollander, 1884). De Skandinaver, som önskade förvärfva ett kunskapsmått utövfer det vanliga i latin, filosofi och kyrkolära, voro af omständigheternas tvång hänvisade att söka detta i länder med längre framskriden odling. (Hollander, 1884, p. 20) Lingefjärd 9 I slutet av 1200-talet anses Norges och Danmarks klosterutbildningar och kulturella utbud ha legat ca 100 år före Sveriges. Danmark hade sitt religiösa center i Lund och var mycket påverkade av det franska utbildningssystemet. Universitetet i Bologna och senare universitetet i Paris ansågs vid denna tid ge den mest kultiverade utbildningen (Brun, 1962). Under 1200-talet reformerades matematikutbildningen vid Europeiska universitet. En anledning till detta var att många matematikböcker, ursprungligen skriva på grekiska, nu översattes till Latin. Den ökade handeln ställde dessutom nya krav på aritmetiska färdigheter. Not: Bologna i norra Italien har Europas äldsta ännu existerande universitet. Detta var ett mycket viktigt intellektuellt centrum under medeltiden. Även idag är Bologna aktuellt - på grund av Bolognaprocessen. Lingefjärd 10 Matematik-Biennalen 2004 5
I norden nämns aritmetik för första gången i den norska boken Kongespeilet [Kungens spegel] från ca 1260. Gerðu þik tolvisan vel, þat þurfu kaupmenn mjok [Lär dig aritmetiken väl, den är viktig för handelsmän] (Bekken & Christoffersen,1985, p. 7). Den äldsta bevarade nordiska texten om räknande med hinduarabiska siffror, är den isländska boken Hauksbók. Hauksbok är en av de få medeltidshandskrifter som vi känner vid namn. På ett av bladen namnger sig författaren som Haukr Erlendsson (? -1334). Så långt tillbaka som vi kan spåra boken, har den därför kallats Hauksbok. Vi vet inte när han blev född, men vet at han blev lagman på Island år 1294 och kom till Norge ca 1301. Lingefjärd 11 Det förefaller som om Haukr Erlendsson. använde minst 15 olika assistenter för att skapa verket Hauksbók. Den matematiska delen av Hauksbok kallas Algorismus och utgör ca 6-7 A4-sidor. Detta är den äldsta räknebok med "våra" tal på ett nordisk språk och här visas det decimala positionssystemet. Det är viktigt att notera att denna bok skrevs på ett nordiskt språk 300 år före det att den svenske matematikern Stiernhjelm (Arithmetica Mnemonica Universalis, 1642) försökte visa på det decimala systemets fördelar och ett halvt millennium innan detta system sattes i praktiskt bruk i Sverige. Lingefjärd 12 Matematik-Biennalen 2004 6
Kopplingen mellan olika arbeten på Latin nere på kontinenten och Hauksbók kan verifieras med hjälp av ett fel i den Julianska kalendern. Detta fel orsakade att Påven Gregorius XIII ändrade årsalmanackan år 1582. Felet har upptäckts i såväl De Computo Ecclesiastico by Sacrobosco (ca 1232) and in the Hauksbók ca 70 år senare (Bekken & Christoffersen, 1985). Lingefjärd 13 Men varför skrevs denna bok på Island? Island låg så mycket längre bort från kontinenten än Sverige? Enligt Isländsk mytologi och historia, så fanns det en man vid namn Sæmund Sigfusson som reste som ung man till Europa för att studera (runt 1070). Han besökte Paris, Rom, och Herfurt i Westfalen och var tydligen mycket studieintresserad. Sæmund Sigfusson är välkänd i Island och syns här som staty. Lingefjärd 14 Matematik-Biennalen 2004 7
Kejsare Otto IIIs välkända lärare Gerbert är känd som den förste personen som introducerade Hinduarabiska siffror i Europa i slutet av 900-talet. Symbolerna som Gerbert hade med sig från Spanien kallades Gubar symboler (på arabiska kallas dessa symboler för Gubar [damm] siffror, antagligen beroende på att man en gång i världen räknade i dammet på bord) och vissa av dem är fortfarande i bruk i Egypten, Irak, Iran, och Turkiet. Dessa plockade Sæmund Sigfusson troligtvis med sig till Island. Den del i Hauksbók som kallas Algorismus börjar så här: Her byrjar algorismum. List þessi heitir algorismus. Hana fundu fyrst indverskir menn ok skipuðu með.x. stofum þeim er. svá eru ritnir: [Denna konst kallas algorismus. Den blev först upptäckt av Indier, som formade 10 tecken, så här:] Lingefjärd 15 I Indien var decimalsystemet känt redan 300 f. Kr. Vi ser också att Gubar symboler innehöll noll, något som blev allmänt känt först på 1300-talet. Algorismus anger endast två positioner. Ental kallas fingr och positionen för tiotalssiffran kallas liðr. De andra positionerna kallas sammansatta tal. Det finns 7 namngivna räknesätt (operationer): viðrlagning addition I dubblering och afdráttr subtraktion halvering kan vi se tvífaldan dubblering arabisk påverkan från helmingaskipti halvering al-khwarizmi margfaldan multiplikation (Bekken & skipting division Christoffersen, 1985.) taka rot undan kvadratrot Lingefjärd 16 Matematik-Biennalen 2004 8
De arabiska siffrorna är idag de mest använda i världen. Begreppet arabiska siffror är emellertid inte ett enhetligt begrepp: Modern Arabiska (Väst); Tidig Arabiska (Väst); Arabiska bokstäver Modern Arabiska (Öst); Tidig Arabiska (Öst); Tidig Devanagari (Indien); Modern Devanagari Lingefjärd 17 Under medeltiden fanns det fyra olika typer av handskrivna böcker som handlade om siffror och beräkningar. De kan klassificeras enligt: Böcker om talteori, baserade på Grekisk tradition från Euclides och Nicomachus dagar via Boethius till Jordanus Nemorarius (ca 1225). Böcker om Abacus, det vill säga om hur man räknade med tabeller, artefakter som calculi, jetons eller stenar, och med romerska siffror. Computi ecclesiastici, mallar och instruktioner för att beräkna datum för påsk och andra varierande festhögtider. Algorismus, med grundläggande instruktioner för tekniken med de nya hinduarabiska symbolerna, mestadels byggt på arbetet av al- Khwarizmi. Lingefjärd 18 Matematik-Biennalen 2004 9
Tre olika handskrivna böcker, med större genomslag än andra, spreds över Europa: Liber Abaci, av Leonardo Fibonacci av Pisa (ca 1202) Carmen de Algorismo, av Alexander de Villa Dei (ca 1200) Algorismus Vulgaris, av Johannes de Sacrobosco (ca 1230) Vi vet idag att arbetet av Fibonacci vann denna strid eftersom många av de första tryckta läroböckerna i aritmetik i Italien i slutet av 1400-talet grundades just på hans verk. Fibonacci anses av många vara Europas förste matematiker, och han är också på sätt och vis mer accepterad av den matematiska samfälligheten idag. Men vid 1300-talet början, så var de andra två författarna mer välkända och sålde bättre. Lingefjärd 19 Ökad handel ledde fram till ökat behov av att räkna på ett effektivt sätt. Fibonaccis Liber Abaci och de första tryckta läroböckerna från Treviso i Italien skrevs alla utifrån ett praktiskt ändamål (Swetz, 1987). Men situationen var annorlunda för Villa Dei och Sacrobosco. Dessa två skrev matematikböcker för universitetsstudenter. Frånsett sina Algorismus böcker, så skrev de också välkända och vitt spridda böcker om Computus. Svårigheten med att beräkna datum för högtidsdagar i almanackan var en av orsakerna till ett ökat intresse för matematik i klosterskolor och på universitet runt 1000-talet. Lingefjärd 20 Matematik-Biennalen 2004 10
Den första notisen om ett svenskt namn i samband med matematik är daterat till den 25 mars år1299. Biskop Hemming, vid en anrik katedralskola i Paris dör, och hans sparade testamente upptar ett stort antal böcker i matematik och andra vetenskaper. Det stora antalet titlar (med tanke på att böcker var oerhört dyra och svåra att få tag på vid denna tid, så kan vi anta att Hemming faktiskt läste alla böcker han hade i sin ägo) indikerar att Hemming måste ha varit en mycket välutbildad man vid denna tid (Dahlbo, 1897; Dahlin, 1875). Lingefjärd 21 Det kan vara värt att känna till Petrus de Dacia, rektor i Paris 1326, och filosof, matematiker och astronom, den mest berömde och lysande i sin tid tyvärr inte var svensk utan troligen från Danmark. Petrus Philomenia de Dacia är speciellt känd för att ha författat kommentarmaterial till Sacrobosco s Algorismus. Från 1250 till 1500, så var Sacrobosco s Algorismus med Petrus de Dacia s kommentarer en av de mest kända aritmetikböckerna i Europa (Larsen, 1952). Lingefjärd 22 Matematik-Biennalen 2004 11
Det är inte förrän i början av 1500-talet som vi finner svenskar, verksamma i Sverige och som blev omtalade för sin matematiska bildning. Naturligt nog, så var två av dessa munkar vid Vadstena kloster, och lyssnade till namnen Petrus Astronomus och Peder Månsson. Astronomus är känd för den geniala klocka han konstruerade för domkyrkan i Uppsala. Olyckligtvis, så förstördes domkyrkan i en stor brand 1702, och Astronomus geniala klockarbete gick förlorat. Hans munkbroder, Månsson, är ännu mer känd. Han är den förste författare i Sverige som vi kan koppla samman med en matematiktext. Hans bok publicerades (ett handskrivet manuskript) i Rom i början av 1500-talet och handlade om regula de tri (Dahlin 1875; Dahlbo 1879; Hultman 1870). Lingefjärd 23 Här är ett exempel från Peder Månssons bok: Problem 4: 32 uns av saffran säljs för 3 floriner. Hur mycket kostar ett uns? Lösning: Produkten eller 3 kan inte divideras med 32, eftersom divisorn är större än dividenden. Därför måste jag växla 3 floriner till 540 dinarer och dela dem med divisorn 32. Om du delar korrekt, så får du svaret 16 dinarer och 28 delar av en dinar. Med dagens notationssystem skulle vi kanske skriva så här: 32 u 540 = 3 f ( = 540 d ) u = = 16 28 32 32 d Lingefjärd 24 Matematik-Biennalen 2004 12
Den äldsta tryckta danska läroboken i aritmetik utgavs 1522. (Larsen 1952, Brun 1962). Författaren anses vara Claus Lauridsen Skavbo och boken introducerade bland annat komplementär multiplikation på danska. Exempel: Produkten av 9 8 ges av identifiering av komplementen 1 och 2. Produkten ges av 1 2 som entalssiffra och 9-2 = 8-1 = 7 som tiotalssiffra. Metoden finns med som övertygande argument i en engagerad diskussion i filmen Stand and Deliver (Warner Brothers, 1988). Lingefjärd 25 I filmen Stand and Deliver (1988), så utmanar matematikläraren Jaime Escalante, en motstridig gängledare vid namn Chuco, med så kallad fingerräkning: Escalante: Ohh. You know the times tables? Chuco: I know the ones...twos...three. [On "three" Chuco flips the bird to Escalante.] Escalante: Finger Man. I heard about you. Are you The Finger Man? I'm the Finger Man, too. Do you know what I can do? I know how to multiply by nine! Nine times three. What you got? Twenty-seven. Six times nine. One, two, three, four, five, six. What you got? Fifty-four. You wanna hard one? How about seven times nine? One, two, three, four, five, six, seven. What do you got? Sixty-three. Lingefjärd 26 Matematik-Biennalen 2004 13
De svenskar, som vid denna tid ville lära sig det decimala positionssystemet, hade inte tillgång till läroböcker på svenska. Dessutom var beräkningsuppgifter i olika böcker ofta kopplade till mätning, valutor och viktsystem som var kulturellt förankrade och delvis existerande i respektive land. Denna situation skapade ett stort antal problem för de som ville lära sig räkna med de nya siffrorna och det nya talsystemet (Hollander, 1984; Ohlon, 1986). Striden stod länge mellan Abakister (från abakus, vilket var vad de räknade med) och Algorister (av algoritm) som istället räknade med arabiska siffror (i damm, på papper eller annan skrivbar yta). Striden gällde hur man skulle räkna och hur man skulle skriva tal (romerska eller arabiska siffror). Idag får vi väl alla sägas vara algorister? Lingefjärd 27 Läroplansförändringen 1611 Det ökande intresset för matematik i dåvarande Sverige visade sig vid kyrkomötet i Örebro 1611. Vid detta möte, togs beslut om en ny läroplan för katedral- och provinsskolor. I kursplanen för 5: klass finner vi följande påpekande (Rhetorica et Logica): Anmärkningar: Om dessutom rektor eller konrektor har någon tid övrig, må han också på lediga timmar offentlig eller enskilt föredraga Buscheri aritmetik (detta också i provinsskolorna), Philippi de Animas och Johannes de Sacrobosco s astronomi; dock så att icke desto mindre det förut nämnda kurserna medhinnas (1611 års skolordning i Hall 1921, sid 37.) Lingefjärd 28 Matematik-Biennalen 2004 14
Läroplansförändringen 1611 Om än den rekommenderade boken var skriven av en tysk och på Latin, så var införandet av en lärobok i aritmetik en stark kraft bakom framtagandet och tryckandet av svenska läroböcker i aritmetik. Buscherus, Heizo Buscher, var en tysk filosof och rektor i Hannover German. Paradoxalt nog, så kom hans böcker att betyda betydligt mer i Sverige och Finland än i Tyskland. Texten tros ha modifierats innan den användes i Sverige, av Johannes Bothvid, en präst vid Gustaf II Adolf hov (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884). Lingefjärd 29 Svenska läroböcker Den äldsta svenska läroboken i aritmetik påstås aldrig ha blivit tryckt. Författare anses Hans Larsson Rizanesander vara. Boken saknar titel och är daterad 1601. Den är beskriven i Dahlin (1875): Rizanesander använder nio signifikanta siffror [1-9] och en osignifikant, som han kallar nulla eller ziphra. Rizanesander förklarar insignifikansen av nollan genom att förklara att talet 321062489 skall läsas som 321 tusen gånger tusen, 62 tusen, 489 och att nollan kommer att vara tyst i detta uttryck. Lingefjärd 30 Matematik-Biennalen 2004 15
Ett annat exempel visar metoden med falsk position, Regula Falsi. Exempel Tre personer vill köpa ett hus för 200 daler. A vill betala tre gånger mer än B, och B vill betala fyra gånger så mycket som C. Hur mycket skall var och en betala? Lösning Rizanesander prövar med C = 10 daler, som medför B = 40 och A = 120 daler. Detta leder till följande tabell: 13 10 1117 170 40 200 47 120 141 Rizanesander skriver därefter att 170, eller priset på huset som skulle passa med värdet 10 för C, relaterar till 200 som 10 relaterar till 11 13 daler. Resultatet blir att C skall betala 17 11 13 17 daler, B skall betala 41 1 17 daler, och A skall betala 141 3 17 daler. 3 17 Lingefjärd 31 1 17 Den första svenska läroboken i aritmetik var Aurelius Arithmetica, utgiven år 1614. I nästan ett århundrade var Aurelius räknelära den vanligaste läroboken i Sverige. Den gavs ut i nytryck 1995, dvs 381 år senare, redigerad av Bengt Johansson! Lingefjärd 32 Matematik-Biennalen 2004 16
Aurelius räknelära var inget mästerverk på något sätt, det faktum att den blev så känd och spridd beror nog först och främst på att den var först på marknaden. Björk s räknelära från 1643 anses vara ett betydligt bättre verk, en av de bästa matematikböckerna under denna tid (Hultman, 1871; Lindroth, 1975). Aurelius bok inleder med ett förord med argumentering för varför man skall lära sig matematik. En utförlig beskrivning finns i Johansson (1995), vi citerar kort: Denna korta räknelära med figurer och räknepenningar, med hela och brutna tal, med sköna, lustiga och användbara exempel på vårt eget modersmål och med våra egna mynt, mått och vikter (Aurelius, 1614 i Johansson, 1995. Vår översättning från gammal svenska) Lingefjärd 33 Exempel: Såsom en wil låta täckia ett taak medh lijka storre takstenar/ och then nästföliandhe raden hafwer altijdh 2 stenar meer än then förre/ såsom thenne figur uhtwisar/ huru många stenar behöfwes til heele taket? Gör såledhes: addere then första till then ytersta/ fac. 16. Multiplicere honom medh progressionis rums taal thet är 8 / fac. 128/ Dividere honom medh 2 hafwer tu 64. Och så månge stenar behöfwas til ett sadant taak. (Aurelius, 1614, sid G iiij i Johansson, 1995, sid XCIX). Lingefjärd 34 Matematik-Biennalen 2004 17
En berömd beskrivning av hur det vara att studera matematik under mitten av 1600-talet kommer från Samuel Pepys dagböcker. Notera att det mesta av den matematik som undervisades fortfarande var under stark påverkan av romerska böcker, skrivna på Latin och med underutvecklade algoritmer. 4th July, 1662 By and by comes Mr Cooper, mate of the Royall Charles, of whom I entend to learn Mathematiques. After an hour's being with him at my Arithmetique, my first attempt being to learn the multiplication table, then we parted till tomorrow. 5th July At my office all afternoon and then my maths... at night with Mr Cooper; and so to supper and bed. 8th July Cooper being there, ready to attend me; so he and I to work till it was dark. Lingefjärd 35 9th July Up by 4-aclock and at my multiplication table hard, which is all the trouble, I meet withal my arithmetique. 10th July Up by 4-aclock and before I went to the office, I practised my arithmetique. 11th July Up by 4-aclock and hard at my multiplication table which I am now almost a master of. 12th July At night with Cooper at Aritmetique... 13th July Having by some mischance hurt my cods... [I] keep my bed all this morning. 14th July Up by 4-aclock and to my Aritmetique... 18th July and then came Cooper for my Mathematiques; but in good earnest my head is so full of business that I cannot understand it. (Source: Howson, 1981, p. 29) Lingefjärd 36 Matematik-Biennalen 2004 18
Samuel Pepys var vid denna tid en välbetald civil servant in the British Admiralty, och han hade utbildats vid St Paul's School och vid Cambridge University. Det faktum att han behövde en lärare för att lära sig det nya påfundet the multiplication table är en stark indikator på nivån hos matematikutbildningen under 1600-talet. Ännu mer häpnadsväckande är eventuellt det faktum att inom tre år efter det att Pepys lärde sig multiplikationstabellen, så blev han invald som Fellow of the Royal Society (Howson, 1981, p. 29). Man kan fråga sig om multiplikationstabellen var så viktig? Svaret är tveklös JA! De nya algoritmer som hade började nå Norden och Storbritannien vid denna tid skulle drastisk förändra matematikutbildningen! Lingefjärd 37 Emedan den hinduarabiska aritmetiken med hela tal fick sitt genombrott hos handelsmän, så fick decimaltalsaritmetiken sitt genombrott hos ingenjörer och lantmätare. Den första tryckta läroboken på svenska som innehåller decimaltal skrevs av Matthias Andreæ Biörk och trycktes i Västerås 1643. Detta är första gången som vi känner till att tecknen + och används i svensk räknelära (Johansson, 1995, sid 13). Stjernhielm och Gestrinius gav ut handskrivna böcker om decimalräkning 1642. Lingefjärd 38 Matematik-Biennalen 2004 19
I allmänhet så pläderade textförfattarna vid denna tid för den praktiska nyttan av att studera matematik, dvs lär dig matematik och du får ett bättre liv (från Kongaspielet och framåt). Ett undantag är Biörks räknelära från 1643, som också var en första skrift i algebra, där Biörk fokuserar på vikten av att träna sitt intellekt. Denna syn på matematik växte sig allt starkare samtidigt som latinet gradvis förlorade sin position som det starkaste ämnet. Under 1500- och 1600-talet var latin fortfarande det ämne man studerade för att träna sitt intellekt, för att bli medlem i en utbildad elit, för att få goda positioner (nästan alla högre positioner i samhället kontrollerades av kyrkan och krävde latin), och för att kunna studera andra ämnen (1611 års skolordning, i Hall 1921). Lingefjärd 39 1611 års skolordning utarbetades först och främst av Johannes Rudbeckius (1581 1646) som var den drivande kraften i den kommission som tillsattes av riksdagen för att se över skolorganisationen. Rudbeckius var professor i Uppsala och blev 1619 biskop i Västerås stift där han grundade det första svenska gymnasiet 1623. Den nya skolordningen stipulerade att katedralskolor skulle upprättas i stiftstäderna. Skolan skulle bestå av sex klasser, där varje klass skulle ta två år. Det andra året i varje klass skulle i första hand ägnas åt repetition. I större städer skulle provinsialskolor med fyra klasser upprättas. Även i dessa skolor skulle varje klass vara tvåårig. Varje klass skulle ha en egen lärare och för de tre översta klasserna skulle en lektor utses. Skolan skulle styras av en rektor och en konrektor. Efter genomgång av provinsialskolans sista klass var eleven berättigad till inträde i katedralskolans femte klass. De första läroverken kallades ofta latinskolor. Det blir svårt att förstå dessa skolors kunskapsbedömande praktiker om man inte förstår innebörden av en latinskola. Benämningen leder en till att tro att de kallas så därför att man i princip bara läste latin och att undervisningen uteslutande hölls på latin. I själva verket bör man nog förstå latinkulten i dessa skolor som ett uttryck för en kunskapssyn som satte språket i centrum. Språket organiserade vetandet. Foucault skriver i The order of things att kunskap under 1500- och 1600-talen var att representera tinget med ord, orden uttryckte tinget exakt och att kunna ordna orden med hjälp av grammatiska regler var i själva verket också att kunna ordna världen. Lingefjärd 40 Matematik-Biennalen 2004 20
Sverige och svenskarna fick vänta tills början av 1800- talet innan aritmetik med decimaltal slog igenom i alla svenska läroböcker i aritmetik. Orsaken var huvudsakligen att alla olika system av valutaberäkningar, av mått och viktsystem, etcetera, behövde standardiseras i enlighet med basen 10 innan ett decimalsystem kunde implementeras. Denna process tog lång tid och som alla vet så är den inte fullständigt genomförd i alla länder ännu. Lingefjärd 41 Det tidigast kända verket som omnämner sannolikhetslära på svenska skrevs av Andreas Gabriel Duhre 1721. Boken handlar om geometri, men förordet innehåller argument om varför man bör få lära sig matematik i allmänhet och speciellt sannolikhetslära. Duhre var lärare i matematik i Uppsala och hade såväl Celsius som Klingenstierna som studenter (Nordenmark, 1936). Klingenstierna var den förste svenska matematiker som kunde mätas med de stora i Europa. Bland hans elever fanns Mårten Strömer (Gårding, 1994, sid 2) Lingefjärd 42 Matematik-Biennalen 2004 21
När det gäller Geometri så var kanske Mårten Strömer, som lät trycka en svensk version av Euclides Elementa 1744, en av de allra viktigaste inspiratörerna. Det var inte den första geometriboken i Sverige, men den första svenska översättningen av Euklides. Detta verk hade en stor påverkan på matematikundervisningen i Sverige. I förordet till första utgåvan pläderar Strömer inte bara för nyttan utan också för vikten av bildning. Lingefjärd 43 Euklides Elementa var vid den här tiden ett självklart inslag i matematikundervisningen. Bland genomgångna kurser vid årsexamen i trivialskolan i Jönköping 1772 Geometri efter Euklides Aritmetik efter Celsius-Palmquists lärobok (Elmgren, 1975) Lingefjärd 44 Matematik-Biennalen 2004 22
Att få sitt betyg benämnt Testimonium academicum öppnade en genväg från trivialskolan direkt till universitetet. I 1807 års skolordning föreskrivs att lärjungar som blått genomgått trivialskola, icke kan få börja akademiska studier Trivialskolorna var glest belägna i det svenska riket, eleverna undervisades i tre grundläggande ämnen (trivium): grammatik, dialektik (logik) samt retorik. Trivialskolan ersatte katedralskolan år 1626 och kvarlevde till 1905, då realskolan infördes. Lingefjärd 45 Den 16 december 1820 skrev Karl XIV Johan under en ny skollag. I den nya skolordningen räknar man med tre slag av skolor: apologistskolor, lärdomsskolor och gymnasier. (Åstrand, 1976) Lingefjärd 46 Matematik-Biennalen 2004 23
Karaktäristiskt för sättet att betrakta de olika skolformerna är att man undervisar i ämnet matematik i lärdomsskolan men i apologistskolan nöjer man sig med Räkna vartill i de högre klasserna kommer geometri och algebra. (Åstrand 1976) Högre apologistskolan (klass 1-3) Räkna 6 + 6 + 3 veckotimmar Geometri 0 + 2 + 6 veckotimmar Algebra 0 + 0 + 3 veckotimmar Högre lärdomsskola (klass 1-4) Matematik 8 + 8 + 8 + 8 veckotimmar Apologist Räknelärare i apologistskola. En Apologist undervisar genom skolordningen 1649, i förening med trivialskolan inrättade skrivarklasser. Han undervisar även högsta klassen i räkning. Yrket Apologist upphör 1849. Lingefjärd 47 Mot slutet av 1700-talet och framförallt under 1800-talets början inrättas de första skolorna för flickundervisning. Lärda ämnen som klassiska språk och avancerad matematik skulle flickorna inte studera. Deras undervisning skulle vara praktisk, allmänbildande och uppfostrande med moderna språk och modersmål som centrala teoretiska ämnen. (Kyle & Herrström, 1972) Lingefjärd 48 Matematik-Biennalen 2004 24
En skola för folket? fattigskola medborgarskola hemundervisning skolgång En konservativ linje som förespråkade den traditionella kyrkliga undervisningen med läsning och kristendomskunskap. En liberal linje som pläderade för en utökad bildning med ämnen som skrivning, räkning, historia, geografi och samhällslära. (Johansson & Nordström, 1993) Lingefjärd 49 Efter en 16 månader lång riksdagsbehandling 1840-1841 utfärdas Kongl. Maj:ts Nådiga Stadga angående Folk-underwisningen i Riket, den 18 juni 1842. Räkning och geometri för pojkarna, enbart räkning för flickorna. Fortsättningen är en annan historia Se Matematikundervisningen i Sverige under 150 år. Matematikbiennalen 2004 Lingefjärd 50 Matematik-Biennalen 2004 25