Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2011-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar utöver egna formler på sista bladet i formelsamlingen i Elektromagnetisk fältteori Förfrågningar: Andreas Fhager, 076-125 70 12, 031-772 1723 Lösningar: anslås på kursens hemsida Resultatet: anslås på kursens hemsida Granskning: Plats och tid annonseras på kurshemsidan Till tentan: Elektrostatiken (tal 1 och 2) och Magnetostatiken (tal 3 och 4) bedöms var för sig och poängen tillgodoräknas separat på tentan. Även teoridel och problemdel räknas separat. Duggaresultatet räknas om till en procentsats av maxpoängen och respektive tal på tentan kan om så önskas hoppas över med lika många procent av maxpoängen tillgodo. Om man trots poäng tillgodo från duggan väljer att räkna motsvarande tal på tentan gäller bästa resultatet. Resultat från duggan gäller på ordinarie tenta och de två närmast därpå följande omtentamina. -------------------------------------------------------------------------------------------------- - OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som skall lämnas in. Förståelsefrågorna besvaras genom att markera en av rutorna efter varje påstående till höger. En och endast en ruta på varje rad skall markeras. De tre svarsalternativen (från vänster till höger är) Rätt, Vet ej och Fel. Riktigt svar ger +0.2poäng oriktigt svar ger -0.2p. Vet ej är neutralt och ger noll poäng. Förståelseuppgifterna ger maximalt 1 poäng och lägst - 1poäng och man kan därför få 1poäng även med ett vet ej svar. Personligt ID-nummer:
1 Elektrostatik Problemlösningsdel (8 poäng) a) En negativ punktladdning, -Q, befinner sig i centrum av ett sfäriskt dielektriskt skal med innerradie R i och ytterradie R o. Skalet har den relativa dielektricitetskonstanten ε r. Bestäm E, V, D och P överallt som funktion av radien. Förståelsedel (4 poäng) b) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på ett och endast ett postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på två och endast två postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Gauss lag och på att E-fältet är rotationsfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Amperes lag och på att B-fältet är källfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att E-fältet är konservativt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att B-fältet är divergensfritt. c) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Enheten för det elektriska fältet är V/m 2. Den elektriska fältstyrkan, E, är en vektorstorhet. Det elektriska fältet definieras utifrån observationer av kraftverkan på en laddad partikel. En laddad partikel i vila som utsätts för ett elektriskt fält påverkas av en kraft. En laddad partikel i rörelse som utsätts för ett elektriskt fält påverkas av en kraft. De elektrostatiska postulaten på punktform och på integralform uttrycker egentligen samma sak. d) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej I elektrostatiken är E-fältets tangentialkomponent kontinuerlig i gränsen mellan två material med olika permittivitet. I elektrostatiken är E-fältets normalkomponent kontinuerlig i gränsen mellan två material med olika permittivitet. I elektrostatiken är D-fältets tangentialkomponent kontinuerlig i gränsen mellan två material med olika permittivitet. I elektrostatiken är D-fältets normalkomponent kontinuerlig i gränsen mellan två material med olika permittivitet. Randvillkoret för E-fältets tangentialkomponent härleds utifrån att E-fältet är konservativt. Randvillkoret för E-fältets normalkomponent härleds utifrån att E-fältet är konservativt. e) Skissa de elektriska fältlinjerna från följande laddningar. Markera även fältets riktning med pilar. Alla bilder visar olika konfigurationer av positivt och negativt laddade punktladdningar, förutom längst ner till höger då det är linjeladdnindar. För poäng ska det principiella utseendet på fältlinjerna vara korrekt i hela det markerade kvadratiska området för respektive konfiguration. (1 poäng) - + - + + - + + +ρ l + ρ l
2 Elektrostatik Problemlösningsdel (8 poäng) a) En tunn cirkulär metallskiva med radien a befinner sig i vakuum på mycket stort avstånd från andra kroppar. Skivan tillföres en laddning, Q, som därvid fördelar sig som en ytladdningstäthet på skivan. Variationen av ρ s (r) utmed skivans! radie kan skrivas ρ! r =!!"!!!!!. Beräkna kapacitansen till oändligheten hos skivan. Förståelsedel (4 poäng) b) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Gauss lag och på att E-fältet är rotationsfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Amperes lag och på att B-fältet är källfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att källan till D-fältet är den fria laddningstätheten. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att rotationen av H-fältet är den fria strömtätheten. Gauss lag på punktform kan bevisas matematiskt. Att E-fältet är konservativt kan bevisas matematiskt. c) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej En elektrisk potential kan definieras tack vare att E-fältet är rotationsfritt. Den elektriska potentialen har enheten V/m 2. Den elektriska potentialen kan definieras som E = V. Den elektriska potentialen kan definieras som E = V Om vi använder E = V som definition av potentialen betyder det att om man rör sig i riktning mot E-fältslinjerna så kommer potentialen att öka. Den elektrostatiska potentialen är en vektorstorhet. d) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Elektriska dipoler används som modell för att beskriva resistansen hos en metall. Resistans hos en metall kan förstås som att det går åt energi för att omorientera elektriska dipoler, vilket bromsar flödet av ledningselektroner i materialet. Ohms lag gäller för konduktionsströmmar. Ohms lag gäller för konvektionsströmmar. Ohms lag på formen U=RI kan härledas från uttrycket J = σe genom att betrakta en tvärsnittsyta av J-fältet i en ledare. Ohms lag gäller endast om det är valenselektroner i en metall som agerar laddningsbärare. e) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej För att härleda Poissons ekvation räcker det med att ta ett av de elektrostatiska postulaten som utgångspunkt. Lösningen till Poissons ekvation är inte alltid unik även om randvillkoren uppfylls. Det är i princip alltid möjligt att lösa Poissons ekvation numeriskt. Det är i princip alltid möjligt att lösa Poissons ekvation med hjälp av speglingsmetoden. Poissons ekvation gäller inte för de fall då man sätter potentialen V=0 då R. Poissons ekvation är ett specialfall av Laplaces ekvation.
3 Magnetostatik Problemlösningsdel (8 poäng) a) Strömmen I flyter i z-riktningen inuti ett cylindriskt skal med innerradien a och ytterradien b, se figuren. Beräkna B-fältet och H-fältet överallt. Antag att strömmen är jämt fördelad i tvärsnittet. b) Antag nu istället att strömmen I går jämnt fördelad i samma riktning i området r<a och att det cylindriska skalet a<r<b består av ett material med permeabiliteten µ r. Beräkna B- och H-fälten överallt. Förståelsedel (4 poäng) c) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på ett och endast ett postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på två och endast två postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Gauss lag och på att E-fältet är rotationsfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Amperes lag och på att B-fältet är källfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att B-fältet är divergensfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att rotationen av H-fältet är den fria strömtätheten. d) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Enheten för det magnetiska fältet är A/m. Den elektriska fältstyrkan, B, är en vektorstorhet. Definitionen av det magnetiska fältet baseras på och härleds från kontinuitetsekvationen. En laddad partikel i vila som utsätts för ett magnetiskt fält kan påverkas av en kraft. En laddad partikel i rörelse som utsätts för ett magnetiskt fält kan påverkas av en kraft. De magnetostatiska postulaten på punktform och på integralform uttrycker egentligen samma sak. e) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Randvillkoret för B-fältets normalkomponent härleds från att B-fältet är divergensfritt. Randvillkoret för B-fältets tangentialkomponent härleds från att B-fältet är divergensfritt. B-fältets normalkomponent är kontinuerlig i gränsen mellan två material. B-fältets tangentialkomponent är kontinuerlig i gränsen mellan två material. H-fältets tangentialkomponent är kontinuerlig i gränsen mellan två material. H-fältets normalkomponent är kontinuerlig i gränsen mellan två material. f) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Kontinuitetsekvationen för stationär ström följer om man tar divergensen av Amperes lag. J = 0 även om vi har tidsvarierande laddningsfördelningar. Från J = 0 kan Kirchoffs strömlag härledas. Från J = 0 kan Kirchoffs spänningslag härledas. J = 0 är en konsekvens av att laddningen är bevarad. Strömtäthetsfältet har enheten A/m 3.
4 Magnetostatik Problemlösningsdel (8 poäng) a) En elektromagnet, enligt figuren här intill, består av N lindningsvarv som leder strömmen I, vilket producerar ett magnetiskt flöde φ i den magnetiska kretsen. Järnkärnan har tvärsnittsarean S. Beräkna lyftkraften hos anordningen. b) Antag sen att vi sluter gapet i järnkärnan och att elektromagneten är gjord av ett material med B-H-karakteristik enligt sambandet i figuren. Antag att flödet i kärnan är φ=1.55 mwb, att medellängden av järnkärnans omkrets är 300mm och att tvärsnittet är cirkulärt med radien 19.5 mm. Om lindningen har 100 varv, vad är strömmen I i tråden. Förståelsedel (4 poäng) c) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på ett och endast ett postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på två och endast två postulat. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Gauss lag och på att E-fältet är rotationsfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på Amperes lag och på att B-fältet är källfritt. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att källan till D-fältet är den fria laddningstätheten. I grunden bygger fysiken i problemlösningsdelen på att B-fältet är divergensfritt. d) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Den magnetiska vektorpotentialen kan definieras tack vare att B-fältet är källfritt. Den magnetiska vektorpotentialen är entydigt definierad utifrån de två magnetostatiska postulaten. Den magnetostatiska vektorpotentialen definieras som B = A. Man kan härleda en skalär variant av Poissons ekvation som kan uttryckas i A-fältet och användas för att lösa magnetostatiska randvärdesproblem. För att härleda Poissons ekvation för A-fältet krävs att A 0. Rent allmänt kan lösningen av Poissons ekvation för A-fältet skrivas på samma generella form som lösningen för den elektrostatiska varianten uttryckt i den elektrostatiska potentialen V. e) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Ferromagnetiska material kan modelleras med hjälp av magnetiska dipoler.. En permanentmagnet, typ kylskåpsmagnet, har en volym-magnetiseringsströmtäthet. En permanentmagnet, typ kylskåpsmagnet, har en yt-magnetiseringsströmtäthet. Magnetiska material är alltid sådana att de magnetiska dipolerna i materialet orienterar sig så att det externt pålagda fältet förstärks. Magnetism är en egenskap som kräver kvantmekanik för fullständig förståelse av fenomenet. Källan till H-fältet är magnetiseringsströmmarna. f) Vilket eller vilka (om något) av följande påståenden är riktiga? ja? nej Vid härledningen av Biot-Savarts lag kan man utgå från den magnetiska vektorpotentialen och dess allmäna lösning till Poissons ekvation. Man kan teckna Biot-Savarts lag som en volymsintegral. Man kan teckna Biot-Savarts lag för en ytström Man kan teckna Biot-Savarts lag för en strömförande tråd Biot-Savarts lag kan endast användas för fältberäkning om strömmen beskriver en sluten slinga. Amperes lag kan alltid användas istället för Biot-Savarts lag vid fältberäkningar.